数学与人类文明

管季超.

蔡天新：数学与人类文明(一)  数学的起源 埃及和巴比伦
一、数学的起源
1、记数的开始
如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。本来，对食物的需求出自人类的生存本能。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。
在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法，即石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。
在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。这则故事告诉我们，很可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数学，正如诗歌起源于乞求丰收的祷告，这两项人类最古老的发明均源于生存的需要。
说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄，这比起如今缅甸某些少数民族的妇女所保持的相似的习俗多了审美以外的含义。从前，英国酒保往往用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数，而西班牙酒保则通过向顾客的帽子里投放小石子来做这一计数，这两种不同的计数方法似乎也反映出这两个民族不同的个性：谨慎和浪漫。

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后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。再后来，随着书写方式的改良，就形成了代表这些数的书写符号。最初，在诸如两只羊和两个人所用的语音和用词也是不同的。例如，在英语中team of horses （共同拉车或拉犁的两匹马）， yoke of oxen （共轭的两头牛）， span of mules（两只骡）， brace of dogs（一对狗）， pair of shoes（一双鞋），等等。至于汉语里的量词变化，那就更多了，且一直保留至今。
可是，人类把数2作为共同性质抽象出来，并采用与大多数具体事物均无关的某个语音来替代它，或许是经过了很长时间才实现的。如同英国哲学家兼数学家伯特兰·罗素所说的，“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”而在我看来，数学的诞生或许要稍晚一点，即是在人们从“2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2 + 3 = 5”之时。
2、数基和进制
当需要进行更广泛的数字交流时，就必须将计数方法系统化。世界各地的人们不约而同地采取了以下方法：把从1开始的若干连续的数字作为基本数字，以它们的组合来表示大于这些数字的数。换言之，如果大于1的某个数b作为计数的进位制或基（base），并确定出数目1，2，3，……，b的名称，则任何大于b的数均可以用这b个数的一个组合表示。
有证据表明，2，3和4都曾被当作原始的数基。例如，澳大利亚昆士兰州的原住民是这么计数的，“1，2，2和1，两个2，……”。某些非洲矮人是这么称呼最前面的6个自然数的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”这两种计数均为2进制，它的应用后来导致了电子计算机的发明。而阿根廷火地岛的一个部落和南美的其他一些部落则分别以数字3和4为基。
不难设想，由于人类的每只手和脚均有5个手指或脚趾，5进制一度得到了广泛的应用。至今某些南美部落仍用手计数，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。直到1880年，德国的农历仍以5为数基。1937年，在捷克摩拉维亚地区出土的一块幼狼胫骨上，几十道刻痕明显是以5进制排列的。而西伯利亚的尤卡吉尔人居住在世界上最寒冷的地方（勒拿河下游），至今仍采用一种类似于5-10混合进制的方式计数。
12也常被用来作数基，这可能与它被6个数整除有关，也可能是因为一年有12个溯望月。例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英镑是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。有意思的是，直到上个世纪70年代，中国乡村的秤还刻有两种进制，包括16进制。与此同时，没有12进制的中国人的文字里也有“打”这个概念。而英语里除了dozen（打）以外，甚至还有gross（箩），一箩是12打，一打是12个。

