曹培英：警惕数学教学中的形式主义

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曹培英：警惕数学教学中的形式主义

从上个世纪５０年代起，我国的数学教育学习前苏联，推崇概念的严谨性和知识的系统性，这对数学教学特别是对数学教师钻研业务产生了长远的、积极的影响。但若强调过分，就容易产生繁琐、雕琢的毛病，进而形成形式主义的倾向。主要表现如： 1.死扣字眼 小学数学的概念较少用符号表，绝大多数采用语言描述。因此，长期以来逐步形成了“咬文嚼字，抓住概念本质属性”的概念教学经验。正确应用这一经验，应当明确：一则，“咬文嚼字”一般处在概念形成过程的后阶段，并且常常需要和观察、析实例（包括正例和反例）等教学活动相结合；二则，并非所有概念都需要咬住个别字词不放。 例如，三角形的认识，教材的描是：“三角形是三条线段围成的图形”。教学时，再三启发，有学生说三角形是“三条线段组成的图形”、“三条线段搭起来的图形”，就是没有学生想到用“围成”这个词。于是，有教师在引进环节上下工夫，制作了一个课件，用动画表现一只小虫被困在三角形内，左冲突出不去，另一只小虫在开口的图形内进出自如。实践下来，还是没有学生自发地使用“围成”这个词。只有一个学生说到了“三角形是三条线段围起来的图形”。教师仍不满意，又想到了进一步的改进措施，即在引进环节，教师自己先有意识地使用围成”这个词来描小虫被困的情境，让学生自然而然地接受，然后模仿使用。 我们不禁要问，如此煞费苦心，为的是从学生嘴里说出某个词，是否必要？这里不讨论这种挤牙膏式的启发谈话的是非，仅分析“组成”与“围成”所谓“严谨性”。事实上，用“三条线段组成”或“三条线段围成”来描述三角形，都有漏洞，都能找到反例，见图。因此，认为用“围成”比用“组成”更准确，有如“五十步笑百步”。上面罗列的学生回答，在认识三角形的过程中或者说在学生三角形概念的形成过程中，都不妨认可。 也有人认为比较准确的描述是“三条线段首尾相接而成的图形”。然而，“首尾相接”又是什么意思呢？怎样描述“首尾相接”呢？如此追究下去，一个一看就懂的概念，不就越弄越玄、越弄越复杂了吗？可见，“纯文字叙述是那样容易做到无可挑剔的，它不是教学的重点，要淡化”是颇有见地的主张． 其实，对于三角之类不作严格刻画也无妨的概念，看图识字地说明一下“……像这样的图形叫做三角”就可以了。愿意说成用三条线段组成或围成的图形，当然也可以。过分在文字描述上花力气雕琢，实在意思不大。正如桌子、椅子这样的概念，人人都明白，人人都能正确识别，但要给出定义却比较困难，即使有了定义，作用也不大。所以，对这类概念的条文，淡化为好。 扣字眼发展至极端的另一种表现是扣标点符号。例如，为了训练学生的审题能力，除了给出“一句之别”、“一字之差”的题组练习之外，还设计了“一号之异”的对比题供学生辨析： 修900米公路，前10天平均每天修50米，剩下的5天修完，平均每天修多少米？ 修900米公路，前10天平均每天修50米，剩下的5天修完。平均每天修多少米？ 该练习的设计意图是，由于逗号改成了句号，使得看似一样的两个问题发生了实质性的变化：前一题求后5天里平均每天修多少米；后一题求前后15天里平均每天修多少米。明明可以说清楚也应该说清楚的地方，故意含糊其词，这种训练，即便有效果，也实在是难为了学生。 话又要说回来，反对死扣字眼，并不是不要关注叙述，而是“适可而止”、“宽容以待”，既注意考虑严格叙述的必要性和实际效果，同时以宽容的心态去评价、去鼓励学生用自己的语言说出对概念实质的领悟。 还需指出，主张“淡化纯文字叙述”的目的是“注重实质”②，而不是推崇教学内容叙述的“卡通化”。近年来新编的数学教材似乎有一种“卡通化”的趋势。它增加了教材的亲和力，受到了儿童的欢迎，这在小学低年级是必要的，因为好的插图还具有帮助缺乏阅读能力的儿童更好地感知问题情境的功能。但一味发展下去，同样有可能“物极必反”。学习数学需要一定的数学阅读能力，这在课堂上主要*阅读数学教材来培养。恐怕谁也不希望我们的数学教材成为养成“卡通化一代”的读物。香港的一些中小学正在开展一场“阅读运动”，就是为了拯救沉迷于卡通读物的新一代。这是我们可以引以为鉴的。 2.钻牛角尖 在应教育处主导地位的年代里，数学教学曾一度追求“讲深讲透”。后来，对认知与教学的阶段性、发展性有了更深刻的认识，意识到“讲深讲透”既无必要，也不可能，但分析教学内容钻牛角尖的倾向却延续了下来。 例如，曾见过这样一道选择题： 白兔只数－（　　）＝白兔比黑兔多的只数 A.白兔只数B.黑兔只数 C.和黑兔同样多的白兔只数 标准答案是C。为什么不能选B，理由是“怎么可从白兔里去掉黑兔呢？”对此，目前有一部分教师已能之一笑，但仍有部分教师认为，要讲算理就得这么讲。岂不知既然是“只数”，就不必计较是白、是黑。再说算理本就是人为的解释，何必只认一条死理，作茧自缚呢？ 又如，在一节教学分解质因数的新授课上，教师安排的练习几乎都是围绕着分解质因数的形式做文。如，判断题： 把12分解质因数，下面哪些算式是正确的。