数学课改中的问题思考

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改革·反思
──数学课改中的问题思考
作者:北京师范大学　周玉仁

    两年多来，我国义务教育数学课程改革呈现了可喜的变化。学生的知识面广了，学得活了，学习兴趣浓了，课堂开放了，教师与学生的亲和力增加了。在看到这些变化的同时，又要冷静下来对目前实施过程中的一些困惑问题进行反思。“摸着石头过河”，究竟摸到哪些石头？摸得怎样？有哪些问题有待进一步研究解决？下面对几个问题谈谈自己的看法。
一、多样化与优化
现代教育的基本理念是“以学生的发展为本”，既要面向全体，又要尊重差异。作为教师，要促进学生的全面发展，就要尊重个性化，不搞填平补充一刀切。要创造促进每个学生得到长足发展的数学教育。
算法多样化是针对过去计算教学中往往只有一种算法的弊端提出来的。例如某一种题目，只要求笔算，另一种题目只要求口算，即使口算也往往只有一种思路（当然，学生如有其他思路也不限制），这样很容易忽略个别差异，遏止了学生的创造性，何况有不少题目本来就可以有多种算法的。可以说，鼓励算法多样化是在计算教学中促进每个学生在各自基础上得到发展的一个有效途径。
应该明确“算法多样化”与“一题多解”是有区别的。“一题多解”是面向个体，尤其是中等以上水平的学生，遇到同一道题可有多种思路多种解法，目的是为了发展学生思维的灵活性。而“多样化”是面向群体的，每人可以用自己最喜欢或最能理解的一种算法，同时在群体多样化时，通过交流、评价可以吸取或改变自己原有的算法。因此，在教学中不应该也不能要求学生对同一题说出几种算法，否则只是增加学生不必要的负担。
曾经看到一些低年级的计算课上，讨论一道计算题，出现了10种、20多种的算法，教师还一个劲儿地给予鼓励，临下课时，只简单地说了一句：“你们可以用自己喜欢的方法来算。”其结果是班上思维迟缓的一些学困生确是眼花缭乱、无所适从，产生了干扰。这种情况是不是我们鼓励的个性化呢？我认为不然。数学是讲“优化”的，算法“优化”的含意是要求寻找最简捷、最容易、速度快的方法。诚然，在多种算法中，有的并不见得有优劣之分，如20以内退位减法，无论是用“破十”“连减”或“用加算减”的方法，都很难说孰优孰劣，儿童完全可随自己的经验进行选择；又如长方形周长的求法，有的愿意用“（长＋宽）×2”的方法，有的则用“长×2＋宽×2”的方法，学生喜欢用哪个就用哪个。
但是，一般情况下，总有个最基本、最一般或最佳的算法。教学中，教师有责任引导学生去比较、去评价，并使大家掌握那些公认的更好、更一般的算法，以便举一反三、闻一知百，否则就失去了教育的功能。请看一位教师教两位数乘两位数的新课实录。由实例引出24×12＝？第一步，先由学生各自探索算法，分组交流（有10种左右），经过归纳不外乎以下三类：连加 ，连乘24×3×4，24×2×6，……），乘法分配律的应用（24×10＋24×2，……）。第二步，由学生评价，一致认为三类算法都合理，但第一类太麻烦，其他两类各有优势。第三步，教师将题目改为24×13，请学生用自己喜欢的算法计算，结果都选择为24×10＋24×3，此乃笔算乘法的算理。此时，教师便因势利导引入了乘法竖式，并使学生体会到它的优越性──能将乘法算理以固定而简明的程式显示，操作性强，简捷而不易出错，并具有一般性。我认为这种教学是正确的，又促进了儿童的发展，才是真正凸现了“算法多样化”的实质。算法多样化绝非是越“多”越好，切忌一些无价值的重复。总之，一切要从儿童的实际出发。
二、生活化与数学化
数学源于生活，寓于生活，用于生活。新课程改革重视数学教学生活化，引导学生在活动中学习数学，使孩子们感到数学有趣、有用，取得了明显的效果，也是数学课改的最大亮点。
数学，对儿童来说，是他们自己生活经验中对数学现象的一种“解读”。把数学教学密切联系他们的生活实际，利用他们喜闻乐见的素材唤起其原有的经验，学起来必然亲切、实在、有趣、易懂。教学中，有的通过调查商品标价引入小数乘法，调查父母月工资的收入计算多位数加减，测量足球场的面积并以其为参照物，体验1公顷的实际大小；有的结合新课内容介绍数学知识在实际中的应用；有的复习课也已不只停留在“查缺补漏，知识系统化”上，开始着力于培养学生综合运用知识解决实际问题的能力。记得我曾见到的一节六年级“代数初步知识”复习课，教师把自身赴山东讲课事例作为背景，边说边画：

