光棍节的趣味数学

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光棍节的趣味数学2013年11月10日 惊鹤闻风 来源：科学公园

现代中国人发明了光棍节：11月11日，这正好是我的生日。这个日子有几个特点：第一个特点是它的相关数字是“11”；第二个特点是它的数字是“11”的“重复”；第三个特点是这一天的商店都在“打折”，甚至打“对折”。
因此，我们从“11”、“重复”、以及数字的“打折”出发，来说一点趣味数学。数字“1”的多次重复构成的数（例如111111），都可以算是“光棍数”，因此下面我们也会谈到这些数字。
如上所述，这篇短文的一个关键词是“重复”，我们将考虑三种“重复”： “自乘”（平方）是第一种“重复”；“11”的若干倍数是另一种“重复”；而“某种特殊的重复运算”则是第三种“重复”。
所谓的“打折”我们考虑两种。一种是“对折”，“对折”后“重合”就是“对称”，所以我们关注数字的“对称”。另一种是把数字“打折（she）”成两截：后两位数是一截，其余是另一截。
（1）基本的趣味“11”第一种“重复”，是自乘：11×11=121。
这个结果“121”“对折”起来恰好“重合”，是一个“对称”的数字。
这个数“打折（she）”然后相加：01+21=22，正好是“11”的两倍，是“11”的另一种“重复”。
“22”自己相乘，得：22×22=484。
结果又是一个“对折”后“重合”的，即“对称”的数字。
这个结果“打折（she）”然后相加：04+84=88，是“11”的八倍，是“11”的另一种“重复”。
“88”自乘，得：88×88=7744。
这个结果前两位相同，其数是“11”的七倍；后两位也相同，是“11”的四倍——当然又是“11”的一种“重复”。
把这个结果“打折（she）”然后相加：77+44=121，到头来又等于“11”自乘的结果。
（2）其他“光棍”11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
……
11×11=121
11x11x11=1331
11x11x11x11=14641
很显然，对于光棍“11”及许多其他光棍数，“重复”与“对称”一直都是形影不离的。
（3）有趣的对称“11”与“22”都是“对称”的，它们的自乘分别是“121”和“484”，也都是对称的。
有趣的是，我们发现：
12×12=144，21×21=441
13×13=169，31×31=961
两对数字相互“对称”，其自乘结果也相互“对称”。
“33”与“99”是“11”的两种特别的“重复”，它们的自乘的结果形成“对称”的一对数字：
33×33=1089，99×99=9801
（4）光棍数“11”的其他倍数“11”的其他“重复”，即“44”、“55”、“66”、“77”等数字也有有趣的性质，它们的一种“重复”——“自乘”——的结果，经过“打折（she）”又会“重复”为“11”的倍数：
44×44=1936，19+36=55
55×55=3025，30+25=55
33×33=1089，10+89=99
66×66=4356，43+56=99
22×22=484，04+84=88
77×77=5929，59+29=88
11×11=121
88×88=7744，77+44=121
我们注意到，以上每一组的两个数字的和都是99，这一点在我们看来也是很有趣的。
（5）光棍数与“黑洞”有一位俄罗斯人发明了一种“运算”：把一个数的各位数字的立方加在一起。用这个“运算”对任意数字不断进行重复运算，则其结果只有两类。第一类是最终结果会固定在某一个数上，例如153→13+53+33=153。这种在该运算下结果不变的数称为“数字黑洞”。“数字黑洞”共有0，1，153，370，371，407六个，大多数自然数在这种重复运算下最终会陷入某个“数字黑洞”。
但是，还有第二类结果，这类运算的结果最终陷入某个循环，这种循环可以看作是广义的“黑洞”，称为（在该“运算”重复运算下的）“数字循环圈”。“数字循环圈”有两个，而其中一个的“起始点”与光棍数“11”密切相关，它是“11”的5倍，即55：
55→53+53+=250→23+53+03=133→13+33+33=55
有趣的是，从“11”到由10个“1”组成的光棍数“1111111111”中，除了“1111”这个“光棍节”的数字外，其他八个光棍数在多次重复上述运算之后，都会陷入某个“数字黑洞”。而“1111”非常特别，它在多次重复上述运算之后，最终陷入上面介绍的以55为起始点的“数字循环圈”：
1111→13+13+13+13=4→43=64→63+43=280→23+83+03=520→53+23+03=133→13+33+33=55→53+53=250→23+53+03=133→13+33+33=55
（6）另一种“运算”与“黑洞”我们引入一种针对三位数的运算：考虑一个三位数。把这个数的三个数字从大到小重排成为一个新的三位数，再从小到大排列成又一个三位数。然后，把这两个新的三位数相减。（例：571→751，157→751-157=594）
对任何个、十、百位置上的数字互不相等的三位数，重复进行以上运算，则最多进行五次，结果一定会得到495。因此，上述这种运算以“495”为其唯一的“黑洞”。而495这个数字恰巧是光棍数“11”的45倍。
在上一小节中，我们看到诸多光棍数在一种运算的重复中陷入“黑洞”。在这一小节中我们则发现：几乎所有的三位数在另一种运算的重复中将会陷入一个与光棍数“11”有关的“黑洞”。挺有趣，是不是？
（7）光棍数趣味拼盘如果三个自然数恰好是某个直角三角形三条边的长度，则我们称它们为一组“勾股数”。众所周知，最小而且最著名的一组勾股数是3，4，5，而这组勾股数的乘积是60。凑巧的是，11与60是一组勾股数中的两个。容易算得，这组勾股数的第三个数字是61。因此说，光棍数与直角三角形是很有些牵扯的。
光棍数11不仅与直角三角形相关，它与“三角”也颇有关系。例如，我们可以证明：
tanπ11⋅tan2π11⋅tan3π11⋅tan4π11⋅tan5π11=11−−√
在上面这个恒等式里，光棍数“11”与“正切”的关系可以说是难分难解，对不对？
在上文第二小节，我们列出等式：
11×11=121
11x11x11=1331
11x11x11x11=14641
观察这些等式右边的数字，我们会发现：它们恰好是平方、立方、以及四次方的“二项式系数”！也就是说，光棍数与代数也是能扯上关系的。
数字“111”是三根“光棍”，数字“1001”是两根“光棍”分开的对称数字。这两个数的乘积是六根“光棍”组成的“111111”。数字“111111”的9/7倍等于“142857”，是一个在乘积运算下具有很有趣的“重复”性质的数：
142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
（8）结束
关于“光棍数”还有许多有趣的话题，但是，太多的数学显然是令人厌烦的。因此，我们要结束这篇短文了。最后，我觉得有趣的是：
我认为，从形象看，“11-11”象两双筷子，
因此，11月11日应该被定为“美食节”，而不是“光棍节”！
(2013-11-10)

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