（学生读题时教师提醒，这里的“正确”含书写规范） （1）123×4　（　　） （2）12＝1×2×2×3　　（　　） （3）2×2×3＝12　（　 ） （4）12＝2×2×3（　　 ） （5）12＝3×2×2　（　　）其中（3）、（4）、（5）式并无实质区别，但学生判断只有（4）式正确，教师认可。理由是必须从左往右看，从小到大列。课后与教师有段对话。 笔者：为什么要学习分解质因数？ 教师：是不是为学习短除法打基础？ 笔者：还有呢？ 教师：推导求最大公约数和求最小公倍数时要用到分解质因数。 笔者：在这节课中能不能让学生初步感知分解质因数的作用呢？ 教师：不知道。 笔：一个数，比如24，分解因数有几种可能？ 教师：有多种。 笔者：分解质因数呢？ 教师：如果交换位置不算，就只有一种。 笔者：质因数乘积的组合可以唯一确定一个数，这就是算术基本定理的主要内容。能通俗地渗透在这节课中吗？ 教师：能的，不过从没想到，好像教参上也没讲起。 本案例所揭示的是教学同一课题时较为普遍的现象，说专注数学的形式而忽视数学实质，恐怕不为过。毕竟“从左往右看”、“从小到大写”等规定都是次要的，取消这些规定也未尝不可。而分解质因数的意义、作用，尽管只是初步的感性认识，也是更为本质的认知对。 还有不少无关宏旨的细节问题，如：“几份”、“几个”中的“几”是否包括1？三角形的高是一条线段还是一个长度？“x÷4＝3……1”是不是程？等等，往往令教师陷入无谓的争论，徒费精力。以“x÷4＝3……1”是不是方程为例，是与非，双方都摆了一些论据，谁也说服不了谁。要是换个角度思考，这样的方程有存在的必要，或者说有出现的必要吗？如果把它改写成x÷4＝3.25或（x-1）4=3，问题就不复存在。为什么偏要在学生学习小数、分数之前，采用小学特有的表示方法写出这样的方程去为难学生呢？如果为了考察学生能否运用有余数除法各部分之间的关系进行解题，完全可以采用别的形式，以免出现歧义。 作为数学教师，最忌讳、最难堪的是被人指出犯有“科学性错误”。从笔者长期参加听课、评课活动的经历来看，被提升到科学性高度来谈的问题，确有一些是违背了数学规律或逻辑规则的错误，但更多的属于扣字眼、钻牛角尖的问题，属于对自然教学语言的挑剔。后一类批评一再耳闻目睹的结果，迫使教师谨小慎微，听任生动活泼的数学思维被字斟句酌的语言所压抑或篡改。 剖析上述种种形式主义现象的共同实质，从教学论的层面上来认识，就是片面理解科学性原则，过分追求严谨、严密，从而脱离了学生的认知实际，对教与学产生误导，师生的注意力都集中在吹毛求疵上，势必影响对概念本质的揭示与理解，冲淡数学思想方法的渗透与感悟。 再进一步，从哲学的层面上来认识，就涉及到数学概念与数学思维对象的关系。后者是客观的、实质的，前者是主观的、人为的、可变的。正如自然数，过去定义从1开始，现在定义从0开始，都是合理的。不论如何改变定义，思维的对象“有”与“无”、“1个”、“2个”……不会随着概念条文的改变而改变。所以，重要的是把握数学的对象，理解数学的实质，不必把概念，特别是概念的条文看得那么“神圣不可侵犯”。③有此认识，就不难理解弗赖登塔尔关于数学概念教学的两个问题：我们应当更为关注的究竟“是概念，还是思维对象？”“是概念的获得，还是思维对象的构成（通过心理操作）？”④这两个问题的内涵，可能会令人感觉过于深刻，难以落实，但领会其思想，对于我们认清概念教学的重点，恰如其分地把握概念的教学尺度，是颇为有益的。

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数学还是那个数学 ——让数学教学回归数学 上海市静安区教育学院 曹培英

“数学还是那个数学”，经得起推敲吗？谁都知道，今天的数学，它的研究内容、研究方法都有长足的发展。如今，早已不是凭着一枝笔、一张纸就能驰骋数学世界的年代了。但令人庆幸的是，数学的基础，虽说经历了几次恐慌——危机，但矛盾不断在出现，也不断在解决。过去证明是正确的结论，现在依然正确。在数学王国里，对错依然分明，不至于公说公有理，婆说婆有理；也不存在正方、反方的辩论赛，参赛者抓阄决定自己的观点取向，最后获胜的居然是口才好的人。在这个意义上，“数学还是那个数学”。 至于呼吁“让数学教学回归数学”，并不是反对加强数学与生活的联系，拒绝数学内容与其他内容、数学表现形式与其他表现形式的有机整合，而是针对近年来一些日益流行的，似乎课程改革可以改变数学本质的现象提出的。这些现象形形色色，但都满足于把课改理念淋漓尽致地发挥在教学表现形式上，甚至影响了数学的实质，偏离了数学的精神都浑然不觉。鉴此，本文试就其中最常见的几种现象，提出问题，展开质疑与讨论。考虑到小学数学及其教师、教学的特殊性，在下面的讨论中，不纯粹由数学视角切入，而采用以现象描述入手，以学习心理学、学科教学论与数学相结合的方式展开讨论。 一、数学教学的课题：究竟突出什么 （一）现象描述 近年来新编的小学数学教材，有的采用了一些形象生动的语言作为课题。如“玩具”“小猫钓鱼”“买冰淇淋”等等。初看时，似乎有些新意，童趣盎然。实践下来，有时却令人啼笑皆非。 ［案例1］ 父：今天数学课学了什么？ 