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20进制也曾被广泛使用，它使我们想起人类的赤脚时代，一双脚和一双手共有20个指头。美洲印第安人使用过它，包括高度发达的玛雅文明。在法语里，至今仍用4个20来表示80（quatre-vingts），4个20加10来表示90（quatre-vingt-dix）。丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也能发现这种痕迹，令人惊奇的是，这些地方并非都是温带。在英语里20（score）是个常用字，而汉语里也有“廿”这个字。至于古代巴比伦人使用的60进制，即使在今天仍在时间和角度计量单位中不可或缺。
可是，人类最终仍普遍接受了10进制。在有记载的历史中，包括古埃及的象形数字、中国的甲骨文数字和筹算数码、希腊的阿提卡数字、印度的婆罗门数字，等等，都采用了10进制。在我们的头脑里，10已成为数制的必然单位，正如2已被电脑特别拥有。原因十分简单，博学的希腊哲学家亚里士多德已经为我们指出，“10进制的广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学的事实结果。”
除了口说以外，用手指表达数也曾长期被采纳。英语里的digit原本是指手指或脚趾，后来才表示从1到9这些数字，如今我们正处于数字时代（digital age）。事实上，原始人甚或开化的人，在进行口头计数时往往同时做出一些手势。例如，当说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或民族，我们可以通过观察他们计数时的手语来判断其归属。在今天的中国，我们仍然可以通过一个人划拳的手势大致弄清楚他或她究竟来自哪个地区或省份。
3、阿拉伯数系
据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万年以前，经过极其缓慢的发展，大约在公元前三千多年，终于出现了书写记数和相应的数系。可能是受手指表达数的影响，最早的表示数1，2，3和4的书写符号大多是相应数目的竖或横的堆积。前者有古埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字和中国的纵式筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字（数4例外）。
有意思的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达前4个数的数系均不约而同的采用了10进制，而另外两种著名的数系，即巴比伦的楔形数字和玛雅数字，分别用一个个锐利的小等腰三角形和小圆点来表示，却采用了60进制和20进制。在数5和5以后，即使同属竖写的数系也有不同表达法，以10为例，古埃及人用轭或锺骨∩（集合论中的“并”），古希腊人用△（第4个希腊字母），而中国人则用4个竖上面加1横。

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所谓阿拉伯数系是指由0，1，2，3，……，9这10个记号及其组合表达出来的10进制数字体系。例如，在911这个数中，右边的1表示1个，中间的1却表示1乘以10，而9表示9乘以100。在今天世界上存在的数以千计的语言系统里，这10个阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母使用范围更广）。可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球范围内的科技、文化、政治、经济、军事和体育方面的交流将变得十分困难，甚至不可能进行。
阿拉伯数系也被称为印度-阿拉伯数系，这是因为它是印度人发明的，经由阿拉伯人改造后传递到西方。后一项文明的流通是在12世纪完成的，前一项发明的起源就不得而知了，只是由于近代考古学的进展，在印度的一批石柱和窑洞的墙壁上发现这些数字的痕迹，其年代大约在公元前250年到公元200年之间。值得一提的是，那些痕迹里并没有零号，而在公元825年前后，阿拉伯人花拉子密的著作《印度的计算术》里却描述了已经完备的印度数码，今日英文和德文里的零就是依据阿拉伯文音译的。
阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非和西班牙的，据说一位叫莱奥拉多的意大利人曾受教于西班牙的穆斯林数学家，还曾游历北非。他回到意大利以后，于1202年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外的欧洲的里程碑，对稍后的意大利文艺复兴时期的数学有一定的促进作用。有意思的是，也是在13世纪，威尼斯人马可·波罗实现了欧洲人对东方的首次访问。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡是个战乱纷争之地，这位旅行家也是经由北非和中东绕过地中海，不过是沿着与阿拉伯数字传播路线相反的方向。
4、形而几何学
数系的出现使得数的书写和数与数之间的运算成为可能，在此基础上加、减、乘、除乃至于初等算术便在几个古老的文明地区发展起来，而后来数系的统一则使世界数学的研究和应用插上了翅膀。与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别。可以想见，几何学便是建立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上。
一条直线只是一段拉紧了的绳子，来自希腊文的英文Hypotenuse（斜边、弦）的原意就是“拉紧”。我们可以设想，这是将一个直角的两臂拉紧后的联线，而arms（手臂）也就成了两条直角边。如此看来，三角形的概念是人们通过对自己身体的观察得到的。巧合的是，在古代中国也是这样，勾、股作为小腿和大腿同时也是直角三角形中较短或较长的直角边，因而我们才有勾股定理的称谓。在西安半坡出土的陶器残片上，我们可以看到完整的全等三角形图案，每条边由间隔相等的8个小孔连接而成。同样，圆、正方形、长方形等一系列几何形式的概念也来自于人们的观察和实践。

