丁尔陞的数学教育思想

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丁尔陞的数学教育思想

赖晓丹


   丁尔陞先生是我国著名的数学教育家，是我国数学教育界公认的一代宗师。他是四川省威远人，曾任北京师大数学系任教，任教研室主任、系党总支书记。丁先生早年接受中国传统文化的教育，后去前苏联留学，在列宁格勒师范学院研究生院攻读数学教学法专业受哲学家列宁的哲学思想的影响，使他最终创造了全面深刻且蕴涵了丰富哲学思想的数学教育思想。在20世纪80年代初，第一次提出了建立数学教育学的构想，当时构想数学教育学为三角形结构，即由数学教学论、数学课程论、数学学习论构成，数学教育学是数学、教育学、心理学和辩证唯物主义哲学的边缘学科，并进行推动，是我国数学教育学科的创立人和奠基人之一。[1]更为可贵的是，作为一个本土化的数学教育家，丁先生的数学教育思想都是他在长达几十年的数学教学实践中，进行学术研究的成果，是他丰富教学经验的结晶。读丁先生的学术著作与论文，总能够感受到他的数学教育思想给人以智慧的启迪和经久不衰的魅力。研究丁先生的数学教育思想，对探索中国数学教育学形成和发展过程具有深刻的意义。丁先生的数学教育思想在建国初期逐步形成，在社会主义建设时期中发展，在21世纪中国现代化过程中进一步完善。丁先生的数学教育思想主要有以下三个方面：
   一、数学教育的目的：从为社会服务到个人发展与社会需要结合的转变
   建国初期，我国需要发展“高精尖”技术，因此作为现代科学技术的重要工具的数学必须迅速发展，但当时的数学教学跟不上科学技术发展的速度，中小学十二年根本接触不到现代数学，在大学还要用三、四年的时间补数学基础课，专业化课程只有在四、五年级学到一点，这严重影响了科学研究的进行。于是，1958年在建设社会主义总路线和为无产阶级政治服务的教育方针指引下出现了教学改革的群众运动，数学教学也进行了改革。丁先生提出数学教育应为建设我国社会主义事业服务。“数学教育工作者必须充分意识到自己的责任和工作意义，密切注意我国社会主义事业的发展，并用自己的工作积极地为社会主义事业服务，社会主义事业需要什么，我们就作什么，那种就数学谈数学的倾向是一种忽视政治的表现，必须反对。”[2]当时，我国正处于发展阶段，国民经济建设是以农业为基础，以工业为主导，优先发展重工业。于是，他提出了数学教学必须与社会主义建设相适应，既要满足现代化工业生产和尖端科学技术的需要，又要满足发展农业的需要，在数学教学中对学生进行思想政治教育，使学生认识工业和农业生产的重要性，自觉投入工农业生产战线中，数学教材内容应搜集大量生产实际中数学问题，利用数学原理解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。为了平衡学生在工业和农业的就业情况，避免学生忽视农业的地位，数学教材有必要搜集充分反应农业生产的伟大成绩及其对国民经济建设重要作用的资料，使学生在学习过程中受到熏陶。后来，受到文化大革命影响，丁先生对于数学教育的目的有了新的转变，从重视人的价值（即为社会服务）到重视人格的发展（即着眼于人才的品格结构）。
   由于文化大革命对数学教育系统造成严重的破坏，1978年数学课程体系进行重建。此时，丁先生提出数学教学要为现代化服务，即“内容现代化”。教学内容必须适应工农业生产的需要与现代科学技术发展的要求。在教材中要按实用和现代化观点精选内容，选择基础的部分、实质的材料，抛弃一些复杂、不必要的内容。而且，现代教育的目标是开发人的脑子，要着眼培养人才的品格结构（包括人的思维方式、能力、意志的总和），培养创造型和开放型的人才。这是着眼未来的态度，农业社会着眼过去，工业社会着眼现在，新的人着眼未来。1984年，丁先生在中国教育学会数学教学研究会第二届（中学）年会上，提出“要着眼于人的素质的培养，素质包括知识、能力和态度（精神），最核心的是态度（精神），不能只着眼于知识和能力，而要重视态度（精神）的培养” 。[3]接着，他具体指出数学教学应培养学生刻苦的精神顽强的毅力、实事求是的科学态度和积极主动，独立思考，勇于创新的精神。
