走进高中数学新课改——浅谈中学生学习函数

教师之友网

走进高中数学新课改——浅谈中学生学习函数[/td]

今年暑假，我们全体高一教师参加了湖北省高中课程新课改的网上培训和集中培训，很荣幸，新的教材，新的理念，新的改革将在我们的手中开始实践。面对着压力与挑战，我以极大的热情投入这次的学习中，与同行交流，与专家探讨，并积极进行反思，我相信，在新课改这条路上，我一定能走出自己的步伐。 新教材中，《数学通报》的刘绍学教授亲自撰写了主编寄语，他告诉我们，为什么要学习数学呢？因为，数学是有用的，数学能够提高能力。看似朴实无华的语言，却已经向我们揭示了数学的本质。数学有什么用？它能够提高什么能力？我从学习函数上得到了一些体会，现在和大家一起探讨一下。     一：如何认识函数     函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。为了帮助学生更好的认识和理解函数概念，新教材中做了许多尝试，从丰富的背景实例出发，引导学生经历数学概念的概括过程，使学生看到函数概念，就能够在头脑中浮现出一批函数的实例，促进学生对函数本质的理解。这在我们教学中也是随处可见的。 案例1： 一位教师在处理初中一年级教材《探索规律》时，设置了如下的教学情境： 1只青蛙1张嘴，2只眼睛，4条腿， 2只青蛙2张嘴，4只眼睛，8条腿， …… n只青蛙（ ）张嘴，（ ）只眼睛，（ ）条腿？     教师以一首学生熟悉的儿歌入手，引导学生分别得出n，2n，4n这样的结论，使学生体会到了现实生活中存在的规律，以及用代数式表示现实规律的可行性，这实际上就是函数在生活中运用的一个简单实例。     高中数学新教材中，在引入函数的一般概念时，也选取了生活中的生活中的大量实例：炮弹的高度与时间的关系；南极臭氧空洞面积从1979年到2001年的变化的图像；“八五”以来我国城镇居民恩格尔系数变化数据表等等。教科书在每一次知识的转折点上，都力求提出具有启发性，挑战性的问题，引导学生经历观察，思考，探究，交流，反思的过程，逐步获得对抽象概念的理解。     我们都见过天气预报中的气温图，这个图反映了一天中气温岁时间变化而变化的情形。象这样的一个量（如气温）随另一个量（如时间）的变化而变化的现象，就属于函数要研究的内容。高中教材是这样定义函数的：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A里的任意一个数x，在集合B里都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数，记作ｙ＝f(x)。由此可知，函数本身就用来描述变化过程。生活中象这样的一个量随着另一个量的变化而变化的现象俯拾皆是：如工作时间与工作效率的关系、销售利润与进货数量的关系、手机话费与通话时间的关系等等。函数知识来源于实际生活，又对实际生活其指导作用。函数的思想方法和应用，将贯穿于高中新课程的始终。        二：如何应用函数     案例2：     在一节有关储蓄问题的数学课上，教师向同学们讲了这样一个小故事：公元1797年，当拿破仑参观卢森堡一所国立小学时，赠送了一束价值12000法郎的玫瑰花，并许诺说：“只要法兰西共和国存在一天，我将每年赠送一束价值相等的玫瑰花，做为两国友谊的象征。”而此后，连年征战的拿破仑忘记了这一诺言。到了公元1894年，卢森堡国王郑重的向法兰西共和国提出“玫瑰花悬案”，要求政府兑现诺言。老师随即提问，若以每年5℅的年利率，且每年的利息记入下一年本金，法国政府应该为此支付多少法郎？问题一经提出就引起了学生的极大兴趣，同学们在老师的的引导下推导出复利公式y=a（1+p） ，然后借助计算器得到了结果，赔付竟高达136万多法郎！通过自己动手动脑得到解答，同学们显得异常兴奋，不但加深了对复利计算公式的理解，而且领悟了数学源于生活并服务生活的本质，动手动脑能力得到了一次很好的锻炼。     案例3：     在进行指对数函数的学习中，教科书安排了这样的问题：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能够将人口年平均增长率控制在1℅，那么20年后，我国的人口约为多少？学生们回顾初中学习的整数指数幂的知识，在教师的指导下归纳出关系式y=13×1.01 ，就可以算出任意一个年头x的人口总数。反之，如果问“那一年的人口数约为18亿，20亿，30亿……？”这就要用到对数的有关知识了。这样的问题可以使学生看到指数函数，对数函数源于社会生活、生产的需要，可以促进学生在解决问题的过程中理解知识。     当然，对于函数的应用不仅仅体现在对对数，指数函数的应用上，我们在实际生活的很多方面都用到了函数这一重要工具。例如：足球比赛中运动员挑射后足球运动路线的绘制，建筑学上某些桥梁、建筑物大门的设计，都是借助了二次函数这一基本模型的图像和性质。又如：物理学中压力一定时，压强和受力面积的关系Ｐ＝Ｆ／Ｓ（Ｐ指压强，Ｓ指受力面积），因Ｐ与Ｓ满足反比例关系的函数式，它形象的说明了当压力一定时，受力面积越小，压力越大这一事实，便于人们理解和应用。