数学教育的改革要遵循数学科学的发展

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数学教育的改革要遵循数学科学的发展

齐民友

武汉大学数学与统计学院

湖北 武汉 430072

chiminyou@yahoo.com.cn

近两年来,我主要精力用于中学数学教材的编写,其中自然有许多争论.对于有分歧的问题,有人认为应以 “课标”为准,有人认为应以学生能否接受为准,等等.但我以为虽然应该考虑这些方面,主要应以数学科学的发展为准.因为“课标”的制定,最终要以数学科学的发展作依据.学生的理解力是发展变化的,整个社会生活的发展(包括数学科学的发展)对之有很大的影响.这个问题的处理不仅关系基础教育,对高校的数学课程的改进同样很重要.

I几个国家教材的比较

在工作中看了一些国家的高中数学教材（美，日，俄），还了解了另一些国家的情况（法，德）.共同之处在于,都增加了微积分,线性代数,概率论,统计和离散数学的初步介绍,而且强调了计算机的应用(但俄罗斯教材例外,可能是我未能仔细查究).不少人认为这是大学教材下放,我则以为是反映了整个社会经济生活对数学的需要,以及整个数学科学的发展,已远非例如上世纪50年代之可比.因此在我国也不可避免地要走这条路.还有一个反例:美国数学会在今年又一字不改地重印了范氏大代数.这是我国数学界十分熟悉的一部名著.长时期成为我国高中代数教材的范本.出版者作了以下说明: 范氏大代数当年是美国的大学教材,但今天其内容有许多已归入其他课程(例如方程式论就分散到今天我国大学数学专业的微积分,高等代数,计算方法等许多课程中去了).所以,今天我国高中教材不必要再按此教学了.可见教材不但有“下放”,也有“上调”.是否今天中国中学生的理解力,大大今不如昔,几十年前中学生学的内容是今天大学教本也不一定包含的.或者说几十年前中学生是精英,今天不能“下放”,只能尽量减少教学内容,才是大众化的正途?其实,当前对于引入这些内容主要的顾虑有二:一是有何必要.如果说如微积分等等确实是好东西,鉴于多数高中生毕业以后不一定进大学,我们是否有责任让他们多少知道一些作为人类文化的瑰宝,又是今后用得着的数学知识?而从社会经济的发展来看,所谓用得着确非空话(下面将引述一位美国企业家的话),我们就有责任把微积分“大众化”一番.更重要的顾虑是,增加的这些内容是中学生无法接受的.教师也不一定教的好,反而成了夹生饭,今后更难办.
更重要的是,是否太难?我以为数学似乎有一个规律:发展得越深刻,就越是好教.试以微积分为例,如果今天读一下牛顿的《自然哲学的数学原理》(应该说明,这不是微积分教材),都会感到晦涩难解.但是,时过三百余年,所有问题都已明白,极限也已讲了一百多年,应该不是无法克服的困难.又如线性代数,1930年代 ,Heisenberg发现测不准原理时，并不知道他研究的其实就是矩阵（当然是无穷阶的），就去请教M. Born. Born没有把握，又去找自己在 Breslau 大学的同学R. Courant. Courant 告诉他,这就是他们当年的老师 Frobenius当年教过他们的矩阵.而在今天,我们成人自学考试也要求矩阵.可见,当年只在极小范围内流传的数学,今天已经进入寻常百姓家了.我们是否也可以从这个角度来看待“大众化”呢?另一个与过去完全不同的条件是,今天已经有了相当“大众化”.的电脑.例如,我们过去讲曲线图形,极少自己在黑板上画一个,也不要求学生去画.高中讲正弦曲线,有什么“五点法”,高考从来不考.因为不能画,不能考.有了种种数学软件,这根本不是问题.我们过去除了几个最典型的二次曲面外,很难再讲其他曲面.现在,您到网上看看,种种曲面五彩缤纷,有的会动,让您从各个角度去看,甚至名之为曲面画廊,曲面动物园之类.这才是真正的“大众化”.
造成这种感到新课标难教,可能还有一个原因.其实现在增加的内容,大部分中学教师都曾在学校中学过.但也造成一种感觉,微积分,线性代数就只能是当年自己在大学里学的那个样.现在要“下放”到中学来,无非就是砍掉一些,讲浅一些.原有的中学教材也只好砍掉一些,讲浅一些.时间紧了,又来不及重新整理.甚至是削足适履.自然教和学两方面都有困难.下面看看外国教材是怎样处理的,会很有启发.
一本是日本教材.由藤田宏主编. 藤田宏是计算数学和应用数学的大家,也是日本数学界的头面人物之一.其余编者两部分,一半是数学家,其中鼎鼎大名的有小平邦彦,广中平祐等,另一半是高中教师.全书篇幅不大,条理分明,可谓中规中矩.既没有空话,也没有繁琐的学究式的议论.教材内容,没有困难深奥的,而必是清清楚楚,让学生确能有收获.例如讲算法,就讲BASIC语言,而且确实编了几个程序,如主元消去法,矩阵计算,方差和平均值的计算.就能上机,而不只是纸上谈兵.对传统的教材,有删节,但又不简单从事.欧氏几何一直是非常难办的事.认真进行逻辑思维的训练,是中学数学教学的不可推卸的责任.可是几何难题,既吓跑了许多中学生,也吸引了许多中学生,特别是有才华的学生.可谓“成也几何,败也几何”.这本书在某一册的封底列了一个初中应该掌握的平面几何的主要结果表,大概有三四十个定理,如全等形,相似形,中位线,圆周角等等.