初中数学概念教学的体会点滴

教师之友网 · 发表于 2012-8-13 22:50:37

初中数学概念教学的体会点滴

刘朝虎

我们知道《九年义务教育全日制初级中学数学大纲》与《全日制中学数学教学大纲》相比，在概念方面适当降低了要求，大部分代数概念都由“理解”改为“了解”，这就给我们部分教师造成一种错觉，既然是降低了要求，就不重要了，上课时遇到概念就让学生勾一勾或画一画，或者让学生自己下课后读一读，记一记就行了。这其实是对大纲把握不住的一种表现，纵观近年来的升考试题，概念题目占的比重也不少。如实数、相反数、绝对值、数轴、倒数、科学记数法、近似数、同类二次根式、方程、增根、角、相似比、三角函数等概念就经常出现在试卷中，并且这部分题目学生失分较多，这说明他们对概念部分是没有过关的。

另外，从数学概念本身来说，数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式，而数学公式、法则、定理、定律等内容都是反映数学对象和概念之间的关系，如果没有学好概念，那么对数学公式、法则、性质等内容是不可能理解的，更谈不上掌握，所以可以这样说，数学概念是数学基础知识的基础。另外深入理解数学概念的过程会使抽象思维得到锻炼和培养，对提高思维能力有促进作用。因此数学概念教学在整个教学过程中占有非常重要的地位。从另一个角度来说，新大纲对概念的要求降低了，并不是不作要求了，“了解”，新大纲也作了具体规定：“对知识的涵义有感性的，初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够（或会）在有关问题中识别它。”  因此，在教学过程中，必须要过好概念关。

那么，在课堂教学中，如何处理好概念教学呢？大家都知道，新教材中大多数代数概念都是“形式”定义。如代数式的概念教材上是这样定义的，象：5，a,4a,ab,a+b,file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30933.png
,a2
的式子都是代数式，它就不象全日制教材那样严格准确地给出概念的定义内容。如果教师在备课时稍微大意一点，没有把握住概念的内涵外延，学生在处理这一概念题目时，就会出现问题。如“0”，“1+3”，“file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1294.png”  是不是代数式，往往许多同学就判别不对，这也就是造成学生在做概念题目时失分较多的原因之一。因此，我认为在讲授概念时，必须要把握住两点：

其一：首先要从概念的形式出发，根据大纲要求，结合教材内容引导学生分析综合，找出概念的本质属性和特征，正确把握概念。如：“分式概念”的教学，通过代表实例引导学生分析、综合、找出其特点有三：（1）是有形式“file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31576.png”；（2）是形式中A,B表示整式；（3）是形式中B必须含有字母；三个条件缺一不可，这样一来概念特征一目了然，学生易于接受，便于掌握。

其二：掌握概念在各种变式下的处理方法，灵活地把握概念。如：在学习了分式概念后，一般分式形式的判别题目学生容易处理，但特殊形式的题目，有一部分同学还存在问题。

如判别下列式子是否是分式：

（1）file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-18764.png；             （2）file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2024.png；

对于（1）从表达形式上看不具备分式形式的特征，但通过转化可化为file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25047.png满足分式概念，是分式；对于（2）已经具备分式概念的特征了，就不能转化只需直接判别回答是分式。但如果没有交给学生处理特殊题目和一般题目的方法，对于上述两个题目一部分同学就会判错。又如近两年来数无理数的个数这一概念题目就经常出现在各省市的中考题中，而部分学生由于没有过好概念关，时而数对，时而数错，没有正确的数法，我借助实例引导学生分析综合，根据无理数的表现形式，将其概念形式分散为三个方面来数：（1）是先数出与特殊数“file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-9523.png”有关的无理数的个数；（2）是数与方根符号有关而开不尽方的数的个数；（3）是数小数位数无限而不循环的数的个数，总其之和即为所求，这样一来学生易于理解，便于应用。

综上所述，概念教学是整个初中数学教学中的一个重要环节，只要我们把这一环节的工作做好，对于提高初中数学质量，促进民族教育事业的发展有着积极的促进作用。

数学概念教学

一、数学概念的特点

1、若干概念

例1：绝对值：file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28753.png、file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30038.png、file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-349.png、模…

例2：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数…

例3：一、一映射

2、数学概念的特点

<1>存在于体系之中<2>形式化和符号化<3>逐级抽象

二、数学概念教学的基本环节

1、概念引入

① 需要             ②类比          ③推理

2、要领的形成的步骤

（1）目的          （2）发现       （3）抽象概括

3、概念的巩固

（1）内涵与外延
  （2）符号       （3）应用    （4）发展

数学概念教学

三、概念教学的练习与举例

例4  反函数定义：如果确定函数file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-24948.png的映射file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29785.png是file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8984.png的定义域A到值域B上的一一映射，那么这个映射的逆映射file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7620.png所确定的函数file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8570.png叫做函数file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25050.png的反函数，函数file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2596.png的定义或、值域分别是函数file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12602.png的值域，定义域。

1、反函数概念引入，形成的几种水平

水平一：file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1930.png是一一映射file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-24463.pngfile:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19856.png

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19594.pngfile:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-13078.png

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22966.png

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2299.png函数
函数

水平二：给具体函数的例子

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15342.png
file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8767.png
file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28028.png

水平三：函数file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-24105.png的对应值

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28197.png
   -1       0       1    2       file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-19608.png …………

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-10422.png       -2       0       2    4       5  …………

问题：给出file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-1517.png的值能否求出file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20934.png的值？

例如file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23341.png、 k、  file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-29137.png

二次方程概念的引入（抽象一位解法）

1、给出新概念的定义（方程file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26700.png叫做一元二次方程），说明有关它的名词（未知数的最大幂指数是2，方程包含未知数的平方）

2、对这概念进行分类

完全一元二次方程

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7380.pngfile:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8644.pngfile:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-11276.png

简化二次方程
不完全二次方程

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-32735.png
file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12946.png
file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15714.png

file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27620.png
file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3193.png
file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7065.png

3、反例，针对概念举若干反例  如file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-31761.png是二次方程吗？

4、用具体例子说明引入的概念file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20432.png所对要求每次都检验这个概念的具体特征

5、举出这个概念应用的例子：file:///C:/DOCUME~1/hp/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-22794.png

浅谈数学概念教学的“三个阶段”

(2004-03-13 16:20:01)

一、概念的感知阶段概念的感知是形成概念的前提，学生对数学概念的感性认识是通过教师的直观教学方法获得的。常见的方法一是实物直观法：即学生通过对实际事物的感知而获得真实亲切的感受，由此形成的概念学生易于接受理解。二是模象直观法：即以客观实物为原型的模拟形象教学，其特点是便于突出对象的本质特征，对学生正确的感知具有良好的导向作用。三是语言直观法：即通过教师准确、形象、生动的语言描述，使学生形成感性认识的方法。

二、概念的形成阶段学生对数学概念的理性认识是否初步形成，首先反映在对该概念的定义是否理解。这就需要学生理解概念中每个词语的含义，定义的形成过程以及与之相关的原有知识。如学生易于产生平方根的错误，就是对算术平方根及实数绝对值的定义理解不清造成的。其次，概念的内涵从本质上来说是由定义推理而来的，但概念的定义并不反映该概念的全部本质属性，要形成较为完整的概念，还必须掌握一定量概念的内涵。最后，要掌握概念全部内涵，靠一节、一章的教学是不能完成的。因为任何概念的本质属性都是随着数学知识的展开而不断丰富和发展起来的。所以在教学中，应注意把前后知识有机联系起来，逐步丰富概念的内涵，形成概念体系。

