让学生知道数学的意义

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NCTM发布美国高中数学新指导大纲
让学生知道数学的意义
数学课的焦点是“推理与意义建构”

来源:中国教师报 作者:李 茂/编译 添加时间:2009-10-21 13:34:00  

    大家都知道，数学难学，往往是因为学生不知道数学对他们有何意义。10月上旬，美国数学教师协会（NCTM）发布了高中数学教育的最新指导大纲《高中数学焦点》，强调数学课必须把焦点落在推理与意义建构（reasoning and sense making）上，以培养学生选择和应用最有效的问题解决方法的能力，无论是在课堂上还是在生活中。

    这是NCTM在对小学与初中的数学课程作出调整3年后，对美国高中数学教育提出的最新主张。据NCTM发布的新闻稿，培养学生的“推理与意义建构”会使数学变得对学生更加有意义，更加实用。

    关键是知识的应用

    《高中数学焦点：推理与意义建构》是NCTM于2006年发布的《课程焦点》的后续。《课程焦点》为幼儿园到8年级每个年级的数学课程提供了内容标准，这份文件在美国数学界得到了广泛的好评，即便NCTM最严厉的批评者也对之表示了肯定。

    而高中数学的“课程焦点”在编写目的与结构上跟3年前小学和初中的《课程焦点》有所不同。《高中数学焦点》并不是一套课程内容标准，而是一个指导大纲，展示NCTM所认为的必不可少的技能——“推理与意义建构”如何通过高中数学得以培养。

    新的指导大纲指出，对数学内容与程序的理解仍然重要，与此同时，学生还需要学会如何在不同的情境中运用知识——这是在日常生活情境与工作场所中被证明的必不可少的核心技能。

    “从儿童早期到成年的数学，推理与意义建构都处在核心的位置。”NCTM的主席亨利·S·科普纳（小）在这份文件的导言部分说，“对这些技能的培养将为学生的大学学习、职场工作以及积极的公民参与作准备。”

    NCTM的官员还认为，对这些技能的重视还有助于培养更多对理工科感兴趣的人才，而理工科人才的匮乏一直是美国政策制定者的一块心病。

    《高中数学焦点》起草委员会的主席，奥本大学的数学教育教授W·加里·马丁说：“我们一直在教学生，数学就是实施复杂的程序。在我看来，真正的问题是，学生能够用它来做什么？”

    顺应统一课程的大势

    有着10万名会员的美国数学教师协会发布这份文件，正值联邦政府与各州的政策制定者在推动中小学课程标准的统一化。

    已有48个州参加了旨在制定全国统一课程标准的“共同核心”计划。该计划的发起者是美国两大跟州政府合作的组织——州教育长官委员会和全国州长协会。NCTM是受邀对该计划的数学课程标准草案提建议的几个机构之一。“共同核心”的数学课程标准重点是为学生的大学学习与就业作准备，按照内容领域来进行编写。

    NCTM官员将《高中数学焦点》的一份复印件呈交给了“共同核心”的起草者们。据“共同核心”数学组的成员，本宁顿学院的数学与物理学教授詹森·辛巴说，这份文件跟“共同核心”的数学标准草案在很多方面都是一致的，比如，二者都强调数学实践，或学生运用数学策略解决新问题的能力，尽管描述这些技能所使用的语言有所不同。

    数学的新意义

    NCTM的这份高中数学指导大纲对“推理与意义建构”如何在数学的不同领域进行应用作出了说明，而且还以师生课堂对话的方式，对数学课上如何实现这样的应用提供了大量的案例。

    NCTM的专家称，聚焦推理能力不会给数学教师增加额外的负担，相反，它会使学生对数学更加投入。

    “目前，很多学生之所以感到数学困难，是因为他们没有发现数学有什么意义。缺少了推理与意义建构提供的关联，就会出现一遍又一遍的无休止的重复教学。”

    NCTM的《高中数学焦点》没有按照年级来编写，部分原因是因为美国学生在高中阶段选修的数学课程各不相同，有的学代数初步，有的学高等代数。

    据马丁介绍，小学和初中的《课程焦点》主要针对州一级官员、课程制作商、出版社，而高中的“数学焦点”则主要针对“教学带头人”，包括教师、课程专家、管理者，而不仅仅是州一级官员和出版界。

    NCTM在1989年和2000年发布了非强制性的学科标准，在全国范围对中小学数学的课程、教学与教材产生了重大影响。不过，批评者指出，NCTM的数学标准对关键性的数学内容重视不够，并偏离了标准的问题解决方式。作为纠偏，3年前NCTM发布了《课程焦点》，为小学和初中的数学提供了清晰的指南，并赢得了原先批评者的认可。
   
