管季超近年研读收存的数学教育典型论文

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中国古代数学：不仅重“实用”，而且有“理论”——郭书春先生谈《中国科学技术史·数学卷》
《 中华读书报 》（ 2011年09月07日   12 版）

    编者按：2008年，中国科学院“八五”重点研究课题、国家自然科学基金资助项目、国家“九五”重点图书出版项目《中国科学技术史》通过专家验收，本报曾给予大篇幅的报道和高度评价，认为：“这套中国人自己编写的大书出版以后，我们谈论中国古代科技史，可以不用言必称李约瑟了！”不过，当时这套书还未出齐。去年10月底，《中国科学技术史·数学卷》由科学出版社出版，使这一重大出版工程又向前迈进一步。该书出版以后，学界赞誉有加，认为该书是对截至到21世纪头十年中国数学史研究成果的最新全面总结，是该领域里程碑式的成就。日前，记者采访了该书主编郭书春先生，请他介绍了该书编纂过程，及其对中国数学史的阐释新在何处。
    读书报：据了解，《中国科学技术史·数学卷》的编纂工作早在1980年代后期即已启动，直到去年才最终完成，为什么耗时如此之久呢？
    郭书春：作为“八五”计划的中国科学院重大课题的一个子课题，《中国科学技术史·数学卷》是上世纪80年代末启动的，我是作者之一，由于种种原因，特别是因主编出国，没有按时完成，却把经费花光了。在《中国科学技术史》编委会和中国科学院自然科学史研究所领导反复动员下，我在2004年夏应允出任《中国科学技术史·数学卷》主编，随即在2004年下半年重新组建编委会，考虑到本人关于明末之后的数学史修养比较薄弱，我提议李兆华先生出任《数学卷》副主编，约请了冯立昇、傅祚华、高红成、郭金海、郭世荣、韩琦、侯钢、纪志刚、孔国平、吕兴焕、田淼、汪晓勤、王渝生、徐泽林、邹大海（以姓氏拼音为序）等中国数学史学科的学术带头人和科研骨干参加编写。大家齐心协力，在经费十分少，甚至零经费的情况下完成了撰写。
    读书报：据了解，自上世纪30年代以来国内外已经出版了十几部不同规模的中国古代数学的通史性著作，请问，《中国科学技术史·数学卷》与这些著作相比有什么特点？
    郭书春：首先是关于中国数学史的分期，近一个世纪来，学术界有各种不同看法。我们赞同钱宝琮的思想，认为数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据，同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景，因此，我们结合30余年来中国数学史研究的新成果，将中国数学史分成中国数学的兴起——原始社会到西周时期的数学，中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学，中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学，中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学，传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学，西方数学的传入与中西数学的融会——明末至清末的数学凡6个时期，这正是本书的六编。
    其次是尊重并认真研读原始文献。这本来是对数学史工作者的起码要求。但是，不客气地说，一个世纪以来，不认真研究原始文献，对古文进行曲解，随意删节、篡改，在数学史研究和著述中并不鲜见。本书依据原始文献对清中叶以来学术界流传一二百年的对《九章算术》的编纂、刘徽的割圆术及求圆周率的程序、杨辉《详解九章算法》的结构、秦九韶的人品及其大衍总数术、李冶《测圆海镜》为何而作及其天元式等中国数学史的重大问题的认识偏颇做了实事求是的纠正。
    第三，本书力图探索各个时期数学的发展与当时社会经济、政治、思想、文化的关系。
    读书报：在我们一般的印象中，中国古代数学强调实用，未能像西方数学那样发展出高度抽象化、形式化的纯数学，所以其能到达的高度也就大为受限，是这样吗？
    郭书春：这正是我要讲的本书的第四个特点，就是重视中国古代数学理论的探讨。说中国古代数学重视实际应用是不错的，但简单地以此来概括中国古代数学的特点，由此认为中国古代数学没有理论，就失之于片面了。许多中国数学史著述进而将中国古代数学著作统统概括为“应用问题集”，特别是将《九章算术》概括为“一题、一答、一术的应用问题集”，并不符合实际情况。不言而喻，应用问题集是以问题为中心的，而《九章算术》等著作的主体部分则是以术文为中心的。《九章算术》中，许多术文是几道、十几道甚至是几十道题目的总术，大部分术文是非常抽象的具有普适性的严谨算法。另外，刘徽《九章算术注》、贾宪《黄帝九章算经细草》和杨辉《详解九章算法》等进一步抽象了《九章算术》抽象得不够的术文。《海岛算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》、《杨辉算法》、《算学宝鉴》等的术文是关于一种数学问题的比较抽象的算法。所以，简单地将中国古代数学的特点概括为实用，并不准确。
    读书报：还有一种非常流行的看法是，中国古代数学中没有形式逻辑，尤其没有演绎逻辑。李约瑟也说过，“在从实践到纯知识领域的飞跃中，中国数学是未曾参与过的”，所谓成就都是经验的积累，没有推理和证明，总之，是没有数学理论。您同意这类说法吗？
    郭书春：我不同意。数学理论，最主要的有两个方面：首先是具有普适性的抽象性的正确的算法；其次是有关于这些算法的推理和论证，以及数学定义，并且其推理和论证主要是演绎的。对前者，前已指出，《九章算术》等著作中有大量关于一类数学问题的具有正确性、普适性和抽象性的术文，这本身就是数学理论。后一方面来说，尽管大多数中国古代数学著作都没有数学定义、推理与论证，但绝不是全部。事实上，刘徽的《九章算术注》和贾宪的《黄帝九章算经细草》、李冶的《测圆海镜》、《益古演段断》、杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》、王文素的《算学宝鉴》等都有不同程度的定义、推理和论证。李约瑟已经指出杨辉有演绎推理的倾向。实际上，刘徽《九章算术注》中的演绎推理和数学证明比杨辉高明得多，深刻得多。我们经过考察发现，现今形式逻辑教程中关于演绎推理的几种主要形式，刘徽都娴熟地使用过，而且没有任何循环推理。刘徽的数学证明是相当严谨的。说中国古代数学没有演绎逻辑，大约是没有读或者没有读懂刘徽的《九章算术注》。西方有远见的学者，比如以研究古希腊数学著称的英国罗界（G.Lloyd）爵士多次与我讨论刘徽的证明问题，他对刘徽的评价极高。法国伦理与政治科学院院长E.Poulle教授等认为刘徽在数学证明及其意义的概念上有新的突破。