儿：运动会。 父：怎么不上数学课，又开运动会了？ 儿：不是的，是数学课的题目叫运动会。 父：噢…… 如果说，家长产生诸如此类的误会，是由于他们不了解小学数学教材，他们只要打开课本仔细看看，就释然了。那么课堂上又会怎样呢？ ［案例2］ 师：昨天我们学了什么， 生1：小胖下车。 师：前面呢？ 生2：小胖上车。 师：小胖上车用什么方法算？ 生3：加法。 师：小胖下车呢？ 生4：减法。 课堂上这样的“启发式”对话，不仅让生病请假后刚复课的学生摸不着头脑，就连观摩听课的其他年级数学老师也“一头雾水”，情不自禁地摇头。看看教材，原来课本上的课题就是这样的。 而且，当教师不满意课本提供的情节内容。自己根据新一轮课改的理念，创设具有地方特点或学校特色的问题情境时，只好更改课题名称。于是，使用同一教材、同一内容的一堂课，不同的教师教，就出现了不同的课题。比如，都是教学乘法分配律，甲老师自拟的课题是“水果大超市”，乙老师自定的课题为“选购西装”，丙老师的课题叫做“课桌椅”……五花八门，唯独不见乘法分配律的“蛛丝马迹”。 （二）透视分析 面对这一新的情况，我们首先应当肯定教师对教材的二次加工。情境变了，“运动场”换成了“大舞台”，课题再叫“运动场”显然不合适，只能跟着变。再说，教师的教学创新应当鼓励，统一课程的校本化实施也是我们期望并提倡的。问题在于，课题“多样化”的目的是什么？是小学低年级不出数学名词时的代名词？一种有趣的联想符号？还是一种时髦？是不是应该听任数学课题在整个小学阶段都被情境彻底颠覆，让人看不出这是一节数学课，让人摸不透这节课学了什么？由此引起的质疑是：究竟何为载体，何为主题？数学课题，究竟应当突出载体，还是突出主题？ 我们认为，一节数学课的主题，一般是明确的、确定的，而表现主题的载体，亦即承载数学知识的现实背景却可以千变万化，这是数学广泛应用性所决定的。因此，用数学内容的载体作课题，势必出现令人眼花缭乱的现象。 进一步，数学教学的课题，应当是数学教学内容的概括。它是内容主题的刻画，而不仅仅是内容载体的表现。它对一节课的教学，常常起到画龙点睛的效果。当然，点睛必须点在龙身上，而不是点在龙身外的浮云上。同时，它对学生的记忆，往往具有简化记忆与提示回忆的作用。 相反，数学教学的课题，用表现数学知识的具体事物，即承载数学知识的表现载体来命名。这就在知识的名称，即所谓的“符号表征”之外，又增加了一类名称，这里不妨将这类名称叫做“载体表征”，以示区别。而载体表征又无法替代符号表征，因此增加了知识的意义与表征之间关系的复杂性。例如，教学加法交换律，已经到了概括感性认识的阶段。 原来，直截了当： 现在，画蛇添足： 可见，这类外加的课题名称，既增加了记忆的内容，又添加了回忆检索以及后继教学的麻烦。 诚然，小学生的年龄特征，决定了小学数学必然重视内容的表现形式。在这个意义上，载体表征的课题也有积极的一面，主要是有助于增强数学学习课题对于小学生的亲和力、趣味性。但“童趣味”不应淹没、替代“数学味”，毕竟形式是为内容服务的，本末不应倒置！何况我们有很多其他行之有效的手段可以达到增强数学的亲和力、趣味性的效果。 （三）我们怎么办 第一，很简单，让数学课题回归数学内容。 其实，很多数学课题，以数学知识本身的名称来命名，就很不错。以乘法运算定律为例，乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，这“交换”“结合”“分配”，多么生动、形象，又多么贴切，以致词自身的含义就有助于领会定律的内涵，有助于由名称获得提示，回忆起定律的内容。比如，由“乘法分配律”的名称学生最容易联想到的问题是“分配什么”，通过举例说明： 不少学生能够用自己的语言来描述“分配”的含义：所谓分配原来是“把一个因数分配给每个加数”。多好的通俗解释，虽说很不严谨，但这恰恰是儿童自己的意义建构、自己的表述。而且，乘法分配律的精髓——沟通乘、加两种运算的定律，不已蕴涵其中了吗？众所周知，在五条运算定律中，唯有乘法对于加法的分配律给出了乘、加两种运算之间的联系。我们不禁要问，像这样科学性、人文性兼备的名称，作为数学课的课题，又有什么不好呢？ 第二，也很简单，对课题做出必要的、适当的加工。也就是说，强调课题突出教学内容的主题，并不排斥对课题的通俗化、艺术化的处理。 比如，将数学的拓展内容统称为“数学广角”或“数学广场”，显得更生动、更有趣；将“多位数的认识”称之为“大数的认识”，似乎更通俗、更大众化。本来，“多位数”就不是一个严格的数学概念，改称“大数”也未尝不可。 又如，教学乘法分配律的初步认识，由于是“初步认识”，教学时不出结论，所以很难取一个确切的课题。于是，有教材设计了这样一个课题“5个3加3个3等于8个3”，看似啰嗦，不够简练，实践下来效果倒还不错。请看该课结束前的对话。 师：今天这节课学了什么？ 生：学了5个3加3个3等于8个3。 师（愣了一下）：噢，对，这个课题本身就说明了今天学的知识。 …… 学生记住了这个课题，实际上就等于记住了一个乘法分配律的实例。 再如，将“乘法的初步认识”加工成“从加到乘”。