数学：一种人类学现象——后期维特根斯坦数学哲学思想探析

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数学：一种人类学现象
——后期维特根斯坦数学哲学思想探析
樊岳红/魏屹东


　　　来源：《自然辩证法通讯》(京)2012年5期
　　 　　【英文标题】Mathematics: An Anthropological Phenomenon—Research on Later Wittgenstein's Philosophy of Mathematics

　　【作者简介】樊岳红(1981-)，女，湖南岳阳人，山西大学哲学社会学学院讲师，研究方向为认知科学哲学，e-mail：yyfyh@126.com（山西太原030006）；魏屹东(1958-)，男，山西永济人，山西大学科学技术哲学研究中心教授，哲学社会学学院教授，研究方向为科学哲学与认知哲学，e-mail：weiyidong@sxu.edu.cn（山西太原030006）。

　　【内容提要】数学哲学经过长期的演化，形成了罗素的逻辑主义、希尔伯特的形式主义、布劳威尔的直觉主义、欧内斯特的社会建构主义等流派。在数学哲学中，一个不容忽略的哲学家就是维特根斯坦。他的后期数学哲学思想对后世影响深远。维特根斯坦反对数学柏拉图主义，认为数学仅仅是基于生活形式上的约定，是公共性质的。数学计算只不过是语言游戏活动，而语言游戏之所以能进行下去，是因为它是基于生活形式的一致性，这显然脱离不了各种社会因素的影响。

　　【关 键 词】维特根斯坦/数学哲学/柏拉图主义/语言游戏/生活形式


　　对于形式主义者而言，证明就是一种归纳定义的句法客体，它并不是被创造性地发明的。反之，它是通过数学家而被发现的。对于直觉主义者来说，证明既不是句法的客体，也不是独立于思想的抽象客体，证明仅仅是通过数学家的一系列活动来实现的一种精神建构。然而，维特根斯坦主张，证明就是一种语言实践或语言的使用。([1]，p.277)维特根斯坦的数学观与布劳威尔的数学直觉主义有许多相似之处，特别是有限主义，但二者在许多方面却渐行渐远。布劳威尔的精神建构表达的是一种私人的、唯我论的观点，而维特根斯坦主张数学计算本质上是公共性质的，是基于社会实践的。维特根斯坦在《论数学的基础》的开篇写道：“我们有这样的表达：‘变换是由公式……决定的。’它们是如何用到的？——我们可能说的是，人们由于教育、训练而这样运用公式y=x[2]……或者，我们可以说‘这些人被训练成这样做’……显而易见，我们可以用数学著作来作人类学研究”([2]，§1&§72)。本文循着维特根斯坦的思路试图探讨三个问题——数学是先天的吗？数学是集体约定的吗？数学是参与语言游戏吗？

　　一、数学是先天的吗？

　　康德认为，数学是先天综合判断。由于数学命题不依赖于经验，所以是先天的。在维特根斯坦看来，数学不是对柏拉图理念世界的描述，而是人类生活形式及语言规则的约定。维特根斯坦强调语言使用的社会性，因而一些哲学家认为，把他的数学思想诠释成数学哲学的社会建构主义更合适。维特根斯坦指出，规则在数学命题中具有重要地位。说数学就是逻辑，这是对的，它在我们语言规则之内运动。这赋予了它特别的稳定性、与众不同不容置疑的地位([2]，§165)。所以，数学不是一种自然科学，也不为自然科学提供客观基础，它只不过是历史上形成的各种各样的数学方法。数学的基础是基于心理学的知识结构、社会事实及经验事实而建构的。柏拉图主义者把逻辑规则作为数学的基础，是因为他们用逻辑的先天性概念来说明演绎的正确性，从而证明数学的合理性。维特根斯坦进一步认为，数学和逻辑只不过是人类直觉产物的两类相似的语言游戏。如果我们继续采用一种真正描述性方法的话，我们将会看到数学只不过是“一种人类学现象”(an anthropological phenomenon)，这样就剥离了数学的神秘性([3]，p.83)。而后期维特根斯坦所要攻击的正是数学概念的唯实论或者是“柏拉图主义”的神秘性。