三、概念的巩固和应用阶段由于数学概念的抽象性，所以在概念形成过程中，有必要通过反复感知（如讨论、思考、对比等）和反复再现（通过一定量的练习）来加深理解和记忆。此外，由于新概念的形成是建立在已有概念基础上的，应有意识地预习与新概念有关的知识，这不仅是新概念教学的需要，也是巩固学生对原有概念记忆的一种有效方法。

(宿豫县黄墩初中潘振坤)

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   数学概念教学创新的途径与策略

   作者：郭茂荣转贴自：本站原创点击数：1604

         一、引言

         推行素质教育的核心是教育的创新, 而教育创新的关键是学科教学活动的创新。正如华东师大张奠宙教授所讲: 创新是民族的灵魂,

         让我们从课堂上做起。因此对数学课堂教育活动的创新进行探讨和研究是十分必要的。

         所以我们选择“数学概念教学创新的途径与策略--数学概念教学创新案例研究”,进行研究。

         二、内容摘要:

         数学概念教学不只让学生记住概念、定理、法则、公式等，更重要的是要通过教学揭示概念的形成、发展过程, 引导学生从中领悟出数学思想与方法。

         “数学概念教学创新的途径与策略--数学概念教学创新案例研究”

         是全国教育科学规划专设课题“数学教学创新的途径与策略--数学教学创新案例研究”的一个重要子课题。

         本课题研究的主要内容

               1、通过理论研究及课堂教学中实践的反思进一步加深在数学教学中对“创新”的理解和体验并上升到理论。

         2、通过对不同学段，不同学校的学生进行专题调查，了解他们对学习数学概念的一般方法及认识，结合理论学习，探索数学概念形成的一般过程与规律，寻找有利于帮助学生形成数学概念的方法和创新点。

               3、通过案例分析，如何在数学概念教学中善于把事实形成数学概念，合适地运用概念，注意激励学生的创新意识。

         本课题的研究将“以数学概念教学的创新”为主线;

         试图根据素质教育和教育创新理论以及顾泠沅先生所创建的“让所有学生有效学习的四条基本原理——

         情意原理、序进原理、活动原理、反馈原理”为理论依据，结合数学概念自身的规律特点, 通过收集大量的教学案例,

         从“概念教学观念的创新；概念教学内容的创新；概念教学方法的创新；概念教学手段的创新；概念教学评价的创新,” 这五个方面,

         围绕着,“创设情境、落实双基、优化思维、学法指导、问题研究、评价反馈”六个侧面,

         运用案例研究法对“数学概念教学创新的途径与策略”进行研究。

         三、课题研究过程及工作概要

            1、前期准备工作

               ①. 查阅文献资料，了解各方面信息

               ②. 对“案例分析法” 进行研究

               ③. 成立课题的筹备小组，拿出立项报告，申报立项

               2、课题研究执行阶段

               ①. 成立总课题组，制订计划，筹措经费。

               ②. 成立相关子课题组，广泛宣传，调动各方积极性，参与课题研究，确保案例的收集。

               ③. 启动课题研究工作，调查摸底，收集案例。

         3. 课题研究总结阶段

         四、理论研究（论文）

         数学概念教学创新的途径与策略

                           数学概念教学创新案例研究

         培养和造就适应未来社会发展的创新型人才，已经是摆在广大教育工作者面前的一项刻不容缓的历史任务。引导学生创新学习，首先要求教师实现教学创新，要把树立学生的创新意识，培养学生的创新思维，注重学生的创新能力，激发学生的创新热情，挖掘学生的创新潜能作为教学创新的根本目标和方向。

         数学概念教学不只让学生记住概念、定理、法则、公式等，更重要的是要通过教学揭示定理的发生、发展过程，从中学习数学思想与方法。教师在课堂教学中，应做到有所为，有所不为。那些机械性地为学生堆积知识，重复性作业训练和简单的强记硬背于学生思维创新毫无意义作法应彻底改变。初中数学中的基本概念、基本定理、法则、基本作图等基本知识和技能是知识体系的核心，只有突出了这些核心知识的教学，才能为学生日后创造性思维的发展提供坚实基础；只有结构化的知识，清晰的因果、隶属、整和关系才能激起学生的联想，诱发创新、求异的灵感。因此,

         研究和探索“数学概念教学创新的途径与策略”是十分必要。

         课堂教学是创新学习的主渠道，是开展教学创新的主阵地。中学数学概念教学应突出在如下几个方面实现创新。

         一．    概念教学观念的创新—以学生为本，创设适学情境,激发学习    动机

         概念教学观念的创新，就是要在素质教育质量观的要求下，充分建立以人为本的学生主体观，创设民主、平等、和谐、合作的教学氛围，实现优质高效的教学效能。

         创新教育是依据创造学原理、思维科学原理、教育学原理、综合培养和训练学生创造意识、创造能力和创造性思维水平的教育科学，其目的是开发学生的创造力,特别是开发学生的潜在的创造力。而“创造需要”是创造第一要素。其中,“成就需要”为人的最高需要,

         它是人类自我实现价值的精神、心理和意愿的反映。而心理学研究表明:“成就需要”和“兴趣需要”是相辅相成、互相促进的。“兴趣需要”促进成就,“成就需要”激发兴趣,

         传统的数学教学忽视了学生在学习过程中“兴趣需要”作用。

         在进概念教学时,

         以学生为本，就是围绕着学生的“兴趣需要”把学生当作学习的主体，创设一个良好的教学情境，造成积极思维的环境的气氛。以引发学生学习兴趣，引导他们专注于课堂教学内容。当学生有兴趣，并对整个课堂教学内容抱着希望时，这就为课堂教学顺利进行做好了心理奠基工作。因此,传统的数学概念教学中,

         那些机械性地为学生堆积知识，简单的强记硬背于学生思维创新毫无意义的教学观念，应彻底改变。

         1、在概念教学时正确的处理好“形式”与“实质”的关系

         “形式”即概念、法则、定理及其纯文字叙述，“实质”即以上对象的本质与应用。根据新教材特点与初中学生学习数学的认识规律，应淡化“形式”，注重“实质”。

         具体地说，教师在教学中对一些概念的定义形式不必花力气去钻，对一些纯文字叙述较繁的法则、定义不必要求学生背诵，对一些较深的理论不必去深究，但对其实质性理解，如问题的发生方式、过程应用等则需多用时间与精力，要引导学生多练习，多思考。下面举4例加以说明：

         ①、代数式教学。教材采用了列举方式定义代数式。教学时教师不必去下繁琐的代数式定义，而应该从不同形式的式子中，引导学生认识什么是代数式。

         ②、方程教学。新教材从两个方面实行了淡化处理：一是定义，二是方程同解原理。教学中，教师应注意让学生从解方程中理解方程的有关概念，而不必在解方程时，强调解的理论依据及解方程的实际操作程序。

         ③、乘法公式教学。只要加强对字母a,b的理解，而不必花大力气去记纯文字叙述。如平方差公式(a+b)(a-b)=a -b

         ,教师要引导学生观察左边两个括号内项的特征：两个相同项，一对相反项；而后边是：相同项的平方减相反项的平方。抓住了这个实质，就透彻地理解了这个公式。学生对形如(a+b-c)(a-b+c)或到二年级对形如

         等形式的题，也会灵活运用平方差公式解答。

         ④、平行线判定的教学。新教材将“同位角相等，两直线平行”作为公理，删去原教材中的同一法证明，代之为“实验几何”的操作。教学中教师要设计较多的填空、说理题进行实质性训练，强化学生对这一较深理论知识的认识。

         2、抓住数学概念特点,创设适学情境,激发学习兴趣

         数学概念往往是由一些实际实例和具体的数学材料抽象概括而成的，学生总感到枯燥无味，因此,

         在数学概念教学的起始阶段，教师宜根据教材和学生实情选择素材设疑置景，数学概念课的教学导入很重要,导入恰当，就能将学生的注意力牢牢地吸引住，就能激发学生的求知欲望.

