数学与人类文明(二)

管季超.

蔡天新：数学与人类文明(二)  希腊数学与希腊文明 一、数学家的诞生
1、希腊人的出场
大约在公元前7世纪，在今天的意大利南部、希腊和小亚细亚一带兴起了希腊文明，在许多方面不同于上一章讲述的埃及和巴比伦文明。按照英国作家韦尔斯的说法，巴比伦和埃及经过了长期的发展，从原始农业社会开始，围绕着庙宇和祭司缓慢地成长起来，而希腊牧民是外来的民族，他们侵占的土地上本来就有农业、航运、城邦甚至文字。因此，希腊人并没有产生自己的文明，而是破坏了一个文明，并在它的废墟上重新集合成另一个文明。也正因为这个原因，当后来被马其顿人攻占，希腊人也能坦然接受，并把入侵者同化了。
正如罗素在谈及埃及人和巴比伦人时所言，宗教的因素约束了智力的大胆发挥。埃及人的宗教主要是关心死后的日子，金字塔就是一群陵墓建筑；而巴比伦人对宗教的兴趣主要在于现世的福利，记录星辰的运动以及进行有关的法术和占卜，也都是为了这个目的。可是在希腊，既没有相当于先知或祭司那样的人，也没有一个君临一切的耶和华的概念。游牧出身的希腊人有着勇于开拓的精神，他们不愿意因袭传统，更喜欢接触并学习新鲜的事物。例如，希腊人把他们使用过的象形文字悄悄地改换成腓尼基人的拼音字母。
另一方向，每一个到过希腊的游客都会发现，这个国家的土地崎岖不平，贫瘠的山脉把国土分隔，陆路交通极为不便。没有通畅的河流和水网，仅有少量肥沃的平原。当无法容纳所有的居民时，有些人便渡海去建设新的殖民地。从西西里岛、南意大利到黑海之滨，希腊人的城镇星罗棋布。既然有如此多的移民，返乡探亲和贸易往来便不可缺少，于是定期航线把东地中海和黑海的各个港口相连。（这一现象一直延续至今，雅典与爱琴海岛屿之间的航线密布。）加上早先由于地震移居到小亚细亚的克里特人，希腊人与东方的接触越来越多。
本来，希腊离开两大河谷文明不远，易于吸取那里的文化。现在，当大批游历埃及和巴比伦的希腊商人、学者返回故乡，他们带回了那里的数学和科学知识。在城邦社会特有的唯理主义氛围中，这些经验的算术和几何法则被上升到具有逻辑结构的论证数学体系中。人们常常这样发问，“为什么等腰三角形的两底角相等？”“为什么圆的直径能将圆两等分？”美国数学史家伊夫斯指出，古代东方以经验为依据的方法，在回答“如何”这个问题时，是自信满满的，但当答复更为科学的追问“为什么”时，就不那么胸有成竹了。

管季超.