争论焦点仍在“内容”上

    NCTM的这份高中数学指导大纲引来了大片叫好声，不过仍有批评者的吹毛求疵。

   马萨诸塞州教育发展中心的主任阿尔伯特·库克将NCTM的《高中数学焦点》视为“一缕新风”。

    库克评论道，其他有关课程标准的文本，比如布什政府第二任期的全国数学咨询委员会发布的报告，只是对核心数学主题进行了罗列，对于很多教师来说，并不清楚究竟是什么把这些主题联系在了一起，各主题之间有什么关系，以及它们究竟为何重要。而NCTM的这份新文件，则用平实的语言阐述了各主题的重要性，是“一种新的框架写作风格”。

    不过，库克对于文本中用于展示“推理”在数学课上如何进行的假设的师生对话并不以为然，他更倾向于真实场景下的师生对话，认为这样更有说服力。

    弗恩·威廉姆斯是全国数学咨询委员会的成员之一，曾是NCTM的批评者，他说他在详细阅读这份文件之前不发表过多评论。不过，他表示，《高中数学焦点》所使用的语言让他想起了NCTM于1989年制定的标准，他认为那是在倡导一种弱化的数学教学法，对于数学的内容强调不够。

    威廉姆斯先生在弗吉尼亚州费尔法克斯县的朗费罗初中任教，因其教学出色获得了很多奖，他说：“文本中对内容的描述更多些会更好。目前这个文本太含糊了。”

    哈佛大学的数学教授维尔弗里德·施密特也是全国数学咨询委员会的成员之一，此前也对NCTM于1989年和2000年发布的课程标准颇有微词，他对NCTM对数学推理技能的强调表示认同，认为很多学生变得对数学程序过于倚重。
   
不过，他认为，《高中数学焦点》把太多的重点放在了“抽象”技能而不是数学内容上，对数学的高度连续性的学科特征强调不够。需要在内容、知识与推理、问题解决能力之间保持好平衡。

    在施密特看来，NCTM对问题的诊断基本上是正确的，但所开的药方可能会使情况更加糟糕。

    对于这些评论，NCTM主席科普纳回应说，各州所列的数学主题单子原本就够长了，NCTM希望避免重复，也不希望再增添更多的内容。这份文件的主旨让教师和学生更加明白这些内容的意义。

    这还只是第一步

    为了让《高中数学焦点》更加能够被公众接受，NCTM还将分别针对教师、管理者、政策制定者及家长编写专门的辅导材料。此外，NCTM还将发布“主题手册”，更加详细地阐释“推理和意义建构”如何在不同的数学领域，如代数和几何得以培养。

    “这只是第一步。”马丁先生说。总而言之，NCTM的官员希望这份文本能够帮助高中生理解数学的意义，提高他们的成绩。数十年来，美国高中生的数学成绩几乎停滞不前。

    “高中的数学教学似乎难以撼动。”马丁说，“这是一个艰巨的任务，但我们不能沿着老路走下去，年复一年地重复相同的错误。”

    本专题更多内容请见链接：http://www.chinateacher.com.cn/news/2009/1021/9106.asp


亲  历
美国学生的数学成绩很差吗？

□ 黄成瑜

    从1986年到2005年，我在全美最著名的私立学校之一安多福学校（Phillips Andover Academy）任教数学，并成为该校230年历史上首位从数学系光荣退休的亚裔女教师。

    2000年秋到2001年夏，我受安多福学校的派遣，到北京参加“海外学年（School Year Abroad，简称SYA）”的交流项目。SYA设在北师大二附中，项目老师和学生与师大二附中有频繁的交流，从而使我对中美两国的数学教育有了更深的了解。

    记得有一次我带领了十来个美国学生上电视台探讨中美教育制度问题，当有一个中国学生很不客气地说美国中学生的数学有多烂时，我的学生们气得要跳起来了。我想，这个中国学生可能没有机会看到过出色的美国学生，他太低估了一些美国学生的学习能力。的确，公平地讲，中国的普通高中生平均数学水平是比美国的普通高中生的平均数学水平高，但美国的数学优秀的高中生绝不比中国的数学优秀生差。更可贵的是，这些优秀生不仅数学好，而且文学也好，还是体育场上的健将，音乐厅里出色的演员。我的学生中，很多学生即便明天考试，今天还要乘两三个小时的校车到外校去比赛打球，或举办个人的小提琴或钢琴演奏会。

    我们就有这样一位学生，毕业考试前一天他还在学校大礼堂开他的个人小提琴演奏会，他1989年代表美国参加国际数学奥林匹克比赛前，从来没有接受过任何的“奥数”训练，一直到出国比赛前，才有一次为期两个星期的集训。他们的解题是靠自己的理解，不是“噢，我曾经看到过这样一道题”或是中国人强调的“熟能生巧”。我想，世界著名的数学家陈省身先生，生前感叹我国的数学水平与发达国家相比有差距，他说这话是有根据的。