         许多教师在这方面作出有益的工作,创设了具有积极意义的方法,如:

         案例1-1 利用数学史、数学家的故事和数学趣闻。创设愉快的乐学情境

         许多数学概念的形成和发展中,发生着许多有趣的故事,诸如祖冲之求圆周率

         ，我国古代数学家杨辉发现二项式系数的规律得出“杨辉三角形”比外国数学家巴斯卡发现这规律要早得多，古印度国王社拉姆奖赏国际象棋发明者塞萨的故事、菲波那契数列（兔子数列）、费尔玛猜想、歌德巴赫猜想、数域的扩大、非欧几何…，这些能够开阔学生的视野，培养他们的爱国主义精神，使他们懂得数学的海洋是浩瀚无垠的，激励他们为科学而献身。这些实例也能够激发学生的学习兴趣，加深他们对科学知识的理解。适当地给学生讲一些数学史、数学家的故事以及数学趣闻，不仅可以集中学生注意力,活跃课堂气氛,而且使学生看到数学也是一门有趣的学科,例如在讲“平面直角坐标系”时,某位教师是这样开场的。

         师：今天，我给大家讲一个故事。

         （一句适合学生兴趣需要的开场话，把学生深深吸引着）

         师：伟大的数学家笛卡儿对数学的发展作出了具大的贡献。

         （教师板书：笛卡儿）

         师：笛卡儿潜心研究能否用代数中的计算来代替几何中的证明时，有一天，在梦境中他用金钥匙打开了数学宫殿的大门，遍地的珠子光彩夺目。他看见窗框角上有一只蜘蛛正忙着结网，顺着吐出的丝在空中飘动。一个念头闪过脑际，眼前这一条条的经线和纬线不正是全力研究的直线和曲线吗？惊醒后，灵感终于来了，那只蜘蛛的位置不是可以由它到窗框两边的距离来确定吗？蜘蛛在爬行过程中结下的网不正是说明直线和曲线可以由点的运动而产生吗？由此，笛卡儿发明了直角坐标系。

         （教师板书：直角坐标系）

         师：就是这一梦境的作用，又一门新型数学——解析几何诞生了。

         （学生被这个故事深深吸引着，急切的想知道什么是直角坐标系，达到创设适学情境这一目的。）

         案例1-2 利用实际问题，启发概念原型，创设教学情境。

         数学概念大多从实际问题抽象而来，因而多可寻到实际背景。现行教材中大多也从实际事例引入概念，所选的素材以数学对象为主，在教学中若能从学生的生活经验、身边熟知的现象入手，挖掘出更切合学生认知规律，更能反映概念本质的内容，让学生去体验、去发现、去概括、甚至去创造，不仅可以激发学生的求知欲和兴趣，也更适合素质教育的需要。

         例1：平行线的概念，可先列举学生已有感性认识的日常生活中诸多不相交线的实例，找出它们的共性，使学生形成初步印象后，再抽象成两条直线，由相交时逐渐移动一直线变成不相交，从而概括出平行线的概念。

         例2：初中《代数》的第一章有理数某位老师是这样引入的：一辆汽车从东方大厦出发，沿公路向南行驶3千米，接着掉转车头向北行驶3千米，问现在这辆汽车在什么位置？对于这个简单问题，学生当然不难作出回答。但问及如何用数学式表达这辆汽车的位置变化过程，学生就感到茫然了。这个实例象小辣椒，诱发学生的胃口。笔者趁学生已构成急于求知的心理状态之时切入新课课题：“为了满足实际需要，我们必须把已经学习过的算术数扩充到有理数。”

         案例1-3  正确地处理好“做与说的关系”，在做数学实验中，创设教学情境。

         “做”就是结合数学概念的特征，通过做一些简单的数学模型，做一些演示实验，同学们在教师引导下观察，分析实验中暴露的问题，目的在于激发学生学习概念的兴趣，在“做”中自然形成数学概念。

         “说”包括两个方面：一是教师的“说”，二是学生的“说”。教师“说”在知识的发生点，疑难处。学生“说”则在解题思路，概念、法则的理解。

         “做”是为了“说”，“说”是对“做”的升华。教学中，应强调“做”了再“说”，先“做”后“说”。但实际上教师往往轻视“做”，常常是教师滔滔不绝的“说”了之后，学生才有机会“做”。而在“说”上，教师又最容易忽视学生的“说”。这是我们在教学中应注意克服的两种现象。

         例如：“轴对称与轴对称图形”这一节，通过让学生分析三角形，圆以及平行四边形等活动后适时提出问题“对折后两边的图形完全重合吗？完全重合意味着什么？它有什么特点？”使学生集中注意力，全身心地投入到问题的探究之中。在操作和答问中自然地引入“轴对称的概念”。

         二、概念教学内容的创新——依托教材，取舍有度，落实双基。

         中学数学教材中的教学内容和教学要求，只能是教学和学习的依托，而并非教与学的全部。长期以来，课堂教学以纲为纲，以本为本，整齐划一，过于系统严谨的教学内容体系，制约着教师“教”与学生“学”的创新。因此，这就要求教师在课堂教学中，改变那种对教材的完全依赖及照本宣科的做法。

         1．    重视教材，提倡“咬文嚼字”，避免“概念不清”，反对强记硬背。

         中学数学教材十分重视知识叙述的严谨性，强调逻辑顺序，后文知识的陈述多以前文知识为基础，环环紧扣，层层递进，特别是数学概念每一字一句都有十分严谨。提倡“咬文嚼字”，并不等于提倡死钻牛角尖。学生对教材的充分利用应当以宏观把握为主，即掌握落实教材中的基本知识及方法，只有这样才不至于“拣了芝麻丢了西瓜”。

         数学概念是建立法则、定理的基础，自然也是计算和证明的基础。学生在数学学习上的许多毛病和错误常常与“概念不清”有缘。为了把概念讲清、讲活，使学生能理解、能表达、能应用，常常采取“欲进则退”的策略，先把概念讲授的起点退到学生的生活经验或已有知识上去，然后，在这个坚实的基础上，引导学生逐步抽象概括，上升到理性，使学生看到活生生的概念的形成过程，也掌握住活生生的概念。然后再在这个基础上强化本质属性，注意概念间的区分，加强概念的直接应用，使其坚固。相反，如果就概念讲概念，不肯后退一步，就只能使教学过程变得枯燥无味，得到的概念也只能是枯木朽枝。在这个基础上，过早地过渡到法则和运算，数学学习就将失去生机。概念不清的幽灵必将随时暴露。

         2．依托教材，取舍有度，边学边用，应用到位。

         学习的目的全在于应用。学生学习数学概念和规律，在初步理解的基础上，要尽快地运用，不是完全学好了再用，而是边学边用，在学的基础上用，在用的过程中学，不断循环，加深对所学知识的理解，逐步培养起运用知识的能力，进而形成熟练的技巧。