    我们认为，刘徽等数学家的数学证明表明，中国古代存在着纯数学研究，也就是为数学而数学的活动。一个明显的事实是：就实际应用而言，《九章算术》和许多数学著作提出的公式、算法，只要能够无数次的应用，并且在应用中表明它们正确就够了，不在数学上证明它们，根本不会影响它们的应用。刘徽的《九章算术注》对《九章算术》的公式、算法进行了全面而且基本上是严谨的证明，并在证明中追求逻辑的正确，推理的明晰，这显然是纯数学的活动。杨辉、王文素等的论证工作，也属于纯数学的范畴。另外，像祖冲之将圆周率精确到8位有效数字，更不是实际应用所需要的。实际上，祖冲之后一千多年间，在工艺技术和历法的计算中，人们还大多使用“周三径一”，除了数学著作中的计算外，甚至连徽率157/50也未必使用。王恂、郭守敬制定明以前最精确的历法《授时历》，仍然使用圆周率3。事实上，即使使用祖率355/113或8位有效数字的圆周率计算出需要的数值，没有近现代的精密加工技术，古代加工技术所造成的误差，会远远超过圆周率不精确造成的误差。显然，追求圆周率的精确值，不是人们日常生产、生活的需要，而是纯数学活动。
    读书报：您前面提到中国古代数学很重视算法，中国古代的算法和现代计算机科学中常说的算法是一回事吗？如何看待中国数学的这一特点？
    郭书春：应该说是一回事。事实上，中国古代的许多算法稍加改变就可以用到电子计算机上。
    20世纪70年代以前，中国数学史界一般将中国古代数学的特征概括为强烈的位值制，以计算为中心与数学理论密切联系社会实际等。这是非常明显的，也是正确的。钱宝琮等前辈已经做了充分的论述。然而，进一步问，中国古代数学的算法有什么特点？提出并解决这个问题的是吴文俊。他说：“我国古代数学，总的说来就是这样一种数学，构造性与机械化，是其两大特色。”构造性和机械化的思想贯穿于整个中国古代数学的始终。所谓构造性数学是指从某些初始对象出发，通过明确规定的操作展开的数学理论。中国古代的方程术即线性方程组解法、刘徽求圆周率的程序、开方术和求高次方程正根的增乘开方法、大衍总数术即一次同余方程组解法等成就都是典型的构造性方法。所谓机械化，就是刻板化和规格化。《九章算术》中的分数四则运算法则，开平方、开立方程序，方程术等，刘徽的求圆周率的程序、解方程互乘相消法和方程新术，等等，都具有规格化的程序，是典型的机械化方法。吴文俊院士正是从中国传统数学的构造性和机械化特征得到启发，开创了数学机械化理论，为当代数学做出了重大贡献。
    读书报：研究中国古代数学史，除了要准确地描述其发展历程和特点之外，我想，还应该对中国古代数学与西方数学、现代数学的关系做出说明。我们从上学开始，接触的数学概念、定理、理论大多都是以西方人的名字命名的，所以，很多人都会觉得，似乎中国古代数学与现代数学是没有多大关系的。这种看法是否成立呢？
    郭书春：事实上，许多西方学者也有这种看法，像西方著名数学史家克莱因在《古今数学思想》中就将中国与日本、玛雅的数学一道列入“对于数学思想的主流没有重大的影响”而略而不论。英国科学史家李约瑟（1900－1995）则根据自己以及李俨、钱宝琮、严敦杰等学者的中国数学史的研究成果，指出在数学上，“在公元前250年到公元1250年之间，从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”，批驳了中国古代数学源于古巴比伦、古希腊和印度的谬说。
    吴文俊根据钱宝琮的思想，将中世纪数学发展过程概括为“中国-印度-欧洲”和“希腊-阿拉伯-欧洲”两条路线。后来，他进而指出：“贯穿在整个数学发展历史过程中有两个中心思想，一是公理化思想，一是机械化思想。”不久，他又将“两个中心思想”改成“两条发展路线”：“一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学。”他明确地回答了数学发展的主流问题：“在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流”，而“中国古代数学，乃是机械化体系的代表”。这就是说，在吴文俊看来，数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式，还有与之平行的中国式数学，而就近代数学的产生而言，后者甚至更具有决定性的（或者说是主流的）意义。正是以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学，包括数学方法和用数学解决实际问题的传统，传到欧洲，与发掘出来的古希腊数学相结合，导致数学模式和数学家的数学观的改变，重视数学计算，走向几何问题的代数化，从而开辟了文艺复兴后欧洲数学的繁荣，并开辟了通向解析几何和微积分的道路。总之，只要了解并客观、公正地评价中国传统数学，就会发现，它是世界数学主流的极其重要的一部分。
    读书报：从李俨、钱宝琮在上世纪初开创对中国数学史的科学研究，到这部《中国科学技术史·数学卷》出版，已有一百年的时间。经过几代学者的奋斗，我们已基本弄清了中国古代数学发展的面貌。是否这个领域的研究已到了题无剩义的地步？您对今后中国数学史的研究有什么建议？
    郭书春：由于李俨、钱宝琮、严敦杰等大师筚路蓝缕的工作，中国数学史学科基础深厚，成果丰硕，自上世纪60年代钱宝琮主编的《中国数学史》出版时起，就有“中国数学史没有什么可搞了”，“是贫矿”的说法，并在六七十年代在学术界占据主导地位。30余年来中国数学史的研究，特别是关于《九章算术》及其刘徽注的研究实践，证明了这种看法是不妥当的。同样，这种看法在今天仍然是不对的。总的说来，目前中国数学史的研究，包括《数学卷》的编纂，基本上还是沿着李俨、钱宝琮等开创的路子走的，使用的是传统方法。我们应该进一步与国际接轨，学习国外数学史界科学的、行之有效的研究方法。以新的方法，新的视角考察中国古代数学，一定会取得新的成果。我认为，以下几个方面应该特别重视。首先，就中国数学史的断代史而言，对两头的研究一直薄弱。一头是中国近现代数学史的研究，目前已有很好的起步，应该进一步加强。另一头是先秦数学的研究，其薄弱的原因是资料缺乏。上世纪80年代张家山汉简《筭数书》的出土，2007年底岳麓书院收藏了秦简《数》，改变了文字资料空白的局面，《中国科学技术史·数学卷》都有专门章节论述，但仍值得进一步研究。近年北京大学还收藏了400余支秦数学简牍，清华大学收藏了战国算表简，湖北睡虎地出土了200余支西汉数学简牍，都正在整理中。这些秦汉数学简牍提供了秦与先秦数学最可宝贵的原始文献，对它们的研究，必将开辟中国数学史研究的新天地。
    其次，开展中国古代数学社会史的研究，包括当时社会的政治、经济、社会思潮和文化背景，甚至各民族的不同的心理素质，所处的不同的地理环境，不同文化传统的交汇，以及科学技术其他学科的发展情况，即所谓外史的研究。
    第三，开展数学思想史的研究，尽管过去有所涉猎，但总的说来还相当薄弱。
    第四，要开展比较数学史与交流史的研究。比如研究中国传统数学与古希腊数学为什么会有不同的形式、风格和特点，研究中国传统数学与印度、阿拉伯数学的关系。为此应该培养不仅懂得英文、法文、德文、日文，而且能阅读阿拉伯语、梵文的数学史学者。
    同时，我们应该清醒地看到，尽管20世纪二三十年代以来，中国古代数学的辉煌成就已得到国内外学术界中有识之士的公认，但是，在国内外学术界中，欧洲中心论或其他什么中心论仍占主导地位。他们或者对中国古代的数学成就视而不见，或者不顾起码的编年史，硬说中国的成就来源于比中国晚几百年的印度或别的什么地方。即使是对中国古代数学十分推崇的学者，也有中国古代数学没有理论，没有逻辑，更没有演绎逻辑的偏见。可见，向学术界、教育界，尤其是大、中、小学的教师、学生，乃至全民族普及数学史（中国数学史应在其中占据恰当的位置）知识，是十分必要的。这是数学史工作者责无旁贷的使命。（本报记者  王洪波