再如：科学家们发现，所有简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线，人们可以利用正余弦函数公式ｙ＝Ａsin( )或ｙ＝Ａcos ( )，来讨论简谐运动的周期、频率、振幅、相位等变化，从而进一步研究简谐运动。函数对自然科学和社会科学的影响在于：函数提供了一系列的基本的数学模型，如一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，三角函数等等，它们都具有特定的图像和性质，我们可以通过对基本模型图像和性质的研究，达到研究科学的目的。     三：如何进行数学建模     我们知道了函数是一系列的基本的数学模型，那么，生活中的数学问题千变万化，我们是否都能够把它转化成我们熟悉的函数来解决？这就需要我们经过分析研究划归，进行数学建模了。新课改特地把数学建模加入教科书，让高中学生体会收集数据并建立函数模型这一过程，其意义是深刻的。 案例4：     北京一所学校的高中学生进行了一个对卖报问题的课题研究。问题的起因是这样的：米嘉的奶奶离休在家，无事可做，便利用业余时间卖报纸，可是，收益并不理想，经常出现报纸堆积在家中或报纸卖完了却还要有人买的现象。因为报社规定，销售报纸的人在一个月内每天必须订购相同的报纸份数，那么，米嘉的奶奶每月到底应该订多少份报纸，才能够获得最高收益？     这个问题在数学中，其实就是一个典型的数学建模过程。在老师的指导下，同学们进行了一个月的数据收集工作，记录每天的进报数量，卖出数量，不足多少，余额多少，将其一一记录，他们发现，总计需要的报纸数量多集中在130~160之间，所以近似的认为，在一个月31天中，每日卖报的总数为130~160的情况个出现一天。设每个月固定进报纸X份，将每一天因卖报纸未卖完而亏损的金额，和因卖报纸卖完而亏损的金额一一累加，列出函数关系式，处理最值，并综合考虑批发商批量与价格，剩余回收处理价等不变和可变因素，最后得出一个月的进货量应该是145份或者接近145份便可以获得最大利润。米嘉的奶奶终于可以放心了！     这个案例，是中学生解决实际问题的一个很好的实例。中学生数学建模通常遵循以下过程：采集数据→建立模型→数学推理→得出结论→解决问题。类似这样的问题还有很多，教科书从不同的侧面出发，为学生设计了素材广泛，内容新颖的问题：例如行程问题是学生接触较多的，但要说明速度与时间关系图中的部分面积的实际含义，对学生来说却是新颖的；以往学生主要是建立路程、速度、时间的函数关系式，现在，教材要求他们建立汽车里程表读数与时间的分段函数，这对学生来说具有挑战性，很容易提起他们的兴趣。又如桶装水的定价问题，将学生置入一个现实环境中，让他们以一个经营者的身份对身边的经营问题进行决策，这有利于学生自觉地将自己所学知识用于解决实际的问题。在中学阶段学习函数，就是为了培养中学生对有限个数据进行分析归纳，数学建模，找出变量之间函数关系式的能力，从而到达分析问题，解决问题的能力。     高中数学新课程标准认为，高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，通过丰富的实例引入数学知识，渗透数学思想，引导学生经历探索并解决问题的过程，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。这段话对我的启发很深。以往我总是盯着高考这一风向标，每教一节，我总是尽量补充一些书本外的东西，朝高考的深度来挖掘，把数学做为了通向大学之门的敲门砖，却从来没有想过，我们学习数学是为了什么？参加新课改培训后，我的思想受到了震动：我们应该让学生体会数学有用，在学习数学中渗透数学思想，提高自身的能力。无疑，学习函数就是一个最好的契机。将实际问题抽象为数学模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；应用函数模型时的数形结合思想；研究函数与方程过程中蕴涵的函数与方程的思想；用二分法求方程近似解过程中蕴涵的算法思想，这都是我们高中生应该了解的数学思想。新教材一方面注意让学生认识常见函数模型的特点，另一方面还注意选择贴近学生生活实际的各种问题，引导学生用已经学过的函数模型去分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系，将数学建模的思想逐步细化，从更高层面上认识函数与实际问题的关系。这无疑是符合我们“教有用的数学”这一目的的。     学习数学的最终目的，是提高学生的数学素养，培养学生用数学的意识。参加新课改培训，这还仅仅只是一个开始，如何把我所想所悟应用到实际教学中，我还有很长的路要走。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。愿我们全体教师一起努力，将新课程改革做到更好！ 参考文献： 1. 数学（A版）教师培训手册    人民教育出版社 2. 数学思想应用及探究——建构教学  王培德    人民教育出版社

[信息来源：湖北省十堰市郧县原种场中学]

[信息作者：王静]