数学活动经验的教科书实施

管季超0712

数学活动经验的教科书实施

章飞（江苏  南京210013）．

  20世纪90年代中期，就有学者对“数学活动经验”进行了理论阐述，如“个体数学素质结构形成与优化过程，存在于主体的主动性数学活动过程中，并以丰富和条理化的数学活动经验为主要操作内容”，“数学活动经验是内隐于个体的，是对个体以往经历的概括，同时又自觉不自觉地迁移到新的数学活动之中（通过影响其认知方式和思维方法等）”，“具有‘发展动机促进学习“加深理解提高能力“优化认知结构’等学习功能”，…同时数学活动形式多样，也具有情感激励的功能，新世纪初，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）的课程目标中指出：“获得适应未来社会生活和进一步发展的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）．”[2] 2005年开始的义务教育国家数学课程标准修订中，标准修订组更是将其与基础知识、基本技能、基本数学思想方法并称为学生数学学习的“四基”．

    然而，在实践层面，数学活动经验这一课程目标缺失的现象还十分普遍，备课、说课等活动中很多教师并没有明确数学活动经验这一课程目标，课堂实施中也没有达成这样的目标，[3][4]现行课程标准实验教科书已经内蕴了丰富的数学活动，但这些洁动的设计显得较为“零碎”，编写时如能系统设计，使内蕴的数学活动形成一个系统，将便于发展学生的数学活动经验，对数学教学产生更好的导向

作用．

    一、嵌入丰富活动，展现活动过程，引领教师的教学方向

    数学活动经验是一种缄默知识 [5]缄默知识，更多的是在活动中，通过教师的外显，学生的意会、

感悟而获得，从做中学．因此，数学活动经验的获得首先是基于活动的，只有经历丰富的数学活动，学生才能积累足够的数学活动的原初经验，当原初经验积累到一定的水平时，才能形成自身的感悟，获得数学活动经验，并不自觉地将这些经验迁移运用到后续的数学学习中．因此，学生活动经验的培养需要以大量的数学活动为基础，作为引领教师教学的教科书，应嵌入丰富的数学活动，展现并引领师生经历数学活动过程，从而培养学生的数学活动经验．现行教科书已经认识到这一点，如几何课程，一改过去“定理一证明一例题一习题”的呈现模式，设计了丰富的测量、实验等探究活动，在活动中经历结论的探究过程，发展学生的探究意识和空间观念，

    事实上，“磨刀不误砍柴工”，数学活动也许耽搁了一些课堂教学时间，但所得到的经验积累有助于提升学生对于知识的理解水平，有助于后续知识的学习．例如，线段的比较时，可以呈现下列问题：人和旗杆哪个高（差异明显的）?两支钢笔哪支长（长短相近的）?长方形纸的两条邻边（比较接近）哪条长？一扇长方形窗户的两条邻边（比较接近）哪条长？你们是如何比较的？交流的基础上总结出各种比较方法：①相差比较大时，直接估测；②相差不大时，如果是实物比较，将两个实物平移到一起，观察两端状况；③如果不好移动，可以设法截取与其中一个一样长的线段并平移过去，如利用圆规；④直接度量．与角的比较类似，先前线段比较中积累的活动经验，可直接迁移到角的比较学习中，甚至可以要求学生回忆线段的比较方法，自主思考角的比较方法．

    二、围绕核心数学，精心设计活动，完善学生的数学结构

数学活动经验的发展基于活动，但数学活动并不局限于操作性的实践活动．从活动的外在形式上，数学活动可以分为“数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动以及关于数学的交流活动”．[6]而实际上，不管哪种外在形式的活动，总是服务于一定的数学目的的，所以，从数学活动的目标指向上分析数学活动，可能更具意义，从上面数学知识生长框图[7不难发现，从现实到数学的抽象、概括，数学内部问题解决中的等价转化、归纳类比、尝试猜测，问题解决后的拓展延伸、变式发展，数学知识系统的建构，数学知识的主动运用等，都是核心的数学，教科书应立体地展现这些核心的数学过程，帮助学生积累这些核心的数学活动经验，提升学生的相关能力，完善学生的数学结构．

