形式化 数学本质和规律性的表达

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原文地址：形式化 数学本质和规律性的表达作者：lein
数学的形式化指的是什么呢?
   
    按照一般的理解，形式化就是用一套表意的数学符号体系，去表达数学对象的结构和规律，从而把对具体数学对象的研究转变为对符号的研究。数学的形式化不等于符号化。符号化着眼于各种数学抽象物本身及其关系的形式上的表述。而形式化则着眼于各种数学抽象物之间的本质联系。形式化的目的是把纯粹的数量关系从现实世界的纷繁复杂的事物联系中抽取出来，简洁明了地加以表示，以便揭示各种事物的数学本质和规律性。
   
    说到形式化，自然会使人们想到“形式”与“内容”的关系。有许多人，甚至包括一些著名数学家，都认为数学的形式符号与其内容无关，数学是只考虑形式而不考虑内容的。前苏联数学家A•II•亚历山大洛夫就曾认为数学是“关于与内容相脱离的形式和关系的科学”，“一般说来，现实世界的任何形式和关系都可以成为数学的对象，只要它们在客观上与内容无关，能够完全舍弃内容，并且能用清晰、准确、保持着丰富联系的概念来反映，使之为理论的纯逻辑发展提供基础”。“数学的形式和内容，已经和正在继续不断地摆脱自己的内容”。现代数学中的形式主义学派也特别强调数学的形式符号体系毫无实际内容、毫无意义可言。而对形式化和形式主义学派的批判，往往也就着眼于“形式与内容相脱离”这个问题上。实际上，把形式化与“形式与内容的关系”简单联系起来，是很不妥当的，会造成对形式化本质的严重误解。

    前面说过，数学符号是数学抽象物的表现形式。既然是表现形式，那就有自己的思想内容。因此，数学符号的形式与其内容不可能分离，形式化也并非是一个形式与内容相脱离的过程。那么，为什么人们还会认为数学的形式符号与内容无关呢?这是由于把形式与内容、抽象与具体这两对范畴混淆在一起的缘故。通常人们所说的数学形式符号的内容，往往指数学抽象物的某种实例或直观解释。这些实例或直观解释在数学抽象思维过程中，是可以并且应该同数学抽象物本身相分离的(当然这种分离不是绝对的割裂，而是相对的区别)。然而，数学抽象物要用形式符号表示，所以抽象物的实例或直观解释也就很容易被当作形式符号的内容了。其实，如果说这就是形式符号的内容的话，那么数学的“形式”与“内容”并不是处于同一抽象层次上。它们之间的区别首先是“抽象”与“具体”的区别，然后才说得上特定意义的形式与内容的区别。即数学抽象物的实例或直观解释也可以看作形式符号内容的一部分，是从属于数学抽象物本身的一部分。这样一来，抽象与具体的相对分离就不能简单地看成形式与内容的脱离了。

    应该指出，在看待形式化与其内容的关系上，一些力主形式化和形式主义观点的数学家们反而看得更清醒准确一些。希尔伯特就曾多次强调数学形式符号与其思想内容的联系，认为数学公式是“发展至今日的通常数学思想的复制品”。他针对那种以为形式化仅仅是搞公式游戏的观点反驳说：“这种公式游戏是根据某些确定的、反映我们的思维技术的法则进行的。这些法则形成一个能够被发现并加以确切陈述的封闭系统。我的证明论的基本思想，就是要刻画我们的悟性活动，制订出我们的思维过程所实际遵循的基本法则。”法国布尔巴基学派力图向人们澄清“形式化”和“形式主义”的含义。他们指出：“重要的是从一开始就要注意防止应用这些定义不确切的词所引起的混乱，以及注意公理方法的反对者也经常使用这些词而引起的误解。”数学的一大堆形式符号和推理程序、公式组合，无非是数学自身的语言，是数学家赋予他的思想的外部形式。数学既不是一串随便发展起来的三段论式，也不是一堆幸运的技巧。公理方法的目的是引导人们寻求这些细节下面的深刻的共同的思想。“形式”这个词只是在这种意义下才能使公理方法被称为形式主义。它是数学这个有机整体发育中的营养液，是方便和多产的研究工具。显然，这些在现代数学形式化方面作出重要贡献的数学家们，本身就是反对数学形式符号与其思想内容相脱离的。

    美国数学家道格拉斯•霍夫斯塔特对形式化的理解别具一格。他认为：“一般来讲，形式符号容易给人一种错觉，好像它是人类意志的自由创造，可以和现实的世界毫不相关。然而同样的事实是，那些和我们关系密切的形式符号，如词汇、数字、逻辑符号，都是人类文化进化过程的产物。它们与现实世界有着密切的联系。这座联系的桥梁就是同构。”“同构赋予形式符号以意义，这也意味着形式符号可以把握现实世界。”霍夫斯塔特并没有谈形式符号与内容的关系，而是谈了形式符号与现实世界的关系，这反倒更接近于数学形式化过程中对“形式”的本来意义的理解。他提出的“同构”观点很有启发意义。进一步探索数学形式化过程中“同构变换”，以至数学形式结构与大脑生理结构的关系，是很值得研究的。

