小学数学教学中渗透模型思想的思考

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小学数学教学中渗透模型思想的思考
许卫兵

（江苏省海安县实验小学，江苏  南通 226600）

摘要：《全日制义务教育数学课程标准》修订时明确提出，在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。在小学，进行数学建模教学具有鲜明的阶段性、初始性特征，即要从学生熟悉的生活和已有的经验出发，引导他们经历将实际问题初步抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而对数学和数学学习获得更加深刻的理解。就其教学实施的一般程序而言，教师先行琢磨、通过教学不断建模、学生在体验和感悟中为之着魔是小学数学建模教学的关键所在。

关键词：模型；数学建模；建模教学；小学数学教学

一

关于“数学建模”（Mathematical Modelling），有着较为确定的含义，即“把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。”[①]而“为了一定的目的对现实原型作抽象、简化后，采用形式化的数学符号和语言所表述出来的数学结构”也就是“数学模型”（Mathematic Model），它是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。”[ii][②]为了更形象地说明上述理论，我们可以引用柯朗和罗宾在《什么是数学》中曾举出的一个实例：[iii][③]

我们用字母来表示算术规律（如ɑ+b=b+ɑ），“这些算术规律是很简单的，而且好像是显然的。但是它们对于整数以外的对象可能不适用。如果ɑ和b不是整数的符号，而是化学物质的符号；同时，如果‘加’这个词正是我们平常说话中所用的那个意思，那么很显然，交换律并不总是成立的。例如，如果把硫酸加到水里，得到的结果是稀释，而把水加到纯硫酸中则会对实验人员产生灾难性的后果”；“对抽象的整数概念给出一个具体模型就能够说明规律所依据的直观基础”。如下图，在方框中放一些点，一个点代表一个对象。通过这些方框的运算我们可以看到这些整数的运算定律。两个整数ɑ和b相加时，把相应的方框两端连线并去掉中间的相隔线，加法的意义就通过这个直观的具体模型表示出来了。



同样，ɑ和b相乘，把两个方框中的点排成ɑ行、b列个点，构成一个新方框：



这样的图示，可以看成是乘法的直观模型。

张奠宙教授认为，“广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。加减乘除都有各自的现实原型，它们都是以各自相应的现实原型作为背景抽象出来的。但是，按通行的比较狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫做数学模型。例如，平均分派物品的数学模型是分数；元角分的计算模型是小数的运算；500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型就是抽屉原理。”[iv][④]

以这样的认识来看待小学数学教学，很显然，小学生学数学似乎都不必要学得这样抽象、这样概括，甚至可以说，小学数学教学中难以有真正的“狭义意义”上的数学建模。然而，换一个角度来看，我们又应该清醒地知道“建模”“模型”对于数学、对于数学学习的重要价值。郑毓信教授在《数学教育哲学》一书谈到：“就数学在古埃及、古巴比伦等地的早期发展而言，人们主要是通过观察或实验、并依靠对于经验事实的归纳获得了关于真实事物或者现象量性属性的某些认识；但是，从现今的观点看，这些只能说是一种经验的知识而不能被看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识应当是关于抽象对象的研究”、“原始意义上的七桥问题，即能否一次且无重复地通过哥尼斯堡的七座桥的问题，显然只能说是一个游戏，而不被看成一个真正的数学问题；与此相反，这一问题由于欧拉的合理抽象被变形成了一般的‘一笔画’问题，并通过‘奇点’‘偶点’等概念的引进得到了十分一般的处理，从而获得了真正的数学意义”。[v][⑤]

由此可以看出，数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，具有鲜明的阶段性、初始性特点，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[vi][⑥]在此基础上，初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。



二

用数学建模的思想来指导着小学数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。就教学实施的一般程序来看，可以归结到三个字：“磨”“模”“魔”。

一、“磨”。

所谓“磨”，即“琢磨”。也就是教师首先要反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。

众所周知，“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，然而，在小学里学生并不学习二元一次整数方程。可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中：北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。