细想一下,如果一个人将来不一定需要许多数学知识,真掌握了这些,也就可以了.但是为了适应更广泛的需求,到了高中,还要加深几何训练.在向量一章中,专门列了一节,题为向量的应用.实际上是仿射几何学:从线段的定比分点(我不太明白为什么我们的课标中删去了这个极为重要的内容),到Ceva 和Menelaus定理,并用以统一地处理了三角形的重心,内心,垂心,旁心.在很短的篇幅内概括了许多内容.后面又用向量讲了不少立体几何问题.可是全篇并未出现“仿射几何学”五个字.正如一位优秀的程派演员决不会一上场就来一句“各位观众,晚上好.我今天来为大家展现一番程派唱腔”一样.如果教师知道编者的意图(当然这只是作者的理解不一定真是原编者的意图),讲起来会比较顺利.但是按我们的习惯,很可能是: Ceva 定理和Menelaus定理既已退出历史舞台大半个世纪,现在知道它们的,哪怕教师也不多了,自然属于应该淘汰之列.三角形五个心,至少旁心用处不大,垂心是否也可“精简”?于是乎五心不定,三心两意.而真正的问题在于把系统的知识,变成了一大堆零散孤立而又非记不可的结果,并不能减轻学生的负担,尤其是达不到训练逻辑思维的目的.且不说更深层次的教育目的了.我并不是在主张中学里要讲Ceva 定理和Menelaus定理,更不说仿射几何了.日本教材值得关注之点在于,他们试图为欧氏几何找一条出路,把它放置正在一个合理的,有前景的,与数学的发展相适应的,而且还要是中学生能够接受的位置上.还应提到, 仿射几何学在今天已经不仅只有理论的兴趣,它还是计算机图形学的数学基础的一部分.当然,这也只是作者的理解而已.不一定真是原编者的意图.欧氏几何作为整个数学科学的根本之一部份,这个地位是不容怀疑的.所以,哪怕仅是如何在中学里教几何,也是整个数学界共同关心的大事.多年来,我国大学数学系几何学的削弱是一个不可忽视的缺点.有多少学数学的学生知道仿射几何(更不说是射影几何了)?中学教师从大学里来,他们在大学里受到的几何训练如此,今天谈几何教学的改革,自然容易只从教学法角度看问题.可以肯定,几何教学问题不可能只从教学法角度找到答案.
日本教材有一个不可忽视的问题:全书几乎全不讲应用.确实,在这套教材里我完全找不到“数学模型”和“数学建模”的字眼.也很少有从“生活情景”引入这样的做法.这个问题,将在下面讨论.
其次我想介绍一下对一本美国教材的印象.它与日本教材不同.编者没有那么大的名望.全本充满了 “数学模型”“数学建模”“生活情景”,还有“数学探索” “团队精神” “互动教学”之类的字眼.说句笑话,我们今天流行的种种行话,大多带有Made in U S的烙印.如果在网上浏览,还可找到更加轻蔑的话语.需要十分郑重地对待这个问题.我想,把数学在认识世界,解决人类面临的实际问题上的作用作为数学教学的主线,这是当代数学及其教学的主流.也应指出,美国的许多教材在这方面成绩比较突出.非常值得借鉴.
我曾把这本教材给一位在美国教了几十年数学的数学家看,并请他就这本书和美国的数学教育谈谈看法.他说:“这本书是典型的美国数学教材.所有这些看法(指上面括号内的理念)都是好的.但是对于一个看见 也是二三得六的学生,有什么意义呢?”说这些理念好,,可以在这本教材中,找到许多这方面的“亮点”.但是,这里涉及了基础训练的问题.他又说:“在美国教了三十多年的数学,总的感觉是,一年不如一年.”但是美国数学几十年的发展,(包括数学在社会经济中的作用之大),肯定不是一年不如一年,而应该说是成就突出.二者如何统一呢?他说“你到Harvard, MIT这些名校去看看.说句笑话,我们这些人当年也算得是小天才了,但是比一比这些名校的学生,也就自愧不如了.”这里提出了一个我们多年来没有严肃对待的问题:怎样正确对待那些有才华的学生?怎样为他们创造真正有利的成长环境?普遍的是,存在一种平均化,甚至是平庸化的倾向.不注意如何使有才华的学生脱颖而出.有一位曾去Harvard访问的同事也对我说起类似的情况:在我国数学界有一个普遍头疼的问题.一个数学家,如果对例如生物学问题有了兴趣,他会感到很难“改行”.而对这些美国学生就不存在这个问题.他们到了一个有利的学术环境中,可谓如鱼得水,令人羡慕不已.当然,更困难的问题是如何创造一个有利的学术环境.这当然不是提出某种理念就行了的事.这个问题远远超出了本文的范围,这里就不谈了.在此只想提出一点,不要轻率地以为中国的基础教育和大学本科比美国的更好.应该说,值得我们借鉴之处多的是.下一节还要回到这一点上来.