向学生设问：①你们能用字母表示的式子写出老师淄博一行的全部开支吗？
②想一想，式子中哪些量是不变的？哪些量是可变的？
③算一算，老师这次淄博一行至少要带多少钱较为合适？（小组合作讨论）
整个教学培养了学生利用已学知识综合解决实际问题的能力，并使大家体尝到数学应用的价值。
但是，在课改实践中，我也听到不少教师有这样的疑惑：“数学问题是不是都必须从儿童的生活实际提出？”“教三角形内角和怎样从生活实际引入？”“循环小数又怎样联系学生的生活实际？”……正由于此，有的课已上了15分钟，还停留在大量的情境渲染之中，丝毫没有涉及数学本身的内容，犹如皮厚的“沙田柚”剥不开也吃不着，教学效果可想而知。
应该看到，儿童的数学学习是一种不断提出问题、探索问题和解决问题的思维过程。问题是数学的心脏，数学问题来自两个方面，有来自数学外部的（即现实的生活实际），也有来自数学内部的。无论来自外部或内部，只要能造成学生的认知矛盾，都能引起学生的内在学习动机，就会出现发展，都是有价值的。前面提到的“三角形内角和”，如果采用由旧引新的方法（设问：正方形有几个内角？四个内角和是多少度？长方形呢？三角形三个内角的大小是不固定的，有没有规律呢？）三言两语，就能有效地激起学生的求知欲。因此，看问题必须全面，不能绝对化。教学是科学，一切要从实际出发。
当前，数学教学注重应用，既讲来源，又谈用处，大大地克服了过去“掐头去尾烧中段”脱离实际的倾向，成效是明显的。但必须认清，我们反对的是只“烧中段”，而不是不要“烧中段”，我们反对的是过度的形式化，而不是不要形式化，数学的形式化是数学固有的特点。我们既要注重应用、返璞归真的一面，又要注重抽象概括、形式推理的一面，引导学生抽象出数学问题，提炼出数学模型，利用其已有的知识经验，通过数学思考解决问题。所以，重要的数学概念、规律应加以概括，常见的数量关系（如速度、时间、路程等）在学生理解的基础上仍要揭示，在重视直觉思维的同时，还要注重培养形象思维和初步的逻辑思维，以提高学生的数学素养。
课堂内的数学活动是丰富多彩的。什么是数学活动呢？我认为，具有数学意义的活动才能称得上数学活动。目前，有的数学活动，有情境没有活动，有活动没有数学味，有活动缺乏体验。下面介绍一位教师在教学“11～20以内数的认识”时组织的颇有意义的数学活动。当学生已学会数数（顺着数、倒着数、2个2个地数……）后，组织了一个别开生面的游戏。教师拿出一个黑白相间的足球：“数一数，有几块是白的？有几块是黑的？看谁数得又对又快！”话音刚落，不少学生争先恐后地要求上来。前来的多个学生，每人数的结果都不一样，不是重就是漏，怎么办？正当全班困惑之际，一位小同学自告奋勇地上来，拿起红粉笔在白的上面逐一点数，又拿出白粉笔在黑的上面依次点数，不重也不漏，数得完全正确。这样的游戏活动，不仅激发了学生的兴趣，而且渗透了一一对应的数学思想方法，这才是有价值的有意义的数学活动。
三、探索与发现
学习方式一般说来，可分为接受学习与发现学习两种。
发现学习是由教师提出问题，学生自己独立探索和发现其结论。这种学习方式（亦称发现法）是20世纪50年代末美国著名认知心理学家J．S布鲁纳提倡的，并流传欧美，这种方式在不同的国家有不同的名称，如问题研究法、探索法等，实质均基本相同。布鲁纳认为，在人类全部生活中，人的最大特点是会发现问题。他把学生视为“发现者”，甚至像科学家那样去发现，教师不给任何启发和帮助。创导者认为，这种学习方式可以最大限度地发挥学生的积极性、主动性和创造性，启迪学生的智慧，培养探索能力和独立获取知识的能力。20世纪70年代传入中国时，我国教育家将“发现法”引申为“引导发现法”，主张在必要时教师可以适当给学生一点“引导”，与布鲁纳的“纯发现法”有些区别。教学实践折射出这样一个道理，外国的先进经验或理论的引入，必须本土化才能发挥其积极作用。我国目前强调的“自主探索”与“发现学习”亦基本相同。
美国另一位著名的教育心理学家D．P．奥苏伯尔针对20世纪60年代许多人以为讲授必然会导致机械学习，而发现学习才是有意义的学习的片面看法，在创造性地吸取了J．P．皮亚杰和布鲁纳等人的认知观点后，首先对学习进行了两个维度的不同分类。根据学习的深度分为有意义学习与机械学习，根据学习的方式分为发现学习与接受学习。两种分类相互独立，成为正交（见下图）。
有意义学习↑有意义的接受学习  有意义的发现学习
              │
