小学数学思想方法及其教学研究

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小学数学思想方法及其教学研究
作者：张茹华

【摘要】数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。小学数学中蕴含的基本数学思想方法有转化思想、类比思想、统计思想、符号思想、模型化思想、一一对应思想等。在教学目标中明晰，在知识形成中落实，在训练中巩固，在概括总结中升华，是培养小学生较快地理解和掌握数学思想方法的有效策略
【关键词】小学数学：数学思想方法：教学：教材
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，是学生未来发展的重要基础。数学思想方法已越来越被广大数学教育工作者所关注。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》在“总体目标”中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”数学思想方法就这样首次被明确地列入数学教学的培养目标中。现在，数学思想方法已成为数学教学的具体目标。近年来，相关研究在不断深入和拓展，并成为一项独具特色而又富有深远意义的研究课题。
一、数学思想方法的教学功能
1．数学思想方法是教材体系的灵魂。在现行的数学教材中，无论是哪个版本都存在着两条主线：一条是明线即数学知识，一条是暗线即数学思想方法。在平常的数学教学中，一线教师在课堂实施时常有重“明”轻“暗”的现象，即数学知识的传授往往能够得到保证而数学思想方法的教学容易被忽略。日本数学教育家米山国藏说：“学生们所学到的数学知识，在进入社会后不到一两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”无论从数学教育的长期还是短期的目标来看，数学思想方法的教学都具有极其重要的意义。从长远目标来看，数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用；从近期目标来看数学思想方法是从事数学活动及其他活动的思维方式和手段，它对培养和提高学生数学学习能力起到了非常重要的作用。因此，形成和发展学生的数学思想方法是数学教育的主要核心目标之一。
2．数学思想方法是教学设计的指导思想。数学课堂教学设计应分宏观设计、微观设计和情境设计三个层次进行。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想方法的飞跃和创造。如：有位老师在执教北师大版四年级上册的《确定位置》一节时，设计了这样的教学环节：请学生来说自己是在几组几列-教师说几组几列的同学，请相应的同学站起来一引导学生结合座位图用坐标来表示，在此基础上从座位图中抽象出带有方格纸的坐标图．让学生在方格纸上用坐标表示自己的位置。这个教学环节，有效地将坐标图和学生的座位图紧密联系起来，体现了数学化的过程，渗透了函数思想和建模思想等，使得整个课堂教学既生动活泼又化抽象为具体让学生易于接受，达到很好的教学效果，彰显数学思想方法、凸显数学味。这就是说，一个好的教学设计，应当是历史上数学思想方法发生、发展过程的模拟和简缩。有了深刻的数学思想方法作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能培养出有创造性的人才。
3．数学思想方法是教学质量的重要因素。南京师范大学数科院教授刘云章教授认为：“不讲数学思想方法的课．不是好课”；“重视对数学思想方法的领悟将能唤起数学学习者潜在的数学天赋，提高其数学素养．从而提高学习效益和质量”。数学思想方法性高的教学设计，是进行高质量教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化．学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的，因此课堂的生成是丰富多彩的。面对这些，只有把持以数学思想方法为主线的教学，只有教师达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化、复杂的问题简单化。 