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正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的馈赠”。早在公元前14世纪或更早，埃及的一个国王将土地分封给所有的国民，每个人都得到一块同样面积大小的土地，然后据此纳税。如果一年一度的尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么它就必须向法老报告所受的损失。法老会派专人来测量所失去的土地，再按相应的比例减税。这样一来，几何学（geomerty）就产生并发展起来了，geo意指土地，metron是测量。这类专门负责测量事物的人有专门的名称，叫做“司绳”（rope-stretcher）。
巴比伦人的几何学也是源于实际的测量，它的重要特征是其算术性质，至少在公元前1600年，他们就已熟悉长方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面积计算。古印度几何学的起源则与宗教和建筑实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓绳法经，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及其求解。在古代中国，几何学的起源更多地与天文观测相联系，至晚在公元前2世纪成书的《周髀算经》讨论的正是天文测量中所用的几何方法。
插图说明：埃及故都底比斯的一幅古墓壁画。从中可以看到，一条绳子在四个男子的手中被拉直。
二、尼罗河文明
1、独特的地形
在欧洲人的地理概念中，近东是指地中海东岸，也包括土耳其的亚洲部分和北非，即从黑海到直布罗陀海峡之间的环地中海沿岸及附近。近东既是人类文明的摇篮，也是西方文化的发祥地。如同美国数学史家M·克莱因所指出的，“当那些喜欢四处迁徙的游牧民族远远离开其出生地，在欧洲平原上漫游时，与他们毗邻的近东人民却在致力于辛勤耕作，创造文明和文化。若干个世纪以后，居住在这片土地上的东方贤哲们不得不负担起教育未开化的西方人的任务。”
埃及位于地中海的东南角，处于中东和北非的交汇之地。它的西面和南面是世界上最大的撒哈拉大沙漠，东面、北面大部分被红海、地中海环绕，惟一的陆上出口是面积只有6万平方公里的西奈半岛。这座半岛的大部分被沙漠和高山覆盖，东西两侧又夹在亚喀巴湾和苏伊士湾之间。只有一条狭窄的通道连结以色列，古罗马的统治者如尤利西斯·凯撒便是沿着这条路入侵埃及的。而在远古时代，这种外敌的侵犯几乎是不可能的，因此，埃及得以维持长期的安定。
除了拥有天然的地理屏障之外，埃及还拥有一条清澈的河流，那便是世界上最长的尼罗河。这条自南向北贯穿埃及全境、最后注入地中海的河流两岸构成一条狭长而肥沃的河谷，素有“世界上最大的绿洲”之称，因为它的西边是浩瀚的撒哈拉沙漠，东边是阿拉伯沙漠。事实上，Nile这个词的希腊文原意便是谷地或河谷。正是由于上述两个优越的地理因素，才造就了以古老的象形文字和巨大的金字塔为标志的绵延三千年的古埃及文明。

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埃及象形文字产生于公元前三千年以前，是一种完全图象化的文字，后来被简化成一种更易书写的僧侣文和通俗文。公元3世纪前后，随着基督教的兴起，不仅古埃及原始宗教趋于消亡，象形文字也随之同归于尽，现存资料中使用这种文字的最后年代是公元394年的一块碑铭。与此同时，埃及基督徒改用一种稍加修改的希腊字母（这种文字随着7世纪穆斯林的入侵又逐渐被阿拉伯文取代）。于是，这些神秘的古代文字就成了不解之谜。
1799年，跟随拿破仑远征埃及的法国士兵在距离亚历山大城不远的古港口罗塞塔发现一块面积不足一平方米的石碑，上面刻着用象形文字、通俗文和希腊文三种文字记述的同一铭文。在英国医生兼物理学家杨的工作基础上，最后由法国语言学家商博良完成了全部碑文的释读。这样一来，就为人们阅读象形文字和僧侣文文献，理解包括数学在内的古埃及文明打开了方便之门，而那块石碑也被后人命名为“罗塞塔石碑”，如今它被收藏在伦敦大英博物馆。
2、草纸书上的数学
如果你有机会到开罗旅行，那么除了造访金字塔、参观博物馆，在尼罗河上乘船、看肚皮舞表演以外，你的朋友或导游还会领你去看销售或制作纸莎草纸（Papyrus）的商店或作坊（通常它们是合二为一的）。原来，纸莎草这种植物生长在尼罗河三角洲中，采摘后，用其茎杆中心的髓切成细长的狭条，压成一片，经过干燥处理，形成薄而平滑的书写表面。古埃及人一直在这种纸上书写，并被后来的希腊人和罗马人沿用，直到3世纪才被价钱更低、可以两面书写的羊皮纸（Parchment，源自今土耳其）取代，而埃及人则一直使用到8世纪。
所谓草纸书即是用纸莎草书写并装订起来的书籍（确切的说是书卷），我们今天了解的关于古埃及人的数学知识，主要是依据两部草纸书。一部以苏格兰古董商人莱茵德命名，现藏于大英博物馆，另一部叫莫斯科草纸书，由一位俄国贵族购得，现藏于莫斯科普希金艺术博物馆。莱茵德纸草书又称为阿姆士纸草书，以纪念公元前1650年左右一位复制此书的抄写员。值得一提的是，该书卷长525厘米，宽33厘米，中间有少量缺失，其缺失的碎片现藏于纽约布鲁克林博物馆。
这两部纸草书均用僧侣文书写，年代已经十分久远，阿姆士在前言里称到那时为止此书至少流传了两个多世纪，而据专家考证，莫斯科纸草书的成书年代大约在公元前1890年。因此，这两部书堪称流传至今的最古老的用文字记载数学的书籍。从内容上看，它们只不过是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书的主体部分由85个问题组成，莫斯科纸草书则由25个问题组成。书中的问题大多来自现实生活，比如面包的成分和啤酒的浓度，牛和家禽的饲料比例及谷物储存，但作者却将它们作为示范性的例子编集在一起。