再比如，“确定位置”的数学模型是立体坐标系。学生在一年级接触到的一列队伍中“老爷爷排在第3个”，其实就是一维空间上的确定位置；在二年级接触到的“小明坐在第3排第4个”，其实就是二维空间上的确定位置；五年级学习的“数对”则是初步抽象的二维坐标模型。如果在教学中能将这一层意义渗透进去，一定能为学生将来学习立体坐标系提供很好的支持。

眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。

二、“模”。

所谓“模”，即“建模”。也就是在教学中要帮助学生不断经历将现实问题抽象成数学模型并进行解释和运用。对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。以下是两位老师利用同一素材教学“减法”的片段：

【教学片段1】

出示情境图。

师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。

师：你真棒!谁再来说一说。

生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。

师：很好！你知道怎样列式吗？

生：5-2=3。

教师听了满意地点点头，板书5-2=3。

接着教学减号及其读法。

【教学片段2】

出示情境图。（同上）

师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？

生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。

师：第二幅图呢？

生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。

师：你能把两幅图的意思连起来说吗？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。

师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？

生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？

生（齐）：3个。

师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？

（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）

师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）

生齐读：5减2等于3。

师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？

……

师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。

生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。

生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。

……

上述两段教学，所体现出来的教学着力点是不一样的。第一个片段，属于“就事论事”式的简单教学，教师对教学的定位完全停留在知识传授的层面上，“5-2=3”仅是一道题的解答算式而已。第二个片段，除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。

再比如，在小学阶段，学生认识小数时主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。按照螺旋上升的教材编排原则，上述内容大多分解在三、四年级分两次学完，三年级先认识一位小数。如何在三年级初步认识一位小数时就体现出“建模”的思想呢，我们进行了如下教学：

课始，教师出示到超市购买的一些物品和相应的价钱：水彩笔12元、美工刀3元5角、铅笔0.4元。当“0.4元”出现后，教师提问：

师：知道“0.4元”到底是多少钱吗？

生：0.4元就是4角钱。

（板书4角=0.4元）

师：4角钱有没有1元多？

生：没有。

师：看来，和1元相比，0.4元只能算是一个“零头”了。如果我们用这样的一个长方形来表示1元（出示图1），你能把它分一分、涂一涂，将0.4元表示出来吗？

图1                            图2

（学生拿出练习纸画画涂涂，把自己的想法表示出来。交流时，寻找共性特点：平均分成10份，涂出其中的4份）

师：为什么这样就将“0.4元”表示出来了呢？

生：因为1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。

师：看着大家画出的图示，让我想起以前咱们学什么时，也是这样子平均分一分、涂一涂？

生：分数！

师：那0.4元如果用分数表示，如何表示呢？

生：十分之四元。

师：数学真是有趣，原来0.4元也就是我们熟悉的十分之四元。

（出示图2）

师：老师购买了一块橡皮，它的价钱是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少钱？

生：0.8元就是8角

师：又是一个不足1元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示1元，那0.8元又该怎么表示呢？

学生模仿者刚才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”（见右图）。接着，老师给学生提供一个空白的平均分成10份的长方形，任意涂出其中一部分，表示出一个小数和相应的分数。几个学生自由展示后，组织梳理，从0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……

师：接下来我们再来看看笔记本的价格，我给你一个图示（见下图），你知道它的价钱了吗？

生：笔记本的价格是1.2

师：刚才的小数都是“零点几”，现在怎么变成“一点几”了？

生：现在有两个长方形了，第一个涂满了颜色，表示整1元。第二个平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角钱，0.2元，合起来就是1.2元了。