最后，我们来谈谈希腊的城邦和政治特色。如同前面提到的，希腊早就有了城邦，但与东方文明古国不同，这些城邦始终处于割据状态，这当然与它的地理因素有关，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上。再来看希腊的社会结构，它主要由贵族和平民两个阶级构成（有些地区有原住民充当农民、技工或奴隶），他们并不彼此截然分开，在战争中同属一个国王领导，而这个国王不过是某个贵族家庭中的首领。这样一来，这个社会便容易产生民主和唯理主义氛围。这一切，都为希腊人在世界文明的舞台上准备好了一个重要的角色。
2、论证的开端
在人类文明史上不乏接踵而至那样的巧合，古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期的意大利作家和艺术家一样。在大诗人但丁降生佛罗伦萨的第二年，这座城市又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托, 意大利人一般认为, 艺术史上最伟大的时代, 就是从他开始的。而按照贡布里奇爵士的说法，在乔托以前, 人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠和裁缝一样，他们甚至经常不在自己的作品上署名, 而在乔托以后, 艺术史就成了艺术家的历史。
相比之下，数学家却要幸运得多，第一个扬名后世的数学家是希腊的泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前625-前547），他生活的年代比乔托早了18个世纪。泰勒斯出生在小亚细亚的米利都城（今天土耳其亚洲部分西海岸一条叫门德雷斯的河口），其时它是希腊在东方最大的城市，周围的居民大多是爱奥尼亚移民，因此，那个地区也被称作爱奥尼亚。这座城市里商人统治代替了氏族贵族政治，因而思想较为自由和开放，产生了多位文学界和科学哲学界的著名人物，相传诗人荷马也来自爱奥尼亚，但不知他是否来自米利都。
对于泰勒斯的生平，我们主要依赖于后世哲学家的著作。他早年经商，曾游历巴比伦和埃及，很快便学会并掌握了那里的数学和天文学知识，他本人的研究除了这两个领域以外，还涉及物理学、工程和哲学。亚里士多德讲到一则故事，有一年，泰勒斯预见到橄榄必然获得特大丰收，于是提前低价垄断了该地区的所有榨油机，后来果然如他所料，便高价出租，结果获得巨额财富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果你真聪明的话，为什么不发财呢？
柏拉图记述了另一桩轶事，有一次泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠，一位美丽的女子嘲笑说，近在足前都看不见，怎么会知道天上的事情呢？对此泰勒斯并未回应，倒是雅典执政官梭伦的发问刺痛了他。据传记作家普鲁塔克记载，有一天梭伦来米利都探望泰勒斯，问他为何不结婚。泰勒斯可能是许许多多终身独居的智者中的第一人，当时未予回答，几天以后，梭伦得到消息，他的儿子不幸死于雅典，这令他悲痛欲绝。这时候泰勒斯笑着出现了，在告之消息是虚构的以后，说明自己不愿娶妻生子的原因，就是害怕面对失去亲人的痛苦。

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科学史上的第一个数学史家欧德莫斯曾经写道，“……（泰勒斯）将几何学研究（从埃及）引入希腊，他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理。”传说泰勒斯根据人的身高和影子的关系测量出埃及金字塔的高度，而柏拉图的一位门徒在书里写到，泰勒斯证明了平面几何中的四条命题：即圆的直径将圆分成两个相等的部分；等腰三角形的两底角相等；两条相交直线形成的对顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形全等。
当然，泰勒斯最有意味的工作是如今被称作“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。更为重要的是，他引入了命题证明的思想，即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题来论证，可谓开启了论证数学之先河，这是数学史上一次不同寻常的飞跃。虽然没有原始文献可以证实泰勒斯取得了所有这些成就，但以上记载流传至今，使得他获得了第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名，而“泰勒斯定理”自然也就成了数学史上第一个以数学家名字命名的定理。
在数学以外，泰勒斯也成就非凡。他认为，阳光蒸发水分，雾气从水面上升而形成云，云又转化为雨，因此断言水是万物的本质。虽然此观点后来被证明是错误的，但他敢于揭露大自然的本来面目，并建立起自己的思想体系（他还认定地球是个圆盘，漂浮在水面上），因此被公认为是希腊哲学的鼻祖。在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。有着“历史之父”美誉的史学家希罗多德声称，泰勒斯曾准确地预测过一次日食。欧德莫斯则相信，他已经知道按春分、夏至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。
3、毕达哥拉斯
在泰勒斯的引导下，米利都接连又产生了两位哲人，阿那克西曼德和阿那克西米尼，还有一位作家赫卡泰奥斯（他不仅用简洁优美的文笔写出了最早的游记，同时也是地理学和人种学的先驱）。阿那克西曼德认为世界不是由水组成的，而是由特殊的不为我们熟知的某种基本形式组成的，他认为地球是一个自由浮动的圆柱体。不仅如此，他还创造出一种归谬法，并由此推断出人是由海鱼演化而来的。阿那克西米尼的观点又有所不同，他认为世界是由空气组成的，空气的凝聚和疏散产生了各种不同的物质形式。
在离开米利都城只有一箭之遥的爱琴海上，有一座叫萨摩斯的小岛。岛上的居民比陆地上保守一些，盛行一种没有严格教条的奥尔菲主义，经常把有共同信仰的人召集在一起。这或许是让哲学成为一种生活方式的开端。这种新哲学的先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前580-前500），他成年后离开萨摩斯岛，到米利都求学，可是泰勒斯却以年事已高为由拒绝了他，但建议他去找阿那克西曼德。毕达哥拉斯不久发现，在米利都人眼里，哲学是一种高度实际的东西，这与他本人超然于世界的冥想习惯相反。

