教师之友网

标题: 话说“无限” [打印本页]

作者: 教师之友网 时间: 2013-3-13 15:12
标题: 话说“无限”

话说“无限”

张奠宙

（上海华东师范大学数学系。200062）

无限，是一个普通名词，又是一个数学名词。人们可以心想无限，口说无限，各门学科也会提到无限，但只有数学，才正面研究无限，运用无限，给无限以明确的界说。关于无限的数学，是人类智慧的结晶。中学数学课堂能够谈论无限，应该是数学教学品位的一种体现。这篇文字，对于“提高数学考试成绩”也许没有什么帮助。但是，如果能够细细反思已经学习过的数学，欣赏无限之美，也许别有一番感受。数学，毕竟不是仅仅会做题而已。

（一）无限意识
任何人都有“无限”的意识。凡是自己不能把握的数量，即“数不清”的东西，就说它有无限多。例如说“空气是无限的”，“水是无限量的”等等，其实它们都是有限的。另一种表述的“无限”则是一种愿望，例如说“夕阳无限好，只是近黄昏”。夕阳之好，是没有方法限制的，所以说“无限好”。
在文学中，无限是一种意境。大连理工大学的徐利治先生讲极限，就要学生体验“孤帆远影碧空尽”的动态过程。“无边落木萧萧下”，自然是一种心境的抒发。最能直接反映古人无限的诗句，则是初唐诗人陈子昂的诗：
“前不见古人，后不见来者；
念天地之悠悠，独怆然而涕下。”
诗人描写了时间两端“茫茫均不见”的感受，并对天地间张开的悠悠宇宙寄以无限的遐想。
自然科学里，也要涉及无限。例如， “物质可以无限分割：分子、原子、粒子……，可以无穷尽地分割下去。” 化合物的种类，生物的进化，都是无限的过程。不过，这里涉及的无限，不过是一种信念，类似于哲学上关于“宇宙是无限”的学说。然而，现代宇宙物理学的研究表明，宇宙有一个起点，时间也有一个起点。他们面对的是有限的宇宙。

（二）自然数是无限的 -- 潜无限
惟独数学，从一开始就正面进攻无限：自然数是无限的。1，2，…N，…永远数不尽。现在流行说我有“N个”东西，意思是很多。至于究竟是多少，并没有限制，实际上隐含着无限。
从小学开始，就接触以无限为特征的数学概念。首先是无限循环小数， 1/3 = 0.3333……；无限不循环小数：圆周率 π = 3.1415926……，数位一个接一个永远不会完结。接着是平行（小学里要计算平行四边形的面积）。那么什么是平行呢？教科书上写着：“两条直线，如果无限延长永远不相交，称为彼此平行。” 何谓“无限延长”？无限，是做不到的，也无法检验的。它只能是依靠人的直觉想象而完成的数学思维活动。奇怪的是，这种事涉“无限”平行概念，学生接受起来却并没不困难。您听说过因为不懂“无限延长”而数学不及格的学生吗？
这种继续不断、没完没了的过程，数学上称之为“潜在的无限”，它永远是现在进行时，每一步都是有限的，却永远不会结束。人脑具有很强的思维的能动性，人人都能够凭直觉把握这种“潜无限”。老师不必讲，自己就能体会到。中国古代有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的说法，刘徽用内接多边形采用“割圆术”求圆面积，都是利用潜无限阐述规律性认识的著名事例。不过，最辉煌的成就在古希腊。
第一个向无限进军的勇士是欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 公元前4世纪）。人们只知道欧几里得（Euclid，约公元前330-275）的伟大，实际上，更加伟大而深刻的是欧多克斯。当毕达哥拉斯学派发现了涉及无限的无理数之后，发生了所谓的第一次数学危机。这是因为数学的许多基础性定理（加法交换率、矩形面积等于长乘宽，平行线切割定理等）起初只对整数有效，顶多可以扩充到有理数。那么对新发现的无理数是否还成立呢？这是涉及数学大厦基础是否可靠的大问题。欧多克斯采用“穷竭法”进行论证，最后说：“可以”，危机随之结束。这是非常了不起成就。不过，现在的数学教科书，在有关过渡到无理数情形时，都是“一带而过”，教师也不介绍。反正学生接受了，不问究竟，也就过去了。