         有的教师讲课时，喜欢面面俱到。比如说，才讲了因式分解的概念，学生还没做练习，就对学生讲：因式分解要分到底，不能半途而废，比如……；因式分解要分成质因式的连乘积，不能再有和差形式，比如……；因式分解要看在什么数系的范围内进行，比如……。期望在一开始就想把因式分解各方面问题都交代清楚，毕其功于一役，这是违反学生认识规律的。就象学生学游泳，事先讲点注意事项是需要的，但讲多了没用。最重要的是让他们早点下水，在游泳中学会游泳。也许会喝两口水，这时再叫上岸来，强调一下要注意什么，再让他们去实践。总之，学生没有实践，你讲得太多，他根本没有体会，吃一堑，长一智，只有在学生练习的基础上逐步引导，才能把他们的认识真正引向深化。

         3．钻研教材，总揽全局，把握概念的层次性, 层层推进。

         由于人们的认识总是逐步深入，由低级向高级发展的，因此中学数学教材对这些概念的阐述不是一次展开而是螺旋式上升的。有些概念，需要深入钻研教材，总揽全局，才能把握这种层次性。

         例如：绝对值的概念，在初中由于学习有理数运算法则的需要，引入了有理数绝对值的概念：

         正数的绝对值是它的本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。

         这是一种规定性的定义，初中学生由于抽象思维能力较差，很难理解它的意义、所以课本接着指出：“一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。”学生通过数轴检验后，确信这个断言的正确性，从而也就明白了绝对值的几何意义，对于绝对值的概念获得初步的理解。

         到二次根式这一章，课文又指出

         。把绝对值与开平方运算联系起来：“一个数的绝对值就是这个数二次幂的算术平方根”。在学过平面直角坐标系后，学生又看到，这不过是两点距离公式的特例：

         。当学生到高中学过了函数知识后，还可以把实数绝对值规定为。因为、及都等于；；

         。从分段定义函数观点来看，它们是等价的。对于绝对值函数图象的研究又可以把取绝对值于图象的对称变换联系起来。到复数这一章，要让学生理解复数的模就是实数绝对值概念的推广。这样学生便由浅入深地认识到绝对值概念的层次性和多侧面性，从而领会了它的实质。

         相反地，如果我们在教学中缺乏层次结构原则的指导，一个一个孤立地介绍概念，结果在学生头脑里不分层次地罗列一大堆概念，把从属关系的概念也看成并列关系。这样的认知结构不便于知识的存储和提取，从而也阻碍了解题能力的提高。

         因此我们在教学中应该按照概念的层次性组织教学，使学生逐步认清概念的等级性和多侧面性，既掌握概念的内涵又掌握概念的外延，从而在头脑中形成一个概念体系，使学生的认知结构网络化。

         三  概念教学方法的创新——改善课堂结构，优化思维过程，培养创新意识。

         实施素质教育的关键之一就是要加强对学生的创新教育，而中学的创新教育，重点定位于培养创新意识。

         课堂教学是培养学生创新意识的主渠道，事实证明，呆板的，一成不变，过于陈旧的课堂教学模式已经没有生命力了。只有通过在教学方法上的创新，通过创设宽松和谐，主动自觉的学习环境，达到改善课堂结构，优化学生思维品质，才能使学生的聪明才智最大限度的展现出来，从而展现教学上的高效率，高质量。

         概念教学要避免“满堂灌”，“注入式”的陈旧教学模式，就要在概念教学方法上创新。在教学方法上创新，应突出体现在问题提出和解决的方法上，即：教师提出问题的方法和引导学生善于提出质疑的思维方法。概念教学的首要环节不是向学生展示概念，而是结合概念自身的特征为学生创设一系列巧妙问题情景，极大限度地调动学生的参与意识，训练其思维能力。

         下面就“映射”这一节的教学案例来进一步说明。

         案例3—1  挖掘原型，提出问题，自然导入。

         数学概念大多从实际问题抽象出来，因而多可寻到实际背景。在概念教学中若能从学生的生活经验，身边熟知的现象入手，挖掘出更切合学生认知规律，更能反映概念本质的内容原形，让学生去体验，去发现，去概括，不但可以激发学生的求知欲和兴趣，而且是适应教育创新的需要。

         对“映射”这节课，某位教师是这样导入新课的：先说明两个集合的元素间有时具有某种对应关系，除课本中两个对应的例子外，增加一个身边的实例☆：{人}在同一光源照射下与{影子}间的对应。针对☆问：在同一光源照射下，

            （Ⅰ）任何一个人是否一定有影子？

            （Ⅱ）任何一个人都有几个影子？

         学生对于这种身边的现象，会带着浓厚的兴趣来回答，且显得轻松愉快。然后指出这是一个自然现象，就象牛顿看到苹果落地而发明万有引力定理一样，我们也可从这一自然现象中得出一个十分有用的重要数学概念——“映射”

         （至此“映射”有了一个生活中的原形，何为映射？又如何从实例☆得出这一概念呢？学生们带着问题，在期盼中进入下一阶段。）

         案例3—2 揭示本质，自然联系，培养直觉思维能力

         在概念教学中，对素材的选择或处理不当往往会成为简单的堆积，使联系也显得勉强，自然会影响到效果。对何为映射，不妨先从下面几个角度来认识：

         （1）从字面看是因光线照射而显出的物体的形象

         （2）用直观教具演示：如手电光照粉笔、手指、在黑板上显出清晰影子。

         用直观教具可增加数学的趣味性，加深对概念的印象，也使抽象的数学概念与生活接近了一大步，在潜移默化中，学生的直觉思维能力也得以培养，但需明确，直观仅是过渡的工具。

         （3）从自然观象☆的特点看是一种具有问（Ⅰ）（Ⅱ）特征的特殊对应，特殊在哪里？怎样把☆的特征用数学语言表述出来而形成数学概念呢？促使学生去分析，去寻找适当的数学语言表述，使学生去分析，去寻找适当的数学语言表述，使学生从直觉印象逐渐向抽象化、数学化过渡，培养良好的数学意识。

         案例3—3聚焦信息，自然形成，培养概括能力

         概念反映事物一般的本质特征，把感觉到的事物的共同特点抽出来，舍去事物及其发展规律中与一般性无关紧要的具体内容特征，再加以概括，便成为概念。让学生参与分析问题，学习如何抓住本质特征，使其身临其境地感受实际生活现象数学概念化的过程，品尝数学家发明创新般地喜悦，有利于切实发展概括能力，增强应用意识及抓关键意识。

         在教师适当引导下，让学生对实例☆数学语言化：记A={人}，B={影子}，“在同一光源照射下”，记作“对应法则f”。再由问(Ⅰ)(Ⅱ)概括本质特征：在同一光源照射下，{人}中“任何一个”，{影子}中“都有唯一”。让学生表述，教师引导整理出正确完整的映射概念（培养概括的准确性），并及时引导学生分析概念的结构，找出要害字眼：在对应法则f作用下，A中“任何一个”，B中“都有唯一”（有利于培养概括的敏捷性）。并问：映射由哪几部分组成？有学生回答两部分，即集合A，B。问：

            （Ⅲ）没有“同一光源的照射下”这一条件，一个人是否有或都有唯—一个影子？

         学生们回答后恍然大悟，纠正为有三部分：A，B，f（也为下节讲函数三要素作准备）。

         于是说明从A到B的映射可记作f：A→B。由此使学生们看到数学概念可从现实生活中提炼而来，它离我们的生活并非太遥远，使概念的到来不会觉得大突然，也使概念成为可以感受到的，具有“真实”意义的可自然接受的概念