如：有位老师在教学小学数学义务教育课程标准实验教材(人教版)第六册第九单元数学广角的内容时出示了这样一道练习：“老师手里的文具盒有4种文具，小朋友手里的文具盒有4种文具．问一共有几种文具?”让学生利用刚学的韦恩图加以表示。学生经过独立思考后出现几种不同的答案：当有学生说“有7种”时，老师让他呈现自己画的韦恩图。交集中的公共部分写着l，这时老师问：“这‘l’表示什么?”学生答：“表示两个文具盒当中有一样文具是相同的。”接下来有一个学生交集中的公共部分写着“2”表示两个文具盒当中有两样文具是相同的．这时老师抓住时机告诉学生：“在韦恩图中一个符号只能表示‘一个’不能表示‘几个’，如在公共部分写着‘l’和写‘100’都只表示有一样文具是相同的，用写着‘2’表示两个文具盒当中有两样文具是相同的是错误的。”让学生理解：在韦恩图中一个符号只能表示一个元素的道理。以数学思想方法为主轴的课堂教学也才能经常激发学生的思想火花，教师才能随时捕捉学生思维的闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计．真正变成高质量的数学教学活动过程。如上例(<确定位置>的教学)中，如果将座位图的教学和坐标图的教学简单地割裂开来，成为两个不同的教学环节，在教学过程中势必无法达到寓抽象于具体、水到渠成、顺理成章的效果，使得“坐标图”成为名副其实的抽象数学知识的代言，学生的兴趣和主动性也会大打折扣，教学的直接效益受到影响，教学质量也谈不上“高”。
二、小学几种常用的数学思想方法
小学数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有转化思想、类比思想、统计思想、符号思想、模型化思想、一一对应思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了小学数学知识的精髓。
1．转化思想：将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，是解决数学问题的基本思路和途径之一，是一种重要的数学思想方法。转化是解决数学问题常用的思想方法。小学数学解题中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可通过转化，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。
2．类比思想：类比思想主要是指通过对形式(式子)、结构(语言结构、逻辑结构)进行对比，找出其内在的联系，利用旧知识去学习新的知识。在数学上根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，从而推出它们在其他方面也可能相似或相同的一种逻辑推理的方法称为类比法，它既包含从特殊到特殊，又包含从一般到一般的推理。类比是人们已经掌握了某种事物的特性，推测另一种事物的特殊属性．其结果是探测性的，必须对结论加以证明，当然它必须要具有发现功能。
3．统计思想：统计思想就是在统计初步知识中提炼并掌握一些处理数据的方法，并用来解决一些实际问题，统计思想可使学生认识到条件的可变性结论的不唯一、不确定、不可靠性，事物的多样性等等都是普遍存在的。
4．符号思想：在数学中各种量的关系、量的变化以及量与量之间进行的推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学的内容，这就是符号思想方法。小学数学课程中的数学符号大致可分为数学符号、运算符号、关系符号和计量符号四大类。符号化有一个具体+表象+抽象+符号化的过程，且具有符号化语言的浓缩、简洁、明了等特点。
5．模型化思想：对现实问题从量的方面进行数学抽象，所得到的用数学符号表达的数学对象成为数学模型．建立和研究客观事物的数学模型，从量的方面来揭示数学对象本质特征和变化规律的方法称为模型方法。模型方法可以帮助学生探索数学的作用、产生对数学学习的兴趣。
6．一一对应思想：对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。另外在小学数学知识中存在着许多对应关系。例如“买( )本杂志需( )元”，这里的( )元与( )本是总价与数量的对应；此外还有特定情况下的路程与时间的对应；具体数量与分率的对应……解题时如果把这些对应关系搞错，必然出现解题错误。因此，对应思想对理清思路、克服解题错误非常重要。