然而,无论如何,基础训练的问题一直是人们批评美国数学教育的一个焦点.其实美国人自己也感到问题严重.前不久,在美国数学会的Notices上发表了一篇文章,[1]其来由是德州仪器公司(TI)的一位负责技术工作的高官R. Schaar关心如何为高科技产业提供合适的后备劳动力量.他有鉴于美国数学界和数学教育界多年来分歧严重，因此组织双方关心于此的人们，讨论应如何看待美国的中小学数学教育.结果他们认为多年来美国的所谓“数学大战”的双方,其实共同之点甚多.首先有共同的前提:1.在今日社会中,必须具有坚实的数学基础,才能有效地应对生活.到高中毕业时,大多数学生应该学过微积分.具体说来,他们必须具有熟练的计算能力.过去,用纸和笔能算即可,现在就不够了.需要学会种种计算程序.不但知其然,而且知其所以然.2.数学需要对有明确定义的对象进行准确的推理.因此,必须学会正确地使用数学语言与符号,符合数学定义的要求.在不同年级要求各有不同,不是为形式而形式.3.学生必须学会如何提出与解决问题,即所谓problem solving. 这里包括(a) 理解所提的问题,(b)能把日常生活的语言化为数学语言,(c)选择适当的解决问题的方法,(d)对得出的解答能作正确的解释,(e)知道有些问题不能用数学方法来处理.在这样的前提下,他们发现分歧的双方其实有许多共识.在这些共识中有:
1.automatic recall of basic facts(基本事实的自动记忆).这话说来似乎很奥妙,其实就是要背.文章里说透了,所谓basic facts就包括了1到10 的加法和乘法:九九表.
2.计算器是很有用的,但是不可因为使用计算器就妨碍了对基本事实的熟练,例如连分数也不会算了.使用图形计算器至少要懂得什么是图形.
3.学习算法.算法是很基本的,它们是人类智慧的重大的成就.不但要知其然,还要知其所以然.它们是十进制的基础.不会算法就不能熟练地使用关于数的基本事实.至此,讲的都是小学生的事情.下面讲了一些中学生的事.作者们说,中学生应理解,除了整数外,有其他算法,这为理解算法的多样性和重要性提供了机会.这些算法例如有,如何二等分一个角,如何解二元一次方程组,等等.总之,这里讲的算法,和我们理解的计算机所用到算法程序,是两回事.
4.学会分数.否则,就不能理解比和比例和百分数.理解分数对于学习代数也有基本的重要性.
5.在“现实情景”中教数学,通过应用问题来引入数学概念,是有好处的.但不能把这作为一条基本原则.因为,如果那样做,许多基本的数学概念就无法讲了.
6关于教学方法.有两种教学方法,或者由教师直接讲解,或者由学生自行探索.有人主张全部让学生自行分小组探索讨论,或称为“研究式的学习”,而不用教师讲解.其实有效的教学方法只能是二者的结合.采用哪一种,应按课程内容,学生程度等等由教师决定.例如,数学的规定,定义等就不能让学生自己去探索.学生能否得到正确的理解与结论,是教师的责任.教师能否做出正确的决定,取决于教师的水平.
7有效的教学依赖于教师对所教的内容的深层的含义是否有坚实的理解.对于数学名词,符号的使用,必须做到正确,熟练,准确.要能把各个问题联系起来,等等.良好的教材,软件,教师用书,等等都不能代替高资质的教师.因此教师就业前的训练与在职的提高是不可少的.
看完了这段话,心里感到不是滋味.这七条“共识”的前四条都是讲的小学的事情.居然对此还要有“共识”,或者只能就此取得“共识”,在中国简直无法想象.可是,美国总统布什,声称他要当“教育总统”,他的教育政纲是“不让一个学生掉队”,难道美国的基础数学教育的全貌真就是这样的吗?从其它材料看来并不如此.例一:美国近年在IMO中成绩不错,虽然也有教练,也要集中培训(可能强度远不如中国),然而也必须要有非常出色的学生,非常坚实的基础训练才行.例二:除了人人知道的全美数学建模竞赛外,美国还有一个相当知名的Putnam数学竞赛.其内容主要是大学本科水平的数学,其难度如何,建议读者到《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上去把题目找出来看看(网上有,在google 里键入Putnam mathematical competition 就可看到了)心里自然有数.不妨再想一下,您所在的大学数学系的高材生有多少能在这样的竞赛中取得好成绩.至少我们可以断言,有一部分美国中学生受到的数学训练,并不弱于最好的中国学生.他们能在远优于中国所能提供的学术环境中成长,当然就能极大地促进美国数学和其它科学的发展.我很想大声疾呼,这是关系中国国脉的大事,必须早为之计.我还问过上面提到的那位数学家,何以对比如此鲜明.他说:问题就出在所谓大众化上.美国人觉得犯不着为数学花那么大的劲(他还说:您到美国中学去看,就会看到,体育老师受到的尊敬远超过数学老师,上起体育课来,老师厉害得很,可是学生就是受了,毫无怨言.学校讲得很明确,这是为了培养纪律性).大众化的数学仅此足矣!所以问题在如何看待大众化. 大众化不能是平庸化.我们需要的大众化,应该是,普遍地提高水平,同时又保证优秀的学生能得到充分的发展.大众化与提高水平必须统一起来.
关于“共识”的后几条,明显是讲的如何对待那些“理念.”我想再重复一下,这些理念都是好的.认真读一下这本教材,有些地方,我甚至想说是“令人折服”,当然也有不能服人之处.看来,任何正确的思想与计划,应该走到哪一步,只有实践才能回答这个问题.所以,我们既不必说谁谁谁做得不符合哪个理念了,也不要把这些理念看成某种时尚的空谈,您说您的,我干我的.
总之,看来世界各国的数学家与数学教育家都在探讨如何使数学教育的发展适应时代的进步.呈现出丰富的多样性.从这个角度来反思我们的数学教育是很必要的.