         四、概念教学手段创新——“投”“机”取巧，常见常新，营造创新环境。

         传统的教学手段，已经很难有效辅助实现教学创新。象投影仪、多媒体微机等在辅助教学中也已经不在新奇，这些电化教学手段的使用，具有声、光、形、色同时再现的特点，能变枯燥为生动，变静态为动态，能够对知识加以形象化、主体化展开，在培养学生思维能力方面起着独特作用。

         数学教师具有得天独厚的学习使用微机的基础，象（几何画板）等优秀的多媒体课件制作软件工具有易学易用的特点，因此，数学课堂实现教学手段的创新是有条件的，也是现实的。关键是，投影仪、微机等教学手段的巧妙使用，不但能增大课堂信息容量，更重要的是，它可以极大的迎合中学生的求新、探趣的心理，持续调动学生的有效注意力，一方面，增强学生学习效果，有助于教学目标的有效落实。另一方面，增强教师自身在学生中的高深莫测的形象，正所谓，敬其师，信其教。

         1、利用多媒体设备，进行直观演示和过程模拟，培养学生抽象思维能力。

         教育心理学指出：直观教学是培养学生抽象思维能力的重要手段，要建立牢固的数学概念和数学知识结构，必须重视形象直观在数学教学中的作用。传统的课堂教学中，绝大多数教具不能灵活变化，缺乏形象直观，可感性差。而计算机具有很高的运算速度和高分辩率以及完善的彩色绘图功能，并可发音。利用计算机绘图，人可以通过计算机输入设备向机器输入各种图形参数，赋予图形千变万化，这一点是任何其他直观教具所无法比拟的。例如，在解析几何教学中，利用微机的绘图的功能的过程宏观化，直观可感，有助于加深对数学知识的理解。

               2、自己动手，亲身体验，学生在实践中形成数学概念。

         多媒体辅助教学分课堂演示和学生实践两种教学模式。课堂演示以教师操作为主，教师将已编好的教学内容通过教学网络传送到各终端屏幕，边演示边讲解，边提问边验证学生回答的结果正确与否。学生实践的是在教师指导下依照:“学习数学教材内容——建立数学模型——上机操作——归纳小结”的模式进行。教师通过教学网监测各学生的操作情况，对作得好的通过教学网络将其结果传送到其他同学的屏幕上让大家学习，对作得差的及时给以个别辅导。

         下面是巩固初三平面几何“圆”的概念的一次CAI课：

         教师先通过教学网让学生复习画定圆（已知圆心、半径）的过程，在屏幕上画出一个以

         为圆心，R为半径的圆。然后，通过提问，请学生用所学的数学概念指出画法，并通过由教师操作验证的方式在圆上作下列图形：

         （1）过圆上一点A作圆的一条切线AM。教师按学生的回答（让图龟到达A点并转向与过A点的半径垂直，然后前进60，再后退120）操作即得到所求的切线。

         （2）过点A作圆的一条弦，使之与作的切线成角。这个问题开始使学生感到为难，“成

         角”这个问题好解决，只须让图龟再前进60到达A点，然后转

         角就行了，关键是要图龟再走多远才刚好到达圆周上，即弦长应如何计算？在教师的启发下，学生自己在本子上画草图，在假设已画出来的图中，若过圆心O作OE垂直弦AB于E，则根据圆的性质可知弦长AB=2AE，而角AOE等于弦AB所对圆心角的一半刚好等于弦切角

         ，则在直角三角形AOE中，AE=AO ，当教师按这一结果操作在屏幕上果然画出了所求的弦时，学生们显得格外兴奋。

         （3）连结BO。此时学生们积极思考，各提“连法”。有的提议用定位命令让图龟到达图

         的；有主张用转角再前进的方法的……，教师按其中一种方法操作，令图龟顺时针转角

         后，再前进R，图龟刚好到达图心位置，连结成功！其余办法留给学生们自己去实践。

         （4）作出以AB为一边的半圆上的圆周角。学生又开始思考，一种办法是让图龟前进R回到B点，再反时针转

         角，即指向与AB垂直，再按假设已画好的图中直角三角形ABC的直角边长的算法，令图龟前进即达到C点，再令其再顺时针转

         度角，图龟即指向图心，只须令其再前进R，即可大功告成。另一种办法是让图龟先从圆心到达C点，再连结CB，当然算法与前一种又有所不同，留给学生自己去作。教师演示完毕后让学生自己实践，要求画出同样的图形，在学生操作过程中，教师通过教学网监视各人的操作情况，对完成得好的及时将其结果传送到各个屏幕让大家观赏。

         五、概念教学评价的创新——客观评价、快速反馈，激励士气。

         课堂教学评价具有导向，调控和激励作用，传统的教学评价，只注重评价教师讲授情况和学生学习结果，而忽视了学生学习过程中情感变化。特别是数学概念教学中，由于数学概念自身的抽象性，往往给学生建立某一数学概念带来的困难。所以，在概念课教学中，及时客观评价学生学习过程中情感变化，捕捉效果信息是十分必要，因此，概念教学评价的创新，应在突出全面性，导向性和创新的原则，还应包括课堂教学教师对学生学的评价。

         1．察言观色，捕捉信息，及时调控。

         所谓“察言观色”，就是观察言语、脸色，来揣摸对方的心意。中学生大都还不善于隐蔽自己的情感，他们的喜怒哀乐常可从外部表情和身体的一些细微动作反映出来。他们听懂了，在课堂上时而轻笑，时而蹙眉，十分入神；他们听得很感兴趣，展现出一副跃跃欲试的姿态，想亲口说一说，亲手做一做。如果教师讲得唇焦舌燥，学生却眼神滞呆，木木然，有的学生甚至有坐立不安的烦躁表情，这意味着教师有必要改变一下“信息编码”，及时调整一下教法。若对学生疑惑的表情把握不准，可以在恰当的时机，提出问题进行探测，以便及时采取应急措施，往往能收到事半功倍之效。眼神是心灵之窗，有经验的老师特别善于从眼神捕捉信息。反馈的目的是为了改进后续教学，所以获取反馈信息后必须认真实施课堂调控。当发现课时计划同学生的实际有一定距离时，若是原设计的课堂容量偏大或偏小，教师应当即调整授课的速度，将某些内容移至下堂或将下堂某些内容移至本堂讲授；若是原设计的问题难度偏高或偏低，教师应设法改变问题之生僻艰深或过于简易状。

         2．客观评价，标新立异，激励士气

         教师对学生学的评价，应突出标新立异，重在激励，鼓舞学生学的士气，数学课堂有两种评价做法：一是只管批评否定的做法，二是一味表扬，如：不管对错与否，一律“真好”、“真棒”的灌迷魂汤的做法，都是不可取的。教师课堂对学生的评价应建立在事实的基础上，恰当分析其思维独创之处，有待完善的方面，明确教学导向，引导学生勇于发散思维，求新、求异，对学生的评价中，明确学生的肯定之处与不足的方面同等重要。

         教师应及时对自己的教学从教、导、学、创等方面给予自我评价，并经常借助第三者的综合评价，来明确教学导向，总结创新经验，以利今后创新实践。

         总之，教学创新与指导学生创新学习是中学数学课堂教学今后研究的一个重要方面。在实施教学创新的实践探索中，教师自身素质的提高是教学创新的关键环节。如果教师处于缺乏创新思维状态，没有教学创新精神，要培养出具有创新精神的学生，也是非常不现实的。因此，不断提高教师自身创造性教学的能力，应当成为教学创新的基础工程。