　　数学柏拉图主义主要有以下七种观点([4]，pp.12-15)：

　　(1)数学客体完全是真实并独立于人类的；

　　(2)数学客体是外在于空间与时间的；

　　(3)数学实体在某种意义上是抽象的；

　　(4)我们能直觉数学客体和理解数学真理；

　　(5)数学知识是先天，而不是经验的；

　　(6)尽管数学知识是先天的，但并不需要必然性；

　　(7)柏拉图主义对于不断变化的研究技术持开放态度。

　　总之，对于柏拉图主义来说，一项数学的成果即是发现一个已经存在的、特殊领域的客体，这先于人类知识。柏拉图主义认为，算术命题是真实的，因为它与我们日常称之为“数字”的实体相一致；而几何告诉我们理想条件下的实体，即“点”、“线”之间如何相互关联。但上述观点的追随者从来没有解释这种模式究竟是什么样的。科学知识社会学(SSK)者布鲁尔认为，他们所做的就是仅仅强调数字是不同的，但更基础的事物从未改变。从这种观点来看，数学已经成为这些特殊实体的自然史。这种观点听起来似乎有点天真，但是我们之所以经常求助于数学，是因为它满足了一些关于定理和证明的客观感觉。

　　柏拉图主义的不足之处在于：它鼓励我们去相信这种神秘性，并在数学概念之间徘徊，而没有意识到这些指称只是我们的误解。维特根斯坦经常举的一个乘法例子是：“人们真的不能谈数学中的直觉吗？虽然被直觉把握的不是数学真理，而是物理学或心理学真理。这样，我极其肯定地知道，如果我把25和25相乘，哪怕进行10次，我每次都会得到625。这就是说，我知道这样的心理学事实：计算在我看来会一直都是正确的；如我所知，如果我把从1到10这串数字写10次，在核对之后可以表明我写下的数字是相同的。——那么，难道这不是经验事实？人们会把这样的事实叫做直观认识的经验事实。”([2]，§44)尽管这似乎具有强制性，但是本身却是错误的。例如在+2的系列中，规则的要求是每次都只加2——2、4、6、8……这对于柏拉图主义者来说，毫无疑问总能做对，因为这是规则的具体体现及指称的应用。但维特根斯坦反驳说：“如果我事先知道这一点，这种知识对我以后有什么用处呢？我的意思是：我怎么知道在确实要采取步骤时，我怎么用到那先前的知识呢？——但你是否想说，表达式+2使你对于(譬如说)在2004之后该有什么疑问？——不，我毫不犹豫地回答2006。但正因为如此，认为这是先前已经确定了的就是多余的。当这问题向我提出来时我没有怀疑，这并不说明它预先有了回答。”([2]，§3)

　　数学柏拉图主义的麻烦不在于本体论，而在于认识论的循环论证。柏拉图主义的论证就如学生们之间的抄袭，明知谁会有正确答案，然后去抄袭正确答案。根据柏拉图主义的观点：数学客体是存在的，彼此之间相互关联，并且独立于我们而存在。我们所要做的就是去发现这些数学客体及它们彼此之间的关系。对于维特根斯坦来说，数学陈述的本质是一种证明的观点，这显然是荒谬的。维特根斯坦是用有限论来反驳数学柏拉图主义。数字系列并不是在我们使用时就提前存在，它也不是先天知识。数字系列的现实扩展只不过是我们日常生活的实际使用，它看起来提前存在的原因是：我们对规则的应用已经成为一个机械式的例行程序。“如果我抽空了那些可作为辩护的理由，我就到达一个底层，我的铁锹挖不动了。”“只有当我把从一条规则中得出的结果看成是理所当然之时，这条规则对我而言似乎才能预先产生出它的所有结果。”([5]，§217&§238)