（三）0.99999… = 1吗？
欧多克斯处理无理数的深邃思想已经成为今天的“数学思维平台”，站在巨人建造的平台上，大胆地往前走就是了。但是，在中小学数学教学中，却被一个很平常的问题困扰着。这就是0.99999… = 1吗？大学生中的意见有二：
意见A： 0.99999… 永远小于1，只不过极限等于 1罢了。
意见B： 0.99999… = 1 。极限是可以达到的。不能停留在潜无限的认识上。
这两种意见，都认为无限循环小数0.99999… 的极限是 1。区别在于极限过程能否完结，变量最后是否达到极限值。
意见A 认为，循环小数是潜无限过程，在循环过程中永远小于1，没有错。一尺之棰，日取其半，的确是“万世不竭”的。但是，写出表示式0.99999… 的意思就是极限为1，说它小于1 则不妥了。
意见B则认为，极限必须达到。既然0.99999…=1 表示左边数列的极限是1，那就意味着n必须达到无穷大，无限循环小数一定达到1。在数系中，无限循环小数0.99999… 是1的另一种表示，二者是同一个数，怎么能不相等呢？其实，极限是从来不管达到达不到的。教科书中的极限定义，提到 x à x0 时，只考虑空心邻域，即 x ≠ x0 ，不考虑达到与否的问题。
那么，从0.99999…的极限是1，又怎样转化到0.99999… 就是1本身呢？数学家想了一个办法，把所有的无限循环数列，以及有限小数a 构成的常数数列{ a,a,a,….}作为一个集合看待。如果其中的两个数列 {a n}, { b n}, 满足条件 a n - b nà 0，则说二者属于同一个等价类，每一个等价类当作一个对象（有理数）看待。于是{0.9,0.99, 0.999, … }和 {1,1,1,…} 就可以看作同一个数了。
这就是说，0.99999…=1 ，和极限达到与否是不相干的事。

（四）函数之难，在于具有“实无限”背景
数学所研究的另一种无限是“实无限”，即实实在在的无限。几何学中的曲线，由无限多个点组成。说到全体“自然数”，“所有真分数”，区间[a,b]中所有实数等等，我们面对的是一个真实的“无限集”。因此，即便是在初等数学里，实无限已经是研究的对象，只不过没有挑明罢了。
许多数学上的困难，其实是由实无限所引起的。尽管函数的定义域可以是有限集（恰如一张表格）。但是数学上主要研究无限集上的函数。数列是全体自然数集上的函数。一般地，一个函数 y = f(x), 其定义域M= {x 〡a≤x≤b}是一个无限集合。f(x) 实际上由无限多组的对应关系（x,f(x)）所构成。这是实实在在的“无限”对象。处理这样的“实无限”内容，自然很不容易。
比如，对于函数的单调性，画出图象解释函数的单调性很容易明白。但用文字写的定义（对定义域中任意的x1 ≤x2, 都有 f(x1) ≤f(x2 )，学生往往觉得难以把握，不知道为什么要这样罗嗦。实际上，落笔一画就是无限多个“点”啊！单调性学习上的困难来自“无限”的背景。正是因为有无限多对（x， f(x)），我们无法按照增加（减少）的方向一个个地排列起来（有限情形可以做到），所以才不得不在表述上使用“任意的”这样的逻辑量词。
许多教师和学生都没有觉察到“函数单调性和无限有关[1]。联想到表述极限的“ε-δ定义”，也正是“对任意的ε，总存在δ”这样的语言，难住了许多学生。难，正是难在无限背景。函数单调性教学上强调“无限”背景，也许是十分必要的。

五．牛顿运用无限小发明了微积分
牛顿和莱比尼兹发明微积分，是人类研究无限的伟大胜利。数学家不是被动地对无理数这样的无限背景进行解释，而是主动出击开始正面处理“无限过程”，终于通过对“无限”的研究得到大自然数量变化的规律。微积分的创立和发展，为17、18世纪的科学创新提供了锐利的工具。人类的理性思维达到了一个新高度。
牛顿求函数导数的方法似乎不可思议。例如函数 x2 的导数是 2x，其证明过程如下。设 h 是一个无穷小量，于是
[(x +h)2 – x2 ] / h = (2xh +.h2)/h
= 2x +h (因为无穷小量不等于零，所以可以约去)
= 2x （因为无穷小量可以任意小，所以可以略去）
这简直是无穷小魔术。无穷小量 h, “招之即来，挥之即去”，以致贝克莱大主教嘲讽地称之为“逝去的鬼魂”。尤其是最后把h 抹去的做法，简直是暴力镇压。
这一切，都是“无限”惹的祸。
从19世纪中叶开始，经过哥西、魏尔斯特劳斯等数学家的努力，形成了描述无限过程的“ε-δ定义”。以当n à ∞ 时， an à a0 为例，定义为“对任意的ε > 0, 总存在正数N，使得当n>N时，有 ∣an - a0∣< ε。这样的叙述，每一句话都是有限的，只有加减乘除，大于小于的字眼，似乎仅限于算术。由于使用类似“算术”的话语来描述无限过程，历史上称之为“极限的算术化定义”。
这当然是一个重大的成就。不过，19世纪以来的数学并非必须靠ε-δ语言才能发展。无穷小魔术依然具有强大的生命力。诸如麦克斯韦的电磁学方程，傅立叶的热传导方程，拉普拉斯方程，“纳维-斯托克斯（Navier-Stokes Equation）流体力学方程，乃至20世纪的爱因斯坦方程，杨振宁-米尔斯方程的出现，都是依赖微积分的伟大思想，在科学征程中一往无前。细细品味一下，大的数学成就并非直接得益于数学分析的严密化。