师：我买的钢笔的价钱是8.6元，如果让你画一幅图来表示它的价钱，你准备怎样画呢？

生：我准备先画9个大小一样的长方形，然后把前面8个涂满颜色，第9个长方形平均分成10份，涂出其中的6份。

……

上述教学过程抓住了知识间的联系（小数和十进分数的关系）而展开，但又不是停留在教师直接的讲解和“告诉”，而是让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”（长方形等分、涂色）。这种形象的“直观模型”既搭起了小数和分数之间的桥梁，也具有强大的“扩展”功能，对后面学习两位小数、三位小数（同样的长方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小数的意义”具有统摄作用。

从上述两例可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。

三、“魔”。

所谓“魔”，即“着魔”，也就是学生对“模型”在数学学习中的运用有着深切的体验和感悟，并对之产生好奇，从而在数学学习中能主动地构想模型、建立模型、运用模型。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。正如日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。[vii][⑦]

要让学生能充分感受到数学模型和建模教学所产生的“魔力”，实际教学中，一方面要结合日常教学给学生以充分的体验和感受。比如，在二年级教学“确定位置”时，设定观察的规则（观察顺序）非常重要——“从左向右数是第几排”、“从前往后数是第几列”、“从下往上数是第几层”……如果我们结合这样的观察顺序在直观图上分别添加“横向带箭头的直线→”（坐标系中的“横轴”原型）和“纵向带箭头的直线↑”（坐标系中的“纵轴”原型），既将观察顺序形象表达，又蕴含了二维坐标（第一象限）的基本原理。如果学生在独立练习中也能模仿着使用，那感受会更加深刻。而在六年级学习“确定位置”（用方向、角度、距离来确定平面图中任意一个位置）时，如果让学生试着总是以观测点为中心先画出一个“十字”坐标图然后再确定位置，那学生的观察不仅变得有序，而且准确性很高。在此基础上，老师再对学生进行“建模”、“用模”的学习水平进行适当评价和鼓励，教学的境界就会大大提升。

另一方面，也可以在中高年级进行一些专题性的训练。我们曾以“鸡兔同笼”为例进行过这方面的尝试。在学生初步能用不同的假设思路解答鸡兔同笼的题目后，老师提问：“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里养殖的吗？就是放在一起养殖，也没谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今？”（屏幕显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）在学生对所提问题一时困惑皱眉时，老师提议带着这个问题来继续进行“龟鹤同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑问：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？”经过研究和比对，学生发现：“鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题，如人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题，等等。随后，师生共同研究“信封里放着5元和2元的钞票，共8张，34元，信封里5元和2元的钞票各有多少张？”，探讨其与鸡兔同笼问题的关联。经过比较和猜想，学生的认识再次提升：“这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是5只脚的怪兔”。最后，老师让学生联系生活，将一些实际问题编成“怪鸡”、“怪兔”同笼的数学问题并解答。到了课堂总结时，屏幕上第三次出示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？学生总结感受之后，老师顺势给以强化：从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。

上述教学通过对“‘鸡兔同笼’有什么独特的魅力？”这一问题的三次追问把整节课串联起来，虽然每一次追问的层次和目标是不一样（第一次是针对具体的、“原生态”的鸡兔同笼问题发问，主要是激发学生的探究欲望，向更高的学习层次迈进；第二次是进一步明确“鸡兔同笼”问题的结构、模型，同时，又让学生很好地经历更高层次“数学化”的过程；第三次是帮助学生实现完整的“模型”建构，实现“形式的”数学知识向现实生活的“复归”），但是，其核心都是让学生从“模型”和“建模”的角度来亲近数学，了解数学。站在“高点”再回望探究之旅，学生对数学的认识就更加深入了，由此而产生的“魔力”，将深刻而持久地影响着他们的数学学习和生活。

总的说来，在数学课堂上，我们教的是数学，面对的是儿童。“磨”，侧重于教师对数学本身的理解；“魔”，则是要坚持儿童立场，读懂儿童，引领儿童，发展儿童；“模”指向教学过程，是在数学和儿童之间真正搭起一座有意义的数学学习之桥。三者有机统一，互动交融，缔造出小学数学建模教学的至高境界。