课题这么一改，就新课程改革的理念来讲，凸显了教学的关注点是学生的认知过程和感悟；从数学本身来看，突出了引进乘法的必要性。为什么有了加法还要乘法，因为同数连加首先碰到的问题就是书写太麻烦。比如一百个2相加，写到何时？采用省略号也不如 改写成乘法，一目了然。所以说，乘法是同数连加的简便运算，是特殊的加法。因此，乘号的发明者认为，只要把加号“十”旋转45°，改为“×”，用来表示“乘”，再恰当不过了。由此可见，以为现在允许学生把“2×100”写成“100×2”，连乘法的含义，即两个因数的含义——“相同加数”与相同加数的“个数”都可以不要了，实在是抛弃了乘法的本意。要知道，乘法还是那个乘法，课改没有也不可能改变它与加法的本质的、历史的联系。当然，这是题外话。回到我们讨论的问题上来，你看，简简单单四个字“从加到乘”，将课改的追求、数学的实质，都体现其中了。 这些，都是从数学教学工艺学的视角来看，加工得比较适当的课题。 此外，实践活动或综合应用的课题，它的主题不是得出数学知识，而是应用数学知识解决某一方面的实际问题。因此，用活动情境或应用场合来命名，以突出所学数学知识与现实世界某一方面的联系，也是可以的。设计得比较好的，如：“制作年历”“小管家”等等。也有些综合应用的课题，似乎有加副标题的必要。如一位教师自行设计了一节综合应用课，课题为“话说奥运”，令人不得要领，加上副标题“话说奥运——百分数的应用”，显然比较合适。这也是主题与载体兼顾的一个例子。 过去，我们常说，一个好的课题，犹如“画龙点睛”之笔，能为一节课增色、添彩。这对新课改背景下的课堂教学来说，没有过时，同样适用。 让我们共同来追求课堂教学的“画龙点睛”之笔！ 有必要指出，在上面的讨论中，为了“就事论事”，摘录了几套新编教材中的若干课题，除此之外，还引用了一线教师自拟的一些课题。其中有笔者认为比较合适的，也有笔者看来是欠妥的。之所以一概不注明出处，是因为本文无意对新编教材妄加评论，更无意赞扬某套教材，或者贬低某套教材。对教师设计课题时的某些创意，同样如此。以后的论述中，还会举一些例子，不管是否注明出处，都是为了“就事论事”，本意不在褒贬。 二、数学内容的引入：一概创设现实情境，或牺牲数学换取兴趣，可取吗 （一）现象描述 近年来，在设计数学课教学内容的引入时，教师们考虑最多的是，从生活情境引进与采用活动方式引进。前者的主要理念是“数学回归生活”，后者的主要依据是“发挥学生的主体性”。两者共同的追求是“激发学生的学习兴趣”。 ［案例1］ 在二年级下学期教学混合运算顺序“先乘、除，后加、减”，学生课本中的例题是两道计算式题。教师觉得太陈旧了，改用新一轮课改试验教材上的情境题： “问题1：小胖、小丁丁、小亚、小巧4人一组玩‘激流勇进’，小胖是组长，负责买票，每人6元。他口袋里有156元，买票后还剩下多少元钱？” “问题2：小胖小组还走了‘勇敢者之路’，小胖又买了4张票，每人7元。小胖为两个游戏项目一共付了多少元钱？” 两个游乐项目本身就富有刺激性，加上多媒体课件的视觉冲击力，学生被深深吸引住了。他们非常投入地、也比较顺利地解决了这两个问题。从学生的汇报来看，他们都采用分步列式。在教师的引导下，部分学生也能将两个分步算式组成一个综合算式。即 156-6×4=132（元） 24+7×4=52（元） 于是教师问：“通过这两个实际问题，我们知道了在一个有加、减法，又有乘法的算式里，必须先算什么？”学生异口同声：“先算乘法。”正当教师要求学生完整叙述并记忆这一“结论”时，一个学生举手说：“老师，我的计算是先算加法，后算乘法。”原来，该生解决问题2的算式是6+7×4=52（元）。老师应答：“你要先算加法，必须添上圆括号。”学生没再说什么，教师就把教学引向了预设的练习。 下课了，我问学生，为什么24+7×4，乘法在后，可以先算；而6+7×4，加法在前，却不能先算呢？大家都一脸茫然。一位大胆的学生说：“老师讲乘法先算嘛，它就先算了。”执教教师在旁补充道：“有的参考书上说，因为在实际生活中需要先乘除的问题比需要先加减的问题更多，所以规定先乘除、后加减。”这种说法恐怕只是一种估计，要统计是很困难的，即便确实如此，它是规定先乘除的依据吗？ 在这个案例中，教师创设的问题情境有效地激发了小学生的学习兴趣，然而问题在于：混合运算顺序的规定，是否应该由现实素材导出？更一般地，是否所有数学知识都需要由现实情境引入？ ［案例2］ 曾听过一节教学算术平均数的课。引入时，教师组织了这样一个学习活动： 让两组学生的代表（各4人）比赛原地踢毽子，教师将各人踢的个数分别记录在黑板上，然后问：现在两组中每位同学踢的个数我们都知道了，那么怎样比较两个组的整体，哪个组踢毽子的水平高呢？学生回答，求总数，看哪组代表踢的总数多。接着，教师又以踢毽子水平较低一组学生的伙伴身份，加入比赛，使该组代表踢的总数大大反超另一组。从而引出问题：当人数不相等时，比较什么才公平？多数学生认为，应当比较平均每人踢的个数。也有个别学生认为，老师踢的不能算进来，同学和同学比较才公平。对这些不同的看法，教师没有理睬，以致坐在笔者前面的一个学生直到下课还在嘟囔“老师偏心眼，老师不公平”。 