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按照毕达哥拉斯的观点，人可以分三类，最低层是做买卖交易的，其次是参加（奥林匹克）竞赛的，最高一层是旁观者，即所谓的学者或哲学家。之后，毕达哥拉斯离开了米利都，独自一人一路游历来到埃及，在那里居住了十年，学习了埃及人的数学。后来，他在埃及作了波斯人的俘虏，又并被掳到了巴比伦，在那里又住了五年，掌握了更为先进的数学。加上旅途的停顿，当毕达哥拉斯乘船返回自己的故乡，时间已经过去了19年，比后来中国的法显和玄奘法师到印度取经所用时间还久。
没想到的是，保守的萨摩斯人仍无法容纳毕达哥拉斯的思想，他只好再度漂洋过海，到意大利南部的克罗内托，在那里安顿下来，娶妻生子并广收弟子，形成了所谓的毕达哥拉斯学派。尽管这个社团是个秘密组织，有着严格的纪律，但他们的研究成果并没有被宗教思想所左右，反而形成了一个传递两千多年的科学（主要是数学）传统。“哲学”( )和“数学”( )这两个词本身便是毕达哥拉斯本人所创造的，前者的意思是“智力爱好”，后者的意思是“可以学到的知识”。
毕达哥拉斯学派的数学成就主要包括：毕达哥拉斯定理，特殊的数和数组的发现如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数，正多面体作图， 的无理性，黄金分割，等等。这些问题中有的保留至今（完美数、友好数），有的被应用日常生活的方方面面，有的如毕氏定理则提炼出了费尔马大定理这样深刻而现代的定律。与此同时，毕达哥拉斯学派注重和谐与秩序，并重视限度，认为这即是善，同时强调形式、比例和数的表达方式的重要性。
毕达哥拉斯曾用诗歌描述了他发明的第一个定理：
斜边的平方，
如果我没有弄错，
等于其他两边的
平方之和。
这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的，据说他当时紧紧抱住哑妻大声喊道，“我终于发现了！” 毕达哥拉斯还发现，三角形的三个内角和等于两个直角的和，同时证明了，平面可以用正三角形、正四边形或正六边形填满。用后来的镶嵌几何学可以严格推导出，不可能用其他正多边形来填满平面。
关于自然数，毕达哥拉斯最有趣的发现和定义是亲和数（amicable number）和完美数（perfect number）。所谓完美数是这样一个数，它等于其真因子的和，例如6和28，因为6 = 1+2+3，28 = 1+2+4+7+14。《圣经》里提到，上帝用6天的时间创造了世界（第7天是休息日），而相信地心说的古希腊人认为，月亮围绕地球旋转所需的时间是28天。必须提到的是，迄今为止，还没有人找到一对奇完美数，当然也没有人能够否定它的存在。