    对于形式化的理解，还需要注意事情的另一个方面，即形式语言和自然语言的差别。形式化是用形式符号体系表现的。但并不是所有用形式符号体系表述的数学理论都已实现了完全的形式化。形式化的一个重要特征在于它的“化”字上。就是说，形式化要使用彻底的形式语言，把数学思维过程中所有能够表述出来的东西，包括逻辑联结词、推理法则、初始符号、形成和变形规则、公理、定理等等，完全用符号表示，并且每个步骤都必须严谨缜密，不容忽略，整个形式体系不容许有任何的疏漏和含混。形式语言可以直接用于计算机程序设计，它的每一步骤都具有纯粹机械操作的性质。用形式语言写的数学教科书实际上是一串长长的符号链。当它经过数学家或机器处理时，就变换成另一个符号链。除形式语言以外，数学思维活动中还有数学家们更为习惯的自然语言，这种自然语言尽管主要也由数学符号组成，甚至有时完全由数学符号组成，但其中包含一些数学家们之间可以意会并加以省略的推演步骤，以及某些不具备纯粹机械操作性质的构造性思维过程。数学家们的自然语言使用着普遍的形式逻辑，而不是极度形式化的数理逻辑。它比较容易理解和掌握，但不如形式语言那样严格。显然，用这种语言表述的数学理论并没有实现彻底的形式化，也是无法用计算机处理的。

    形式化所使用的形式语言，即形式集合论的语言。每一种数理逻辑教科书都解释了这种语言的结构和规则。形式语言最初是由意大利数学家皮亚诺和德国数学家弗雷格在19世纪末引人数学领域的。当时的主要目的是消除自然语言的含混和不确定性，使数学证明更加严格。经过罗素和怀特海等数学家的努力，这一目的基本上达到了，但却使数学思维过程的表述变得过于繁琐。比如关于“1”的定义，在罗素和怀特海的巨著《数学原理》中就是经过好一番逻辑证明的准备后才出现的。法国数学家庞卡莱(H．Poincare)挖苦说，这是“一个可敬可佩的定义，它献给那些从来不知道1的人。”对于大多数数学家来说，数学思维的自然语言实际上还是最常用的语言，而形式语言后来更多地用于计算机的理论和应用方面。当然，形式语言还需要不断发展，今后也许会有更多的自然语言被形式化，借助计算机加以处理。但是从长远的观点看，自然语言是很难被彻底形式化的，因而两种语言并存的局面还将继续下去，并不断出现新的格局。

    形式化的能力是属于人的大脑的左半球的，形式化的思维是左脑思维的一部分。现代思维科学和脑科学的研究表明，大脑左半球的活动范围是符号系统，所有人类的语言，包括数学的形式语言和自然语言，无论其词汇采用什么样的符号，都要由左半球进行处理，加以分析或综合。不过，形式符号的形象记忆是要靠右半球完成的。因而形式化的过程也需要右半球的参与。如果右半球患病，人的口算和心算能力并未破坏，但纸上的运算就无法进行了。而形式化的发展借助心算和口算显然是走不远的，它必然是一个左右脑配合行动的过程。

来源：《数学与思维》

另外 欧阳余山的《表达的探究》也谈到了形式化的含义，强力推荐http://yushan58.bokee.com/index.html

形式化表达

到底什么是形式化表达？
这是《表达》着重思考和回答的一个关键问题，它是把表达理论的研究者从原始密林带到开阔地的一条幽静的小径。
这个问题也是推动我写作《表达》最重要的原动力之一。
形式化就是符号化，数学语言是它的代表，这是最一般想法。
但是，只要我们稍微一想，就会推翻这个结论。
从符号角度看，数学符号与自然语言的文字没有什么本质区分，那么为什么人们认为数学符号就是形式化，而自然语言的表达就不是形式化呢？
可见符号化只是形式化表达的一个表象，而不是它的本质。
《表达》从物理语言，到心理语言，再到关系语言，层层深入，步步为营，都在试图回答到底什么是形式化。它是第二部分语言模式反复展现的主题音乐，并在量词技术的分析中达到了高潮。
研究形式化，就不能不研究直观问题。殊路同归，直观是形式化的反问题。把所有的直观因素都去掉以后，就是形式化的表达了。
从直观反过来研究形式化，这也是研究得以取得成果的重要策略。
“理论是灰色的，生命之树常绿”。我的朋友余彤鹰（企业工程的创始人）在与我的私人讨论中，他曾敏锐地提出过一个想法，他认定最抽象的意义（形式化表达的一种说法）应该从拓扑关系来表达。我的工程实践证明了他这个天才的直觉。无论是业务流程的建立，还是数据模型的建立，它们的最高抽象都与拓扑学相关。
《表达》的关系语言从结构主义的角度研究了形式化语言，它主要的思想资源是语言学研究。而量词技术主要来自数理逻辑的研究。这两个都是历史上的研究方法。现在我们能够从自己的企业建模工程，直接激发形式化研究的新途经，这是多么令人振奋啊。