课后，该教师反思道： 这个引入活动是借鉴了一堂公开课的教学设计。当初观摩时，觉得富有教学艺术色彩，效果不错，学生的积极性被激发起来了。现在用到自己的教学中，没想到会有学生反对，一时不知道怎样引导才好。看来自己不该踢得这么多，引起另一组学生的反感。 有教师建议：可以强调哪一组更弱，老师就帮助哪一组；还可以教育不同意老师加入的同学，让他们发扬风格。 这里，让学生发扬风格，能解决问题吗？ （二）透视分析 其实，通过适当的现实情境引出数学问题，是小学数学早就经常使用的教学方法。它的功能，不仅仅是激起学生的学习兴趣，更重要的是调动学生的相关生活经验，促进对所学数学知识的意义建构，同时还有利于揭示数学与现实世界的联系，让学生逐渐感悟学习数学的实用价值，并在这一过程中，培养学生的数学应用意识与能力。然而，情境引入的作用，并不是无条件的，处处都能“一石三鸟”的。再说，一节课的教学目标，应当有所侧重，每节课都面面俱到是不现实的。 上述案例1表明，以学生喜爱的、亲身体验过的游乐项目为载体创设情境，的确有助于提高学生的学习积极性，并使问题解决过程能够得到已有生活经验的支撑。进一步的问题是，这节课的主要教学方向究竟是什么？ 如果是解决实际问题，那么完全可以分步列式，因为分步列式可以有效降低思维的难度。事实上，追求容易、简便的本能，使得学生首选分步计算。于是，仅就解决实际问题而言，既然问题已经解决了，再来列综合算式，似乎多此一举。 如果是教学混合运算顺序，那么尽管面对的是现实问题，却不得不违背实际，舍易求难，指导学生列出综合算式，否则运算顺序无从谈起。至于“先乘、除，后加、减”的运算顺序，纯粹是一种人为的规定。它的合理性很简单，就是为了保证运算结果的唯一性。因而无需证明，更不存在因为某些实际问题需要先算乘、除法，所以这样规定的因果关系。换句话说，由一个具体的实际问题，导出两级混合运算先算乘、除法的规定，是不合逻辑的。 案例1还提示我们，由于问题解决途径的多样性，同一问题，可能这样解需要先乘，那样解需要先加。可见，用现实素材来解释“先乘、除”的合理性，容易陷入自相矛盾的窘境。因此，仅就教学混合运算顺序而言，由单纯的计算式题引入也是可取的。 再来分析案例2。 且不说师生踢毽子分散学生注意力，花费时间太多，影响了教学效率，仅从数学或者说统计学的角度来看，它的合理性就值得商榷。 其一，任何统计工作都有特定目的。这里，既然是比较两组学生踢毽子的水平，就应该采集学生踢毽子的个数。因此，个别学生认为教师不应该加入是对的。否则，为什么体育项目测试要分年龄组呢？ 其二，平均数作为一种最常用的集中量数，其最大的局限性在于，当一组数据中出现了极端数据之后，它的代表性会大受影响。很多比赛之所以采取去掉最高分、最低分，再求平均分的措施，不仅是为了从心理上给评分者公正评分施加一种制约，还为了减少一大一小这两种极端数据对平均数的影响，以提高平均数刻画一组数据集中趋势的有效性。因此，为了便于学生感悟平均数的统计功能，引入时，较为明智的策略是有意识地避免极端数据，而不是尽情发挥教师踢毽子的水平，故意人为制造一个极端数据。 如果为了引入中位数、众数，或者为了比较平均数与中位数、众数各自特点的需要，而有意设置极端数据，则另当别论。 （三）我们怎么办 首先必须明确，并不是所有的数学教学内容都需要情境引入。有如下两方面的理由。 一方面，数学知识的来源具有多样性。除了源于广泛的现实世界，由实际问题抽象出来之外，还源于数学内部的矛盾或数学研究的需要，由数学自身纯逻辑地提出。这就是思维对于现实的能动性。比如，在我国家喻户晓的“哥德巴赫猜想”，耗费了几代数学天才的心血，历经358年终于得证的“费马大定理”，都是这样的例子。小学数学中也有这样的例子，比如素数与合数，就是出于研究整数的需要引进的概念。只是后来科学家才偶然发现自然界里就有素数，如某些昆虫的生命周期正好是素数，从而有利于躲避天敌对其繁衍后代的威胁。 另一方面，情境引入又是一把“双刃剑”。有时它会带来一些负面效应。情境选择不当会产生牵强附会现象，这是显而易见的。就是情境设计恰如其分，有时也会使原本可以“各个击破”的难点相对集中。比如上面的案例1，在二年级下学期教学混合运算顺序，原来针对式题讨论，比较顺利。现在由实际问题引入，不得不将列综合算式与混合运算顺序两个内容整合在一节课内，客观上加大了教学难度。又如教学方程，原来先学怎样解方程，再学怎样寻找等量关系列方程，同样可以联系实际，培养应用能力。现在为了从现实情境引入方程，只能合二为一，这对教师的教学能力和学生的学习能力，都是一种考验。有这必要吗？ 如果把“完整的数学过程区分为抽象、符号变换和应用三段，以往的数学课程却以处理中间一段为原则，这导致了数学教学脱离实际的倾向。现在，强调数学抽象和数学应用已成为国内外课程内容改革的共同取向。”[1]有人把数学过程喻为一条鱼，过去是宰头去尾只烧中段，现在则主张“烧全鱼”。但课程改革绝不是简单地从一个极端走向另一个极端；关注数学抽象也不是教条，不论条件，不讲实事求是。只要哪个内容不从实际情境引入，就扣上“没有体现课改理念”的帽子，一概否定，这是典型的形而上学。