六．为“无限”而献身的康托
康托（ G Cantor,1845-1918）的名字，总是和集合论连在一起。有限集合的元素个数是自然数，已经研究透了。康托的贡献是向无限集合进军，研究“实无限”，构造出超限数系，即超越有限、专门研究无限的数。在他手里，无限大分成等级，各个等级代表一个无限大的数，这些超限数还可以进行运算。康托得出的关于无限的结果出乎人们的意料。诸如有理数和整数一样多，无理数比有理数多得多之类，使人惊愕不止。他证明，如果一个无限集合的超限数是α 那么它的所有子集构成的集合具有超限数2α，而且2α一定大于α。那么， “一切集合所构成的集合M一定是世界上最大的集合了（设具有超限数A）。可是M 的所有子集所成之集又将比M更大，具有更大的超限数2A，这显然和M最大矛盾，形成了悖论。
康托尔为此冥思苦想，不得其解，终于患上了抑郁症。更严重的是，康托尔的老师、当时德国数学的掌门人克罗内克是一个有穷论者。由于他的竭力反对，康托尔在柏林数学界没有立足之地。他只能在德国小城哈雷教书，并在哈雷大学的精神病诊所里度过了后半生, 直至去世。原苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫说过[2]："康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见、哲学的教条等作了长期不懈的斗争，因此使他成为一门新学科的创造者。这门学科今天已经成为整个数学的基础。"
后来的集合论公理将“一切集合所成的集合”之类的叙述排除在外，消除了悖论。他所提出的连续统假设与集合论公理的关系，恰如平行公理之于绝对几何。这些成果在20世纪中叶曾经轰动一时。由于离开人们的常识太远，这里不赘。

七．选择公理的风波
选择公理是否允许使用，曾经是一个争论不休的问题。现在已经不争论了，但矛盾依然存在。选择公理争执的背景，依然是无限。
最简单的选择公理是说：“如有一列糖果盘Mi ，i=1,2,…, 我们一定能从每一盘Mi 中选取一粒糖αi，构成一个拼盘 {α1,α2 ,α3 … αi …}” 。
这一公理初看起来，似乎没有什么问题。但是仔细一想，却又有些狐疑。一个集合里的元素应该是完全确定的。然而，这个拼盘从Mi里选取的是那一粒αi “糖果（元素）”，却没有确定，这个拼盘不是一个确定的集合。因此许多持直觉主义立场的数学家，就不承认选择公理。
1923年，波兰的巴拿赫（S ·Banach, 1892-1945）证明，使用选择公理可以把一个球分解为和它有相同体积的两个球。这显然违反我们的常识。于是，许多数学家倾向于不用选择公理。可是另一方面，选择公理又非常有用。例如，”有界无限点列中一定可以选出一个收敛的子列”。这是一个非常简单又十分有用的命题。它的证明就必须使用选择公理。通常是用两分法，在无限多的一段内任选一点，无限分下去就行了。这是选择公理的典型提法。这样基本的命题都不能证明，数学就无法前进。不准用选择公理，正如“拳击手不准使用拳头一样”。
现在大多数数学家的立场是承认选择公理，闭眼不看那个“夹着鬼眼”的巴拿赫怪球就是了。不过，在号称天衣无缝的数学大厦的基础上，还是留下了一道裂痕。
八．尾声
20世纪初年，形式主义、逻辑主义、直觉主义三个学派，围绕者“数学基础”，展开了激烈数学哲学论战。当代理性超人K·哥德尔（Gödel,, 1906-1978）证明了一个不完备定理：“如果一个系统和自然数理论是相容的，那么该系统一定包含一个逻辑命题A，使得A 和非A都不能证明”。自然数集代表了最小的“无限”。这就是说，一个系统一旦含有无限，那么系统内必然有一个命题，既不能证明其正确，也不能证明起错误。人的思维在无限面前不是万能的。哥德尔之后，数学哲学的论战趋于沉寂，此后研究“无限”的数学家也渐渐地少了起来。超越哥德尔，太难了。

[1]据张伟平（华东师范大学博士生）关于“函数单调性是否和无限有关”的问卷调查，超过半数的高三学生说没有关系。但是，尽管教材和教师都没有正面谈到单调性的无限背景，还是有近半数的同学悟出来了。教学上主动说一说，岂不更好？

[2] 转引自http://zh.wikipedia.org/wiki/

欢迎光临教师之友网 (http://jszywz.com/)