    20世纪80年代，随着国际数学课程发展的主流——对大众数学的探讨，我国数学教育界也积极投向世界，教育部提出教学的重点应从应试教育转向公民素质教育，要培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义公民。1993年，丁先生进一步诠释这一指导思想，他指出数学教育的目的是要培养有社会主义觉悟、共产主义理想和道德；有现代文化科学技术知识，既懂得现代生产的基本原理，又会使用现代生产的工具；有健康的体魄；有高尚的审美情操，能辨别是非、真伪、善恶与美丑。于是，数学教育要处理好个人的全面发展与社会的现实需要两者的关系。数学教育要结合智育、思想品德教育和美育培养21世纪的人才。这是丁先生关于数学教育目的的进一步深化，意识到数学教育不仅是为社会的现实需要服务，还要培养个人的全面发展，注重个人人格结构的培养。
    数学教育的目的是数学教育学课程论的重要组成成分。只有明确了数学教育的目的才能正确地指导数学课程的编制和实施，提高数学教学质量，从而进一步推动数学教育的目的。数学教育目的从为社会服务，到重视人格的培养，再转向为个人的全面发展和社会的现实需要两者的结合，这充分体现了丁先生对数学目的态度的转向和发展。丁先生在数学教育为广大的数学教育工作者指引了研究的方向，为广大数学教师点亮了前进的道路。
    二、理论与实际的关系：从强调应用到恰当地联系理论与实际的转变
    理论与实际相结合是马克思主义的一个基本原则。所谓理论，是从实践中来又经过实践检验的东西，它不是人脑的主观意志的反映，而是客观世界规律的反映。建国初期，在数学教育目的性的指引下，丁先生提出数学教育必须坚持理论联系实际，教育应与生产劳动相结合，既能满足工农业的要求，又要反映最新教育科学水平。当时，丁先生带领北师大数学系一百多名师生利用寒假期间进行群众运动，制定了一个改革中小学数学教学的初步方案。在工作过程中，他们访问了一百多个工作单位，包括工厂、企业、学校及有关生产部门的设计院等，了解到实际生活中对数学的需要。这为丁先生提出重视实践和进一步制定数学教育的内容打下了结实的基础。但有人提出理论联系实际会破坏理论系统，在联系过程中会出现忽视基础理论，只讲实用的缺点，导致在数学教学中形成实用主义。而实用主义是资产阶级教育思想，是为资产阶级训练自己的“生产工具”服务的。丁先生对此持相反的意见。他认为“为理论而理论、片面强调数学的纯粹行、数学理论的系统性才是资产阶级方向。资产阶级把工人当作自己的生产工具看，他们不需要工人掌握系统的科学知识，而我们要培养的是自觉的社会主义建设者，不仅要会实用现代工具，而且要革新现代工具，所以数学教育就必须坚持理论联系实际，与生产劳动相结合的无产阶级方向。”[4]于是，他提出，数学教育要贯彻理论联系实际的原则，教学大纲要符合工农业生产的需要，增加必要的联系实际密切的知识，在数学教学中也要尽量指出概念、定理、公式的实际根源、实际意义、在生产实践中的作用以及如何运用这些知识去解决实际问题，培养学生具备运用知识解决实际问题的能力。例如立体几何中一些简单几何元素关系及图形性质的研究，可以让学生动手制作模型、装卸机器零件，进而培养学生空间想象力，而不是用理论进行大量繁琐的推理论证上去验证事实；在讲授函数的定义时，可列举自然现象中或生产实践中富有启发性函数关系的例子，使学生对常量、变量、自变量、函数等概念有正确的较为深刻的理解，有利于指导实践，解决实际问题。之后，他进一步提出要正确处理理论与实际的关系，并对此原则具体化，“根据理论结合实际的精神对基础知识的内容和体系加以改造；在教材的处理上要尽量作到概念从实际引入，问题从实际提出；加强知识的应用部分，丰富练习题的内容，给学生一些实际问题，让他们练习去分析条件化为数学问题，然后加以解决；加强课内外结合，适当进行生产实习或参观等”。 [5]此时，丁先生强调数学知识的应用，以大力发展生产，重视在数学教学中培养学生的应用意识。