  课程标准实验教科书已经做了很多好的尝试，如关注了现实问题的抽象、数学知识的运用，关注了归纳推理等，但还有很多提升的空间，如对于问题解决后的拓展提升、变式发展，教科书可以通过案例的形式让学生感受变式，甚至揭示变式的方法，提出变式的要求，形成变式的丰富经验，从而形成自主变式的能力，只有这样才能使学生跳出题海，减负增效，[8]例如，针对例题：如图2，AB =AC，BD，CE分别是AC，AB上的高，求证：BD= CE.解答后，可以呈现下列变式：①根据条件，从图中你还能得到哪些结论（相等的线段、相等的角，全等的三角形、等腰三角形）?②三角形中，还有哪些特殊线？腰上的中线是否相等？角平分线呢？③试添加一个条件，使得B=CE.当然，还有一些核心的数学活动并没有得到普遍的认同，如问题的提出、尝试猜测、知识系统的建构等，下面仅以尝试猜测为例加以说明．

“尝试猜测，教科书呈现颇费笔墨，不甚精练、规范，有失教科书的示范性”，教科书“不愿”呈现；“尝试猜测，那得耗费多少课堂教学时间？如何保证课堂效率？而且将来考试也不太好考查．”——很多教师都有这样的想法，可见日常教学中忽视尝试猜测成为一个普遍的现象．但尝试猜测对学生的数学学习、未来发展具有重要的教学价值，理由如下：①尝试猜测是问题解决的自然思路之一，面临一个数学问题，可以分析题目特征，设法转化归结为已有的问题或借助已有的经验求解，但并非每一个问题的化归都那么显然，此时尝试猜测是一条自然的思路；②对于低龄段学生而言，其化归经验和能力欠缺，因此会更多地选择尝试猜测的思路；③对于数学的一些本原性问题（如勾股定理），前面没有知识可以化归，只能选择尝试猜测；④从尝试猜测走向数学，学生通过比较可以感受到数学方法的简洁，更好地理解数学方法；⑤尝试猜测增加了学生成功的机会，学生的学习更为生动活泼；⑥学生在未来的生活、工作中遇到的问题，多数没有理想的数学方法（或者学生不一定掌握这些方法），但不能因为自己不掌握，就甩手不干，需要获得不影响实际问题解决的结果，这时尝试猜测、逐步调整逼近，就是最为自然的思路；⑦尝试猜测，有助于发展学生的探究意识、探究勇气，因此，教科书应尽可能呈现大量尝试猜测活动的机会，

下面以初中方程求解教学为例加以说明，一元一次方程的求解，建议教科书首先呈现一个两边都含有未知数的一元一次方程（其解是一个整数），要求学生自己尝试求解（鼓励猜测，只要得到结果都行），并与同伴交流，最终汇总并评价解法．这个问题比较简单，学生基本都能独立求解，方法也较为多样，如先整理为标准形式，然后用小学的逆运算解决或者用等式变形的技巧求解．当然，由于其解被设计为整数，学生也可能尝试猜测得到结论（代入比较，不断调整）．展现这一过程，可以尽早点明尝试猜测本身也是这类问题求解的常见策略．