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而亲和数是指这样一对数，其中的任意一个是另一个的真因子之和，例如，220和284。后人为亲和数添加了神秘色彩，使其在魔法术和占星术方面得到应用，《圣经》里提到，雅各送孪生兄弟以扫220只羊，以示挚爱之情。直到两千多年以后，第二对亲和数（17926，18416）才由法国数论学家费尔马找到，他的同胞、数学家兼哲学家笛卡尔则找到了第三对。虽然运用现代数学技巧和计算机，数学家们发现了一千多对亲和数，不过第二小的一对（1184，1210）却是在19世纪后期才由一位16岁的意大利男孩找到的。
更为难得的是，毕达哥拉斯的思想持续影响了后世的文明。在中世纪时，他被认为是“四艺”（算术、几何、音乐、天文）的鼻祖。文艺复兴以来，他的观点如黄金分割、和谐比例均被应用于美学。16世纪初期，哥白尼自认为他的“日心说”是属于毕达哥拉斯的哲学体系，稍后，自由落体定律的发明者伽利略也被称之为毕达哥拉斯主义者，而17世纪创建微积分学的莱布尼兹则自认为是继承毕达哥拉斯传统的最后一位哲学家和科学家。
谈到音乐，这在毕达哥拉斯看来，是最能对生活方式起到净化作用的。他发现了音程之间的数的关系。一根调好的琴弦如果长度减半，将会奏出一个高八度音。同样地，如果缩短到三分之二，就奏出一个第四音，如此等等。调好的琴弦和和谐的概念在希腊哲学中占据重要地位。和谐意味着平衡，对立面的调整和联合，就像音程适当调高调低。罗素认为，伦理学（又称道德哲学）里中庸之道等概念，可以溯源到毕达哥拉斯的发现。
音乐上的这类发现也直接导出了“万物皆数”的理念，这可能是毕达哥拉斯哲学最本质的东西，它区别开了米利都的三位先哲。在毕达哥拉斯看来，一旦掌握了数的结构，就控制了世界。在此以前，人们对数学的兴趣主要源于实际的需要，例如埃及人是为了测量土地和建造金字塔，而到了毕达哥拉斯那里，却是（按希罗多德的说法）“为了探求”。这一点从毕达哥拉斯对“数学”和“哲学”的命名也可以看出，又如，“计算”一词的原意是“摆布石子”。
二、柏拉图学园
1、芝诺的乌龟
毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，因而在希腊民主力量高涨时受到冲击并逐渐瓦解，毕达哥拉斯本人也逃离了克罗托内，不久被杀。在持续不断的波（斯）希（腊）战争之后，雅典成为获胜的希腊的政治、经济和文化中心，希腊数学和哲学也随之走向繁荣，并产生了许多学派。第一个著名的学派叫伊利亚学派，创建人是毕达哥拉斯学派成员巴门尼德，他居住在意大利南部伊利亚（今那波利东南一百多公里处），代表人物是他的学生芝诺（Zeno, 约公元前490-430），师徒俩堪称前苏格拉底时期最有智慧的希腊人。

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巴门尼德是少数几个用诗歌的形式表达哲学观点的希腊哲学家之一，他留下的诗集《论自然》残片第一部分叫《真理之路》，包含了后来的哲学家们十分感兴趣的逻辑学说。巴门尼德认为，存在物的多样性及其变化形式和运动，不过是惟一永恒的存在之现象而已，于是产生了“一切皆一”的巴门尼德原理。巴门尼德认为无法想到的东西不能存在，因此能存在的是可以被想到的，这就与前辈哲学家赫拉克利特的“它存在又不存在”相对抗。他还引入理性证明的方法，作为论断的基础，因而被看作形而上学的创立者。
柏拉图在对话《巴门尼德》篇里，记叙了巴门尼德和他的弟子芝诺去雅典的一次访问，其中写到：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发灰白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的人了。”虽然后世的希腊学者推测这次访问是柏拉图虚构的，但却认为书中对芝诺观点的描写是准确可靠的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”作了辩护，但是不像他的老师那样从正面去证明存在是‘一’而不是“多”，他用归谬法去反证：“如果事物是多数的，将要比‘一’的假设得出更可笑的结果。”
这一方法就成了所谓“芝诺悖论”的出发点，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个不同的悖论。可惜由于著作失传，至今只留下来8个，其中以4个关于运动的悖论最为著名，这依赖于亚里士多德的《物理学》等著作的记载。即便是这几个悖论，后人的领会也是不得要领，他们认同亚里士多德的引述，认为它们只不过是些有趣的谬见而加以批判。直到19世纪下半叶，学者们重新研究芝诺的悖论，才发现它们与数学中连续性、无限性等概念紧密相关。
下面我们来依次介绍芝诺的4个运动悖论，括号内的是文字是亚里士多德《物理学》中的原话。
一、二分说。“运动不存在。原因在于，移动事物在到达目的地之前必须先抵达一半处。”
二、阿基里斯追龟。阿基里斯（荷马史诗《伊利亚特》中善跑的猛将）永远追不上一只乌龟，因为阿基里斯每次必须首先跑到乌龟的出发点。
三、飞箭静止说。“如果移动的事物总是在‘现在’占有一个空间，那么飞驰的箭也是不动的。”
四、运动场。空间和时间不是由不可分割的单元组成。例如，运动场跑道上有三排队列A、B、C，令A往右移动，C往左移动，其速度相对于B而言均是每瞬间移动一个点。这样一来，A就在每个瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。