II.到因特网上去走一走
上面我们已经说过,美国教材最突出的特点与优点,在于有一个非常明确,一以贯之的原则,即数学的目的或归宿是说明自然界和人类社会的问题和规律性,解决人类所面临的问题.数学建模是当代应用数学知识的重要手段.因此从一进中学,就开始了数学建模的训练.开始时,相当简单,有点像我们初中数学的应用题,到了大学就可能在相当程度上真刀真枪了.所以我们应该打破对数学建模的神秘感.
有一个老问题.我们总说数学如何重要,数学专业以外的人,说句老实话,只是听听而以,并不真当回事.倒是学生常问这个问题.我们中许多人的回答是:“现在把基础打好,将来自然有用”.有点信则灵的味道.不少学生本来就害怕甚至厌恶数学,当然不买这个帐.优秀的学生也会因此对数学冷淡起来.请问,当代人类关心什么?环境,能源,生态,空间等等,青年学生,特别是高中以上的学生,作为对新事物最敏感的人,自然关心的也是这类问题.我们一方面说,数学在解决当代重大问题中如何如何有用,可是初中还是千年老问题:鸡兔同笼,到了高中,就叫他们等到大学,自然会恍然大悟.可是到了大学,请看一看,我们的微积分教材,讲的应用几乎多是微积分出现以前的问题.不是说不能讲这些问题,其中一些例如速度加速度,体积面积,还非讲不可.但请与高教出版社前两年翻译出版的一本美国教材比较,就知道问题何在了.这种情况,我们能说服自己吗? 我认为,如果不能使学生们在学数学的过程中,就看到数学与当代人类生活的联系,就开始学习用数学,这样的数学教育就很难有生命力.必须指出,这个问题难于解决,是因为它涉及数学以外的知识领域.教师要能应对新的要求,是非常困难的.听说上面讲的美国教材使用的人并不多,原因在此.在教学中,帮助学生学习把数学用于实际问题,确实需要与数学以外的各行各业的人合作.在这里,因特网为我们提供了极有力的帮助.所以本文这一部分主要是讲作者对因特网的看法.
讲因特网还有一个原因.我在上文中提出如何满足一部分优秀学生的需要.我国在目前还不可能为他们提供如美国那样的优越条件.“如鱼得水”,水在那里?因特网就是水!须知,因特网是天生的“平等派”.只要您愿意使用它,学会使用它,它为中国所提供的,与为美国提供的,完全一样.曾听到一位美国计算机专家内格罗蓬特(《数字化生存》一书的作者)说,只要有一部手提电脑,只要知道一个字:google,他就能在例如印度的穷乡僻壤办学校.这话似乎言过其实.至少还要有电话线(无线上网似乎更过头了),有电,还要懂英文.问题是,在我国因特网的普及程度如何?说句笑话,有网吧就有因特网.在贫困山区确有困难,但是在很大的区域内,因特网已不成问题.我认为此事不能再等.真正的困难是懂英文.若能解决这个问题, 内格罗蓬特的看法是很有道理的.
我们判断一个国家的教育发展情况,不能只看它的学校教材等等.尤其要看其整个社会对教育提供的支持.因特网正是支持教育的有力手段.因为我曾写了一篇文章介绍美国的某些教育网站[2],这里就只提出以下补充.
美国国家科学基金会与Duke大学共同搞了一个CCP计划(Common Course Project)，即跨课程计划.它是由各行各业的科学家与数学家合作而成的.读者可以访问www.math.duke.edu/education/ccp 即知其详.CCP是一个以因特网为基础的,师生互动式的教学平台.不妨将它比作一个坐标平面. 轴是学科,共有7个学科,如“微积分前(pre-calculus)”,相当于我国高中高年级,微分学,积分学,多元微积分,常微分方程,线性代数,工程数学(一点复分析,Fourier分析等等). 轴则是应用领域(areas of applications),例如有生物学,化学,经济学,工程,环境科学,传染病学,物理学等等.在结点上就是一个模块(module).