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要引导学生集中精力来思考问题    东北师范大学校长史宁中的言论：
   “未来的教育应当充分地彰显人与动物的最大区别，会的不要教，要教的是不会的。人与动物最本质的区别是什么呢？我认为是人有想象能力、抽象能力，而动物没有。”
   “教育是干什么用的呢？是要培养素质的。什么素质？向上的精神，学习的兴趣，创造的激情，社会的责任感。”他认为，一个优秀的教师最根本的表现，就是他教的孩子愿不愿意读书。
   “我觉得良好的学习习惯第一条就是集中精力。我带了很多博士生，有些人思考就是不深入，后来我发现他们的问题出在不能集中精力。”史宁中校长说，小学生精力集中的时间，一般只有十几分钟，最多20来分钟，老师就要在这十几二十几分钟内把你要讲的东西讲出来。如果教师掌握了知识的本质以后，再精炼语言，肯定能在20分钟内讲完。而反复地唠叨、重复，反而分散了学生的精力。
   史校长甚至认为，学数学不用笔不用纸，用脑袋想就能想出来，而这正是锻炼一个人集中精力思考问题的办法。教师要引导学生真正集中精力来思考问题。
   数学是思维的科学。培养数学能力也一再被我们的数学教育提起，然而在这次峰会上，学生不会思考的问题被一再提起。
   史校长认为，对思维过程的忽视，是当下数学教育的一个普遍现象。“我们的老师讲课，往往是从中间开始讲，其实一开始的思维过程往往很重要，却被扔掉了。老师看学生学得怎么样，也只看答案对不对。知识是什么，是思考的结果、经验的结果。仅仅结果的教育是不能教智慧的，智慧往往表现在过程中。有关过程的东西只有通过过程来教。过程的教育能够培养我们的孩子正确的思考方法，最终培养孩子数学的直观。因此，我们要强调过程的教育，在过程中判断他的思维是不是对的。”
   而教师启发学生思考最好的办法，“就是和学生一起思考”。
   那么，有没有相应的评价体系来推动数学教育走向思考、走向过程呢？负责数学教育检测标准制定的史宁中校长透露，未来这一具有导向型的评价标准将有两大重大变化：
   第一，不要求计算速度，算对即可。“有一种说法在学校很流行：一看就会，一算就对。这是不行的，数学是需要思考的，不是培养技术工。以后考试不要题量太大。”
   第二，强调在理解上的掌握。他举例说：“比如三角形内角和180度，你仅仅知道这个不算理解，你也应该知道，一个三角形里不能有两个钝角，一个四边形内角和是360度，这些一步就能得到的结论都应算在理解的范畴。理解没有内容是不行的。
   中国未来小学数学教育将转入更加注重内涵的改革深化阶段，其一，注重思考力的培养；其二，注重过程性经验的积累；其三，注重真正意义上的“理解”。