    机械学习  │机械的接受学习    机械的发现学习
              └────────────────→
                  接受学习          发现学习
他不像布鲁纳那样只强调发现学习，认为学习可以分为有意义的发现学习和有意义的接受学习，而后者是学生的主要学习方式。奥苏伯尔的见解对我们研究小学生的数学学习是有启发的。
小学生学习数学，首先要掌握前人积累的数学基础知识（往往以符号形式表示），学生必须积极思考，理解每个符号、式子所代表的实际意义，才能真正内化成自己的认识。如果学习中仅仅记住这些符号的代表组合，例如，只知道 读作“三分之二”，却不明其意，这就是机械学习。一般的数学学习都是有意义的学习，当然不排斥个别的机械学习，如背乘法口诀，这种熟记只有助于记忆，并不表明推导其结果的过程，而且机械学习也只是辅助性的学习。
数学学习中的有意义的接受学习是指学习内容已以定论形式展示出来，不需要学生去独立发现，只要学生从自己原有的认知结构中检索与新知识具有实质性联系的固定点，使之相互作用，实行新知识意义上的同化，从而扩大或改组认知结构。例如，“四则混合运算顺序”本身就是一种规定，学生在原有已掌握的加、减、乘、除法计算方法的基础上，“先乘除后加减”直接计算，便可接受这一知识。
目前我国提倡的探索学习则不同。这种学习方式不呈现学习结论，而是让学生通过对一定材料的实验、尝试、推测、思考去探索发现某些数量关系和图形特征。例如，学习平行四边形面积求法时，学生用各种不同的平行四边形纸片，通过剪拼、割补转化成一个长方形，然后分析割补后的长方形的长和宽与原来平行四边形的底和高的关系，从而探索出平行四边形的面积公式为“底×高”。
就以上两种学习方式的功能比较而言：探索学习比较开放，它更重视学生的学习动机，更强调学习过程，有利于学生直觉思维和创新潜能的培养和发挥，但是费时较多，何况数学学习，不必要也不可能由学生处处去亲自发现和独立探索。有意义的接受学习可以在较短的时期内使学生吸取更多的信息，但是必须具备两个条件，一是学习课题对原认知结构具有潜在的意义（即有实质性的非人为的联系），二是学生具有积极学习的心向。如果两个条件俱全，同样可以激发学习的主动性，学习也是有效的；如果缺少其中一个条件，就容易造成死记硬背。
由此可见，两种主要学习方式都很重要，各有利弊，各司其职，不可偏废。而且有时在同一节课内，两种方式兼而有之、相互补充、相互配合。例如，笔者曾在北师大实验小学随堂看到“倒数”一节数学课：课一开始，教师利用汉字结构上下颠倒位置可以组成另一个汉字的譬喻（杏→呆，吴→吞……），使学生联想到数也可以颠倒（ → ， → ），于是引入“倒数”并板书课题。此时，学生接二连三地提出各种困惑：“究竟什么叫倒数？”“学倒数有什么用？”“找倒数有没有窍门？”……（足以说明学生已具有学习新课题的迫切心向），教师立即让学生自学课本，研究结语“乘积为1的两个数就是互为倒数”，全班学生都表示“懂了”（因为结论中有关概念是学生所熟知的），这种学习方式便是典型的有意义接受学习。学生是否真“懂了”？教师要求学生自举例子加以说明，大家十分踊跃，有的说出真分数、假分数，还有举出小数、整数，到最后讨论了1和0有没有倒数，所举例子涉及各种典型情况，有交流、有争辩，并探索了求倒数的方法，这又是一种自主探索、合作交流的学习方式。40分钟的课堂教学，两种学习方式相互补充，交叉进行，朴实无华，有效地完成了学习任务。像这样的教例在日常教学中也不少见。
笔者认为，新一轮课改中反复强调的“动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式”，要“改变学习方式”等，主要是针对过去过分沉湎于接受学习而影响学生创新精神的情况而提出的，绝不意味着反对接受学习。教学中，教师应全面而综合地从教学内容、要求、对象等各因素进行考虑，引导学生采用恰当的学习方式进行学习，以确保学习的有效性。那种提倡一种又去否定另一种学习方式“非此即彼”的绝对化做法和说法，不仅不符合教学实践，而且对课改的深入发展是有害无益的。
自主探索是教师引导下的自主探索，要处理好自主和引导、放和收、过程和结果之间的辩证关系。面对挑战性的问题，估计学生通过努力能够探索求得的，就应大胆放开，放要放得真心、实在，收要收得及时、自然。应该看到，只放不收只是表面上的热热闹闹，收效极微，失去了教师有价值的引导，剩下的主体性往往也是苍白无力的。