下面举一个例子.点击物理学,也就是画一条直线 物理学.就看见下面还有许多“标题(title)”，再选一个,也就是再画直线 放射性衰减(radioactive decay),这时出现了两个点,CCP称为“水平(level)”,这是 坐标了.它们是“微积分前”和“微分学”.我们选定一个,这就得到一个结点 (微积分前, 放射性衰变),屏幕上会出现一个“模块”,就是如何在微积分前水平上讲放射性衰变.
打开这个模块,首先就会看到一排选项,要求您在Maple, Matlab, Mathematica等等数学软件中选取一种(因为CCP是以计算机为基础的,学生所有作业都要在这些软件下运行).这时.就会出现一个辅导材料(Helper Application Tutorial),教您怎样使用这个软件.它有一个非常可取的作法,就是并不系统地讲这个软件,而是按照模块的需要,讲有关的几个命令.然后出现一个目录.首先是“背景”.其次逐步让您按此学或做下去.最值得注意的是“背景”,其中讲了一切相关的物理知识,从原子构造到原子量,原子序数,同位素,直到核反应方程.如果您还感到不足,它就利用因特网的链接功能,让您获得更多的相关知识.这些链接网页都是经过专家精选的,内容极为丰富,而且准确可靠.例如您可以找到由浅入深的关于原子构造的知识,直到告诉您适用的参考书(凡有版权限制的,只列书名).还有不少数据资料,例如各种元素的同位素表,其原子量,半衰期,从哪里来,进一步还会衰变为什么等等.还有放射性衰变的其它应用,用同位素测定年代,环境问题,有关的政策规定等等.这里体现了一个基本思想,就是引导人们面向实际问题.而我们习惯的作法,只是把实际问题蜻蜓点水似地沾一点边,效果如何,特别是对学生效果如何,则考虑较少.似乎只是告诉学生,我们讲的将来有用,所以学生们现在还是要“打好基础”.这里至少会有两种不同意见,我想就此谈谈自己的看法.
首先是,如果按照原来由老师直接讲的办法来处理这个主题,花上一个小时也就够了.如果每个课题都这么办,哪来那么多时间?其实,CCP并非教学大纲,选择一两个主题这样做,我想,对学生已经足够了.现在,提倡搞数学实验,或数学探索,可否利用CCP的材料来做?我想这是可以试一下的事.这里我们又遇到了本文第一部分讲的第六点共识.
其次,也是更重要的是以为,哪怕只是在一个课题中这样做,涉及的数学以外的知识也过多.其实,就这里的例子而言,只涉及原子构造最基本的知识.不但大学普通物理会讲,高中物理课也会讲.对老师来说,很可能是因为年代久远,忘记了.更重要的是,有一种观念,认为是,数学老师讲好数学也就够了.今年年初,我曾到一所高中,试着给高一学生讲了一次卫星轨道,其中涉及的物理知识,也就是能量守恒,离心力等等.后来,数学老师说,我们讲椭圆,提到开普勒定律也就为止了,不会去讲如何利用它来计算神五的周期等等.物理老师说,神五上了天,当然要在物理课里讲,但是没有想到,用一点数学以后,反而更好讲了.看来是大家都怕“越位”,所以本该每人向前走半步,反成了每人向后缩半步.看来,为了推进数学教学的改革,教师的知识结构是一个需要特别关注的问题.但是,对于学生是另外的情况.不论是数学还是物理,对他们不存在“术业有专攻”的问题.特别是一些优秀的学生,求知欲望很强,时常提出意想不到的问题.我