我们不应画地为牢，自设禁区，“烧全鱼”，与“鱼头、鱼尾分开吃”都是可以的，一切从实际出发，这是再显然不过的道理。 比如，在案例1的教学中，假定所教班级的学生学习能力很强，把列综合算式与混合运算顺序两个内容放在一节课内教学，没有问题。那么，当学生解决问题2出现了两种不同算法时： 解法一24+7×4 解法二6+7×4 教师可以抓住契机，提出问题，激化矛盾：解法一需要先算乘法，解法二需要先算加法，怎么办？由此引出，为了避免混乱，使一个算式只有一个正确计算结果，数学上规定这样的算式先算乘法、后算加法。然后讨论，遇到需要先算加法、后算乘法时，怎样改变运算顺序。从而使学生比较全面地感悟规定运算顺序的必要性。显然，前提是学生“受得了”。如果学生“吃不消”，则分散难点才是上策。 因此，正确的做法是：具体问题具体分析，根据内容特点和学生特点，该情境引入的就精心设计，不宜情境引入的就不要再去挖空心思、生搬硬套。 其次，在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质。 当某一数学内容需要并且适合情境导入时，如何防止情境创设流于形式？关键在于讲究实效，在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质，力求形式与内容的统一。 过去，我们习惯于用教师创设的问题情境来引入教学内容，现在提倡师生、生生互动，于是追求通过师生共同参与的活动来引入学习内容。这无疑是一种发展。然而，无论是教师单独创设的问题情境，还是师生共同开展的实践活动，评价其引入教学内容的效果，首先看它是否有利于揭示数学的规律、展现或反映数学知识的实质，其次才是它的趣味性、挑战性和参与互动性。否则，教学的内容“把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越会南辕北辙。错了、偏了，还有什么艺术可言呢？”[2] 例如，教学圆面积计算时，二十多年前，笔者任教时创设的问题情境是：一片绿茵茵的草地上，有一棵树，树上拴着一只正在低头吃草的羊。配合画面提出的问题是：怎样计算羊吃草的面积？[3]当时，场景画在投影胶片上，其影像、色彩无法与今天的多媒体课件相比。但还是引起了学生的极大兴趣。公允地说，这一老掉牙的问题情境，基本符合现今的评判价值取向：“新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。”[4]因为学生喜欢这样的情境，他们通过观察纷纷发现，羊只能在以树为圆心，以绳长为半径的圆形地面内吃到草。他们为自己的发现而感到兴奋。进一步，用笔者的评判标准来衡量，更为本质的是，这一问题情境便于揭示圆形地面的大小，取决于绳子的长短，从而使学生自己抽象出，圆面积的大小是由圆的半径决定的。如果以树所在位置为原点，建立直角坐标系，那么羊能吃到草的圆面可以用x2+y2≤r2来刻画。也就是说，这一问题情境，实际上已经生动地渗透了或者说蕴涵了圆面方程的一个现实原型。记得针对同一课题，当年曾尝试过多种方式创设情境，实践下来，以“羊吃草”为佳。比如，用手甩动梭镖，也能形成一个圆面，但观察细心的学生会发现，教师的手在抖动。即圆心也在转动（比较准确地说，是形成了一个圆环面）。 如果要问，这样的问题情境，能否用于新课改下的引入教学，回答是：至少在没有找到更好的能让师生都参与互动的方式之前，可以采用。因为圆还是那个圆，圆的本质属性并没有因为课改而改变。当然，教学设计可以也常常需要与时俱进。比如，考虑到面对的是大都市的孩子，不妨把“羊”改为“宠物狗”，相应地把“羊吃草面积”改为“狗活动面积”。 这里，之所以翻出“一块陈年奶酪”，是想陈述一个正例。尽管这个正例缺乏新意，但可以说明：引入教学需要考虑学生的情感，力求激起学生的求知欲望，更要关注教学的科学性要求，不能歪曲数学本意，这是前提。 至于原来的情境是否过时，同样需要具体问题具体分析。比如，在小学低年级渗透加法的交换律，20多年前全国通用教材中的插图是：                   该情境不仅能让学生直观地感知加法的可交换性，而且还生动、形象地揭示了加法交换律的依据：计数结果与计数顺序无关（计数公理）。这样的情境其实无需去赶时髦更新。又如，教学时间单位“秒”的认识，传统的情境是除夕之夜，中央电视台春节联欢晚会倒计时读秒迎接新年钟声的录像片段。前不久，有教师采用雅典奥运会上我国选手刘翔夺冠的精彩录像片段来引入“秒”，实践表明效果并不十分理想。原来激动人心的场面让学生兴奋，他们感受到了中国人的骄傲，却没有关注1秒的时间长短。教师重放录像，学生注意了计时，但电子计时器快速跳动的数字仍干扰了他们体验1秒的持续时间。     看来，追求知识与情感、科学与艺术以及内容与形式的和谐统一，没有“最好”，只有“更好”。让我们共同努力！

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曹培英:什么是真正“用教材教”