四、成功与挫折
成功是学生在主动参与学习过程中的一种积极的情感体验。它是促使人们永远乐观向上的动力。事实上，人人都渴望着成功，争取着成功。苏霍姆林斯基曾经说过：“把学习上取得成功的欢乐带给儿童，在儿童心里激起自豪和自尊，这是教育的第一信条。”可以这样说，获得成功是每一个学生的权利，帮助每一个学生成功是每一个教师应尽的职责。
新一轮课改中，广大教师都很注重创设各类问题情境，为学生提供成功的契机，从而增强他们的学习兴趣和成就感，现已取得了一定的成果。笔者认为在提倡获得成功的同时，也要让学生经受一些挫折与失败。成功与挫折都有两面性，学习是艰苦的劳动，探索、实验、尝试的道路不是笔直的，必然会经受挫折或失败。成功只有在失败的折射下才显得更加耀眼，在挫折的磨炼下才更有价值。
课改中，教师都很重视对学生的尊重、信任、赏识和肯定，这很有必要；但也的确看到这方面存在误区。有的不管学生表现如何一律给予夸奖，即使是一个十分简单的回答都表扬为“真了不起！真聪明……”，在一节课中还出现了多次以学生命名的“××法”，这种廉价的表扬不能起到真正激励的作用，相反会助长学生浮躁的学风。有的还误认为当前不能批评学生，批评就是否定，就会刺激学生，影响其上进心，对课上的一些不良行为视而不见，名曰“保护学生的积极性”。以上种种，会给学生的全面成长带来不可忽视的消极影响。应该指出，表扬与批评都是对儿童行为的一种强化手段，恰如其分、实事求是的强化，并得到学生群体（包括学生本人）的认同，对于学生行为的规范、学习态度的转变和学习习惯的养成都是必不可少的。
一个好的教师，从不吝啬表扬，且表扬有度，夸奖有理，从不随意批评，且批评有方，疏而不堵。这一切都出自于对学生真挚的爱。曾经有一位教师在教学20以内加法时，出示8＋4＝？，一个学生答“13”，引起全班哄堂大笑，此时教师用严肃的目光看了一下大家，又用和气的口吻对这个学生说：“不错嘛，离正确答案只差一点点！”并安慰他坐下来再想一想。这个学生虽然失败，但没有因失败而感到沮丧，又抬起头来认真听讲，继续发言。教师以无声的语言──目光暗示有效地遏止了班上“讥笑”的不良行为，又用心灵的关怀让学困生体面地坐下来，激励他的学习自信心，这正是在新课程教学中教师的正确行为。
以上所谈的若干问题是笔者在课改过程中所见所闻的一些现象，提出来供同行们共同讨论。

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原文地址：回眸历史，以史为鉴（唐彩斌老师访谈周玉仁教授）作者：牛献礼

回眸历史，以史为鉴

                                  ——中国小学数学教育专家周玉仁教授的访谈录

唐彩斌

专家简介：周玉仁，北京师范大学教授、硕士生导师、教育部中小学教材审查委员，曾任中国教育学会小学数学教学专业委员会副理事长，主编义务教育五四学制（北师大版）小学数学教材、北京景山学校与北师大合编的五年制小学数学教科书，参与指导多种版本义务教育课程标准小学数学教科书的编写。曾编著《小学数学教学论》《小学数学教学大纲学习指导》《周玉仁优化小学数学教学文集》《全国小学数学特级教师课堂教学集萃》等多部专著。


唐彩斌：评论很需要以史为鉴，常有学者争论“这一次课程改革到底是属于第几次课程改革”，除了官方的描述外，其实对于不同人根据不同的资历和认识所作出的回答也是不一样的。周老师，您作为老前辈，在您亲历的数学教育改革过程中，印象最深刻的数学改革是哪几次？
周教授：历史是面镜子，回顾历史很重要。很多人往往不了解历史，以为一切从零开始。从我经历的数学教育工作的过程，可以说改革一直没有停止过。从我接触的小学数学课程改革是1952年开始，我认为有四次比较大的改革，加上这一次课程改革是五次。
唐彩斌：从以往的四次改革看来，您有什么亲历的深刻体会，留下怎样的启示？
周教授：每一次都有自身的特色。52年的“照搬苏联”、63年的“精雕细刻”、78年的“面向现代化”、92年的“义务教育特色”。推动数学的改革过程的动力来自两个方面，一个来自数学内部的问题，另一个来自外部的因素。除了数学内部的知识发展以外，数学外部也起了促进改革的作用，这里包括政治因素、经济因素以及科学技术等不同因素，这些都促使我们数学课程中有些内容要调整，有些理念要更新。改革始终是前进中摸索，在摸索过程中调整。
