2007年台湾数学能力竞赛决赛

管季超0712

2007年台湾数学能力竞赛决赛

1. 试求使为整数的正整数解 　　2. 为一整系数多项式，a、b为两相异整数，，，…，，，，…，，若、，且，，试证：当时， 　　3. 锐角，上有一点D，上有一点E，上有一点F，试证：存在唯一一组解，使，， 　　4. 给定与其外接圆，令P为劣弧上之一点，异于B、C，连交于Q，试求的最小值。（） 　　5. 有一正整数列1，2，3，…，2n－1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn，求之所有可能的值 　　6. a、b、c为正实数，试证明： 参考答案： 　　1. 引理：，只要不为有理数即可 设为一有理数，但皆不为有理数。 因 则 唯一有理数，矛盾。 故，令，， 为正整数，则或2或3 故共有8组解 　　2. 设，亦为整系数多项式   　　      　　 故 或 …(1) 　　  又    　　  故 或 …(2)   　　 欲使(1)(2)同时成立，唯有，故 　　3. 作三高之垂足，显然成立。 设三垂足分别为D 0，E 0，F 0，若有一D异于D 0合条件，欲使，则，于是，同理 于是，若D在D 0左侧，则E，F也在左侧 与相交，故不平行 ，不符合要求。 若在右侧亦然，故D 0，E 0，F 0为唯一。 　　4. 设，A、B、P、C四点共圆 由正弦定理，， 　　5. 令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数。 设中必也有n－k个小数，则中必有n－k个大数，k个小数， 其中 令a1，a2，…，ak，bk+1，b k+2，…，bn为大数，   b1，b2，…，bk，ak+1，a k+2，…，an为小数。 　　6. 令   　　　     　　　      　　　　 当  时，不等式恒成立， 　　故，   　　　 同理 ，   　　　 则