管季超.

前两个悖论针对的是事物无限可分的观点，而后两个则蕴涵着不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要高等数学的知识，尤其是极限、连续和无穷集合等概念，这在当时的希腊人看来是无法理解的，因此包括亚里士多德在内的智者也不能给出解释。可是，亚里士多德分明注意到了，芝诺是从对方的论点出发，再用反证法将其论点驳倒，因此，他称芝诺是雄辩术的发明者。当然，这一切首先是由于希腊的言论自由和学派林立的氛围给了学者们探求真理的机会。
芝诺自幼在乡村长大，运动是他所热爱的，也许他提出这些悖论纯粹出于好奇和好胜，并非要给城里的大人物们制造恐慌。可是，正如E·T·贝尔所言，芝诺曾“以非数学的语言，记录下最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”在2400年以后的今天，人们已经明白，芝诺的名字将永远不会从数学史或哲学史中消除。黑格尔指出，芝诺主要是客观而辨证地考察了运动，因此他称芝诺是“辨证法的创始人。”
2、柏拉图学园
现在我们要谈论古希腊三大哲学家之一的柏拉图（Plato，公元前427-347），还有两位分别是他的老师苏格拉底和学生亚里士多德。这三位都与雅典有关，苏格拉底和柏拉图出生在雅典，亚里士多德则在那里学习之后又执教。苏格拉底既无著作流传后世，也没有建立什么学派，有关他的生平和哲学思想我们主要通过柏拉图和另一位弟子色诺芬来了解。后者是一位将军，同时也是历史学家和散文家。苏格拉底在数学方面并无太大的建树，但正如两位弟子所评价的，他在逻辑学上有两大贡献，即归纳法和一般定义法。
苏格拉底对柏拉图的影响是无法估量的，尽管后者出生于显赫家庭，而前者的双亲分别是雕刻匠和助产士。苏格拉底貌不惊人，且不修边幅，却对肉体有着惊人的克制力，有时说话时突然停下来陷入沉思。尽管很少饮酒，但每饮必有酒友滚倒在桌子底下而他自己毫无醉意。苏格拉底之死（因受指控腐蚀雅典青年的灵魂而被判服毒），以及临死前表现出来的大无畏精神，给了柏拉图以深深的刺激，使他放弃了从政的念头，终其一生投入哲学的研究，他称他的导师是“我所见到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。
苏格拉底死后，柏拉图离开了雅典，开始了长达10年（或许是12年）的漫游，先后游历了小亚细亚、埃及、昔兰尼（今利比亚）、南意大利和西西里等地。途中柏拉图接触了多位数学家，并亲自钻研了数学。返回雅典之后，柏拉图创办了一所颇似现代私立大学的学园（Academy，这个词现在的意思是科学院或高等学府）。学园里有教室、饭厅、礼堂、花园和宿舍，柏拉图自任园（校）长，他和他的助手们讲授各门课程。除了几次应邀赴西西里讲学以外，他在学园里度过了生命的后四十年，而学园本身则奇迹般地存在了9百年。

管季超.

