数学教学：变通的生命有机体

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数学教学：变通的生命有机体 　2012年06月14日　 作者：张菁　　

■张菁   案例一：松松的一道数学题   这天下课铃响了，松松兴奋地推开办公室的门，来到我跟前：“张老师，我在周六的数学兴趣班上学了一个公式，可以很快地算出这样的题。”说着他将一张数学兴趣班的试卷摊在我面前，指点着一道数学题：请计算13、14、15、16、17的和。“相邻的数之间都相差1，这样的一串儿数叫等差数列，可以根据等差数列的求和公式来算出它们的和。”松松用了求等差数列的公式很快做出了这道题。面对一个小学四年级学生运用高中的等差数列知识解答此题，我并不感到兴奋。   “你做得很对，这个公式确实能够快速地计算出这样的题目。”我先鼓励他一番，随后话锋一转，故意卖起关子：“（13＋17）×5÷2可以看成等差数列求和公式，其实这种方法我们本学期也学过。”松松有点不服地说：“等差数列求和公式是中学才讲的，我们四年级哪儿学过？”“你不信？如果我们把这些数字用点子图来表示，这道题就会变成我们本学期学过的一个数学知识，好好想想，你一定能够想出来！”松松带着问题疾步离开了办公室。   第二天一早，松松带着一脸的兴奋与快乐再次出现在办公室。“张老师，我知道了，等差数列求和公式就是我们四年级学过的梯形面积公式！”他一边向我展示用圆点列出的梯形图，一边讲：“我把这一串数分别用小圆点表示，就形成一个上底为13、下底为17、高为5的梯形。求这串数字的和，就相当于求小圆点的个数，可以用梯形面积公式计算：（上底＋下底）×高÷2。”   松松的领悟让我十分兴奋，我进一步启发他说：“如果站在数的角度去思考，可以把这道求数字的题看成我们还未学过的等差数列求和知识；如果站在图形角度去思考，还可以把它理解为灵活运用梯形面积公式来解答数字求和问题。数学知识的这种变化正是数学最有趣的地方。请你接着变戏法，把这道题用三年级的整数乘法来解答，你能行吗？”“噢！我知道了！”松松思考片刻大声说了起来：“让17减少2，让13增加2，让16减少1，让14增加1，它们的和不变，但原题就变成了5个15相加，可以表示为15×5＝75。”“好，那么你能再用梯形点子图来说明吗？”我步步紧逼。松松全神贯注地看着图，不一会儿大喊起来：“嗨！简单！把最后一行的小圆点移动两个到第一行，把倒数第二行的小圆点移动一个到第二行，不就变成了每行15、共5行的长方形了吗！”松松一脸的兴奋表明，他对于这道题的解答已不再是按照公式程序化地操作，而是能够将所学的数学知识创造性地进行运用了。   案例二：小蒙的计算时间问题   小蒙是我教的三年级某班的学生，他是一个努力认真，但理解能力相对较差的学生。他在努力地奔跑，却总是被落到后面。渐渐地，我感到了他躲避的目光中充满了怯懦与忧郁。   一日在教“时、分、秒”一课时，我出了这样一道题：笑笑看一场电影时，电影开始时间是18：55分，电影结束时间是21：05分，请问这场电影放映的时间是多长？   题目一出，思维较为活跃的学生先后说出了许多种思考方法及结果。小蒙却茫然地坐在那里，显然这些解法小蒙理解起来较吃力。对于偏爱计算之类的程序化的题目，且计算准确率较高的小蒙来说，属于他的方法在哪里呢？“前面我们已经知道计算经历的时间，就是——”我故意拉着长声。“用后面的时间减去前面的时间。”学生们大声答着，这里面我能感受到小蒙的声音。“你能列出算式吗？”我将问题抛向小蒙。“21：05－18：55，”小蒙小心地答着。得到我的肯定后，他的神情放松了些。“计算减法题，我们可以做竖式，写竖式要注意什么？”我接着问。“数位对齐”小蒙流利地答着。于是我让小蒙在黑板上写出竖式并计算。“不够减怎办？”“借位!”小蒙的声音洪亮了许多。要知道计算可是他的强项啊！“借一当几？前面可是小时啊！”我提示着。小蒙停顿了一下说：“借一当60。”在我随后的指导下，小蒙列出了正确的算式，得出了正确答案。   教学启示1：不要越位   数学是一个变通的生命有机体。同一数学知识在其“生长”过程中会呈现出不同的阶段性特征。前面的知识表征是后者的动态生成过程，后面知识表征是前者的生成结果。数学教学过程中，尤其是对学有余力的学生进行学习指导时，应关注其解决难题的思维方式。运用已有知识解决未来问题，需要的是创造性地运用知识解决问题的能力；而运用未来的知识解决现有问题，则是一种超前的、记忆性的解题操练。教学中不要“越位”，不要让有数学天赋的学生因起点的抢跑而输在终点。   教学启示2：扬长避短   数学教师在思考一道数学题目时，不要受自己所教数学年级段的知识的干扰，产生思维定式，将数学题目“禁锢”在某一年级段的数学知识中，要善于捕捉统一数学知识的不同表征，从不同年级段的数学知识的角度去思考同一道数学题目的解答方法。尤其是指导学困生的数学学习时，要将他们难于理解的知识进行“变形”处理，教学中要“扬长避短”，将数学知识的不同表征与学生的思维个性及已有的知识结构相融，让学生学会用适合自己的方法，增加基础教育中数学课堂的包容性。从动态数学的角度去看待数学，数学是个变通的有机生命体。尽管数学的形式是丰富多彩的，但富于变化的形式中却蕴含了相通的质——“形变质通”。(作者系天津市河西区马场道小学数学教师) 《中国教育报》2012年6月14日第7版