                  研究学生是当下的一个紧迫课题。
   10年前，主持研制了我国义务教育《数学课程标准（实验稿）》的刘坚教授（教育部基础教育课程教材发展中心主任助理），一个深切的感受是，我们的数学教育“研究学生”远远不够。2004年，他就在呼吁要研究学生、读懂学生，此次峰会，他再次重申这一话题。“没有对学生数学学习过程的深切体验，没有发现儿童学习数学的独特性和多样性，就不可能发自内心地尊重学生、热爱学生，让学生成为学习的主人就会永远停留在口头上。”
   “我们今天依然需要研究学生，研究他们是如何思考问题的。不要以为只要老师讲清楚了，学生就明白了。”
   波利亚的观点：“教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想的是什么则更加千百倍的重要。”
   奥苏泊尔的观点：如果一定要把教育心理学归纳为一句话的话，那我只能说要千方百计弄清楚儿童已经知道了什么。
   当下，我们对学生如何学习数学的研究非常有限，“所以，我们一定要去研究学生是如何学习数学的，研究个体与群体的数学学习活动是如何发生的。从这个意义上讲，教学研究根本上是研究学生的。教学的根本改革应以研究学生为基础。”

                  数学经验需要积累，更需要提升
   “数学活动经验”不是一个新词，却因为进入了新修订的《数学课程标准》而成为一个新的研究领域。
   经验对于学生的重要性不言而喻。杜威说：“一盎司经验胜过一吨理论。”史宁中校长说：“创新能力来自知识积累、经验积累和思维训练。”
   “所以我们应基于学生数学经验开展有效教学。”北京教育学院数理学院副院长张丹认为，就小学数学课堂而言，有两个问题值得注意。
   其一，就每个抽象的数学概念而言，教学时应找找其背后有没有原型。为什么要找寻原型？一方面，数学来自生活；另一方面，通过原型，学生可以更好地理解概念的来龙去脉。
   “比如负数比较大小，小孩子怎么能够理解这么抽象的意义呢？可以找出温度计，负数大小比较就容易理解了。小数的原型是什么？元、角、分无疑是重要的一个。
   “再比如，数数活动，能给孩子们积累什么样的经验？顺序，大小，还有呢？——一一对应。还有吗？——计算，往前数是减法，往后数是加法。了解这些，我们在上这些内容的时候，也就会更加重视经验。“
   其二，数学经验的提升。
   张丹副教授说，老师们已经开始关注数学经验，但有点浅尝辄止的感觉。
有一次，一位老师上“圆的认识”这一课，他请六年级学生观察圆有什么特点，学生答：“圆圆的，没有边，没有角。”这是一年级学生都能回答出来的答案，老师没有继续挑战学生的思维，而是直接转入他的课题。
   “其实，一年级学生也会这么回答，这就是学生对圆的原始经验认识，但对六年级学生而言，老师完全可以提升经验，比如拿出一个椭圆，你看，这也是圆圆的，没有边，没有角，为什么不用它做车轮呢？这就开始触及圆的本质特征。张丹副教授认为，数学经验一方面在于积累，另一方面也需要提升。经验不经过提升、内化、概括，难以成为学习的内在支撑。
                     学科气质从哪里来？
   郑毓信教授认为，数学的核心是理性精神。无论课程教学怎么改革，数学教育都要牢牢抓住数学的基本问题。什么是数学教学的基本问题？数学思想、数学方法和数学教育思想。
   目前我们的数学课，在学科气质上仍有许多不足之处。
   “比如课堂评价语言。我们听得不叫多的是，很好，你真棒。这是什么语言？社会性语言。现在的关键是怎样从社会性的用于向学科性的用语转变。一个班级讨论问候的塑造必须经由心理的、社会的、科学的发展阶段。
而较为严重的问题是，作为学科气质的核心内容，思维的深刻性并未受到重视，最明显的表现是，课堂思考多为即时型，长时思考几乎为空白，而正是长时思考决定了思考的深度。
   获诺贝尔奖的日本数学家广中平佑说：“我认为思考问题的态度有两种，一种是花费较短时间的即时思考型，一种是花费较长时间的长期思考型，所谓思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人，但是现在的教育环境不是一个充分培养长期思考的环境……没有长期思考型训练的人，是不会深刻思考问题的……无论怎样训练即时思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。”
   郑教授认为，这段话于我们也有很强的针对性。
   然而真正的气质来自数学文化。
  “数学教师有三个层次，仅仅停留在知识层面的，是教书匠；能够体现数学思维的，是智者；而能进行无形的数学文化熏陶的，则是大师。”他呼吁大家要“做大气的小学数学教师”。
                                                                                           摘自《人民教育》

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七成网友支持数学“滚出”高考 考题难度震惊英国专家

2013年10月30日
来源：北京晨报


继英语被舆论批判，多个省市也纷纷降低高考英语比重之际，网民又将愤怒的矛头对准了数学。某门户微博关于“数学该滚出高考吗”的调查显示，70%支持数学滚出高考。有网友吐槽：“工作这么多年了，除了数钱用到过数学，别的基本用不到。”

只能用来数钱的数学真的那么没用吗？“英语、数学滚出高考”的呼声反映了哪种社会心态？

●中国古代数学的发展

中国历史上的儒学大师、国学大师比比皆是，但数学家、物理学家、化学家却凤毛麟角。出现这种结果，跟封建社会的选才制度有关。科举考试规定考试内容为四书五经，大家当然都争先恐后地学习四书五经。事实上，从秦汉以来，直到宋元，中国数学一直领先世界，而代数学基本是中国的创造。唐朝甚至一度把数学纳入了科举范围。显庆元年(656年)，国子监开办了数学专科学校——“算学馆”，招收学生三十人，设置算学博士和算学助教主持日常教学工作。这样，国子监内就有了国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆。