         主要参考文献：

         1. 顾冷沅：《教学实验论》，教育科学出版社。

         2. 张奠宙：《数学素质教育教案精编》，中国青年出版社。

         3. 杨丽珠：《教育科学研究方法》，辽宁师范大学出版社。

         4. 徐光兴：《学校心理咨询优秀案例集》，上海教育出版社。

         5.  周在人、刘朝章：《中小学管理案例》，科学普及出版社。 6.  李土绮:  《数学教育个案学习》，华东师范大学出版社。

         7.  李求来《初中数学课堂教学研究》，湖南师范大学出版社。

         8.  王子兴《中学数学教育心理研究》，湖南师范大学出版社。

         9.  朱成杰《数学思想方法教学研究导论》，文汇出版社。

         10.       于永正《于永正课堂教学教例与经验》，人民日报出版社。

         11.       陈桂生《到中小学去研究教育》，华东师范大学出版社。

         12.       闫承利《素质教育课堂优化模式》，教育科学出版社。

         13.       马忠林《数学教学论》，广西教育出版社。

         14.       张维忠《数学文化与数学课程》，上海教育出版社。

         15.       张武升《教育创新论》，上海教育出版社。

         16.       温寒江《构建中小学创新教育体系》，北京科学技术出版社。

         17.       关文信《初中数学创新性教学指导》，吉林大学出版社。

         18.       华长慧《创新教育百例》，浙江人民出版社。

         19.       杨名声《创新与思维》，教育科学出版社。

         20.       陈龙安《创造性思维与教学》，中国轻工业出版社。

         21.       季素月《数学典型课示例》，东北师范大学出版社。

         22.       刘晋伦《能力与能力培养》，东北师范大学出版社。

2003年数学高考教学命题建议

中国教育报    2002-12-19

任子朝

　　对教学的启示

　　1.突出知识结构，扎实打好知识基础

　　数学从本质上说是一个从客观事物中抽象出来的理性思辨系统，它的形成和发展主要运用符号和逻辑系统对抽象模式和结构进行严密演绎和推理，各部分知识紧密联系，构成严格的学科体系。数学知识结构的形成和发展，是一个知识积累、梳理的过程，教学和复习中首先要扎实学好基础知识，并在此基础上，注意各部分知识在各自发展过程中的纵向联系，以及各部分知识之间的横向联系，理清脉络，抓住知识主干；构建知识网络。在总复习中要充分重视主干知识的支撑作用。

　　2.强化思维过程，努力提高理性思维能力

　　数学基础知识的学习要充分重视知识的形成过程，解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学方法和基本教学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径，注意培养直觉猜想，归纳抽象、逻辑推理、演绎证明，运算求解等理性思维能力。

　　3.增强实践意识，重视探究和运用

　　要关注生产实践和社会生活中的数学问题，关心身边的数学问题，不断提高教学的应用意识，学会从实际问题中筛选有用的信息和数据，研究其数量关系或数形关系，建立数学模型，进而解决问题，注意抓住社会现实中运用数学知识加以解决的普遍性问题和社会热点问题，开展讨论、研究，从中提高数学实践能力。

　　4.倡导主动学习，营造自主探索和合作交流的环境

　　学校和教师要为学生营造自主探索和合作交流的空间，善于从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主学习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树立信心，培养钻研精神，同时提高数学表达能力和数学交流能力。

　　对命题的建议

　　1.合理调整全卷的难度结构

　　高考作为选拔性的考试，“难度”是一个最为重要的指标。近几年高考数学科的难度总体上说，保持在一个合适的范围之内，但试卷中各类试题难度的分布尚有待完善。要进一步研究选择题、填空题、解答题等各题型的功能，充分发挥它们的检测效应，努力做到整卷难度保持稳定，各类试题难度分布更趋合理。

　　2.深化数学理性思维的考查

　　数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或“方法”，更重要的是一种思维方式，表现为数学思想。高考数学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。

　　3.关注数学教育改革的进展

　　2002年秋季，全国就读普通高中的新生已全部使用数学新课程教材，标志着我国高中数学课程改革已进入一个新阶段，我国教学教育改革正在迅速发展。命题组在支持课程改革中做了大量的工作，今后，应该更加关注高中数学课程改革的进程，了解使用新课程考生的实际情况；吸取新课程中的新思想、新理念，使高考数学科考查更加反映数学教育改革的发展方向。

在数学概念教学中体现探究式学习

(2004-01-05 10:58:06)

数学概念是形成数学知识体系的基础,让学生学好、用好数学概念是我校数学实验课题第二阶段的目标之一,也是提高学生素质的重要途径之一。但数学概念是比较抽象的,而中低年级学生的思维以具体形象思维为主,抽象思维很弱。根据这种情况,在教学数学概念时,我努力转变教育教学理念,采用让学生主动学习、自主发展的“探究式”学习方法,让学生通过一系列的科学探究活动去发现科学结论。

一、创设有趣的、具有探究性的学习情景。在教学“人民币的认识”时,我根据低年级学生年龄小,生活经验少,对新鲜事物很敏感,容易产生好奇心等特点,课前谈话创设问题情景,用激励性的语言把学生引进“小小商店”的探究活动中,让学生在“小小商店”中自由自在地买东西、卖东西。让他们通过一系列的科学探究活动去发现科学结论,而不是老师将现成的结论直接告诉学生。学生通过自己的实践活动和搜集到的第一手资料了解人民币,认识人民币与人们生活的密切关系。在这一活动中,学生充分感受到了“玩中学”的乐趣,激发了学习的兴趣和求知的欲望,处于一种主动积极的探究状态。这样,学生把娱乐、探索、学习融为一体,让枯燥而深奥的数学概念形象化。学生通过逛商店,认识了分币、角币、元币的不同种类。感知了分币、角币、元币之间的十进关系。

二、重视学生的操作,给学生提供自主探究的空间。操作是一种运用知识和探究知识的综合性认知活动,它给学生提供了运用知识的环境和获取知识的桥梁。如:在学习长方形面积的计算时,我让学生通过摆一摆,看一看,说一说等操作活动,感知长方形面积与哪些因素有关。学生在操作活动中发现:长方形的宽没有变,长发生了变化,面积随着发生变化。说明长方形的面积与它的长有关。　　　　让学生再次摆一摆,看一看,说一说,学生发现:长方形的长没有变,宽发生了变化,面积也随着发生变化。说明长方形的面积与它的宽有关。　　　　

接着,让学生采用小组合作探究的学习方式,总结出了长方形面积的计算方法。学生通过摆、看、说,参与了获取知识的全过程,尝到了探求知识的乐趣,达到了手指尖上出智慧的目的。

三、比较概括,引导学生将所探究的知识形成系统的概念。“有比较,才会有鉴别。”在学生学习了新的概念后,再让他们在理解概念的基础上,通过比较等思维活动,把事物的本质属性充分揭示出来,形成准确的数学概念。让学生进行长度单位和面积单位的比较:1平方分米和1分米比较,谁大,谁小?学生通过自发分组讨论、探究、比较得出:1平方分米与1分米无法比较。其理由是:平方分米是用来量物体表面积或平面的大小,是面积单位;而分米是用来量线段的长短,是长度单位。它们是两个完全不同的概念。由此,学生更进一步地理解了面积单位和长度单位的用途。实际应用中出错的机率就减小了。