唐彩斌：即便是在今天的数学课堂中，自觉不知觉地留着苏联数学教学的影子，是不是当时“照搬苏联”所遗留的影响？您现在回想，印象最深刻的是什么？
周教授：记得52年和56年我国先后颁布了小学算术教学大纲，这两个大纲基本是是按苏联小学算术教学大纲编译的。在当时从“无”到“有”的阶段，开创了我国有一个统一的教材体系的局面。但是，最大的缺点是不顾国情、形式主义地学习苏联，硬把苏联小学4年的内容拉长到我国小学6年中来，初中还是学1年算术。整数部分，忽视我国的计算特点，生硬地加上“千”循环圈，号称7大循环；口笔算分离，课本以习题汇编形式呈现，不便教师使用。简单地说就是：内容少，份量轻，程度偏低。当然我们也必须看到，在教材的系统性、科学性和思想性方面有较大提高，口算得到了前所未有的重视。
唐彩斌：第二次重要的改革是63年，总结经验教训，教学改革“精雕细刻”。怎么样称得上“精雕细刻”？
周教授：63年在总结58年以来我国教育改革正反两方面的经验教训基础上，由人民教育出版社组织编出了我国真正自己的全日制小学数学教学大纲，这个大纲反应较好，有以下三大特点。一是正式提出“牢固掌握算术和珠算基础知识”，把算术内容在小学学完，整数由7个循环圈改为4个，注意口笔算的结合，提高了计算能力；二是提出“空间观念和初步的逻辑推理能力”，三是明确以利于学生毕业后参加生产劳动和进一步升入高一级学校学习的需要。但是从某种程度上讲得太细，像应用题就分得过细，关键词、抓类型等等问题比较多，要求比较高，两极分化出现了。
唐彩斌：第三次重要改革在文革之后。文革时期教育改革停滞不前，文革之后拨乱反正，教育首先是为了实现四个现代化。数学教育是怎样实现“现代化”的？
周教授：我印象中，那时候小平同志出来抓教育，当时全国召集200多位专家聚集一起讨论各科教学大纲。记得当时小平说的一句话：教材要反映现代科学文化的先进水平，同时还要符合我们中国的实际情况。也就是说抓两条线，一个是先进的，一个是符合我国实际情况的。所以在这个思想下指引下，我国小学数学比较明显的变化是增加了代数。78年当时搞的是十年制全日制小学数学教学大纲。小学5年，初中3年，高中2年。也就是那时候，把小学算术改为小学数学。
小学数学大纲中明确增加代数初步知识，尤其把简易方程（ax±b=c）引入小学在我国数学教育史上是一个大突破。从数学发展历史来看，算术遇到不能解答的应用题时，才促进了代数方程的研究，而方程的出现又简化了算术应用题的解答，尤其遇到逆思考的问题时，用方程解比起用算术方法解容易的多。因此，78年引入简易方程使63年以来小学生学习应用题这一“老大难”的问题得到了一定的缓解。因为这种安排既体现了人们从算术到代数由浅入深的认知规律，同时又注意因势利导由高到低的更新数学内容。
需要特别说明的是，78年大纲增加代数初步知识不是心血来潮。在我国有些小学（如北京景山学校）早已开始过实验，从二年级开始学习求未知数，以后出现的简易方程也不是把中学的代数简单移植，而是结合算术知识逐步引入的。有了前面的小型实验，然后推广到全国，便得到了全国小学教师的认可，从而减轻了学生的负担。
唐彩斌：基于小实验的开展，把实验的经验在全国范围推广，所以接受起来有比较好的“群众”基础。是否可以说这一次的教学改革很成功？
周教授：的确是成功的，但也有过微调。微调反映在两个方面，一是把“初步了解现代数学中的某些最简单的思想”（指函数、统计、集合）定为小学数学教学目标之一，不仅无法评估，而且与“结合有关数学内容自然而其当地渗透一些现代数学思考方法”的要求也不一致，因此到86年修订时，删去了“初步了解现代数学中的某些最简单的思想”的教学目标；二是关于学习正负数四则计算，根据各地小学试行情况，普遍感到课时紧而且比较难，1984年教育部根据各地意见删去这一内容，并调整了各册份量，编成“五年制小学数学”与“六年制小学数学”两套教科书，并与1985年完成出版，由各地自定选用。这也说明，教学改革必须十分了解各地实际情况，在试行中注意适时微调，在摸索中前进，在前进中调整，使教改沿着正确方向前进。
唐彩斌：第四次重要的改革是：92年大纲提出义务教育。与我们现在的教育改革是最近的一次了，您一定印象更加深刻，有哪些特别之处？