　　二、数学是集体约定的吗？

　　我们现在能否说，数学产生的概念是约定俗成的？实质上我们没有它们也能够照样行事？毫无疑问且显而易见地是，如数学家确实是在“做游戏”，那么他并没有在进行推论。因为在这里“做(游戏)”意味着：遵守某些规则行动。而这已经是超出了仅仅是做游戏的事了。如果他进行推理，他在这里就可以根据一般规则行动([2]，§52&§1)。

　　维特根斯坦没有详细表达他形而上学社会建构主义立场，也并没有用一种非社会性去分析社会现象，恰恰相反，他是用社会性去深入分析非社会现象。比如在做加法规则时，怎么能保证这个规则的正确应用呢？这似乎离不开直觉、培训及传统。维特根斯坦举了加法的例子来说明：某个学生加2加到1000时，写成了1004，1008，1012……我们说这个学生并不是在遵守加法规则，这样教师可能会通过手势、训斥及举例等办法来让学生明白怎样去遵守相同的加法规则。维特根斯坦的观点是，当面对一个未知、无法计算且无限的数字系列时，我们并不真正清楚我们所说的是什么。我们从有限数列中转换，然后把这当作毫无疑问的方法应用到无限数列中。在开平方之后得-1，这个负数难道说是没有意义的吗？我们能通过协商对这个负数约定意义。“有一个证明，说在π的展开式中会出现777，而没有指明在什么地方出现，它必须以一种全新的观点来看这个展开式，以便说明展开式的性质，对此，我们只知道这些域是位于非常远的地方，浮现在脑海里的只是人们必须认为在极遥远处有一个长度未定的模糊不清的域。在此处，我们的计算工具不再是可靠的，而在更远处的一个域中，人们可以用另一种不同的方式看到某种东西”。([2]，§27)柏拉图主义的替代形式是一种自然主义的形式，数学自然主义通常又源于经验主义。维特根斯坦定义的数学经验主义是通过解释计算与经验之间的关系来进行说明的。假设桌上有2个苹果，在确保苹果没有人拿走或吃掉的情况下，又放上了2个苹果，如果会数数的话，那么得出的答案是桌上有4个苹果。计算作为一种解释，我们不仅仅是接受计算结果，还必须判断结果的正误。如果一种确定的结果必定为正确的，那其它结果就必定为错误的。柏拉图主义者画了一个简单的图来证明2+2=4。

　　

　　但维特根斯坦画了另一幅图来回应：2+2+2=4。从这幅图可以看出，算术真理与物理世界有一个复杂的关系，包括如何使用物理符号来指涉事物。这些操作及技术已经固定下来变成了人们记忆的模式，然后灌输给孩子来继承([2]，§38)。

　　

　　“这个系列是规则加以规定的。或者，也通过训练人们按照规则行动这种做法加以规则。这个坚定不移的命题是：按照规则，这个数就跟着这个数到来。……因此，规则把某人从这里引到那里，难道这不是一种经验？如果+1这条规则这一次把某人从4引到5，另一次也许却把他从4引到7。为什么不可能呢？”“人们如何描述学习规则的过程呢？——每当A鼓掌，B也鼓掌。”([2]，§16-§17)对25×25=625这个命题所作的辩护自然也是这样：谁受过如此这般的训练，谁在正常情况下算25×25这个乘法，就会得出625。然而，这是一个可以被强化为规则的经验命题。它规定：如果这就是乘法得出的结果，那么这条规则就已被遵守了。因此，它是一种通过经验而引出的控制，但现在被当作经验判断的范式。如果我们想实际地使用一种计算，那我们就确信它已被“正确地计算出来”，得出了正确的结果。譬如说，乘法的正确结果只能有一个，不依赖于计算的应用就能得出其结果。