此外，在小学数学教学中还蕴含有极限思想、数形结合思想方法、函数的思想方法、分类思想、抽象概括的思想方法、假设思想等．这里就不一一列举。
三、小学数学思想方法的教学策略
(一)在教学目标中明晰
首先，数学思想方法是更隐性的更本质的知识内容，它蕴含于教材的整个体系之中．就某一部分内容来说，可能其在呈现的形式上并没有太多的数学思想方法的影儿，但在某位教师具体的教学中便能彰显数学思想方法的特点。如数形结合的思想在解决问题上的使用是随处可见的；符号化思想也是遍布于数学教材的每个角落和数学课堂教学的方方面面的；数形结合思想方法、分类讨论思想方法、化归的思想方法、归纳类比思想方法等，它们一直隐藏在基础知识教学之中。因此，作为一名数学教师，上课前必须要认真钻研教材，挖掘教材中所蕴含的数学思想方法，从数学思想、方法的角度对教材的体系进行认真的分析，弄清教材每一部分的内容所要解决的问题，集中反映或附带反映了哪些数学方法。
其次，数学思想方法的教学目标应具有层次性。数学思想方法的教学在小学的不同阶段所应达到的要求是不同的，随着学生的年龄增长和知识结构的不断变化．数学思想方法的渗透与教学呈上升的趋势。在低年级，要注意培养学生发现数学问题与运用数学知识的意识，但不是直接告诉学生，而是用无痕的、润物细无声的方式教会学生认识或掌握某种具体的数学思想方法。到中、高年级，可以直接告诉学生一些简单的常用的数学思想方法的具体名称，甚至用形象的语言向学生诠释它的内涵，提醒和培养学生在数学学习和生活中有意识或无意识地加以运用。教学中教师应根据学生的实际情况，结合教材中的数学思想方法，考虑应渗透、介绍或强调哪些数学思想，要求学生在什么层次上把握数学思想等，然后进行合理的教学设计，做到有意识、有目的地进行数学思想方法的教学。
(二)在知识形成中落实
数学课堂中，教师应根据不同学段、不同教学内容的数学思想方法渗透目标，设计生动的教学情景，丰富的教学形式，寓知识性和思维性于一体．并充分发挥学生的主体作用，让他们主动地参与思维的全过程，在概念形成的过程中感悟数学思想方法的存在；在公式推导的过程中看到数学思维的力量；在知识网络、数学模型的建构过程中深刻感受隐藏在数学知识背后的思维方法，并能够理解、学会、加以运用。
1．体验数学思想方法，培养数学思维的意识。在低年级不直接点明所用的数学思想方法，而是通过精心预设，渗透数学思维的痕迹，让学生在学习中领会，培养学生数学思维的意识。如人教版第三册表内乘法，教师可根据本班学生的具体实际．通过创设有趣的情境，激发学生的学习热情，引导学生通过独立思考和小组合作，自主列出乘法算式，经过整理形成有序的式组并编拟乘法口诀。在寻找算式排列的特点、借助规律记口诀的过程中渗透函数思想方法。又如角的初步认识中，教师通过创设生动的画面，呈现了生活当中的角，在学生大量感知的基础上通过多媒体逐步抽象出“角”，在教学角的大小比较的过程中通过多媒体演示把角的两条边无限延长，这里既有符号思想，又有极限思想，培养学生善于用数学的眼光和思维，看待和思考事物的意识。
2．理解数学思想方法，学会数学的思维。随着学生年龄的增长，知识、思维水平的提高，在小学中年级的课堂教学中，可以逐步地加深数学思想方法的色彩，让学生初步地理解，并能初步学会一些简单的数学思想方法，学会数学的思维，甚至能够初步判断在某一具体内容的学习中运用了什么数学思想方法。如在教学人教版课标教材第五册<搭配>一课时，一位教师设计了这样一个环节，在学生初步能够表示多种搭配方案后，出示生活中的例子：衣服搭配，让学生用摆图片、连线的方式把搭配方案表示出来；然后创设搭配早餐无法用图片、连线怎么办?引导学生独立思考，小组交流、反馈，用文字等表示，一看就知道学生表示哪幅图；当出现有学生用符号或数字来表示时，教师提问：你猜这位同学表示的是哪幅图?引起了学生的思考，也使学生了解了用符号表示的优点，进而出示午餐的搭配等，引导学生发现原来用符号不仅可以表示一幅图的搭配，还可以表示其他更多的搭配。在这个过程中，学生形象地、感性地认识了符号化思想，初步理解了符号化思想的内涵，亲身感受符号化思想的优点，并能初步学会用这种思想方法思考问题。