周教授：义务教育必须面向全体适龄儿童，必须保证大面积提高教学质量又不增加学生负担。大纲调整的特点是：有增有减，以删简为主，分层要求，体现弹性。例如：随着现代计算工具的广泛使用，精简大数目的计算和比较复杂的四则混合运算，降低应用题难度，并对解题步骤作一定限制，明确“应用题要注意联系学生生活实际”；增加代数、统计知识、简易方程扩大ax±bx=c，加强“收集数据与分类整理”。最后，根据我国各地区经济、文化发展不平衡的国情，教学内容分为三个层次：绝大部分为必学，极少内容只学不考，还有部分内容作为选学。
                             反思现在，理性辩证

唐彩斌：最新的这次数学课程改革，说说最新，但也已近十年，作为一位亲历了那么多次改革的前辈您也一直关注这次数学课程改革，您有怎样的评价和感想？
周教授：回头看，大方向是正确的，成绩是显著的。从我听课、接触的小学老师个案看来，我觉得有几个面貌变化比较大。首先数学内容和儿童的生活密切结合。现在的孩子比较喜欢数学，提高了学习兴趣。第二个是儿童的创新思维增强了，应用意识也增强了。相当于一部分孩子开始能够用数学观点、眼光发现问题、提出问题，再来分析问题。从教师方面看来，教师对学生增强了亲和力，整个课堂气氛活跃，师生互动面也大多了，教师的角色有一定转变，课堂气氛和谐了。师生关系是民主的、平等的。年岁大一点的老师，课堂上也微笑了。课程标准增加的内容我本人也很欣赏。过去小学几何内容强调空间观念，但是学生观察立体图形时，在头脑中总是“趴着”而“立不起来”，缺乏必要的空间想象能力。现在增加了“方向和位置”，使小学生初步空间观念的形成有了支撑点。新教材增加了一点几何变换的知识，如平移、旋转、对称、放大、缩小，开始我担心会不会难度大，现在看来结合实际问题来讲小学生还是能够接受的，而且很感兴趣。这样到了第三学段，几何内容便螺旋上升、自然得到延伸。课标也考虑到立体和平面的整合，二维和三维交叉，并以图形认知为载体，把空间观念的形成落到了实处。
除了上面这些直观的感觉，我总觉得这次数学课程改革的大方向是正确的。同时，我也呼吁改革是需要高度重视的。因为改革是全国性的，不是一个省、一个市的问题。需要站在一个大局的立场，数学课程改革要看大的方向，要有国际视野，一方面要借鉴国外先进的成功经验，另一方面还必须要继承和发扬一些优良传统。。借鉴不是照搬、创新也不是推倒重来，而是需要挑选一些真正有价值的必要的东西，符合我国国情、有意义的东西，实现本土化。所以我一直有一个想法，就是“中西合璧”，有时我觉得数学的课程改革就像是一直在寻找一个数0.618（黄金分割点），就是不断探寻适合我们中国小学数学改革的那个点。
唐彩斌：在寻找理想的改革黄金点的过程中，一定不是一个定向的直线运动，可能是“曲线前进”，也可能是摇摆着前行。鉴于历史和现实，您觉得哪些方面值得深入再反思的？
周教授：整体而言，这次课程改革我是觉得和过去的改革相比有一些变化，一个是步子比较大，来势比较猛，铺开的比较快。步子比较大，本不是坏事，随着计算机的使用，数学应用的广泛性，很多必然要考虑，很多问题引起大家的争论，这也是可以理解的。但是，推广的太快，实验是需要一段时间的，还没实验完就全面推广了。这样，在全国范围教研员和教师同在一条起跑线上，组织实验的工作显得比较仓促，准备不够充分。
第二个问题主要关于学习方式。过去的数学教学老师讲解的多一些，学生以听为主。这种单向的、被动的学生接受方式比较多。这是客观存在的，的确存有弊端，所以针对这个弊端一再反复强调要改变学习方式。而且提出自主探究、动手操作、合作交流，是个重要的学习方式，作为一个学习方式来提这是无可厚非的。
但是对其他的学习方式，我是认为有所偏颇。有一段时间我们看到很多课，就发现了形式主义的倾向，根本就探索不出来的却在组织学生探索。比如说十进制记数法、四则混合运算的顺序、几何图形的名称，倒数、倍数与因数等概念，有些都是约定俗成的，绝不能靠学生去发现而且也发现不了的。在这些教学中，合理的有意义接受学习就是一种好的学习方式。
我觉得探索学习本身的确不仅仅是为了孩子长知识，而且有利于学生感悟数学思想和增强数学活动经验，我们强调课堂要开放一点，倡导启发式教学，学生能探索教师就不要代替，能独立思考的老师就不要暗示，要多给孩子们一些思考时间、多一些活动的空间。多给孩子一些自我表现的机会。课堂教学本身要讲有效性，一切要实事求是，防止一种倾向掩盖另一种倾向。
唐彩斌：学习数学的方式不是哪一种特定的方式，而是根据不同的内容、不同的学生学习情况，选择不同的教学方式。也没有哪一种能替代哪一种学习方式，倡导某一种方式为了呼吁重视过去忽视的某些方面，但不是“顾此失彼”的替代。还有哪些细节值得反思？