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既然几何学是“尼罗河的赠礼”，那我们就来看看埃及人在这方面的成就。在一份古老的地方契约中，人们发现他们求任意四边形的面积公式，如果用a和b, c和d分别表示四边形的对边长度，S表示面积，则
S=(a+b)(c+d)/4
尽管这种尝试十分大胆，但却是相当粗略的近似，只有在长方形这个特殊情形下才是正确的。我们再来看圆面积的计算。在莱茵德纸草书第50题中，假设一直径为9的圆形，则其面积等于边长为8的正方形。如果比较圆面积计算公式，就会发现埃及人心目中的圆周率（如果有这个概念的话）相当于
（8·2/ 9）^2 ≈ 3.1605
让人惊讶的是，埃及人在体积计算（其目的是为了储存粮食）问题上达到了相当高的水平，例如他们已经知道圆柱体的体积是底面积乘高。又如，对高为h、上下底面分别是边长a和b的正边形的平截头方锥体的体积公式，埃及人得到的公式是（莫斯科纸草书第14题），
V = h/3 (a^2 + ab + b^2)
这个结论是正确的，这是一项非常了不起的成就。美国数学史家E·T·贝尔称其为“最伟大的金字塔”（注：在英文里，锥体和金字塔同一个字，即 pyramid。）
3、埃及分数
在石器时代，人们只需要整数，但进入到更为先进的青铜时代以后，分数概念和记号便随之产生了。从纸草书中我们发现，埃及人有一个重要而有趣的特点，喜欢使用单位分数，即形如1/n的分数。不仅如此，他们可以把任意一个真分数（小于1的有理数）表示成若干不相同的单位分数之和。例如，
2/5 =1/ 3 + 1/15
7/29=1/6 + 1/24 +1/58+1/87+1/232
埃及人为何对单位分数情有独钟，我们就不得而知了，无论如何，利用单位分数，分数的四则运算得以进行了，尽管做起来比较麻烦。也正因为如此，才有了被后人称埃及分数(Egyptian fractions) 的数学问题，这也是莱茵德纸草书中最有价值的问题。埃及分数属于数论的一个分支——不定方程（也称丢番图方程，以古希腊最后一个大数学家命名），它讨论的是下列方程的正整数解
4/n = 1/x(1)+ 1/x(2) +L+ 1/x(k)
埃及分数引出了大量的问题，其中有许多至今尚未获得解决，同时它还不断产生新的问题。可以毫不夸张地说，每年世界各国都有硕士、博士论文甚至大师们的工作是围绕着这个问题开展研究的。下面我们我们来举几个例子，20世纪匈牙利数学家爱多士（与陈省身分享沃尔夫奖）曾经猜测：