　　那么，什么能决定计算程序的正确性呢？维特根斯坦认为，语法规则决定了计算程序的正确性。当使用术语“决定”时，并不是意指这是说话者深思熟虑后的表现，恰恰相反，这是规则的应用且是自发的、本能的行为。对某些人来说，他们经过充分的语言训练进而拥有共同的倾向(Inclinations)，或分享了一种特别的生活形式。对于维特根斯坦来说，发现事物中的一些必要联系就是一种创造行为，其行为服从于集体决定或者生物本性，但没有逻辑强制性。程序通过规则在事例中的正确应用而建立起来，当然人的意向也是通过事例的应用而建立起来的，但人的意向不受逻辑强制性干扰。维特根斯坦对遵守规则问题的解决同时反驳了柏拉图主义及不充分经验主义的观点。柏拉图主义有一种关于事物之间联系的神秘倾向，而经验主义者则没有区分规律与联系之间的差别([6]，pp.128-131)。

　　在维特根斯坦看来，数学是特定生活形式的规则体系或语言游戏。数学的可靠性是建立在生活形式的一致基础之上。首先，在数学演算中使用什么公式，就事先决定了演算的各个步骤。那么又如何确定是否正确地使用了公式呢？维特根斯坦认为，这需要根据实践经验，根据以往使用的经验来决定演算的各个步骤。其次，维特根斯坦指出，数学演算本身并不是揭示数或形式上本质一类之物，它只是一种约定而已。比如，在几何图形中看到的东西，如果要询问它们的本质，我们就只是询问——人们通常使用它们来指什么，也就是通常对它们的约定是什么([7]，pp.1-7)。

　　维特根斯坦可以被看成是一个彻底的约定论者。逻辑强制性的要求仅仅是语言约定的直接表达。数学就是集体一致性的约定。例如在一间房间里有5个女生，7位男生，我们会说这里有12位学生，而不用把他们集合在一起来数数。得出12的答案并不是数数的强制性要求，而是说“5+7=12”的必然性来自于数数的一致性，否则数数就无法进行。如果得数是11的话，那么我们会说“一定是数错了”。对于维特根斯坦来说，接受数学定理就是接受一种新的语言规则。因此，证明不可能永远保持不变。维特根斯坦之所以否认数学真理的客观性是因为他否认证明的客观性。而证明并不是强制性让人去接受或相信，它只不过是符合了我们正在进行的数学建构的表达。我们通过逻辑地使用及训练来学习其意义，这就是说，通过训练及培训就能在复杂的陈述中断定其所属位置([8]，pp.324-348)。

　　三、数学是参与语言游戏吗？

　　在维特根斯坦的理论中，遵守规则的强制性并不是由逻辑和数学的强制性来保证的。比如一种演绎逻辑的推论来自于遵守规则中的人类一致性，这是由语言游戏来约定的。这里并没有一种独立于人类的或客观的力量去强迫遵守一种逻辑规则，或是去接受一种演绎逻辑，而是说，参与某种确定的语言游戏就必须接受某种确定的规则。如果拒绝某种规则就是拒绝其他人所理解和参与的游戏。“让我们想想，在数学中，我们确信语法命题；因此，这种确信地表达即结果，就是我们接受一种规则。没有比这更有可能发生的事了：数学证明结果的语词表达是以神话欺骗我们的。”([2]，§26)

　　当然，逻辑的强制性是演绎和理性的基础，这一传统思想仍是根深蒂固的。在维特根斯坦意义上的一致性是源于所共享的语言游戏，但并不是随意所采用的传统。语言意义所产生的制约，导致了我们决定什么是真理，什么是谬误。欧内斯特举了这样一个例子。A→B，肯定前件A，那么得出B。如何理解这一现象呢？同意这一推论，这必须依赖于预设所暗含的一致性。首先，达成一致的双方必须理解这种复杂的语言，双方必须隶属于一个语系且能进行日常交流，进而参与共享的社会活动。其次，双方必须同意“A”和“B”是元语言符号指称固定但又是任意的命题，并且每个同样的事例具有相同的指称。再次，双方接受肯定前件的假言推理规则是有效的。这虽然不是很详尽的分析，但这些假设说明推论的逻辑强制性是依赖于生活形式及所参与的语言游戏。一旦这些假定条件被给出，那么结论就是必然的。