到了晚唐，明算科考试因“考试人数太少”而停止了。而后中国进入明朝，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。本有可能大踏步前行的数学科目，在中国戛然而止。

●“学好数理化，走遍天下都不怕”激荡人心

中国近代数学的研究自五四运动以后才真正开始，但外部环境动荡，虽有若干优秀数学家出现，一直未能有长足发展。

新中国成立后，自然科学技术终于得到发展的时机。但随后“文革”十年浩劫，自然科学技术的发展几乎停滞。

著名作家徐迟《哥德巴赫猜想》一文的发表，也让陈景润的事迹在青年一代中引起了强烈的共鸣。“学习陈景润，为实现四个现代化攀登科学高峰”，成为亿万青年的心声。在那个年代，技术革新，技术改造的意识非常的强烈。所谓“理论与实际相结合”，因此学好数理化，掌握一门生产技术自然而然成为社会的需要。从此，“学好数理化，走遍天下都不怕”成为一句响亮的口号，让无数青年为之心潮澎湃，热血沸腾。

●虐过你的是数学课不是数学

从“学好数理化，走遍天下都不怕”到“数学滚出高考”，这其中的反转值得人深思。

第六届北京可持续发展教育国际论坛，英国专家看到中国的高考试题后大惊：英国大一学生的数学考题，只不过是“勾股定理”，中国的高考数学题，却要画这么多辅助线！网友的吐槽也集中于“高考数学难度过大”，所以“数学应该滚出高考”。

知名华人数学家哈佛大学教授丘成桐曾在杭州与一群取得好成绩的数学尖子见面。结果却令他大失所望。他说：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，只是做习题的机器，这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”

这说明：数学只是替罪羊，侧重技术性训练，把学生变成“做题机器”的应试教育才是真正元凶。

●“无用之用”对国人尤其重要

“数学无用论”是实用主义至上的表现。每门学科背后都是一种思维方式，这种无用之用像空气，人们看不到，但缺不了。

古希腊学者认为数学是“学问的基础”，当时的数学家毕达哥拉斯更是直言“万物皆数”。到了现代，数学是整个科学体系的基础，每一次数学的重大突破，几乎都带来科学的重大突破。甚至可以说，在人类理解宇宙的诸多途径中，数学是最接近于真理的捷径之一。

同样，数学严密的逻辑性、严谨的精准性，对于历来相信直觉、力求大概的中国人而言，恰恰是非常宝贵、非常稀缺的思维训练。一个缺乏数学思维训练的民族，往往只能徘徊在前现代的思维状态之中。