彰显“模型”意义的数学学习

——二年级“认识方向”教学简介

设计：李健（江苏省海安县教师进修学校附属小学）

评点：许卫兵（江苏省特级教师）

【教学内容】

义务教育课程标准教科书北师大版二年级下册第22页，苏教版二年级下册第45页。

【课前思考】

“认识方向”是小学低年级阶段的常规教学内容，属于“图形与几何”板块。其中一年级是认识东南西北四个方向，二年级认识东南、东北、西南、西北，并能根据给定的一个方向来辨认其余七个方向，用这些词语描述制定场地所在位置。教学中，很多老师都会充分考虑学生的生活经验和周围环境，从现实中的东、南、西、北、东南、东北、西南、西北等方位上的景物出发，让学生在充分的交流和讲述基础上，再过渡到平面图上方向的认识。可是，我们常常看到，不少课堂总是过分地关注生活场景（比如，教室里的各个方向有什么、每个学生周围方向坐了哪些同学、学校四周有哪些景物，等等），忽视了平面图本身约定俗成的方向界定（上北下南、左西右东）的教学，结果出现“谈生活清清爽爽，说图形糊里糊涂”的两张皮状况。究其原因，可能还是在引导学生从生活走向数学的环节上抽象不够，提升不够，“建模”不够。基于此，我们对二年级“认识方向”的教学进行了基于“模型”意义的教学尝试。

【教学过程】

一、联系实际，复习旧知

出示学生熟悉的校园图，提问：这是哪里？相信大家都非常熟悉我们的校园，不过，校园周围的环境你是不是也很熟悉呢，下面就来考考你！

依次出现学校周边的新华书店、幼儿园、永和豆浆店、海霸皇酒店图片，让学生分别说出它们相对于学校所在的方位。（北、西、东、南）

操作：以学校为中心，在黑板上将刚才提到的四个地方摆放在相应的位置。

（学生操作后，形成“上北下南、左西右东”的直观坐标图）

提问：可以随便摆放吗？还有其他的位置摆放方式吗？为什么只能这么摆放？

（在图上标出十字带箭头的方向标“      ”）

评析：从熟悉的场景出发调集学生的生活经验，起点低，切入快，参与广，在宽松的谈话氛围中，唤醒学生的旧知记忆，扣紧平面图的方位规则，为新知学习做好了铺垫。

二、自主探究，学习新知

1．引入新方位。

东南。学校周围还有很多建筑呢！（出示：图书馆）图书馆在学校什么方位呢？

揭示：图书馆在学校的东南方向。（板书：东南）

你能在刚才的平面图上贴出图书馆的位置吗？你是怎么想的？

揭示：东和南之间的方向叫东南方向。

西南。出示：都市儿童城图片

提问：你知道儿童城在学校的什么方向吗？你是怎么想的？

板书：西南方向。

东北，西北。出示：中洋现代城图片（反面写学校的西北方向）和肯德基图片（反面写学校的东北方向）。

学生分辨并贴出中洋现代城和肯德基，并说出怎样确定它们的位置。

小结：以学校为中心，可以很快确定东、南、西、北4个主方向。在此基础上，我们又认识了东北、东南、西北、西南这4个方向。（形成八方向图）现在一共认识了几个方向？老师想到了一个成语，叫（四面八方）。

2．巩固新方位。

出示指南针的图片。

师：小朋友们看，这是什么？指南针上红色箭头向上所指的方向定为北面，现在你能填出其余七个方向吗？（生独立填写）

3．中心移动变换方位。

我们回过头来看看，刚才我们确定方向是以谁为中心的？（学校）教师出示简易的十字架模型，模型中心对着学校。那如果现在以肯德基为中心（十字架中心转移到肯德基的位置）你能说说它的各个方向上又分别是什么地方吗？