同理,我又让学生进行面积和周长的比较:一个边长为6分米的正方形,它的周长和面积(　　)。

Ａ无法比较;　　Ｂ相等;　　Ｃ不相同。

学生通过讨论后,一致从它们的概念上辨析,无法比较。

四、精心设计课堂练习,再次给学生提供探究的机会。学生对新概念的掌握不是一次能完成的。需要由“具体→抽象→具体→抽象”的多次实践。为了让学生理解和掌握有关概念,我精心地设计练习题,让学生在独立练习,分组探究的过程中形成技能,发展智力。从长为8分米,宽为6分米的长方形中,截取一个最大的正方形,这个正方形的面积是多少平方分米?此题是在学生理解了长方形、正方形的特征和面积计算的基础上变化发展的,需要学生将长方形、正方形的特征、面积的计算进行灵活的应用;需要学生画一画、量一量、想一想。让学生在自主探究活动中发展空间想像能力。想一想:学校要修一间教室,讲台面积有8平方米,能容纳46名学生(人均占地1平方米),请你设计这间教室的平面图,怎样设计才合理?此题是在学生掌握了长方形的特征、面积的含义、面积的计算后出示的。但此题是一道综合应用性较强的题,它要求考虑的因素很多:46人的占地面积,讲台占地面积,学生活动空间;实用性,合理性,科学性。要求学生把所学的有关几何知识、生活经验进行综合应用。学生通过自己查看资料、实际调查、共同探究,设计出了自己喜爱的、理想的教室。

学生通过自己动手设计,学会了用所学数学知识解决实际问题,把数学学习与现代社会生活更密切地结合起来。

(倪亚琼《四川教育学院学报》)

应用激励模式，设计数学命题课型

——《勾股定理》教学设计

广州第十三中学数学科汤俭

激励，顾名思义是激发，鼓励之意，“多一点激励，多一份自信，多一次成功”，在教学中对学生进行激励教学是基础教育向素质教育转化，变“要我学”为“我要学”，变“学会”为“会学”，达到课堂优化的一种行之有效的手段。是指教师用自己的态度，语言和教学技巧，创设一种宽松，和谐，愉快的教学气氛，使学生以自信，自强和进取的态度去完成学习任务。

遵循这一教学原则，本人选择了《勾股定理》这一节内容作为数学命题教学课例，对于勾股定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，主要用于已知直角三角形的两边求第三边的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。同时，它也是直角三角形的一条重要性质，它有将形（直角三角形）转化为数（a2+b2=c2）的功能，体现了数形结合的研究问题的重要思想方法。因此，本课教学的重点是勾股定理的应用，由于勾股定理的证明方法采用面积割补法，学生不容易想到，所以定理的证明是教学难点。

根据命题教学中要重视指导学生区分命题的条件与结论，还要引导学生探索证明思路的要求。教学时，首先复习了三角形三边关系，总结出规律：较小的两边的和大于第三边，再引导学生类比联想：较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？通过对比发现锐角、钝角三角形中两较小两边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小的两边的平方和等于第三边的平方（激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲），通过电脑和教具的演示正方形的拼接过程，验证了对直角三角形所做的猜想（激发了学生探索新知识的成就感和兴奋性），激励学生独立地分析勾股定理的证明思路，从而发现了事实，总结了勾股定理。

由于我在公开课中大胆采用了激励教学模式，收到了意想不到的效果——精彩尽在“激励”中，充分地激发学生学习兴趣，学生动脑，动手，动口，独立地分析勾股定理的证明思路，发现了事实，总结了规律，成功地完成了教学内容。

一、兴趣激励法

兴趣是一种巨大的潜在力量，当它被发掘出来后，学生就会积极主动，心情愉快的学习，正如爱因斯坦所说：“兴趣和爱好是最大的动力。”为此教学时，我首先通过三种不同类型的三角形（直角三角形，锐角三角形，钝角三角形）的三边关系的比较，创设了问题情景，提出了“是否所有的直角三角形都存在这一特殊的三边关系”的悬念，激发了学生探究的情绪，在强烈的求知欲望下，认真观看了电脑动画拼接过程，声情并茂，视听兼备的电脑动画效果，紧紧地吸引了学生，在精神振奋，活泼轻松的教学氛围中认识到了勾股定理，熟悉了面积割补法的证明思路。同时，为了激发智力活动，调动学生的积极性，在练习时，还进行了分组竞赛，使学生克服惰性，养成高效学习的良好习惯。可见，兴趣不仅能激发智慧，使学生在思维的跑道上产生一种不达目的誓不罢休的念头，还有利于养成积极进取的品质。

二、参与激励法

参与，就是发挥学生的主观能动性，参与课堂教学，这既是一种民主化的表现，也是一种赏识的手段。为了加深学生对勾股定理的证明的理解，在学生观看完电脑拼接后，积极鼓励他们动手拼接正方形，在自己的动手，动脑，开动各种器官积极思维的探究过程中，学生不仅促进了数学思维的发展，达到数学命题教学的目的，更重要的是成为了学习的主人。同时根据命题教学的特点，帮助学生区分定理的条件与结论，注意如何进行命题的转换，本人在教学时很注意把学生从具体直观的直角三角形满足的关系，引导到利用字母符号表示边长的一般直角三角形三边所满足的关系，让学生通过自身努力成功归纳出定理的形式，做出严密的证明，可见，让学生参与教学过程的激励法不仅激发了学生学习的积极性和主动性，使他们学得活，记得牢，而且从中培养判断，观察，分析，解决问题的能力，提高创造性思维能力。

三、情感激励法

积极的情绪，是智力发展的纽带。有人形象地把智力比作汽车的发动机，把情绪比做汽油。只有发动机没有汽油，汽车是开不动的。所以教师在教学中，要善于施用多种的激励因素，诱发积极、和谐的情绪的出现，为智力的发展创造良好的条件。但可惜，认为数学难学的心理已成为普遍的现象，为此，在教学时我常用激励性的言语，如：“加把劲”，“努力”，“看谁做得又快又好”，“不要害怕，相信自己，你一定能回答出来”等，对他们寄予信任，期望，施与爱心，启发引导他们大胆举手发言，情感上给予支持，提高他们学习的自信心，并给予及时有效的表扬，果然，学生的自信心大增，产生了对老师信赖和对知识追求的心理因素，进入了积极进取的学习态度之中，变“要我学”为“我要学”。

另外，初中的学生正值少年时期，具有较大的可塑性，容易兴奋，也容易疲劳，而且脑的情绪区域长时间地处于兴奋状态，兴趣就会消失，注意力就会分散，因此，适时的情感激励尤为重要，教学时本人注意了节奏，一环扣一环，适时地对学生进行爱国主义教育，培养了学生的爱国之情，激发了学生为中华崛起而努力的豪情壮志，这就使学生的感知，思维，注意力和脑力劳动得到了很好的锻炼。

此外，心理学认为：心理上的波动会直接影响学习的效率，当学生处于活跃，灵敏及情绪愉悦的状态下，学习将收到意想不到的成效。这时进行心理的调查（这是本节课的最大特色），几条心理测试题，一方面实时地记录当时学生的心理状态，为日后的更好地改进教学方法作好准备，另一方面也调节了教学节奏，调整了教学结构，使教学有张有弛，步步深入的同时，激发了学生的学习积极性和强烈的求知欲。心理调查激励法及时调整了学生学习的情绪。