管季超0712

数学大事年表

约公元前3000年 埃及象形数字
公元前2400～前1600年 早期巴比伦泥版楔形文字，采用60进位值制记数法。已知勾股定理
公元前1850～前1650年　 埃及纸草书（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使用10进非位值制记数法
公元前1400～前1100年 中国殷墟甲骨文，已有10进制记数法
周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五
约公元前600年　 希腊泰勒斯开始了命题的证明
约公元前540年 希腊毕达哥拉斯学派，发现勾股定理，并导致不可通约量的发现
约公元前500年 　 印度《绳法经》中给出√2相当精确的值，并知勾股定理
约公元前460年 希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角和二倍立方
约公元前450年 希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论
公元前430年 希腊安提丰提出穷竭法
约公元前380年 希腊柏拉图在雅典创办“学园”，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力
公元前370年 希腊欧多克索斯创立比例论
约公元前335年 欧多莫斯著《几何学史》
中国筹算记数，采用十进位值制
约公元前300年 希腊欧几里得著《几何原本》，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范
公元前287～前212年希腊阿基米德，确定了大量复杂几何图形的面积与体积；给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，隐含近代积分论思想
公元前230年 希腊埃拉托塞尼发明“筛法”
公元前225年 希腊阿波罗尼奥斯著《圆锥曲线论》
约公元前150年 中国现存最早的数学书《算数书》成书（1983～1984年间在湖北江陵出土）
约公元前100年 中国《周髀算经》成书，记述了勾股定理
中国古代最重要的数学著作《九章算术》经历代增补修订基本定形（一说成书年代为公元 50～100年间），其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献
约公元62年 希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式）
约公元150年 希腊托勒密著《天文学》，发展了三角学
约公元250年 希腊丢番图著《算术》，处理了大量不定方程问题，并引入一系列缩写符号，是古希腊代数的代表作
约公元263年 中国刘徽注解《九章算术》，创割圆术，计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等，包含有极限思想
约公元300年 中国《孙子算经》成书，系统记述了筹算记数制，卷下“物不知数”题是孙子剩余定理的起源
公元320年 希腊帕普斯著《数学汇编》，总结古希腊各家的研究成果,并记述了“帕普斯定理”和旋转体体积计算法
公元410年 希腊许帕提娅，历史上第一位女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等人的著作
公元462年 中国祖冲之算出圆周率在 3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率，355/113为密率（现称祖率）
中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理，现称祖暅原理，相当于西方的卡瓦列里原理(1635)
公元499年印度阿耶波多著《阿耶波多文集》，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。已知π=3.1416，尝试以连分数解不定方程
公元600年 中国刘焯首创等间距二次内插公式，后发展出不等间距二次内插法（僧一行，724）和三次内插法(郭守敬，1280)
约公元625年 中国王孝通著《缉古算经》，是最早提出数字三次方程数值解法的著作
公元628年 印度婆罗摩笈多著《婆罗摩历算书》，已知圆内接四边形面积计算法，推进了一、二次不定方程的研究
公元656年 中国李淳风等注释十部算经，后通称《算经十书》
公元820年 阿拉伯花拉子米著《代数学》，以二次方程求解为主要内容，12世纪该书被译成拉丁文传入欧洲
约公元870年 印度出现包括零的十进制数码，后传入阿拉伯演变为现今的印度－阿拉伯数码
约公元1050年 中国贾宪提出二项式系数表（现称贾宪三角和增乘开方法）
公元1100年 阿拉伯奥马·海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根
公元1150年印度婆什迦罗第二著《婆什迦罗文集》为中世纪印度数学的代表作，其中给出二元不定方程x⒉=1+py⒉若干特解，对负数有所认识，并使用了无理数
公元1202年 意大利L.斐波那契著《算盘书》，向欧洲人系统地介绍了印度－阿拉伯数码及整数、分数的各种算法
公元1247年中国秦九韶著《数书九章》，创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术，相当于西方的霍纳法(1819)
公元1248年 中国李冶著《测圆海镜》，是中国现存第一本系统论述天元术的著作
约公元1250年 　 阿拉伯纳西尔丁·图西开始使三角学脱离天文学而独立,将欧几里得《几何原本》译为阿拉伯文
公元1303年 中国朱世杰著《四元玉鉴》，将天元术推广为四元术，研究高阶等差数列求和问题
公元1325年 英国T.布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算
公元14世纪 珠算在中国普及
约公元1360年法国N.奥尔斯姆撰《比例算法》，引入分指数概念，又在《论图线》等著作中研究变化与变化率，创图线原理，即用经、纬度（相当于横、纵坐标）表示点的位置并进而讨论函数图像
公元1427年 阿拉伯卡西著《算术之钥》，系统论述算术、代数的原理、方法，并在《圆周论》中求出圆周率17位准确数字
公元1464年 德国J.雷格蒙塔努斯著《论一般三角形》，为欧洲第一本系统的三角学著作，其中出现正弦定律
公元1482年 欧几里得《几何原本》(拉丁文译本)首次印刷出版
公元1489年 捷克韦德曼最早使用符号＋、－表示加、减运算
公元1545年意大利G.卡尔达诺的《大术》出版，载述了S·费罗(1515)、N.塔尔塔利亚(1535)的三次方程解法和L.费拉里(1544)的四次方程解法
公元1572年　　意大利R.邦贝利的《代数学》出版，指出对于三次方程的不可约情形，通过虚数运算必可得三个实根，给出初步的虚数理论
公元1585年　　 荷兰S.斯蒂文创设十进分数(小数)的记法
公元1591年法国F.韦达著《分析方法入门》，引入大量代数符号，改良三、四次方程解法，指出根与系数的关系，为符号代数学的奠基者
公元1592年 中国程大位写成《直指算法统宗》，详述算盘的用法，载有大量运算口诀，该书明末传入日本、朝鲜
公元1606年 中国徐光启和利玛窦合作将欧几里得《几何原本》前六卷译为中文
公元1614年 英国J.纳皮尔创立对数理论
公元1615年 德国开普勒著《酒桶新立体几何》，有求酒桶体积的方法，是阿基米德求积方法向近代积分法的过渡
公元1629年 荷兰吉拉尔最早提出代数基本定理法国P.de费马已得解析几何学要旨，并掌握求极大极小值方法
公元1635年 意大利（F.）B.卡瓦列里建立“不可分量原理”
公元1637年 法国R.笛卡儿的《几何学》出版，创立解析几何学法国P.de费马提出“费马大定理”
公元1639年 法国G.德扎格著《试论处理圆锥与平面相交情况初稿》，为射影几何先驱
公元1640年 法国B.帕斯卡发表《圆锥曲线论》
公元1642年 法国B.帕斯卡发明加减法机械计算机
公元1655年 英国J.沃利斯著《无穷算术》，导入无穷级数与无穷乘积，首创无穷大符号∞
公元1657年荷兰C.惠更斯著《论骰子游戏的推理》，引入数学期望概念，是概率论的早期著作。在此以前B.帕斯卡、P.de费马等已由处理赌博问题而开始考虑概率理论
公元1665年英国I.牛顿一份手稿中已有流数术的记载，这是最早的微积分学文献，其后他在《无穷多项方程的分析》（1669年撰，1711年发表）、《流数术方法与无穷级数》（1671年撰, 1736年发表）等著作中进一步发展流数术并建立微积分基本定理
公元1666年　　 德国G.W.莱布尼茨写成《论组合的技术》，孕育了数理逻辑思想
公元1670年　　 英国I.巴罗著《几何学讲义》，引进“微分三角形”概念
约公元1680年 日本关孝和始创和算，引入行列式概念，开创“圆理”研究
公元1684年德国G.W.莱布尼茨在《学艺》上发表第一篇微分学论文《一种求极大极小与切线的新方法》，两年后又发表第一篇积分学论文，创用积分符号
公元1687年 英国I. 牛顿的 《自然哲学的数学原理》出版，首次以几何形式发表其流数术
公元1689年　　 瑞士约翰第一·伯努利提出“最速降曲线”问题，后导致变分法的产生法国 G.-F.-A.de 洛必达出版《无穷小分析》，其中载有求极限的洛必达法则
公元1707年 英国I.牛顿出版《广义算术》，阐述了代数方程理论
公元1713年 瑞士雅各布第一·伯努利的《猜度术》出版，载有伯努利大数律
公元1715年 英国B.泰勒出版《正的和反的增量方法》，内有他1712年发现的把函数展开成级数的泰勒公式
公元1722年　　 法国A.棣莫弗给出公式（cos φ＋i sin φ）n =cos nφ+ i sin nφ
公元1730年　　 苏格兰J.斯特林发表《微分法，或关于无穷级数的简述》，其中给出了Ν!的斯特林公式
公元1731年　　 法国A.－C.克莱罗著《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线的理论
公元1736年　　 瑞士L.欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题
公元1742年　　 英国C.马克劳林出版《流数通论》，试图用严谨的方法来建立流数学说，其中给出了马克劳林展开