以刚才提到的卫星轨道问题为例.今年七月,又在作了一些补充后,给基金委组织的数学夏令营讲了一次.学生们提出的问题例如有:太阳系是怎样形成的,为什么所有的行星都按同一方向转,为什么它们的轨道平面大体相同,等等.我回答了几个以后,也就捉襟见肘了.我对带队的一位北京老师说: 你们北京人是“得地独厚”,你们的学生可以到北京天象馆去请教.答案竟然是, 天象馆的老师也有时回答不了他们的问题,学生们有时会到密云天文台去请教天文学家.我只好建议他们上网,利用google.还建议他们最好是找著名的大学等等可靠的网站，不过，这些材料大多是英文的.学生们说，这对他们不是问题.我在前面说:因特网是天生的“平等派”,哪怕您身在穷乡僻壤,也是同样能得到您所需的帮助.我还想举另外一个例子说明因特网对学生的作用.我认识几位武大的大学生.他们参加了全国数学建模竞赛得到了好成绩.后来又参加美国举办的数学建模竞赛,又得到了好成绩.我请他们对这两次建模竞赛做个比较.他们说,美国的更活,更开放,挑战更大,他们收获也更大.他们的办法就是利用因特网(当然不是抄袭,而是例如收集材料,了解信息等等).我在前面还说了“如鱼得水”,因特网对于改进教学确实给了我们“源头活水”.再讲一位美国总统.克林顿.他提的口号是“每个高中生都学会上网.”是不是有同志认为我是在唱不切实际的高调? 我认识的那几位武大的大学生告诉我,其实现在的大学生人人都上网,时间多少不同而已.高中生如何?还是那句笑话,逛网吧就是上网,无非目的不同而已.现在的问题是,怎样让人们知道因特网为我们打开了科学的广阔天地!
我在前面说了,现在的微积分教本,仍然有许多“千年老题”.这种说法可能引起误会.请大家还是回到CCP,在物理类下面画一条直线: 雨滴(raindrops).其实就是自由落体,不过人家引进了空气阻力,分成大小雨滴,还说明了为什么不讲不大不小的雨滴.比较之下,就会想到,为什么不能花点力气,把“千年老题”变成“新千年新题”呢?
在脚注2所引用文章中,我还用很大篇幅介绍了NASA的教育网站.因为那篇文章主要是讲中学教育的,这里就不再重复.但是要说明,那是一个在美国教育界很有影响的网站.NASA在其中开宗明义就说,NASA今天的成就应该归功于美国昨天的教育;同样,NASA明天的成就,要看美国今天的教育.其实,美国许多科研机构,国家实验室,政府部门,大企业等等都有关于教育的网站.形成了整个社会支持教育的局面.我深信,在不久的将来,在我国也会出现这样的情况.科教立国,教育为基础更能得到人们的更深的认可.
下面再介绍一个英国的数学网站PLUS (plus.maths.org).它是英国剑桥大学主持的“新千年数学计划”（Millennium Math. Project）的一部分,是一个免费的电子杂志,每年出版五期.其宗旨是向读者揭示数学的美和应用.水平则主要以高中生和大学低年级学生所能接受为准.所以写法注意通俗,图文并茂,生动有趣,很少公式.内容有很多栏目,其中我们可能最注意的一项是“特写(feature)”.这是一些论文,其涉及之处,既有最基本的数学知识,如什么是证明,连载了好几期.又有属于高科技的,例如最近一期有一篇讲所谓“星际高速公路(IPS)”,即三体问题在确定探索太空的轨道上的作用.还有回答人们常有的问题或误解,例如讲彩票(甚至教您一个赚钱—骗钱的方法),讲人寿保险的保费是怎样算的.最有趣的是,2003年有一家伦敦大报突然发表了一篇文章,对二次方程大张撻伐,进而声称,数学完全无用,无非是对孩子们的残酷迫害等等.此文一出,舆论大哗.闹到最后,英国下议院通过决议,规定中学里还是要讲二次方程.[3]PLUS为此发表了一篇长文,连载两期.倒不是进行一般的政策议论,而是从巴比伦的“千年老题”,历经天体运行和伽利略,直到抛物线映射和混沌,凸现了一个基本思想,即数学是人类文化不可或缺的基本成分.全文题为“二次方程的101个应用”.以这种说理的科学态度讨论问题,不也是很值得我们效法的吗?
附带说一下，今年11月，Millennium Math. Project得到了两年一度的“英女王高等教育和继续教育年度奖”.
说到头来,什么时候能见到我们自己的数学网站呢?