师：为什么刚才说新华书店在实验小学的北边，现在却变成了在肯德基的东面呢？

小结：看来确定谁为中心，也就是以谁为参照物很重要，参照物不同，方位就不同，所以我们一定要说清谁在谁的哪一面。

师再次变换中心（明道幼儿园，新华书店），学生确定位置。想自己确定中心的位置吗？谁来试试？一边移一边说，谁在谁的哪一面。

评析：在原有四个主方向的基础上，联系生活实景不断添加新事物和新方向，逐步帮助学生完成旧知到新知的跳跃。而这种跳跃又始终没有离开原先的平面图，将直观和抽象很好地结合。简易的十字架实物模型给学生以思维拐杖，降低思维坡度，明确思考依据，体现出建模的教学价值追求。

三、实践运用，提升能力

1．给小动物找家。

小朋友，刚才我们认识了四面八方（边指边说），在体育场锻练的小动物们听说大家又学会了新本领，都想考考你们呢，愿意接受他们的挑战吗？（巩固辨认四个新方向）

出示苏教版教材二年级下册第46页第1题，如右图。

让四名学生上黑板送小动物回家。其余学生在书上连线。

2．设计果林方案。

青山乡最近计划开发一片果林，看，这是他们的规划方案：以水库为中心，西瓜园在水库的西北面；水库的东南面是樱桃园；梨园的西南面是水库；山楂园在水库的西面；水库的北面是桃园；苹果园在水库的西南面，它的东面是橘子园；水库的东面是葡萄园。

你能根据这份规划方案画出设计图吗？（教材第46页第2题，右图）

用你的小手比划出一个简单的十字架，同桌2人在规划图上移一移并说一说谁在谁的哪一面。

3．出示中国地图。

事先在地图上准备5个地方，放大。

①师说方位让学生猜地名。

②生说一个大概的方位给其余小朋友猜地名。

4．快乐跳跳棋。

游戏：出示棋盘，上面有方格，有向北的方向标，指出其名叫方向棋。

①师示范玩跳棋。

师说走棋指令：黑棋放在棋盘的西北角，先向北跳三格，再向东南跳两格。

②每组发一个棋盘，黑白2色棋子。以小组为单位玩，组长负责发布走棋口令。

四、总结评价，拓展延伸

今天这堂课学到这儿你们有什么收获呢？（各抒己见）

课后，请小朋友把作业纸上的指南针剪下来贴在硬纸板上做一个方向板，然后在家的周围确定一个向北的方向，再指指其他七个方向给爸妈听。

总评：很多老师常常慨叹低年级教学内容简单，学生思维以形象思维为主，因而教学总是停留在直观、模仿等浅层次阶段。其实，数学教学的目标和任务应该是贯穿在整个数学学习之中，低年级同样要体现出阶段性的教学特点。本课在这样两个方面是值得赞赏的。

一是数学建模思想的渗透。“数学是模式的科学”，了解生活中的方向和事物，只是数学方位学习的基础，更为重要的是帮助学生头脑中真正建立起平面图式，也就是具有看图、读图、简单的填补图形的能力。就数学知识的本质而言，二维方位图是平面坐标系的雏形和最原始状态，本课从开始复习四个方向时引伸出“十字方向标”，到新知学习后教师出示简易的“实物方向模型”，再到让学生用两个食指交叉创造“手指方位器”，最后在心里想着“方位十字架”，这一系列的过程，其实就是在帮助学生建立模型，并体验和感受模型的独特价值。

二是几何直观能力的培养。数学课程改革正在经历着从发展学生的空间想象能力向培养空间观念、发展几何直观能力的转变。“认识方向”虽属于“图形和几何”领域，但本课教学很明显的是在给学生直观的同时，不断在进行一种抽象的引导（不妨将之称为“直观地抽象”）。比如，课始将生活场景搬到黑板上，在追问中让学生感悟：生活中的东南西北是因地而换，因境而变的，而平面图上的方向是固定不变的。巩固环节，多次出现变换中心位置的练习，学生只要抓住“方位十字架”，就能以不变应万变，这是一种较为高级的抽象能力。这样的教学，很好地说明了“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。







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