　　可以说，维特根斯坦在很大程度上视数学是一种基于语言游戏的活动，它与规则紧密相连。维特根斯坦并不是要否认数学知识的客观性或确定性，而是要重新诠释了数学知识是依靠语言游戏及生活形式来支撑。“正确”、“错误”是按照规则的要求说出的，“正确”使学生继续向前走，相反“错误”阻止学生继续下去。维特根斯坦提出数学知识的逻辑强制性依赖于在社会交往中建立起来的传统及标准([9]，pp.71-79)。数学家是发明者，不是发现者。数学家建构了一种新的证明方法就是创造了一种新的观念，或者是改变一种已经存在的观念。维特根斯坦的观点是，我们不能说明任何事情除非这些事是预先决定好的。在某种意义上，如果我们的观点内部有争议，那这就没有真理与谬误的区分了([10]，p.23)。

　　一种数学定理通常被掩饰成是规则的表达，总与正确的计算过程相关。数学定理的标准化内涵通过几何学的基础来揭示，计算程序的正确应用通过某种确定程序得出某某必然的结果。然而，关键之点是计算结果的必然性源于维特根斯坦语言游戏本质的必然性。假设表达式的转换与给出的计算程序相一致，整个符号的建构也被认为是正确的，这些都适用了语法规则，排除了经验陈述的无意义图像，形成的那个系列通过正确的计算程序得到应用，这个系列就被认定为一般程序的正确应用([6]，p.111)。

　　维特根斯坦关注人们如何使用数学，特别是简单的计算及测量。假设我们有两种测量长度的系统：一种长度在两个系统中都表达为数字符号，并跟随一个由这个度量系统写出的语词；一个系统把一种长度表示为“n英尺”，英尺是日常意义中的长度单位；在另一个系统中，一种长度表示为“nW”，并且，1英尺=1W。但是，2W=4英尺，3W=9英尺，等等。因此说“这根竿长1W”相当于说“这根竿长1英尺”。问题是：在这两句话中，“W”和“英尺”的意义相同吗？([2]，§65)

　　实际上，我们如何能知道一个人是否在遵守规则呢？假设张三在限速50迈的公路上开到100迈，可想而知的结果是：警察会开罚单。让李四把2000和3000加起来，他却得出23000,000的答案。上述二者显然是违背了交通规则或者加法规则。维特根斯坦认为这是成问题的。假设一位老师列出一个数列：“1，4，9，16…”那下一个数会是什么呢。学生可能会回答25。规则是每个数的平方，即，“”，那下一个数就是5[2]，即25。但是，如果这个学生回答是27。那他回答错了吗？不一定，如果他认为是加奇质数列：3，5，7，11，13，17…所以，

　　1

　　4=1+3

　　9=4+5

　　16=9+7

　　27=16+11

　　……

　　这两种算法哪个对呢？我们必须假定老师及学生都乐意理解这两种加法系列及两种加法规则，并且在过去的计算中都使用过这两种算法。所以，这对于老师和学生来说，学生必须知道老师的意图，他就能给出正确答案。学生必须按老师要求去遵守规则，按老师指导方式去“同样”遵守([4]，p.140)。在按照规则训练行进的过程中，使用了“正确”和“错误”这两个词。当说出“正确”这个词时，学生可以前进；当说出“错误”这个词时，学生要后退。能否用下述办法向学生解释这两个词。人们不说这两个词，而说“这词与规则相一致”——“那个词与规则不一致”？如果学生掌握了“一致”这个概念，就可以这么做。可是，如果这个概念尚未形成，那又怎样呢？(这取决于他如何对“一致”这个词作出反应。)如果学生以某种方式对规则做出反应，那么学生已掌握了以如此方式解释的规则。然而，重要的是，对我们已经就规则有些理解这一点作出证明的那些反应，是以一定的环境、一定的生活形式和语言形式作为环境为前提的([2]，§39&§47)。