同时，这一过程有助于加深对方程解的认识．（恒等变形容易脱离方程原有的意义，而通过调整数据使得方程两边相等，可以更好地体现方程解的意义．）

此外，接着的方法比较中，可以改变方程（解为小数的情况），让学生体会到几种方法之间的联系和差别，体会学习等式变形方法的价值，在编写二元一次方程组的求解时，在现实背景中得到二元一次方程组（取背景中解为正整数的）后，可以设计活动：适合第一个方程的（x，y）有哪些，适合第二个方程的（x，y）有哪些，你能找到同时适合两个方程的（x，y，）吗？你能解决刚才的那个现实问题吗？以上案例可以再次丰富尝试猜测的经验．一元二次方程部分，在现实背景中得出几个方程并抽象出概念之后，专门设计一个课时，[9]顺应学生迫切希望求解的心理，要求学生探索这些方程的解，当然，为了便于学生的探究，第一个问题选择上一课的第1个问题“花边有多宽”，其解“恰”为整数，然后解决第2个问题“梯子下滑问题”，其解是一个无理数，学生无法求出其精确解，但借助已有的经验可以求出其近似解．具体设计时，注意根据实际意义，思考这个解可能的范围，然后通过代入求值、比较鉴别、调整逼近逐步得到其近似解．最后还可以丰富尝试猜测的经验——交流并明晰逼近的方法，

    事实上，初中这样的尝试机会还有很多，如对于不等式的求解、无理数的估算、一些几何结论的探究．教科书应尽可能创设这样的机会，让学生大胆地进行尝试猜测，使得学生面临一个问题时，除了能采用数学的手段（转化归结）之外，还能自然地想到尝试猜测、逐步逼近，

    三、遵循经验发展规律，科学展开活动内容，渐次发展活动经验

    活动经验的发展具有一定的规律．第一次数学活动中获得原初经验；第二次遇到相同情景时，经

验再现，称为再生经验；再次遇到类似情景时，迁移运用先前经验，产生再认性经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照“模式”重复运用这种经验时，这种经验就成为概括性经验；概括性经验在多次调用、反思后才能内化为经验图式．因此，学生获得数学活动经验的过程至少需要经历以下几个基本阶段：原初经验阶段；再生经验阶段；再认经验阶段；概括性经验阶段；再次参与多样化的数学活动，逐渐内化为概括性经验图式阶段．[10]因此，对于某一方面具体的数学活动经验，教科书中需要遵循活动经验发展的规律，循序渐进，整体规划．

    （一）活动需要适当反复，以促进原初经验的形成

    活动经验，是一个长期的积累过程，所以，希望一步到位获得数学活动经验是困难的，为此，教科书应注意适当地重复，在活动的重复和提升中，通过原初经验的再生、再认，进而形成对这些丰富经验的概括、提升．

    例如，义务教育阶段，概率教学的目标是发展学生的随机观念，利用随机观念解释现实世界中一些简单的随机现象，作出决策．具体的要求：感受生活中的随机现象、感知可能性的大小、刻画可能性的大小、认识到理论概率和具体频率并不一致、能理解模拟实验或随机抽样结果的随机性等．[11]显然，从这个层面看，随机观念的获得，不是简单的说教、讲解所能完成的，需要设计具体的实验活动，再通过活动结果的分析、比较、交流以及教师的提升、揭示，形成对随机性的认识．同时，也可以发现随机性的理解是十分困难的，在原初经验时仅仅靠教师揭示、提升是不够的．因此，教科书[9设计了多次实验（一步的非等可能的实验、等可能的实验、两步实验、实验频率估算概率等），在多次实验中循序渐进、逐步提升学生的随机观念．

    （二）经验需要适度外显，以促进经验的条理化

    个体在活动中获得的经验，往往是模糊、零散的，要将这些模糊、零散的经验清晰化、条理化、系统化，最重要的途径就是外显这些经验，当然，外显的方式是多样的，可以在活动后要求学生进行经验的讲解、交流、评析，这样既“迫使”学生主动外显经验，使得经验社会化，同时通过社会化的碰撞又可以产生新的活动经验，加深理解．可以是活动后教师、教科书的明晰、总结、提升，还可以是下次活动中的调用，

    如，为了外显方程求解中的化归经验，教科书可以采取如下设计：

    在求解一元一次方程时，教科书可呈现提示性语言“‘目标是x=？，可知道的是‘3（x+l）-8=7’，把x身上的这些‘包袱’丢掉就好了”，让学生自主尝试求解，并交流各自的思路，说明是怎样将“包袱”丢掉的，求解二元一次方程组时，呈现提示性语言“一元一次方程我会解，二元一次方程……”引导学生将二元一次方程化为一元一次方程，学生求解后交流各自的思路，最后教科书上点明消元化归的想法．