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4/n = 1/x + 1/y + 1/z
当 n>1 时总有解。英国数学家莫代尔（为了他的一个猜想的证明颁发了一枚菲尔茨奖）证明了，除了n 同等余于1,11^2,13^2,17^2,19^2,23^2 mod 840之外，此猜想皆成立。这里 表示m整除a-b。还有人验证了，当n<10^8时猜想正确。接下来，数论学家要考虑的问题是
5/n = 1/x + 1/y + 1/z
有人验证了当n<10^9，或者n不是形如278460k + 1的数时，此方程均有解。
之所以在这里展开这个问题的部分细节无非是想表明，古埃及人的数学并不是我们所想象的那样简单明了。另一方面，也想借此说明，研读某些看似简单的经典问题，常常会给处于现代文明中的我们带来新的启示。费尔马定理便是一个很好的例子，那是一个17世纪的法国人阅读3世纪的希腊人的著作所产生的灵感。难怪20世纪抽象艺术的开创者、俄国画家康定斯基也说，“最古老的也是最现代的。”
三、在河流之间
1、巴比伦尼亚
尼罗河即使到入海处附近的首都开罗其水流依然是平缓的，可是流经巴格达的底格里斯河和与之比肩的幼发拉底河却是汹涌湍急，正如居住这块被称作美索不达米亚（希腊文的含意为在河流之间，即今天的伊拉克）的土地上的人民所经历的诸多战乱一样（和平时经济发展速度也快，是大型商队的必经之地）。自有历史记载以来，它先后被十多个外来民族所侵占，但却一直维持着高度统一的文化，并曾经三次达到人类文明的最高点。或许，这是因为一种特殊的被称作楔形文字的使用，成为文化统一的融合剂。
所谓巴比伦尼亚是指美索不达米亚的东南部，即巴格达周围向南直到波斯湾，巴比伦城是这一地区的首府，因此又简称巴比伦。和埃及人一样，巴比伦人也是居住在河流之滨，那里土地肥沃，易于灌溉。这里孕育出灿烂的文明，除了创造出楔形文字以外，还制订出最早的法典、建立了城邦，发明陶轮、帆船、耕犁等。同时，他们还是锲而不舍的建筑师，通天塔和空中花园便是这种精神的产物。正如大英百科全书的编者所写的，巴比伦人的文学、音乐和建筑式样影响了整个西方文明。
在计数方式上，巴比伦人更是独出心裁，与任何其他民族都不同，他们采用了60进制。有趣的是，巴比伦人只用了两个记号，即垂直向下的楔子和横卧向左的楔子。通过排列组合，便可以表示所有的自然数。更有意思的是，巴比伦人把一天分成24小时，每小时60分钟，每分钟60秒。这种计时方式后来传遍全世界，并一直沿用了4000多年。

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与埃及人在纸草书上书写的习惯不同，两河流域的居民用尖芦管在潮湿的软泥板上刻下楔形的文字，然后将其晒干或烘干，这样制作的泥版文书比纸草书易于保存，迄今已有50万块出土，成为我们了解古代巴比伦文明的主要文献和工具。只是，人们对楔形文字的释读比埃及象形文字要晚，大约在19世纪中期才完成，这有赖于一块叫贝希斯敦的石崖，它座落在今天伊朗西部邻近伊拉克的城市巴赫塔兰郊外。
和罗塞塔石碑一样，贝希斯敦石崖上也用三种文字刻着同一篇铭文，分别是巴比伦文、古波斯文和埃兰文，其中埃兰是古波斯的一个国家，连同它的语言一起消亡了。解破石碑上的巴比伦文的是一名叫罗林森的英国军官，他早年作为一名军校学生被派往印度，在英国的东印度公司任职。23岁那年，罗林森与其他英国军官奉命赴伊朗整编伊朗国王的军队，由此对波斯古迹发生兴趣。他利用古波斯文的知识，释读了楔形文字书写的巴比伦语。
原来，这篇铭文讲的是波斯帝国最负盛名的统治者大流士一世如何杀死国王的继承人、击溃反对者、取得王位的故事，那事发生在公元前六世纪。他的国土横跨亚欧非三大洲，自然也把巴比伦置于波斯的版图之内。值得一提的是，按照希罗多德的说法，大流士是在得知他的军队在著名的马拉松战役中溃败的消息之后去世的，那是他对希腊发动的第一次进攻。不过，即便破解了巴比伦语，对泥版书中数学部分的释读也要等到20世纪三、四十年代才取得突破。
2、泥版书上的根
在那50万块出土的泥版文书中，有300多块是数学文献。我们今天对于巴比伦人的数学了解，便是基于这些材料上的文字。如同前文所介绍的，巴比伦人创造了一套60进制的楔形文字记数体系（用重复的短线或圆圈表示），并把小时和分钟划分成60个单位。同时，还把昼和夜划分成12小时。与古埃及人相比，巴比伦人的数字符号有所不同，一个数处于不同位置可以表示不同的值，这种位置原理是一项突出的成就。稍后，他们甚至把这个原理应用到整数以外的分数。这样一来，他们在处理分数时就不会像古埃及人那样依赖于单位分数了。
比起埃及人来，巴比伦人更擅长算术。他们创造出许多成熟的算法，开方根即是其中的一例。这种方法简单有效，具体步骤如下：为求根号a的值，设为其a(1)近似值，先求出b(1)=a/a(1), 令a(2)=(a(1)+b(1))/2；再求出b(2)=a/a(2)，令a(3)=(a(2)+b(2))/2；继续下去，这个数值会越来越靠近根号a，并在其正确值附近震荡。例如，在由美国耶鲁大学收藏的一块泥版书（编号7289）里，根号2的近似值是 1.414213，这是相当精确的估计。