    于是，在理论联系实际的原则下制定出九年一贯制学校数学教材出现了过分强调联系实际，忽视理论的现象。1982年，丁先生重新提出中学数学教学内容除了要适应工农业生产和现代科学技术发展需要外，还要加强基本技能的训练，提高学生的运算能力、思维能力和空间想象力，从而提高分析和解决实际问题的能力，这体现了“精简实用”的指导思想。“精简实用”恰当地表现理论和实际的正确关系。由实际到理论，就是由繁精简，把实际中多样的事物、现象，经过分析、综合，归纳出简单而又具有普遍性的道理。而只有精而简的理论才能用来“以简驭繁”。所以“精简实用”在科学上的意义就是要寻求真正具有普遍性、简明扼要的理论。“精简实用”强调了理论的重要性，实际是具体的、多样的、繁杂的，而理论是抽象的、概括性强的，具有普遍性的，只有精简的理论指导实践，才能使实践更具有目的性、具有较大的成功率。在中学数学中，精简的理论指的是什么呢？丁先生指出在教材中具有普遍意义的通性、通法，具体指中学数学课程内容应试代数、几何、分析和概率这四科的基础部分恰当配合的整体，其中普遍使用的最基础部分是代数中数系、几何的研习演绎法和分析中的逼近法。中小学数学教材必须有严谨的理论体系，但前提是这个体系要为社会主义建设服务，丁先生不主张用什么学什么，忽视系统基础理论的学习，而是主张学透、学好、学活完整的、系统的基础理论知识。此时，理论联系实际的原则上升了一个高度，在强调实践中也要重视理论，重视从具体的生活中例子抽象出最一般的理论。
    21世纪90年代，随着社会主义现代化建设的发展，教育的目的转变为公民素质教育。为了体现公民义务教育的要求，丁先生提出理论联系实际中“理论要求要适当低些，知识更实用些”[6]，以便有利于学生运用数学知识分析和解决简单的实际问题，这体现数学源于实践又反过来为实践服务的唯物辩证观点，而教师的主导作用在于引导学生实现从感性到理性和从理论到实践的两个飞跃。由此，丁先生进一步诠释理论与实际的关系，“贯彻理论联系实际原则的首要目的是为了理解和掌握知识。所谓理解不是形式主义的或机械的死记硬背，而是要理解知识的实质，知道它的来龙去脉。所谓掌握就是要会用，即知道在什么地方有用，如何用。不仅会去解考试题，而且会用来解决实际问题。其次是要培养分析和解决实际问题的能力。再次是要增强运用数学去解决实际问题的意识。” [7]于是，他提出要培养学生有一种数学头脑：会数学地提出问题，数学地分析问题和解决问题，必须 “恰当地联系理论与实际” [8]，大力加强中学数学与实际的联系，尽可能模拟客观实际情况，尽可能从学生所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发进行分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，从而得出数学概念和规律，要提供学生丰富直观的背景材料，让他们亲身体验思维加工的过程；与此同时，要大力提高中学数学教学的理论水平，加深理论的理解，才能有效地把理论知识应用于实际，避免在教学中仅讲算法，不讲算理，缺乏理论指导，不注重理解和系统掌握，着重解题技巧的做法；一般原理和一般方法是长期起作用的东西，只有掌握了理论，才能完成从感性认识到理性认识、由理论到实践的两个飞跃。“中学数学的三大主题代数、几何、分析在相邻学科和解决各种实际问题中都有广泛应用，中学数学课程应当是它们恰当配合的整体。”[9]具体指数学课程的内容应具有应用的广泛性，可以运用于解决社会生产、社会生活以及其他学科的大量实际问题；应用于训练人的思维。所以，数学课程应精选现代社会生产和生活中广泛应用的数学知识，考虑其他学科对数学的要求，满足现代科学技术发展的需要，如计算机初步知识、统计初步知识、离散概率空间、二项分布等概率初步知识。在此，丁先生进一步完善理论联系实际原则，要恰当处理好理论与实际的关系，如同物质文明和精神文明，两手抓两手都要硬。
    在具体教学中如何理论联系实际呢？丁先生在指导中学三角课的教学中可以用地球旋转，机器轮子的转动，时钟指针的转动等实际例子解释任意角的概念，用齿轮、螺丝等实际例子说明有方向角的概念；而三角函数可以应用于物理课中的力学、光学、电磁现象，天文课中确定地球和月亮的距离，计算地球的大小，各星球的半径等，所以教师应该重视三角函数在各种技术和生产领域中的应用，把讲授实际应用作为三角的一个重要教学目的，为学生提供丰富具体实际内容的三角习题。这是中国数学教育学的课程论和教学论实施理论联系实际的原则的具体例子。
   三、本质与形式的关系：从强调本质到着重培养辩证思维能力的转变