公元1744年　　 瑞士L.欧拉著《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》，标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生
公元1747年　　 法国J.le R. 达朗贝尔发表《弦振动研究》,导出了弦振动方程,是偏微分方程研究的开端
公元1748年　　瑞士L.欧拉出版《无穷小分析引论》，与后来发表的《微分学》(1755)和《积分学》(1770)一起，以函数概念为基础综合处理微积分理论，给出了大量重要的结果，标志着微积分发展的新阶段
公元1750年　　 瑞士G.克莱姆给出解线性方程组的克莱姆法则,瑞士L.欧拉发表多面体公式:V-E+F =2
公元1770年　　法国J.－L.拉格朗日深入探讨代数方程根式求解问题，考虑有理函数当变量发生置换时所取值的个数，成为置换群论的先导,德国J.H.朗伯开创双曲函数的全面研究
公元1777年　　 法国G.-L.L.de布丰提出投针问题,是几何概率理论的早期研究
公元1779年　　 法国□.贝祖著《代数方程的一般理论》，系统论述消元法理论
公元1788年　　 法国J.－L.拉格朗日的《分析力学》出版，使力学分析化，并总结了变分法的成果
公元1794年　　法国A.－M.勒让德的《几何学基础》出版，是当时标准的几何教科书,法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校
公元1795年　　 法国G.蒙日发表《关于把分析应用于几何的活页论文》，成为微分几何学先驱
公元1797年　　法国J.-L.拉格朗日著《解析函数论》，主张以函数的幂级数展开为基础建立微积分理论,挪威C.韦塞尔最早给出复数的几何表示
公元1799年法国G.蒙日出版《画法几何学》，使画法几何成为几何学的一个专门分支,德国C.F.高斯给出代数基本定理的第一个证明
公元1799～1825年　　法国P.-S.拉普拉斯的5卷巨著《天体力学》出版，其中包含了许多重要的数学贡献，如拉普拉斯方程、位势函数等
公元1801年　　 德国C.F.高斯的《算术研究》出版，标志着近代数论的起点
公元1802年　　 法国J.E.蒙蒂克拉与J.de拉朗德合撰的《数学史》共4卷全部出版,成为最早的较系统的数学史著作
公元1807年　　法国J.－B.－J.傅里叶在热传导研究中提出任意函数的三角级数表示法（傅里叶级数），他的思想总结在1822年发表的《热的解析理论》中
公元1810年　　 法国J.－D.热尔岗创办《纯粹与应用数学年刊》，这是最早的专门数学期刊
公元1812年　　 英国剑桥分析学会成立,法国 P.-S.拉普拉斯著《概率的解析理论》,提出概率的古典定义,将分析工具引入概率论
公元1814年　　 法国 A.-L.柯西宣读复变函数论第一篇重要论文《关于定积分理论的报告》（1827年正式发表），开创了复变函数论的研究
公元1817年　　 捷克B.波尔查诺著《纯粹分析的证明》，首次给出连续性、导数的恰当定义，提出一般级数收敛性的判别准则
公元1818年　　 法国S.-D.泊松导出波动方程解的“泊松公式”
公元1821年　　法国A.-L.柯西出版《代数分析教程》，引进不一定具有解析表达式的函数概念；独立于B.波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则，是分析严密化运动中第一部影响深远的著作
公元1822年　　 法国J.－V.彭赛列著《论图形的射影性质》，奠定了射影几何学基础
公元1826年　　挪威N.H.阿贝尔著《关于很广一类超越函数的一个一般性质》，开创了椭圆函数论研究德国A.L.克雷尔创办《纯粹与应用数学杂志》
法国J.-D.热尔岗与J.-V.彭赛列各自建立对偶原理
公元1827年　　德国C.F.高斯著《关于曲面的一般研究》，开创曲面内蕴几何学德国A.F.麦比乌斯著《重心演算》，引进齐次坐标，与J.普吕克等开辟了射影几何的代数方向
公元1828年　　 英国G.格林著《数学分析在电磁理论中的应用》，发展位势理论
公元1829年德国C.G.J.雅可比著《椭圆函数论新基础》，是椭圆函数理论的奠基性著作,俄国Н.И.罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著《论几何基础》
公元1829～1832年　　 法国E.伽罗瓦彻底解决代数方程根式可解性问题，确立了群论的基本概念
公元1830年 英国G.皮科克著《代数通论》，首创以演绎方式建立代数学，为代数中更抽象的思想铺平了道路
公元1832年　　匈牙利J.波尔约发表《绝对空间的科学》，独立于Н.И.罗巴切夫斯基提出了非欧几何思想,瑞士J.施泰纳著《几何形的相互依赖性的系统发展》，利用射影概念从简单结构构造复杂结构，发展了射影几何
公元1836年　　 法国J.刘维尔创办法文的《纯粹与应用数学杂志》
公元1837年　　 德国P.G.L.狄利克雷提出现今通用的函数定义(变量之间的对应关系)
公元1840年　　 法国 A.-L.柯西证明了微分方程初值问题解的存在性
公元1841～1856年　　德国K.（T.W.）外尔斯特拉斯关于分析严密化的工作，主张将分析建立在算术概念的基础之上，给出极限的ε－δ说法和级数一致收敛性概念；同时在幂级数基础上建立复变函数论
公元1843年　　 英国W.R.哈密顿发现四元数
公元1844年　　德国E.E.库默尔创立理想数的概念,德国H.G.格拉斯曼出版《线性扩张论》。建立Ν个分量的超复数系,提出了一般的Ν维几何的概念
公元1847年　　 德国K.G.C.von 施陶特著《位置的几何学》，不依赖度量概念建立射影几何体系
公元1849～1854年　　 英国的A.凯莱提出抽象群概念　
公元1851年德国（G.F.）B.黎曼著《单复变函数的一般理论基础》，给出单值解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概念，是复变函数论的一篇经典性论文
公元1854年　　德国（G.F.）B.黎曼著《关于几何基础的假设》,创立Ν维流形的黎曼几何学,英国G.布尔出版《思维规律的研究》，建立逻辑代数（即布尔代数）
公元1855年　　 英国A.凯莱引进矩阵的基本概念与运算
公元1858年　　 德国（G.F.）B.黎曼给出ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，提出黎曼猜想德国A. F. 麦比乌斯发现单侧曲面（麦比乌斯带）
公元1859年　　中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的《代数学》、《代微积拾级》以及《几何原本》后9卷中文本出版,这是翻译西方近代数学著作的开始,中国李善兰建立了著名的组合恒等式（李善兰恒等式）
公元1861年 德国K.（T.W.）外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子
公元1863年　　 德国P.G.L.狄利克雷出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献
公元1865年　　 伦敦数学会成立，是历史上第一个成立的数学会
公元1866年　　 俄国П.Л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的大数律，成为概率论研究的中心课题
公元1868年　　 意大利E.贝尔特拉米著《论非欧几何学的解释》，在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模型
德国（G.F.）B.黎曼的《用三角级数表示函数的可表示性》正式发表，建立了黎曼积分理论
公元1871年　　德国（C.）F.克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧几何模型
德国G.（F.P.）康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念，并在以后的一系列论文中奠定了集合论的基础
公元1872年　　德国（C.）F.克莱因发表《埃尔朗根纲领》，建立了把各种几何学看作为某种变换群的不变量理论的观点，以群论为基础统一几何学
实数理论的确立：G.（F.P.）康托尔的基本序列论；J.W.R.戴德金的分割论；K.(T.W.)外尔斯特拉斯的单调序列论
公元1873年　　 法国C.埃尔米特证明e的超越性
公元1874年　　 挪威M.S.李开创连续变换群的研究，现称李群理论
公元1879年　　德国（F.L.）G.弗雷格出版《概念语言》,建立量词理论,给出第一个严密的逻辑公理体系，后又出版《算术基础》(1884)等著作，试图把数学建立在逻辑的基础上
公元1881～1884年　　 德国(C.)F.克莱因与法国（J.－）H.庞加莱创立自守函数论
公元1881～1886年　　 法国（J.－）H.庞加莱关于微分方程确定的曲线的论文，创立微分方程定性理论
公元1882年 德国M.帕施给出第一个射影几何公理系统,德国F.von林德曼证明π的超越性
公元1887年　　 法国（J.－）G.达布著《曲面的一般理论》，发展了活动标架法
公元1889年　　 意大利G.皮亚诺著《算术原理新方法》，给出自然数公理体系
公元1894年　　 荷兰T.（J.）斯蒂尔杰斯发表《连分数的研究》，引进新的积分（斯蒂尔杰斯积分）
公元1895年　　法国（J.－）H.庞加莱著《位置几何学》，创立用剖分研究流形的方法，为组合拓扑学奠定基础,德国F.G.弗罗贝尼乌斯开始群的表示理论的系统研究
公元1896年　　德国H.闵科夫斯基著《数的几何》，创立系统的数的几何理论,法国J.（-S.）阿达马与瓦里-布桑证明素数定理
公元1897年　　 第一届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行
公元1898年　　 英国K.皮尔逊创立描述统计学
公元1899年　　德国D.希尔伯特出版《几何基础》，给出历史上第一个完备的欧几里得几何公理系统,开创了公理化方法,并预示了数学基础的形式主义观点
公元1900年　　 德国D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为《数学问题》的报告。提出了23个著名的数学问题

