数形结合，鱼渔兼得

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数形结合，“鱼渔”兼得

             ——例谈“数形结合”思想在小学数学教学中的运用

      常平中心小学
叶琼崧

【内容摘要】：常言道“授之以鱼，不如授之以渔”，其实“鱼渔兼得”才是至高境界。数学课堂不仅注重基础知识的教学，数学思想与方法的渗透更为重要。“数形结合”是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。“数形结合”就是通过抽象的“数”与具体的“形”相互转化、相辅相承来解决数学问题的一种思想方法。在小学数学教学中运用“数形结合”，能为学生提供恰当的形象材料，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生高效率地学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，使教学收到“鱼渔兼得”的效果。

【关键词】：数形结合
形成概念
理解算理
数量关系
解题思路

常言道“授之以鱼，不如授之以渔”，其实“鱼渔兼得”才是至高境界。数学课堂不仅注重基础知识的教学，数学思想与方法的渗透更为重要。老师在课堂中重视数学思想和方法的渗透，让孩子用数学思想与方法思考问题和学习数学知识，是数学课的精髓所在。

数学思想有许多，“数形结合”就是其中一种重要的数学思想。“数形结合”就是通过抽象的“数”与具体的“形”相互转化、相辅相承来解决数学问题的一种思想方法。在小学数学教学中运用“数形结合”，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成清晰的概念；可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，帮助学生理清数量关系，拓展解题思路，提高学生解决问题的能力。适时地渗透“数形结合”思想，不仅有利于学生高效率地学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，使教学收到“鱼渔兼得”的效果。

一、在概念教学中运用“数形结合”，帮助学生形成概念

数学概念是数学知识的基石，学生对数学概念的掌握是培养数学能力的前提和保证。小学数学概念比较抽象，概念的形成是一个累积、渐进的过程，需要大量丰富的感性材料，然后根据“感知——表象——概念”这样一个形成数学概念的心理过程，引导学生把同一类事物共同具有的本质特征概括出来，形成这一类事物的概念。也就是说，数学概念不是靠老师“讲”出来的，而是靠学生自己去学懂的。学懂的过程是完整的思维加工过程，是一个从外部活动向内部活动转化的“内化”过程。那么在教学时，我们怎样帮助学生落实概念的形成呢？我认为最好的办法是“数形结合”，使比较抽象的概念转化为具体的、清晰的事物，学生容易理解和掌握，能较好地帮助学生形成概念。

例如：教学三年级上册“认识几分之一”时，因为这节课是分数的初步认识，所以我强调“数形结合”，通过简单明确的直观图形逐步帮助学生建立起分数的概念。我先用一个圆代表一个饼，当着学生的面把这个饼对折后剪开成两半，这半个饼不能用整数来表示。告诉学生：把一个饼平均分成两份，取其中的一份（半个），就是这个饼的二分之一，写作 ，让学生初步感知二分之一。然后让学生动手操作，用自己喜欢的纸折出 ，涂上颜色，进一步理解 。接着顺应学生好表现的特性，放手让学生动手操作，创造分数，互动交流。我有选择地把学生的作品贴在黑板上（如下图），然后有选择地让学生说说这些分数是怎样来的，既 尊重了学生的个性，又使学生建构了丰富的分数表象。（图略）

最后引导学生进行小结，指着左边的一组图问学生：这些图形的形状各不相同，为什么涂色部分都能用二分之一表示？然后指着四分之一的图再问：明明折法不同，每一份的形状也不同，为什么都可以用四分之一来表示呢？使学生明白两点：①不同的图形可以表示相同的分数，相同图形的不同分法也可以表示同一个分数；②把一个图形平均分成几份，每份就是几分之一。逐步去除分数的非本质属性，促进学生对分数本质含义的理解。

这样在教学中运用“数形结合”，把抽象的数学概念直观化，让学生经历知识的形成过程，找到了概念的本质特征，既激发了学生学习数学的兴趣,又培养了学生科学的探索精神和实践能力。

二、在计算教学中运用“数形结合”，帮助学生理解算理

在小学数学中，有相当部分教学内容是计算教学，有些老师只重视计算方法的教学，忽视算理教学。结果，部分学生虽然掌握计算方法，但因为算理不清，知识迁移的范围就极为有限，无法适应计算中千变万化的各种具体情况。如果我们在教学中，重视讲清算理，就能使学生不仅知道计算方法，而且知道驾驭方法的算理，既知其然，又知其所以然，那么，计算教学定会变得生动活泼、多姿多彩，学生就能正确地进行计算。在教学时，教师可以利用数形结合，帮助学生正确理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法。

如教学三年级上册《有余数的除法》时，创设情境引出问题：“六一”联欢会到了，同学们搬来23盆花布置教室，每5盆摆成一组，可以摆多少组？还剩几盆？

学生很快知道用除法计算，列式23÷5，也很快有学生口算得出可以摆4组，还剩3盆。老师提出：除了用口算，还可以怎样算呢？学生说可以用竖式计算。但部分学生对竖式中每个数的意思不是很理解，为了让学生理解有余数的除法的算理和竖式中每步的意思，可以结合具体的图形帮助学生理解。老师指着竖式中的每个数，让学生说出它表示的意思，并在图中找到相对应的。