周教授：比如：忽视孩子良好学习习惯的培养，习惯的培养从小学抓起。
唐彩斌：学习的习惯应该是每一门学科教师应关注的方面，小学数学有自身的不同的特点吗？
周教授：除了每一个学科都重视的常规的学习习惯以外，数学学习也有自身特点，有时是用好习惯来学数学，有时是借助数学来培养好习惯。
我们常常听说这样的事例，有的孩子做作业，父母检查打了个叉，孩子马上改过来正确了。父母说我的孩子都明白就是粗心因而掉以轻心。其实，这也是一种态度：就是对自己的做事是否负责。也是将来生活与工作态度的基础，从小培养好，自然而然形成好的习惯。在学习数学的过程中，要有意识地培养学生具有追求真理、热爱科学、勇于创新、不怕困难的精神，独立思考、严格认真、一丝不苟、精益求精的学习态度，敢于负责、自我检查的良好习惯以及有条不紊的工作作风。俗话说“一个人从小看到老”，孩子的可塑性极大，从小重视良好学习习惯的养成，习惯成自然，会使他们一辈子受益的。
唐彩斌：有的改革初衷是正确，但实施起来，有的“过之”有的“不及”。有学者到实验区调研发现，有两个能力比起以前的学生有所下降，一个是计算，一个是应用题。面对这样的现象也有不少争议，一种是觉得现在计算机时代，这种机械的计算能力不用太强调；另一种则认为计算依然是小学数学的重要内容，要求不能降。您觉得怎样的计算要求才合适？
周教授：中国有一个传统、历来重视读、写、算。比较重视计算，学校重视，家长也关注。除此之外，更重要的是中国的汉字是单音节，读起来简短明快，在数学教育中发挥了汉语“音简意赅”的独特作用，十分有利于计算能力的提高。我国两千多年前流传下来的“九九口诀”（先81句，后45句），每句只有四五个字（音节），读起来朗朗上口，小学生在理解基础上记忆，能把所有的两个一位数相乘结果快速得出，并可利用口诀求商，如果“九九八十一”这句口诀用英文来念就相当麻烦了。（ nine  nines eighty-one）正由于利用九九口诀这一工具，简约了人们计算中间的思维过程，乘除法口算能做到脱口而出，在此基础上再学笔算乘除法（即欧美的“长除”“长乘”）就比较容易的多了。一句话，是九九口诀我国古代数学史上的这块瑰宝，使我国小学生的计算机能在国际上处于“强势”，所以，无论是哪次教改，九九口诀都不会丢，也不能丢。
计算要求现在究竟降低了多少？随着现代计算工具的广泛使用，学习计算的要求应该适当降低，难度要降下来，我认为“课标”说明中的要求是比较恰当的，如果能真正达到也就够用了。和过去没有必要去比，过去搞的百题赛等口算比赛，集中加大训练量，1分钟要求正确口算几十道题，只能增加学生的过重负担，实际的效果也不容乐观，时间一过，又回生了。事实上，计算机能在以后的学习过程中还会逐步熟练的。最近看到江苏省教研室王林老师的文章，2008年调查1958名三年级学生，结果显示江苏不同地区22所农村小学的学生基本口算正确率97%，达到并超过了课标规定的要求。但是某些教学难点还没有完全突破，有的基础题如连续退位、连续进位、两位数乘法等错误率较高，说明计算能力的培养还比较到位，遗留的问题在下一步教学中再不断提高。
唐彩斌：应用题，现在也不这么叫了，很多人叫它“解决问题”，逐渐淡化了“数量关系”，也少了过去严谨的序列，老师们在教学的过程中，“踩不到点”，感到困惑，您有什么建议？
周教授：对于把应用题改名并扩大为解决问题我是认同的。解决问题是以解决数学问题为研究对象的，它既包括四则运算、找规律等纯数学的问题，也包括融于“数与代数”“空间与几何”等四大领域内容中、作为解决其相应实际问题的有机部分而呈现的“常规”问题，更包括直接指向生活实践的综合实践活动的课题，后者更具有综合性、多元性、开放性和挑战性，可谓“非常规”的问题。解决“常规”与“非常规”问题，两者功能互补，相辅相成。如果我们认识到其间的关系，可能困惑就会少一些。
唐彩斌：您是一直是教育部中小学教材审查委员，审查了所有国内的小学数学教材，从教材编写的角度，你觉得怎样让老师更加明晰应用题的体系？
周教授：实际上编教材有两条线，一条是明的。数与代数、空间与图形、统计与概率、综合实践。还有一条暗线，即融于以上四大内容中的常规解决问题。目前存在的主要问题是，“常规”的解决问题目标设置不透明，老师对所教教材的体系难有整体认知，所以“只看到今天看不到明天、只见树木不见森林”，在这个状态下老师没有主动权。所以不怪老师，这个问题就是前进中的问题。我想在各套教材修改过程中的主编们一定会努力把这个问题解决的。
                        