上海市静安区教育学院 曹培英 　　 “用教材教”时下已成为教师们经常挂在嘴边的一句话。“教教材”与“用教材教”在语意上并无多大差别，但“用教材教”反映了教材观的转变，即视教材为主要的课程资源、教学线索，激活了教师的专业自主性，让教师以教材开发者的姿态，将个人特质、教学经验、教学才能融入到对教材的加工、改造之中。 　　历史地看，过去我们也反对照本宣科，追求用活教材，现在提倡“用教材教”，似乎是旧话重提，但其中的必要性却不容小视。社会与教育的发展在为教学提供新条件的同时，也对教学提出了更高的要求。要求教学更加关注学生的个性发展，要求教材多样化，要求教学手段不再只是一张嘴巴、一支粉笔。因此，传统的话题势必会在新的历史条件下，寻求新的诠释与表达。 　　目前，有种观点认为，“教教材”与“用教材教”是教师教学水平提高的两个阶段。论据一是目前尚有不少教师的教学连忠实执行教材还没做到，论据二是“教教材”要作为“用教材教”的基础。这样的看法有一定的道理。但需要明确的是，它只是举出了特定背景下的真实个案，不能据此认为它就概括出了教师提升教学水平的一般规律。同时，我们也确实应当先深入教材，再跳出教材，否则难免会出现对教材的误读和背离。 　　事实上，要有效地用教材教，除了正确理解、准确把握教材之外，还必须深入分析学生的学习特点，了解他们的真实情况。教材再好，通常也只能根据一般情况为教与学提供一个思路和一种设计方案，不可能完全适应每个学校、每个班级、每个学生的具体情况。用教材教，要求教师具备解读教材、解读学生的智慧。解读教材、解读学生与加工教材，都可以在备课过程中，即在课前一次完成，实际的备课过程，也常常是将三者结合起来进行的。不能因为它们需要分别展开研究，就听任目前的教学停留在“教教材”的水平上。同时，对三者的钻研应该是教师永无止境的追求，都有待深化，需要经验的逐渐累积，不必人为地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教这样的阶段。任何时候，调整、加工教材都是教师的权利，也是教师备课的内容之一。 　　如何“用教材教”？需要探讨和解决的问题很多。这里笔者仅就使用新教材以来教师在课前预设环节遇到的一些问题进行讨论。 　　复习铺垫的设计。现在新编的教材，基本上不再出现新知识前的复习、准备或过渡内容。以致有教师问：是不是数学课堂上不要需要复习环节了？ 　　教材直接以问题开始，有利于扩大思维和探索空间，有利于学生问题意识的培养。在这个过程中，学生在新问题的基础上联想回忆出已学知识。当然，如果学生自己联想有关知识有困难，或者出现夹生、遗忘现象，教师先行组织复习也是可取的。 　　新授前设置复习、准备环节的初衷，一是为了通过再现激活学生头脑中已有的相关知识；二是为探究铺设台阶，分散新授的难点。第一点无可厚非，问题在于第二点。以往的课堂教学实践中，教师常常铺垫暗示过度，或者人为地设置了一条狭窄的思维通道，学生无须探究，或稍加尝试，结论就出来了。这显然不利于学生主动学习能力的发展。但我们也不必就此因噎废食。应当承认，这类教学铺垫有很多合理的成分。 　　比如，教循环小数前，很多教师喜欢先以学生熟知的一年四季周而复始的实例，让学生感知“依次不断重复出现”的周期现象，以此作为同化新知识的认知框架。有了这一铺垫，原本很抽象的循环小数，通过学生自发的类比，大大降低了理解的难度。 　　教学手段的选择。一般认为，选择教学手段的依据是教学内容、学生以及教师自身的特点。除此之外，还应考虑什么？ 　　以教学长方体的认识为例。现在多数教材提供的现实模型是城市建筑、冰箱、纸盒等图片，人民教育出版社的教材考虑到农村和边远地区，给出的素材里还有长城的图片和其中一块放大了的砖。教师可以选择一个或几个实物抽象出长方体的图形，并进一步介绍长方体的面、棱和顶点等。目前在有条件的学校，教师大多采用多媒体课件演示长方体的形状。此外，还能选择什么教学手段呢？30年前笔者在江西教学时，曾用当地的白萝卜作为教具。在东北，教师的创意是让学生用小刀削土豆。在上海，老师们让学生用小刀削橡皮泥。这不正是因地制宜选择教学手段最生动的诠释吗？ 　　巩固练习的补充。经常听到教师抱怨新教材配备的练习偏少。不可否认，教材需要修改、完善，但教材不是题库，面对减轻学习负担的社会诉求，教材中的习题必须严格精选。因此，即便改进之后，还会众口难调。比如20以内退位减法，可以用“破十法”，也可以用“连减法”。诸如此类的针对性练习，教材难以一一提供，只能由教师为学生“量身定制”，自行补充，当然教学参考书可以也应该给予提示。 　　此外，学生的学习有缺漏必须弥补，同时要满足学有余力的学生兴趣拓展和提高的需求，教师适当的增补练习，也是因材施教的内涵之一。另外，一些乡土素材、社会时事、学校正在开展的活动，等等，都可以用来编成数学的实际问题，使数学应用练习更贴近学生的生活和时代的脉搏。 　　《中国教育报》2009年2月20日5版

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原文地址：曹培英:小学数学教师本体性知识缺失问题作者：婷子