   数学中的形式化，就是用特定的数学语言，包括数学的符号语言，图象语言和文字语言，表达自然现象和社会现象的空间结构和数量关系。每门学科都有自己的特定内容和表现的形式。数学通常的表现方式都是抽象形式化的思想材料，而不是具体的某种现实。数学来源于具体的材料，一旦抽象出来就变成独立的数量关系。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。于是，建国初期的数学教材注重演绎方法、形式的格式，不重视本质、思路和精神实质，导致了教材处理出现繁琐和形式主义的毛病。在理论联系实际原则指导下，丁先生提出数学学习的方法不应满足于形式逻辑的推理上，发展数学不能单纯用演绎方法，例如在平面几何的证明中，对于一目了然的事实仍要进行繁琐的推证或过分追求形式的严谨，演绎的推理格式，不但不能很好地培养学生的思维能力，相反地是限制学生辨证思维的发展。演绎方法是整理数学知识的方法，但若单纯用演绎体系去培养学生，容易使学生思想方法片面主观及僵化，误认为数学真理是演绎推理的结果。于是，丁先生认为不能过于重视演绎方法，不能单纯用演绎方法发展数学。

    1982年，丁先生具体提出如何处理形式主义的具体方法：在教学中尽可能用通俗易懂的形式渗透一些现代数学的重要概念与重要的思想和方法。如用集合概念理解方程和不等式的解，理解函数的概念；结合指数概念的推广给出群的初步概念；结合正负数与对数的学习渗透有关映射、同构的初步概念；用运动变换的方法和坐标、复数的演算方法来研究图形性质等。进而，他提出重视基础数学的本质而不拘泥于抽象的形式，即“返璞归真”。“任何理论，它的本质要比它的形式更有活力，也更易被人所理解。”[10]基本数学的本质是基本的数学思想与数学方法。可传统的教学强调学生进行具体的、形象的思维，注重学生思维的训练，导致学生形成简单重复、硬性模仿、机械套用公式的坏习惯。所以，在教学过程中，应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态；既要学习数学的形式化的表达，更要让学生会“数学地”提出问题、思考问题。解决问题，领悟数学概念和法则的探索和发现过程，体现生动活泼的数学思维活动。在此，丁先生具体地提出在数学的教学和教材上应重视数学知识的本质，不要过分追求形式。