　　计算之所以存在，因为它是描述性的。那么，“计算”是不是数学概念呢？维特根斯坦的回答是：不论P是否来自Q，那么P或Q必须是可观察的。换句话说，P来自Q是指P或Q由意义约定和决定的，并不存在两个字母必然为真的情况。因此，一个人能够确定地陈述某种推理规则，但这样做是一种书面符号的使用规则，这决定了意义，这种意义是他们之前并未决定好的。因为，当陈述规则是任意的时，其意思是指，规则并不是由现实决定的，它们只是对现实的描述。同样的意思是：规则与现实相一致是没有意义的，即，“蓝”“红”是与它们的颜色事实相一致的([11]，pp.231-233)。

　　在维特根斯坦看来，语法规则的获得是通过一定范围的应用来实现的。一种语法规则就是一种任意象征符号，如果规则一旦建立，那么它就不是随意的了；对于什么能做，什么不能做，都做出了相应的规定。如果规则和应用没有对应性，那么就没有规则，也不可能去遵守规则，当然也包括计算规则。我们是如何获得数学计算规则的呢？根据维特根斯坦的解释，这在于我们所受的教育以及所接受的技术培训，规则的正确应用是通过培训建立起来的([12]，pp.101，156)。

　　四、结束语

　　维特根斯坦的后期数学哲学可以被理解成一种数学的建构主义，或者看成是一种人类学现象。他否认数学的客观性，认为数学的一致性源于语言游戏及生活形式上的一致性。进行一种数学计算可以被看成是进行一种新的语言游戏，一旦约定好了游戏规则，那么游戏就不再是随意进行的，而必须按照规则进行了。规则的可靠性来自于老师的指导，幼时所受的训练及培训甚至包括彼此之间的信任、共同的利益指涉及共有的习俗等，当这些因素共同作用成为人的第二本性时，人就能盲目地、自发地去遵守规则，当然也包括计算与逻辑规则。　


　　【参考文献】

　　[1]Tieszen, R. Phenomenology, Logic, and the Philosophy of Mathematics[M]. New York: Cambridge University Press. 2005.

　　[2]涂纪亮主编：维特根斯坦全集(第七卷)[M]，徐友渔、涂纪亮译，石家庄：河北教育出版社，2003。

　　[3]Bloor, D. Wittgenstein: A Social Theory of Knowledge[M]. London: Macmillan Education ltd. 1983.

　　[4]Brown, J. R. Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to the World of Proofs and Pictures(2[nd] ed.)[M]. New York: Routledge. 2008.

　　[5]涂纪亮主编：特根斯坦全集(第八卷)[M]，涂纪亮译，石家庄：河北教育出版社，2003。

　　[6]Frascolla, P. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics[M]. New York: Routledge. 1994.

　　[7]江怡：后期维特根斯坦论逻辑和数学的基础[J]，中国社会科学院研究生院学报，2003(5)。

　　[8]Dummett, M. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics[J]. The Philosophical Review, Vol. 68, No. 3.(Jul.). 1959.

　　[9]Ernest, P. Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics[M]. New York: State University of New York Press. 1998.

　　[10]Leng, M., Paseau, A., Potter, M. Mathematical Knowledge[M].New York: Oxford University Press. 2007.

　　[11]Wittgenstein, L. The Big Typescript TS 213(German-English Scholars' Edition)[M].Grant Luckhardt and Maximilian, A. E. Aue ed. and trans. Malden: Blackwell Publishing. 2005.

　　[12]Medina, J. The Unity of Wittgenstein's Philosophy, Necessity, Intelligibility, and Normativity[M]. New York: University of New York Press. 2002.