作为哲学家，柏拉图对欧洲的哲学乃至整个文化、社会的发展有着深远的影响。他一生共撰写了36本著作，大部分用对话的形式写成。内容主要关于政治和道德问题，也有的涉及形而上学和神学。例如，在《国家篇》里他提出，所有的人，不论男女，都应该有机会展示才能，进入管理机构。在《会饮篇》里这位终生未娶的智者也谈到了爱欲，“爱欲是从灵魂出发，达到渴求的善，对象是永恒的美。”用最通俗的话讲就是，爱一个美人，实际上是通过美人的身体和后嗣，求得生命的不朽。
虽然柏拉图本人并没有在数学研究方面作出特别突出的贡献（有人将分析法和归谬法归功于他），却是那个时代希腊数学活动的中心，大多数重要的数学成就均由他的弟子取得。例如，一般整数的平方根或高次方根的无理性研究（包括由无理数的发现导致的第一次数学危机的解脱），正8面体和正20面体的构造，圆锥曲线和穷竭法的发明（前者的发明是为了解决倍立方体问题*），等等，甚至连大数学家欧几里德早年也来阿卡德米攻读几何学，这一切使得柏拉图及其学园赢得了“数学家的缔造者”的美名。
对数学哲学的探究，也起始于柏拉图。在他看来，数学研究的对象应该是理念世界中永恒不变的关系，而不是感觉的物质世界的变化无常。他不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，也把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格区分。举例来说，三角形的理念是惟一的，但存在许多三角形，也存在相应于这些三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体。这样一来，就把起始于毕达哥拉斯的对数学概念的抽象化定义又向前推进了一步。
在柏拉图的所有著作中，最有影响的无疑要数《理想国》了。这部书由10篇对话组成，核心部分勾勒出形而上学和科学的哲学。其中第6篇谈及数学假设和证明。他写到，“研究几何、算术这类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及诸如此类的东西是已知的。……从已知的假设出发，以前后一致的方式向下推，直至得到所要的结论。”由此可见，演绎推理在学园里已经盛行。柏拉图还严格把数学作图工具限制为直尺和圆规，这对于后来欧几里德几何公理体系的形成有着重要的促进作用。
谈到几何学，我们都知道那是柏拉图极力推崇的学问，是他构想的要花费10年学习的精密科学的重要组成部分。柏拉图认为创造世界的上帝是一个“伟大的几何学家”，他本人对五种正多面体的特征和作图有过系统的阐述，以至于它们被后人称为“柏拉图体”。从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学园门口刻着，“不懂几何学的人请勿入内”。无论如何，柏拉图充分意识到了数学对探求人类理想的重要性，在他晚年的一部著作中，他甚至把那些无视这种重要性的人形容为“猪一般”。

管季超.

