2007年台湾数学能力竞赛决赛
试求使
为整数的正整数解 2.
为一整系数多项式，a、b为两相异整数，
，
，…，
，
，
，…，
，若
、
，且
，
，试证：当
时，
为一整系数多项式，a、b为两相异整数，，，…，，，，…，，若、，且，，试证：当时， 3.
锐角
，
上有一点D，
上有一点E，
上有一点F，试证：存在唯一一组解，使
，
，
锐角
，上有一点D，上有一点E，上有一点F，试证：存在唯一一组解，使，， 4.
给定与其外接圆，令P为劣弧
上之一点，异于B、C，连
交于Q，试求
的最小值。（
）
给定
与其外接圆，令P为劣弧上之一点，异于B、C，连交于Q，试求的最小值。（） 5.
有一正整数列1，2，3，…，2n－1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn，求
之所有可能的值
有一正整数列1，2，3，…，2n－1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn，求
之所有可能的值 6.
a、b、c为正实数，试证明：
参考答案：a、b、c为正实数，试证明：
1.
引理：
，只要
不为有理数即可
设引理：
，只要不为有理数即可
为一有理数，但
皆不为有理数。因
则
唯一有理数，矛盾。故
，令
，
，
为正整数，则
或2或3故共有8组解
2.
设
，
亦为整系数多项式
设
，亦为整系数多项式
故
或 
…(1)又
故
或 
…(2)欲使(1)(2)同时成立，唯有
，故 3.
作三高之垂足，显然成立。
作三高之垂足，显然成立。
，则
，于是
，同理
于是，若D在D 0左侧，则E，F也在左侧
与
相交，故不平行
，不符合要求。若在右侧亦然，故D 0，E 0，F 0为唯一。
4.
设
，A、B、P、C四点共圆
由正弦定理，设
，A、B、P、C四点共圆
，
5.
令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数。
设令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数。
中必也有n－k个小数，则
中必有n－k个大数，k个小数，其中
令a1，a2，…，ak，bk+1，b k+2，…，bn为大数，
b1，b2，…，bk，ak+1，a k+2，…，an为小数。
6.
令
令
当
时，不等式恒成立，故
，同理
， 
则