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把句号变成问号：《中点四边形》精彩结课片段 2011年12月20日　 作者：马晓燕　　来源：教育时报

多年以前，像很多教师一样，我理解的结课通常就是对当堂课内容的归纳总结，包括重点强调、深化概念、夯实易错易混点、提炼规律、系统整理所学知识等。也就是说结课就意味着给当堂课画上一个圆满的句号。 　　直到我看到下面这样一些文字，从根本上改变了我的看法。 　　一个美国教学法学者听了一节中国教师的课。下课时，当这位美国先生看到所有的问题都解决了、学生也没有问题了、听课的中国学者和教师都在称赞授课教师的时候，美国先生意味深长地说：“中国的课，学生是带着问号来的，带着句号走的;美国的课，学生是带着问号来的，走时也带着问号。”毫无疑问，正是这些问号，使得美国的小孩子大字不识一斗，却小小年纪就整天谈发明创造，继而培养出几十位诺贝尔奖获得者和100多位知识型的亿万富翁。 　　这段文字对我心灵的触动很大，于是，我在想：结课不仅仅是当堂课的结束，更应该是学生新的学习的开始。 　　那么怎样才能达到这样的效果?在不断的摸索与尝试中，我先是努力寻求新旧知识间的内在联系，提出当堂课与后续内容联系紧密的问题，让学生带着新的问题离开课堂，自觉通过自主预习尝试解决问题。慢慢地我又开始让学生尝试着提出问题，在结课环节增添了新的内容——鼓励学生提出问题。坚持一段时间以后，我的课堂里出现了可喜的变化。 　　印象最深的是学习《中点四边形》之后的精彩结课片段。 　　师：同学们，学习了中点四边形后，你有什么收获，谁来说一说? 　　生1：我明白了任意四边形的中点四边形都是平行四边形。 　　生2：我知道了矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，等腰梯形的中点四边形是菱形。 　　生3：生2的结论可以概括为只要原四边形的对角线相等，它的中点四边形就是菱形;原四边形的对角线互相垂直，它的中点四边形就是矩形。 　　师：太棒了!善于抓住事物间的共同特征并总结其规律，这是学习的更高境界。希望同学们能在以后的学习中坚持这样做下去，你们就会有不凡的表现。那么，谁还有什么问题吗? 　　生4：生1说任意四边形的中点四边形都是平行四边形，那么，对于上图的四边形来说，它的中点四边形还是平行四边形吗? 　　师：你提的问题很有价值，由我们常见的凸四边形想到了凹四边形，实在太棒了!那么这时的中点四边形还是不是平行四边形呢?我们暂且把它叫做生4猜想吧，希望同学们课下研究。没准你们还可以写成数学小论文呢。 　　下课之后，没等我收拾好上课物品，几个学生忙不迭地跑上讲台，“老师，生4的猜想是对的，我能证明……”看到学生兴奋的表情，我由衷地笑了。我知道学生的学习热情已成功地把课堂延伸到了课下，而在学生的心里则已播撒下了勤思爱问、乐于探究的种子。 　　回想这节课，实在是太出乎我的意料了。我觉得学生能提出最后的问题十分可贵，平时我们所学的四边形都是指凸四边形，而这位同学举的例子却是凹四边形，这是思维上的一个重大跨越。我打心底里为这个学生叫好、高兴。与此同时，也让我再次深刻体会到课堂就是教师、文本、学生的对话，这种对话的动态生成源于对学生的充分尊重，源于对学生思考力的积极引导和充分解放。 　　如今我的课堂总结明确分为两大部分：一是对当堂内容的回顾总结，引导学生谈收获，并从知识内容、解题规律、思想方法等方面归纳总结。二是让学生提问题，可以是当堂课不明白的地方，也可以是自己想到的任意问题。在结课时，我鼓励学生、激励学生提出新的具有挑战性的问题，愿这种结课方式能带给学生更多的收获。 　　(作者单位：濮阳市第三中学 马晓燕)