III.提倡创新,提倡多样性
前面我主要是想说明,数学教育的改革,是一个世界性的问题.各国作法各有不同.而且至今也很难说,哪一种就是好,哪一种就是不行.所以,容许多样性,提倡多样性是唯一的选择.就我接触到的情况,可能有一种需费很大力气才能说服人的工作要做.许多人以为,数学就是这个样,也只能是这个样.如果要讲改革,最多也只能是在细节上略加删减或补充,在教学方法上下一点功夫.几十年中形成的习惯哪是一朝一夕改得过来的.除非是唱高调.更何况,您改高考不改,真叫吃不了兜着走.但是我们应该看一下,目前的数学教育是否真是唯一的最好方法.把我们编写的教材与国外的一些优秀教材比较一下,就会有点坐不住了.
谈到创新,当然不应该是从某个一时的想法出发.这种教训应该说是够多的了.我以为还是应该看看人家的作法,再取其所长.所以下面仍然是介绍一些国外我以为值得借鉴的教材,看一看是否有一些倾向,应该注意.至少可以看到,目前的教材,确实表现出来多样性,而在我国确实又有千书一面之感.如果暂时还写不出来别开生面的教材(这是要花时间去积累的),先引进也是好的.
我前面讲了一套日本教材.其实还有一套,由小平邦彦主编,并由美国数学会译为英文[4].英译本分四册:
1.Mathematics 1, Japanese grade 10;
2.Mathematics 2, Japanese grade 11;
3.Basic Analysis, Japanese grade 11;
4.Algebra and Geometry, Japanese grade 11.
我没有看到此书,不知与上面介绍的有何异同.但是德国Zentralblat为它写过一个评论,感谢美国数学会作了一件有益的事,因为此书比西方现在用的教材都好.
上面在介绍那一套日本教材时,我以为它对平面几何的处理,可能是想走仿射几何的路.现在有一个进一步的说明.近来看到一本书,书名“Geometry (几何学)”[5]作者是两位俄罗斯数学家Prasolov 和Tikhomirov，曾用本书作莫斯科大学数学系几何课程教材.这书的序言中讲了一段很有意思的话:人的大脑有两半.左半管逻辑思维,右半管形象思维.学数学而忽视几何犹如只用半个大脑.此书以F. Klein 的Erlangen program (埃尔朗根纲领)为线索，依次讲欧氏几何，仿射几何，射影几何，一直到无限维空间的几何学.第一章当然是运动群下的不变性质.到仿射几何就强调其中直线起了重要作用,于是Ceva定理和Menelaus定理的作用也就明显了. 仿射几何与欧氏几何的区别在于后者有特定的原点而前者没有.如果把此书中的比较抽象的线性代数的讨论去掉,就会得到前面介绍的那套日本教材的讲法.由此书想到的问题是,我们究竟应该如何看待几何学?任何一门科学,必须有系统,否则不叫科学.几何学自不例外.几何学的目的是什么?它与逻辑思维的训练关系如何?这是一个专门的问题,这里无法展开.我只想提一点:逻辑思维的培养极为重要,应该名正言顺地加以强调 .但是,几何学不是逻辑学.几何＋逻辑更不等于几何难题.几何学的目的是研究空间.它有自己的脉络.这本书给我们的启发是:我们应该按此脉络教这门科学. 以埃尔朗根纲领为线索,并且适合学生的年龄特征来教,是可以做到的.条件是,教师需要理解它.还有一点应该注意.现在讲的种种几何定理固然是空间的性质的表现,其中有一些极为重要,例如平行性.但有一个虽然极为重要,却很少去讲,这就是对称性. 对称性之重要谁也没否认过,但多数大学出来的学数学的学生,可能只知道群论与它有关.中学里面则多数师生知道有中心对称,轴对称就不错了.一直到了做研究工作了,才有少数与此关系密切的人看得见对称性原是宇宙中最根本的规律性的表现.其实,就在我们身边对称性是无处不在的,没有让学生们注意到这一点,不能不说是我国数学教育一个遗憾.我原来想推荐大家看一看H. Weyl的名著《对称》[6],后来感到太难,就算了.又曾想在中学教材里加几幅彩图,又怕价钱高了,增加了学生负担.最近恍然大悟,何不求助于因特网?请用google,键入snowflake，搜索一下图片，竟可得到几万幅精美的彩色图片.还有几个关于雪花的专门网站,例如www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals 想找有关的数学知识也很容易.如果我们再搜索一下symmetry, tiling, 或者在讲立体几何时搜索一下多面体,还有各种曲线如等角螺线,又都各有一个绚丽多彩的世界.而且很容易找到相应的“数学(指文字)”说明.可以做成PPT,用幻灯给同学们看（最好让学生们自己做）.总之,用可视的手段教几何,把字面上的几何直观变成画面上的几何直观,应该能有好的效果.这里不只是如何引起学生兴趣的问题,而是让学生实在地感受数学和大自然的美.美的问题绝非如“文件”或者某些“教育论著” 上那样苍白无力干巴巴的.美在数学和其他科学中,总是与宇宙深层的规律性和真理密切联系着的.对于美的追求,特别对于优秀的学生会有深刻的影响,体现了深刻的教育作用.非常可惜,现在在大学里,有时对文科学生还能谈谈数学的美,学数学的学生反而无缘.在各种数学课程里,最能起这方面作用的几何学,反而置身事外.尤其是,现在技术条件已经许可我们这样作了.有条件利用因特网和多媒体的学校(大学已经不是问题,这里是指中学)增加得很快,不能不有紧迫感.但是，如何实现这些想法，仍有待今后的努力.