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巴比伦人在代数领域也取得了不错的成绩，埃及人只能求解线形方程，对于二次方程他们只会解ax^2=b这类最简单的情形。还是在耶鲁大学收藏的一块泥版书里，给出了二次方程 x^2 –px–q = 0的求根公式，
X = 根号[(p/2)^2+q> + p/2
由于正系数二次方程没有正根，因此除了上述情形以外，还有另外两种类型，对此泥版书里也给出了正确的求解程序。这与16世纪法国数学家韦达发明的根与系数关系式如出一撤，只不过韦达考虑的是更一般的情形，即方程ax^2 +bx+c=0。遗憾的是，由于约定成俗，“韦达公式”没有更改成“巴比伦公式”。不仅如此，对于x^3=a 或x^3+x^2=a这类特殊的三次方程，巴比伦人虽然没有办法来求得一般的解法，但却制订出相应的表格（前者即立方根表）。
可是，在几何学方面，巴比伦人的成就并没有超过埃及人。例如，他们对四边形的面积估算与埃及人的计算公式一致，即同样的粗糙。至于圆的面积，他们通常认定其值为半径平方的三倍，相当于取圆周率为3，其精确度尚不及埃及人。不过，有证据表明，巴比伦人懂得用相似性的概念来求线段的长度。对于希罗多德所称赞的莫斯科纸草书中“最伟大的金字塔”，巴比伦也能推导出类似的公式。
3、普林顿322
有一些泥版文书上的问题说明巴比伦人对数学除了实用目的以外，还有理论上的兴趣，这一点是埃及人难以企及的。在一块叫“普林顿322”的泥版书上有很好的体现，这块泥版书的来历已经无法考证，只知道曾被一个叫普林顿的人收藏过，322是他个人的收藏编号，现存于纽约哥伦比亚大学图书馆。其实，普林顿322是一块更大的泥版文书的右半部分，因为其左边是断裂的，留有胶水的痕迹，这说明缺损部分是出土后丢失的。
现存的这块泥版面积很小，长度和宽度分别只有12.7厘米 和8.8厘米。书写在上面的文字是古巴比伦语，因此年代至晚在公元前1600年。实际上，这块泥版只刻着一张表格，由4列15行60进制数字组成。因此，在相当长的时间内，它被人们误认为是一张商业帐目表而未受重视。直到1945年，时任美国《数学评论》编辑的诺伊格包尔发现了普林顿322的数论意义，才引起了人们对它的极大兴趣。
诺伊格包尔的研究表明，普林顿322与毕达哥拉斯数组有关。所谓毕达哥拉斯数组是指满足a^2 + b^2 = c^2 的任何正整数数组（a,b,c），它在古代中国也被称为整勾股数（最小的一组数是3，4，5）。从几何上讲，每一组毕达哥拉斯数皆构成某个整数边长的直角三角形（又称毕达哥拉斯三角形）的三条边长。诺伊格包尔发现，第2、3列的相应数字，恰好构成毕达哥拉斯三角形的斜边c和一条直角边b。只有四行例外，诺伊格包尔认为那是笔误，并作了纠正。