管季超0712

原文地址：数学文化综述作者：史十数学

    数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。
1、数学文化的存在价值
    在即将公布的高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做？一个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特（L.A.White）的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因（M.Kline）的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。
    国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。
    以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。
2、认识和实施数学文化教育
    进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。
    那么，如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢？笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。
（1）、认识数学文化的民族性和世界性
    每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是，它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。
    古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广大奴隶不能享受这种民主）。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。
    中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。
    古希腊的文化时尚，是追求精神上享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。
    同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。
    我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要溶入世界数学文化，将民族性和世界性有机地结合起来。
（2）、揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影
    数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式[1]，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！
    数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。
    半个多世纪以前，著名数学家柯朗（R.Courant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”
    2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏”，“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。
   《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》，其中提到：“这使我明白了：数学本身很美，然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。
    和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。
（3）、多侧面地开展数学文化研究
    谈到数学文化，往往会联想到数学史。确实，宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是，除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角，力求多侧面地展现数学文化。
1） 数学和文学。

    数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说，中学课程里有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，变过去了却有些性质保持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”。这里，明月对清泉，都是自然景物，没有变。形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。数学中的“对偶理论”，拓扑学的变与不变，都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来，时间是两头无限的，以他自己为原点，恰可比喻为一条直线。天是平面，地是平面，人类生活在这悠远而空旷的时空里，不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。
2） 数学与语言。

    语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀，“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”，但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外，“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。
3） 数学的宏观和微观认识。

    宏观和微观是从物理学借用过来的，后来变成一种常识性的名词。以函数为例，初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分，其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处，函数值在这一段，还是下一段，差一点都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛顿力学与量子力学，电影中有全景和细部，国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画，其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢？
4）数学和美学。

    “1/2+1/3=2/5 ？”是不是和谐美？二次方程的求根公式美不美？这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐，立体几何课总得说说绘画，如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔（M.C.Escher）的画、计算机画出的分形图，也是数学美的表现。
    总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。

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