我想再介绍另一本书,就是T. Needham 写的Visual Complex Analysis (看得见的复分析）.[7]在上海开会时,我还只是从网上看到对此书的介绍,可以读到它的几节.(用google键入 visual complex analysis就能找到它的主页)上海会后,我见到了此书.当然,由于时间限制,我不可能读完全书,但是翻读一下,已是印象深刻.网上有关网页之多,可谓匪夷所思.此书至今已印刷十次,有德日两种译本,多次得奖. 一般说来,这本书就是一本很新很好的复分析的教本,它着重复分析的几何方面,因此,许多人们平时不太关心的内容,如Möbius变换,非欧几何等等都介绍了.许多内容的讲法很新,例如积分理论使用微分形式来讲,拓扑知识也用得很多,而且很深,平时少见.因此本书无疑是一本好书,大学本科生是能接受的.推荐给研究生和老师以及各行各业需要复分析的人是很适当的.但是在这些网页中,除了广告,种种好评,又有令人深思处.似有两个问题.一是“可视化(visualization)”.上一段讲的是几何教学的可视化,看来不会有太多疑虑,但是如复分析也要可视化,是否太多一时的时尚,甚至是商业炒作?在上面提到的主页里,介绍了一些有关网页,几乎全是谈的可视化.例如用计算机图形学作共形映照,甚至“画”出解析函数在本性奇点附近的动态(Picard定理),至少从教学和工程技术应用的观点看,是大有好处的.我想, 可视化在当代科学技术中有特别突出的贡献.它对教学和科研的作用,现在还难以估计.这些年提倡多媒体教学,看见同事们忙于制作种种课件,开始也觉得有点形式主义,白忙乎一阵,学生未必真正得益.等到自己试一下,一方面觉得有趣,有点吸引人,更感到如何使之体现深刻的数学道理,是一个全新的课题.本书序言中,作者讲了一大篇如何使用相关数学软件.先是感到是否有点故弄玄虚.但是作者说,全书好几百个插图,几乎全是他自己用coreldraw画的,这里的功夫自然不只是做了一回绘图员.我们可不可以说,可视化对于我们,不仅是机遇,尤其是挑战?第二个也是更重要的是,几何直觉在整个数学中的地位如何.这部书的一篇书评(由一位很优秀的数学家和科普作家I. Stewart所写)中说:现在学校里的数学教学,最令人痛心的就是,取消了一切几何的内涵而代之以 矩阵的把戏.甚至有人说,数学只让算不让看,犹如音乐只让研究不让演奏.本书实际上自己认为是继承了牛顿的传统,一再强调自己从牛顿的《自然哲学的数学原理》得到启发.我在本文开始时说了,牛顿这本书十分晦涩,因为他把一切都化归为欧氏几何的几何题目了.(Chandrasekhar写了一本书,意在使一般读者能理解牛顿的真意[8]).以后特别是在欧洲大陆,由莱布尼兹开始的对于微积分的形式的处理占了上风.这就深刻地影响了整个数学分析（包括教材）的风格.实际上这本书提出了“回到牛顿”(不知是谁第一个提出这样的口号).这样的说法似乎颇有道理.我们多少年来,如此强调 是否也是这种风格的反映呢?是否走得太远,也应该回头看一看呢?我曾经译过一本Ramanujan的传记[9],其中谈到G. H. Hardy对他那个时代(1910-1920)英国数学的看法,恰好认为,由于英国数学家多年来一直坚持牛顿的传统,不赞成欧洲大陆的数学分析,连Jordan定理这样明显的事实还要证明，简直是不可理解.结果使英国数学大大落后于欧洲. Hardy为此写出了他的著名教科书“Pure Mathematics”由于那本书的作者不是数学家,这段评论是否符合Hardy的原意待考,但我们应该承认,数学可以有不同风格,同一个分支,有不同讲法.不但大学如此,中学也如此,不然就无法解释何以日本和美国中学教材如此不同.这本书的作者生活在可视化大行其道的时代,,自己走的科学道路,又与近代数学物理密切相关,像他那样看待复分析是很自然的事情.所以就有了两个“学派”,各有当代第一流的科学家坐镇,各有第一流的教科书面市.关于“回到牛顿”,我至少还可以举出V. I. Arnold的一本书[10],这是数学系一年级学生看得懂的,对于数学分析的教学应该有好的作用.
以上我对这本书讲了许多,当然我承认,这是由于我很喜欢它,它确是一本好书.但是更重要的是,我以为必须要有多样性,这对我们的教学改革是十分必要的.


[1]D. L. Ball et al, Reaching for common ground in K-12 mathematics education, AMS Notices, vol 52, no 9, 2005, 1055-1058.

[2]齐民友,在数学教学中充分利用网上资源,数学教育学报,第14卷,第2期,2005,1-4.

[3]世界之大,无奇不有. 也有反对意见.如有一个美国网站 http://www.mathematicallycorrect.com/ 主要是批评美国基础数学教育水平之低下.它山之石,可以攻玉.非常值得我们注意.


[4]也由AMS出版,列入Mathematical world丛书中.

[5]V. V. Prasolov, V. M. Tikhomirov, Geometry. AMS, 2001.我是在上海会后才从一位朋友处得到此书的.据说国内已有一所大学以它为教材，开设了几何课程.

[6]有中文译本:外尔.《对称》,上海科技教育出版社,2002.


[7]T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford Univ. Press, 2005.


[8]S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the Common Reader, Oxford Univ. Press, 1995

[9]卡尼格尔,知无涯者,上海科技教育出版社,2002.

[10]V. I. Arnold, Huygens and Barrow, Newton and Hooke. Birkhäuser, 1990.据说台湾有中译本.