教育心理学指出，人类的学习是一个主动行为而不是被动的吸收过程，学生学习的主动性可以被教师“激发”形成学习的内驱力。所以在课堂教学中我设置了形成性练习，不仅巩固了所学，而且使学生对教学内容产生“期待”和“迎接练习的挑战”的心理准备，使学生充分感受到学习的价值和取得学习成果的满足感。

可见，在数学命题教学中采用激励模式教学，效果是显著的，通过一系列激励手法的运用，使学生按照用心看——用脑想——动手做——开口讲这一主线参与了教学，以积极进取的态度去理解了勾股定理的证明，学会了推理论证的方法，提高了动手能力，激发了学生了内在潜能，激发了学生自主学习，自我教育的学习内部动力机制，促进了他们在品行、学业和个性都获得全面发展。

实践证明，激励教学模式是突破教学重点，难点的关键，是激发学生学习愿望的锐利工具，是行之有效的教学方法。

简单命题与复合命题的区分

文／李三平　罗增儒

高一新教材增加了“简易逻辑”一节内容，在教学过程中，教师和学生都不同程度的存在一些困难和问题，如针对“简单命题与复合命题”的教学，在对二者的区分上有许多不同的看法．即使在中学数学教育类杂志上，对此问题的争论也很多，难以形成统一的认识，我们认为，这主要是因为缺乏区分的标准所致．

1　定义的理解

　　据教科书的定义，把不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为简单命题（有逻辑书称为原子命题）．认为简单命题是逻辑演算最基本的单位，应被看做是一个不可再分割的整体．例如，“3是12的约数”、“0．5是整数”，它们都是简单命题．

　　由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题．例如，“20可被4或5整除”、“平行四边形的对边相等且平行”、“2非素数”，上述三个命题都是复合命题，因为它们分别含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”．

　2　几个争论较多的例子

　　从简单命题和复合命题的定义到判断与区分，似乎是很容易理解和掌握的，其实并不然，请看下面的例子．

　　例：说明下面的命题是简单命题，还是复合命题：

　　（1）“明天上午我去教室或者去图书馆”；

　　（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；

　　（3）“4的平方根是2或-2”；

　　（4）“方程ｘ２－5ｘ＋6＝0的两根是ｘ＝2或ｘ＝3”；

　　（5）“实数的平方是正数或0”．

　　这是几个在杂志上出现次数较多、争论也较多的命题．以命题（3）为例．

　　第一种看法，认为命题（3）是简单命题．这是因为，若是复合命题，则有

　　p：4的平方根是2；

　　q：4的平方根是-2；

　　p或q：4的平方根是2或-2．

　　由于这里的p及q都是假命题，由真值表可知，将p或q看成是由p及q用“或”联结的形式是不正确的．据此认为命题（3）是简单命题（这里先不涉及由p及q通过“或”联结后的形式是否正确）．

　　第二种看法，认为命题（3）是复合命题．先将命题（3）变更为其等价形式，可写为：“4的一个平方根是2或4的一个平方根是-2”．这时便有

　　p:4的一个平方根是2；

　　q:4的一个平方根是-2；

　　q或p：4的一个平方根是2或4的一个平方根是-2．

　　由于“p或q”是命题（3）的等价命题，据此有文章认为命题（3）是复合命题．

　　与第二种看法类似，有作者认为命题（3）等价于“4的平方根可能是2或4的平方根可能是-2”，因此就有

　　p:4的平方根可能是2；

　　q:4的平方根可能是-2；

　　q或p：4的平方根可能是2或4的平方根可能是-2．

　　由于命题（3）和这时的“p或q”等价，所以命题（3）是复合命题．

　　那么，命题（3）到底是简单命题还是复合命题呢?

3　区分和判断的标准

　　对于命题（3）的区分之所以产生争论，我们认为，主要是因为缺乏区分和判断的“标准”而导致的．

　　在数学中对某个问题的讨论，一方面可从形式出发，另一方面也可从实质出发．例如，依照根式的定义应称

＋

为根式，这其实是从形式出发的，经过化简，可得其结果为4（是实质上的），是一个整式，尽管如此，我们仍然说它是一个根式．又如，在数学中引入了大量的符号：

、、a∥b等，这是为了讨论的方便、简洁而引入的，但更为重要的是对其实质的理解和掌握．

　　我们认为，以“实质”作为判断和区分一个命题是简单命题或复合命题的“标准”是适当的．一个最主要的原因是，这有助于学生对命题本身的理解和掌握，以此标准，我们说，命题（3）是复合命题．第一种看法，是从形式出发的；第二种看法，是从实质出发的．这里要说明的是，命题（3）并不等价于“4的平方根可能是2或4的平方根可能是-2”．“可能”一词出现在命题中，使得在简易逻辑的范围内无法判断其真假，像这种包含“必然”，“可能”等逻辑常项的逻辑系统叫“模糊逻辑”，也就是说，包含“必然”、“可能”等逻辑常项的命题，在简易逻辑中不能再看成命题．类似地，“不一定是”、“有可能是”等词语出现在命题中，也同样超出了简易逻辑的讨论范围．

　　下面对例中的其他几个命题．依据实质为“标准”进行区分和判断．

　　分析：命题（1）和（2）都是简单命题．尽管两个命题分别含有“或”、“且”，但它们不是逻辑联结词，而应看做自然语言中的连词．

　　逻辑联结词“或”、“且”与其在自然语言中的意义相似，但并不完全相同．在简易逻辑中，“或”是“可兼或”（这由真值表容易知道），而在自然语言中却常取“不可兼或”的意义．命题（1）中的“或”是“不可兼或”，因为“我去教室”和“我去图书馆”都为“真”在现实中是不可能的，所以命题（1）是简单命题．命题（2）中的“且”与自然语言中的“和”的含义相同，即只有当“一组对边平行”及“相等”同时具备时，四边形才是“平行四边形”，是不能进行分割的，正像“小王和小强是好朋友”中的“和”一样，所以，命题（2）也是简单命题．

　　命题（4）的条件和结论都是开语句，与简易逻辑中的命题略有不同，但我们在此不作严格区分，仍将其看做简易逻辑中的命题．命题（4）本质上等价于“方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有一个根是ｘ＝2或方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有一个根是x=3”．因此，命题（4）是复合命题．

　　命题（5）也是复合命题，其完全的表述为“所有实数的平方是正数或0”，这是一个含有“量词”的命题，它与简易逻辑中讨论的命题又有不同．关于此种类型的命题我们将另文讨论．

　　以命题的实质作为区分和判断的“标准”，其中一个重要的步骤就是要先将命题变更为其等价命题，这个区分和判断的标准也适合一些不显含逻辑联结词的命题形式．

　　例如，“3≥2”、“24既是8的倍数，也是6的倍数”、“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”，这三个命题是不显含逻辑联结词的．但由于它们分别等价于“3＞2或3＝2”、“24是8的倍数且是6的倍数”、“有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形”，所以，它们仍都应看做是复合命题．

　参考文献

　1　人民教育出版社中学数学室．全日制普通高级中学教科书（试验修订本?必修）数学第一册（上）教师教学用书．北京：人民教育出版社，2000

　2　龚雷．关于“命题”的学习与思考．中学数学教学参考，2002，9

　3　徐彦明．试析关于命题的困惑．中学数学教学参考，2002，9

　4　秦庆尧，张德东．“简易逻辑”教学中存在的问题．中学数学教学参考，2002，9

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