    随着数学课程的发展，在1993年丁先生对数学知识的本质与形式的关系做了进一步的诠释。形式化是数学的特征之一，数学教学需要体现这种特征，为此，教师要帮助学生了解数学符号和语言的意义与价值，学会欣赏数学符号美的内涵，灵活运用数学符号和语言解决有关数学问题。在教学中处理形式化又要 “适度”。教学中要注重揭示数学的本质，重视学生的直觉意识。例如，我们从来没有定义过什么叫面积、体积，但是数学教学照样进行，因为我们的直觉中已经知道“面积”的意义。主张不正式讲“极限、连续”，直接给出“导数”的定义，把比较严格的、形式化的极限理论，留到大学里去解决，用多个步骤来逐步完成形式化的理解，符合人们的认识规律。演绎能力对学生是必要的一种数学能力，在问题已经数学化后，整理数学事实时发挥作用。但要把问题数学化，则应注重数学问题的精神实质，仅用形式逻辑是不能够的。于是在培养形式逻辑的推理论证能力是，应更着重辨证思维能力的培养，即重视本质。丁先生把注重本质提高到一个高度，培养学生的辩证思维能力，这体现了数学的哲学性和思维性。这也是数学课程论和教学论应该处理的一个重要转向。
    在上述数学教育思想的深化过程中，丁先生逐渐意识到在中国也应构建数学教育学。在20世纪80年代初，丁先生第一次提出了建立数学教育学的构想，当时构想数学教育学为三角形结构，即由数学教学论、数学课程论、数学学习论构成，他进一步指出数学教育学是数学、教育学、心理学和辩证唯物主义哲学的边缘学科。在国际上，各个国家也正在构建数学教育学。苏联“数学教学法”是教育学的一个领域，主要研究数学教学的目的、原则、方法和组织形式；日本第一次提出“数学教育学”，并提出数学教育学的七个研究领域，分别是学习者的数学的认识和实践的研究，教授学习的研究，教育内容的确定和教育课程的研究，公共教育机关的数学教育研究，数学在社会作用的研究，数学教育史的研究，世界数学教育的研究；美国的“数学教育”提出数学研究的对象：课程、教学、学习，并把其对应于三种人：课程设计者、教师、学生，与此对应于于三个研究的方面：课程论、教学论、学习论。丁先生关于数学教学论的思想综合了国内外的教育学理论，并从中国数学教育的实际情况提出了要逐步建立数学教育学，形成数学教育这一个专门的学科，有组织、有系统、有计划地开展这个领域的研究与交流。于是，在1983年，中国建立了数学教学研究会，丁先生当任了副理事长。在数学教学研究会成立大会中，丁先生致了开幕词，指出中国数学教育学的任务是“以马列主义认识论作武器，分析、研究数学教育过程，发现、揭示数学教育的客观规律，形成科学体系” 。[11]随着数学教学研究会开展的一系列数学教育课题研究，中国数学教育学进一步形成和发展，为广大数学教育工作者和前线教师提供了丰富的理论指导和研究方向。
参考文献：
[1] 丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005.
[2] 丁尔升，唐复苏.中学数学课程导论[M].上海：上海教育出版社，1993.
[3] 王林全.当代中小学数学课程发展[M].广东:广东教育出版社，2006.
[4] 丁尔升，高存明，陈宏伯，刘长明.努力编写一套具有中国特色的高中数学教材[J].课程教材教法,2006,(3):47-53
[5] 丁尔升.我国中小学课程发展思考 [J].数学通报,2002,(5):1-7
[6] 再谈面向新世纪的数学课程[J].中学数学课程教学研究,1994,(2):10-15
[7] 丁尔升. 再接再厉探索创新——在中国教育学会中学数学教学专业委员会20周年纪念会上的讲话[J]. 课程教材教法,2003,(3):18-21

[1]李仲来.当代数学教育家简介 [M].北京:人民教育出版社，2005：2.

[2]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：2.

[3]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：136.

[4]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：16-17.

[5]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：27.

[6]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：105.

[7]丁尔升，唐复苏.中学数学课程导论[M].上海：上海教育出版社，1993：139.

[8]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：131.

[9]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：383.

[10]丁尔升，唐复苏.中学数学课程导论[M].上海：上海教育出版社，1993：99.

[11]丁尔升.丁尔升数学教育文选[M].北京:人民教育出版社，2005：336.