3．运用数学思想方法，培养数学思维的能力。在小学中、高年级，应逐步引导学生面对一个具体的数学问题情景，正确地选择数学思维的方法进行解决，并在运用数学方法的过程中感受到数学思想方法的深刻性、简洁性和灵活性等，培养学生数学思维的能力。如人教版五年级上册《统计和可能性》的教学中，有位老师设计重复投掷一枚均匀的硬币六次，让学生观察每次出现的面，并记下结果。现在我们先投掷三次得到如下三种结果：(1)正反正反反正；(2)反反反正正正；(3)正反反反反反。在交流反馈时，有学生认为结果(1)是随机的，而结果(2)、(3)是不随机的，甚至有学生认为(3)的下一次可能正面的几率会大，这里涉及不确定性的度，即概率的确定。教师通过引导让学生明白事实上事件(1)、(2)、(3)出现的概率都是一样的．因此，没有哪一个结果比其他的随机性多一点或少一点，而且在结果(3)已出现的条件下，下一次出现正面和反面的机会也是一样多。日常生活中．类似的例子还很多．人们的潜意识常常与理性思考的结果有很大差别，让学生在统计思想学习的过程中体验到如果不善于统计思考，即使面对十分平常的现象，也会发生错误。在培养学生的统计思想时，借助一些生活中简单的例子，为学生揭示统计思想的本质，从而达到我们培养学生统计思维能力的目的。
(三)在训练中巩固
数学思想方法的形成同样有一个循序渐进的过程，只有经过反复训练才能使学生真正领会．并得到巩固。 首先，在教学中渗透了某种数学思想方法后，教师应安排科学的数学思想方法的训练，使学生能做到举一反三，在训练中不断地提炼方法、归纳方法、开拓思路、完善自我。如在四年级下册<植树问题>教学中在引导学生建立模型“总长÷间隔长=间隔数，问隔数+l=棵数(两端要栽)”后进一步引导学生进行模型的解释与应用：用模型解释现实问题，解决问题，如解决电线杆、路灯的安装问题等让学生的模型思想得到进一步的巩固；然后进行模型的拓展：一端栽一端不栽计算方法是：问隔数=棵数，两端都不栽的计算方法是：间隔数一l=棵数。在这些训练中，学生的类比、数形结合的思想也得到进一步的巩固和运用。 其次，数学思想的训练不仅局限于练习中，在同一知识网络的知识新授过程中教师可以采用点拨的方式，引导学生利用前面学习的数学思想方法解决或学习新的知识，如利用转化的思想学习平面图形的面积计算、立体图形的体积计算；利用类比的方法学习数与代数的诸如除法、分数、百分数、比、比例等许多内容；利用集合和分类的思想解决数、图形等的分类问题等等，这些内容的教学事实上就是一次次对学生已初步接触的或理解掌握的数学思想的很好的训练。
(四)在概括总结中升华
在数学中渗透数学思想方法教学的最终目的是要提升学生的数学思维的品质，让他们在数学学习的过程中，形成思维的深刻性、灵活性、整体性、严密性。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象。如在中、高年级的数学课堂教学的过程中，可以在本节课、本知识块，或本单元的小结、复习中渗透数学思想方法，有意识地画龙点睛，适度点拨，引导学生进行概括和强化；对它的名称、内容、规律、运用等有意识地进行形象、适当的讲解，以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，使学生逐步体会数学思想方法的优越性，并在学习和生活中自觉地运用。在总结中展现问题解决的思路分析，概括其中的数学思想方法，才能使学生从中领悟到当初数学家的创造性思维进程。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，并帮助学生在中、高年级逐步建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这样才能把数学思想、方法的教学落到实处。
在数学教育教学的过程中，教师必须重视数学思想方法的挖掘、提炼和研究，加强数学思想方法的指导，有意识地把数学教学过程转变为数学思维活动的过程，增强解题的交互性，不断强化训练思想方法，形成应用思想方法探索问题和解决问题的良好习惯，培养学生用数学思想方法的学习和解决问题的能力，从根本上提升学生的思维品质，使数学的学习真正成为积淀学生素质的过程。





(来源：《小学各科教与学》2009.5)