（* 倍立方体是所谓古希腊三大几何问题之一，另外两个问题是化圆为方、三等分角。直到19世纪，数学家们才弄清楚，这三个问题实际上是不可解的。）
3、亚里士多德
公元前347年，柏拉图在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世，享年80岁。虽然没有记载，但参加他葬礼的人中间，应该有他亲自教诲过的学生亚里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）。自从17岁那年被监护人送入柏拉图学园，他跟随老师已经整整20年了。亚里士多德无疑是学园培养的最出色的学生，他后来成为世界古代史上最伟大的哲学家和科学家，对西方文化的取向和内容有着深远的影响，是其他任何思想家无法相比的。
亚里士多德出生在希腊北部哈尔基季基半岛上，当时是马其顿的领土（如今是希腊北部的旅游中心），其父曾担任马其顿国王的御医。或许是受父亲的影响，他对生物学和实证科学饶有兴趣，而在柏拉图的影响下，他后来又迷恋上哲学推理。在柏拉图死后，亚里士多德开始了漫游（正像苏格拉底去世后柏拉图开始漫游一样）。他和他的同学兼好友先到小亚细亚的阿苏斯停留了三年，接着到附近莱斯沃斯岛上的米蒂利亚创办了一个研究中心（这两处地方的地理位置恰如南面的米利都和萨摩斯岛），开始了生物学的研究。
42岁那年，亚里士多德应马其顿国王菲力二世的邀请，来到首都培拉担任13岁的王子亚历山大的家庭教师。他试图依照荷马史诗《伊利亚特》中的英雄塑造王子，使其体现希腊文明的最高成就。三年之后，亚里士多德返回了故乡。直到公元前335年亚历山大继承了王位，他又来到了雅典，并创办了自己的学园（吕园）。此后的12年间，除了研究和写作，他把自己的精力投入到吕园的教学和管理事务上。据说亚里士多德授课时喜欢在庭园里边走边讲，以至于今日英文里演讲或论述一词（discourse）的原意就是“走来走去”。
吕园和学园均坐落在雅典的郊外，只不过柏拉图的兴趣偏向数学方面，而亚里士多德的兴趣却在生物学和历史方面。但亚里士多德毕竟在学园里熏陶了20年，因而继承了柏拉图的部分数学思想。他对定义作了更为细致的讨论，同时深入研究了数学推理的基本原理，并将它们区分为公理和公设。在他看来，公理是一切科学共同的真理，而公设则是为某一门科学所特有的最初原理。

管季超.

3、亚里士多德
公元前347年，柏拉图在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世，享年80岁。虽然没有记载，但参加他葬礼的人中间，应该有他亲自教诲过的学生亚里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）。自从17岁那年被监护人送入柏拉图学园，他跟随老师已经整整20年了。亚里士多德无疑是学园培养的最出色的学生，他后来成为世界古代史上最伟大的哲学家和科学家，对西方文化的取向和内容有着深远的影响，是其他任何思想家无法相比的。
亚里士多德出生在希腊北部哈尔基季基半岛上，当时是马其顿的领土（如今是希腊北部的旅游中心），其父曾担任马其顿国王的御医。或许是受父亲的影响，他对生物学和实证科学饶有兴趣，而在柏拉图的影响下，他后来又迷恋上哲学推理。在柏拉图死后，亚里士多德开始了漫游（正像苏格拉底去世后柏拉图开始漫游一样）。他和他的同学兼好友先到小亚细亚的阿苏斯停留了三年，接着到附近莱斯沃斯岛上的米蒂利亚创办了一个研究中心（这两处地方的地理位置恰如南面的米利都和萨摩斯岛），开始了生物学的研究。
42岁那年，亚里士多德应马其顿国王菲力二世的邀请，来到首都培拉担任13岁的王子亚历山大的家庭教师。他试图依照荷马史诗《伊利亚特》中的英雄塑造王子，使其体现希腊文明的最高成就。三年之后，亚里士多德返回了故乡。直到公元前335年亚历山大继承了王位，他又来到了雅典，并创办了自己的学园（吕园）。此后的12年间，除了研究和写作，他把自己的精力投入到吕园的教学和管理事务上。据说亚里士多德授课时喜欢在庭园里边走边讲，以至于今日英文里演讲或论述一词（discourse）的原意就是“走来走去”。
吕园和学园均坐落在雅典的郊外，只不过柏拉图的兴趣偏向数学方面，而亚里士多德的兴趣却在生物学和历史方面。但亚里士多德毕竟在学园里熏陶了20年，因而继承了柏拉图的部分数学思想。他对定义作了更为细致的讨论，同时深入研究了数学推理的基本原理，并将它们区分为公理和公设。在他看来，公理是一切科学共同的真理，而公设则是为某一门科学所特有的最初原理。