这样，教研空间1C-wtcb'r学生沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系，有了表象的支撑，直观地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型，学生学得很轻松，理解得也比较透彻。

又如一年级教学20以内数的进位加法时，当教师出示9+3=？的算式时，一般来说，学生都能很快地得出和是12。但是，教学9加几的目的不仅仅是为了让学生能正确地计算出结果，重要的是揭示进位加法的计算规律，让学生掌握“凑十法”的思考过程，同时训练学生的语言表达能力。教师可以引导学生运用“数形结合”，分步操作口述：

第一步：先按算式上的数目摆出两堆小棒，一堆9根，一堆3根；

第二步：边思考边操作，要求学生用小棒摆出计算的结果，让人一眼就能看出是12根；

第三步：边操作边口述过程，把3分成1和2，9加1得10，10加2得12，使学生初步理解“凑十法”；

第四步：将口述操作的思维过程在算式上展现出来。

通过9加几的教学，学生初步掌握“凑十法”，到教学8加几、7加几、6加几的时候，学生就可以在较大的范围内应用“凑十法”，实现了知识的迁移。

三、在解决问题教学中运用“数形结合”，帮助学生理清数量关系

运用“数形结合”有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在解决问题教学中，注意向学生渗透“数形结合”的思想，教给学生分析问题的方法，通过画图等方法把“数”和“形”结合起来，能直观地显示题意，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，便于学生发现数量之间的关系，形成正确的解题思路，提高解决问题的能力。

如，在教学四年级下册《植树问题》时，为了让学生对在一条直线上等距离种树的几种情况有个整体了解，我提出了一个问题：“在一条路的一边等距离种上4棵树，可以怎样种？”让学生分组商量用磁粒在纸条上操作试着种树，老师巡视指导，让学生把不同的种法贴在黑板（如下图），然后引导学生分析小结。通过“数形结合”，学生较好地理解在一条直线上植树有三种情况：两端都种，两端都不种，一端种一端不种。

接着老师告诉学生本节课我们研究的是两端都种的情况，利用课件出示下面的图，让学生观察种树的棵数与间隔数之间的关系。

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学生通过观察发现：在两端都种的情况下，植树的总棵数总是比间隔数多1。从而写出了下面的数量关系式：植树的总棵数＝间隔数＋1，间隔数＝植树的总棵数－1。这样把植树问题“数形结合”，学生就能正确理解植树棵数与间隔数之间的关系，对后面的例题教学和练习就迎刃而解了。

又如，在三年级练习中出现一道和倍问题：“今年小红和妈妈岁数的和是40岁，妈妈的岁数是小红的4倍。小红和妈妈分别是多少岁？”有部分学生找不到正确的解答方法。我们可以向学生渗透“数形结合”思想，借助画线段图的方法，帮助学生理解题意，提高解题能力。根据“妈妈的岁数是小红的4倍”，把小红的岁数表示成1份，妈妈的岁数就是这样的4份，总共是5份，与40岁相对应。用40除以5就可以求出每一份的数量，也就是小红的岁数，妈妈的岁数也就可以解决了。

四、在空间图形教学中运用“数形结合”，帮助学生拓展解题思路

小学生的数学学习，正处在以形象思维为主，向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字形式呈现，纯文字的问题语言表述上比较简洁，枯燥乏味，致使他们常常读不懂题意。根据其年龄特点，渗透“数形结合”思想，让学生自己在纸上涂一涂、画一画，借助直观的图形把抽象的数学问题具体化，还原问题的本来面目，使孩子读懂题意、理解题意，拓展学生解决问题的思路，帮助他们找到解决问题的关键，从而提高学生解决问题的能力。

如，三年级学生学习长方形和正方形的周长和面积计算方法后，基本上能正确计算长方形和正方形的周长及面积，但部分学生对于计算组合图形的周长和面积就存在一定困难，我们可以让学生画出图形，让图形来架起学生形象思维和抽象思维之间的桥梁。

例1：两个完全一样的长方形，长8厘米，宽4厘米，如果把它们拼成一个正方形，周长和面积分别是多少？如果拼成一个长方形，周长和面积又分别是多少呢？

周长：8×4=32（厘米）
（8+8+4）×2=40（厘米）

面积：8×8=64（平方厘米）
8×4×2=64（平方厘米）

例2：把3个边长2分米的正方形拼成一个长方形，长方形的周长是多少分米，面积是多少平方分米？

周长：2×8=16（分米）

面积：2×2×3=12（平方分米）

或：2×3×2=12（平方分米）

学生只要正确画出图形，标上数据，就能很快求出组合图形的周长和面积。“数形结合”，不但提高学生解决问题的能力，还能发展学生的空间思维能力。

总之，在小学数学教学中，“数形结合”能为学生提供恰当的形象材料，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生高效率地学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发和能力的增强，使教学收到“鱼渔兼得”的效果。相信巧妙地运用“数形结合”，一定会引导学生由怕数学变成爱数学，为今后深入地学习数学打下坚实的基础。

【参考文献】：

1、数学课程标准解读. 北京师范大学出版社2001年7月

2、袁艳梅.数形结合思想在小学数学教学中的渗透.中小学教学研究.2011.3


3、桑榆.数形结合在小学数学教学中的应用.2009.9
4、郑俊选.小学数学教学改革实践与研究.人民教育出版社. 2003年