    求解一元二次方程时，在抛出前面情境中的方程x2 +12x - 15=0后，设计下面的议一议活动：

(1)你能解哪些一元二次方程？(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？x2 =5，(x+2)2=5x2 +12x +36 =5.（教学中这一问一般都会跳过，此处能更好地明晰化归的思路．）(3)解方程x2+12x -15 =0的困难在哪里？你能将方程x2 +12x －15 =0转化成上面方程的形式吗？这里，再次引导学生思考“能解决哪些问题”，“现在的困难是什么”，“如何转化为已经解决的问题”，将化归的思想清晰地展现出来．

    数学问题的求解，多数都可化归，教科书中如能尽可能点明这样的思路，学生经过长期的耳濡目

染、亲身体验，何愁不能形成化归的经验，最终内化为解决问题的图式？

    （三）活动需要精心设计，以确保学生的参与度

    活动经验的积累，需要学生的情感参与．只有学生情感参与了，才能保证活动的质量，当然，这更多地需要教师对和谐民主教学氛围的创设以及教学现场的灵活处理，但作为教科书，也可以在活动内容、活动方式的选择上作出一定的示范引领．如整本教科书中应关注活动方式的多样，对于具体活

动，应做到：力求贴近学生的生活实际；活动工具唾手可得；活动具有可操作性；不同认知水平的学生都能参与活动，学力可及，能获得一定的成功体验；活动具有一定的开放性，活动过程中能产生多样的结果或思路，便于学生的交流，能促进不同层次学生的发展等．

    例如，对于平行四边形性质的探究，要求学生借助三角板、直尺等在作业本上作几个平行四边

形，思考：其中有哪些特殊的数量关系（相等的线段、相等的角、全等的三角形等）、哪些位置关系

（平行、垂直等）?你是如何发现的？你能设法验证你的结论吗？这一活动目的明确，同时具有普适

性（对于其他图形性质的研究也是如此，具有哪些特殊关系，如何发现的，如何验证等，因而这种经验积累可迁移到其他图形性质研究）；这一活动借助手头就有的纸、笔、尺，操作性强；另外，它起点低，所有学生都能人手，都能发现部分结论，获得自己的成功体验；验证、说理方式多样，便于学生交流；同时能较好地体现学生的差异，类似地，得到平行四边形的判定条件之后，可以要求学生在纸上用尽可能多的办法作出一个平行四边形，并说明自己的理由，

    总之，设计教科书时，应关注数学的本质，设计丰富，多样、对学生未来发展具有核心作用的、具有较高操作性的数学活动，并通过适当的方式外显其中内蕴的活动经验，促进学生数学活动经验的发展、提升，以达成相关课程目标．

参考文献：

[l]马复．论数学活动经验[J]．数学教育学报，1996，(4)：22 - 25．

[2]中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S]．北京：北京师范大学出版社，2001:6.

[3]黄翔，童莉．获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J].课程·教材·教法，2008，(1)：40．

[4]肖景天，景敏．数学活动经验及其对教学的影响[J]．课程·教材·教法，2008，(5)：41 -44.

[5]武江红．数学活动经验的内涵及特征探析[J]．河北师范大学学报（教育科学版），2009，(2)：107 - 109.

[6]涂荣豹，论数学活动的过程知识[J]．数学教育学报，2002，(2)：9 - 13．

[7]章飞，教会学生数学地思维的若干问题与思考[A].章飞，等，新世纪课程改革实践与探索（数学7-9）

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[8]章飞，解题教学中变式的意义和现代发展[Jl.课程·教材·教法，2008．(6)：45 -48．

    [9]马复．义务教育课程标准实验教科书·数学(7-9)

[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．

[10]仲秀英．学生数学活动经验研究[D]．重庆：西南大学数学系，2008，(lO)：7，108 -122．

  [11]章飞．义务教育阶段概率有关知识的内容定位与教材实施[J]．数学教育学报，2004，(1)：48 - 51．

  【原文出处】《课程·教材·教法》（京），2010.12. 45—49