                         放眼未来，殷殷期望

唐彩斌：数学教育从属于教育，但有其学科特点，小学数学教育从属于数学教育，但也有其阶段性特点。简单用种属关系来界定小学数学教育都会有失偏颇，您专注研究小学数学教学这么多年，还主编了《小学数学教学论》，直到现在还是很多大学生进修的教材，您觉得独特之处是什么？
周教授：首先，小学数学教学论是一个综合性很强的交叉学科。第二，它也是一个实践性很强的理论学科。第三它是具有生命力很强的发展中的学科。我写的教学论有一个的一个特点，由三大部分组成。前两章讲的是课程论。第三、四章讲的是学习论，第五章讲的是教学论，作为专著，当时我总力求有点突破。一个是学习论突破，我把心理学的内容融进去，关注儿童学习数学的心理。不过，我认为自己下的功夫最多的是数学思维与数学思维的培养，因为谁也没写过这一章。以前有写中学数学思维的，但没人写小学数学思维的。
唐彩斌：数学思维是数学教学的核心，没有认为它是不重要的，但是怎样的教学才是注重数学思维的却很难真正内化为自己的教学行为。你们当时是怎样开始这项重要的研究，取得了怎样的成果？
周教授：85-86年，国家教委委托中央教育行政学院举办为期一年的全国小学教育研究班，集中了全国各地部分优秀教师、特级教师和干部，吸收中央教科所和高等师范院校专门从事教育科研的专家学者，本着专家与教师相结合，理论与实际相结合，提高与普及相结合的原则，对如何改革小学教育教学进行了广泛的研讨，编出一套《小学教育改革研究丛书》，我作为数学班的辅导老师和研究班的30名“大将”共同研究了14个专题，出版了丛书中的一册《小学数学教学》。研究的其中一个专题为“关于小学生初步逻辑思维能力培养的阶段性的研究”，结合五年制小学数学初步逻辑思维在不同年级的体现，明确了它既有阶段性又有连续性，既有一般性又有特殊性，最后对各年段的要求作了若干说明并提出了培养的建议。这是大家研究的结果、集体的智慧。对以后义务教育大纲的制定等有一定参考价值。
唐彩斌：曾经一个时期，每年的全国小学数学教育年会都有大型的优质课评选，常常由您代表评委会做课堂教学评比的大会点评，您还曾经主编了《全国特级教师课堂教学集萃》，直至现在很多特级教师的案例还是值得借鉴，您觉得一节好课的标准是什么？
周教授：现在的课有各种各样的说法，不太好说。我看这一节课的成功与否要看学生的反应。
首先看教学目标。目标是评价教学效果的依据，目标的制定应明确、具体，恰如其分；第二看教学内容的处理，看教师能否灵活而有效地驾驭教材，并根据学情活化教材；第三，看教学设计，这里我非常重视抓准学生的学习起点，是充分利用学生已有的知识经验，还是不顾一切“从零开始”，在实施教学过程中，更看能否及时抓住利用有用的生成资源，把它放大成为全班的共识，从而在师生互动中创造出思维共振，情感共鸣的默契配合，还是千方百计地死拉住备课思路不放。教学组织时可以完全放开、也可以是引导孩子探索，这时关键的步骤老师要花时间舍得让孩子下功夫。我非常同意上海老顾（顾汝佐）说的话，重点要非常突出，重点多了就没有了。难点要在课堂上基本解决，要看孩子的最后效果，孩子反馈的回答的问题是否“质高面广”、思维活跃信息通畅，还要看教学设计有没有特色，就像一篇文章一样，我们要关注原创和亮点，课也是一样的，一节课有一两个特别的亮点就是一节好课了，甚至还有不足，只要吸收别人的建议再琢磨自己的不足，以后就会有更大的进步。并不是也不可能来全国年会上的课，都是完美无缺的课。
全国年会为广大教师提供了一个集中展示和交流的平台，并不是说来上的课就是代表中国最高水平，有的老师在自己的课堂上也有精彩的设计，只是机会不能眷顾，只能从每个省选取个别代表。
唐彩斌：并不是每一个人都有机会参加全国赛课，但是却是有很多的人想成为一名优秀教师。作为未来的优秀教师，您有怎样的建议？
周教授：数学教育需要关注两个方面，一个是数学，一个是教育。作为未来优秀的教师需要与时俱进地增强数学的本体知识，不断提高自身的数学素养，另一方面需要不断领悟教育先进理念，掌握儿童学习心理，增强教育的技能。简言之，要读懂数学、读懂学生、读懂课堂。“读”还比较容易，“读懂”谈何容易，这是我们一辈子的事情，咱们共勉之。
问：您作为高校的教授，却深得一线教师的喜爱与敬重，在访谈的最后，您最想勉励一线教师是什么？
周教授：实、活、新，上好每一节课。