今天跟大家交流的题目大家可能比较陌生，就是课改背景下我们小学数学教师本体性知识的缺失与对策。应该说研究这个问题的人不多，但我认为这是一个重要的问题，不应该淡出我们的视野。
我们的话题就从课改背景下教师的专业发展说起。前年我们都在回顾改革开放，人民教育就准备组一组稿，其中一篇要我写，要我从实践的角度写一写，我写的文章中其中一个视角是从我们教师教育的视角来看，我们30年教育改革一个基本的发展轨迹，因为这30年的历程我都亲历了，改革开放之初，30年前，在我们开始大规模改革之前呢，我们首先进行了一场教师培训，现在回过头来看，当年的教师培训为后面的教学改革奠定了非常好的基础，当时的培训有个名称叫做教材教法过关，低段的老师过低段的教材教法关，高段的老师过高段的教材教法关，如果你有能力也可以申报考全段的教材教法，分别给予不同的证书，为什么这样一个席卷全国的培训会有非常好的基础呢？因为百废待兴，当时由于十年动乱，当时一切都从头开始，那是需要的，另外一个呢，我们也能想象，如果一个老师如果连教材都不理解不熟悉，基本的教学常规都不能很好的掌握的话，怎么可能有更多的注意力投向教学方法的改革。这个基础上我们迎来了教学方法改革的春天，全国各地涌现了各种各样的教学方法，具有本土特征的教学方法，拿我们小学数学来讲，大家耳熟能详的江苏邱学华老师的尝试法，广东深圳市教研员陈永年的验看法等等，都是小学数学学科的，这些教学方法发展到后期呢，都形成了相对稳定的教学模式，一个模式应该有自己的改革目标，改革理念，成熟的教学机构、流程，相应的理论支撑，相应的教学策略，以及自己的评价，那么随着教学方法改革的发展，很多有识之士发现，教学方法再怎么改革，只是一小部分参与，怎样使所有的教师都参与其中，最直接有效的办法就是改教材，教材改了，迫使所有用这个教材的老师都得考虑我这个方法是不是应该相应的进行调整，于是各地都在自发的进行教材改革，这种自下而上的教材改革，为我们现在推行的课程改革奠定了很好的基础，这个学科教材的改革发展到后面，很多学校的领导发现一个学科单打独斗，不成气候，因此形成了整体改革，这个中小学的整体改革到今天还有一个全国的专业委员会，每两年都会搞一次活动。从课程教材改革来讲，在我国30年间有这样一个发展过程。
随着新一轮课程改革的推进，人们发现文本上的课程要转化为课堂上真实的课程，靠在座的各位，靠我们一线的老师。由于改革的过程中，出现了一些发展中的问题，又把人们的目光引向到了教师教育的改革上来，南京的现代与经典进行到第十届了，吸引了这么多老师参与，也是一个证明。今天的教师教育，最主要的特征我个人以为就是关注教师的专业发展，是不是我们过去没有提专业发展？今天提了只是换了一个名词而已呢，不是！比较实质性的差异，在于过去的培训，我们是“磨刀”，“磨刀不误砍柴工”，利其器。今天的培训呢，不光是利其器，还关注使用工具人的本身，善其身。从改革的主体教师来讲，实际经历一个螺旋上升的过程。
关注教师专业发展，教师专业发展的特点和内涵又有些什么呢？纵向看，教师职业从经验化、随意化到专业化，经历了逐步发展的过程。这段时间并不长。横向看，教师专业的不可替代性不够突出。教师和医生作比较，最初这个职业半斤八两，都很辛苦的，国外研究表明，标志性的事件是青霉素的发展，一针下去，烧退了，炎消了。试问我们教师有特效药吗？今天，医生专业，几乎所有的现代技术都能应用，而我们呢。在上海进行全面的检查，3到5万，一项检查能预测你半年内会不会得癌症，这一项，一万块。我们凭什么工具来检测学生的学习状况呢？只能靠最传统的，刺激，反应，给他出两道题，根据他的回答来判断，他的状态怎样，怎样思考的。可能连老中医都不如。中医怎么看病，望闻问切。把脉来讲，大户人家的千金，不让你碰，放一个帘子，老头在这一头，闭目养神几分钟，居然可以判断主人小女无恙，有喜了。我们有这样的诊断技术吗？也有人不同意这样的类比。一个是面对生理，一个是面对心理。但我认为从专业发展的角度来看，可以做些类比。原来上海市副市长，担任上海市教委主任，原来是儿科专家，他就说，到了教育系统以后，感觉教育的现代化，还不够。一旦停电，现在的医院都没法工作。挂号要靠电脑，收费要靠电脑，一停电，他能干什么？什么也不能干！但是一旦停电的话，学校可以照常上课，把窗户打开，靠自然光，没有投影，用黑板。这些例子说明我们的发展还在准专业，半专业，发展中待成熟的专业的这种状态下。
当前的背景，我们中国的教育应该说是非常成功的。世界上最了不起最伟大的教育事业。解决了这么多人的读书问题。我们已经基本解决了人人都有书读的问题。随着，社会对教育的要求就是人人读好书，大家都在呼唤优质教育。优质教育最本质最难办的是什么呢？就是优质的教师。拿上海来讲，薄弱学校改造，硬件很快，两年工夫，只有有钱，砸下去都好办。我们有一个区，每一个教室都配实物投影仪，它的这个采购单一出来，两个月之间，搞得整个东南亚实物投影仪脱销。优质的教师呢？难！所以现在有些地方就采用削峰填坡，把好的学校的老师由教育局统一调配，这实际上还不是一种很好的对策。关键还是大面积提高我们整个教师队伍的素质。当前的课改，它的推进，更离不开我们教师专业素质的支撑。所以有这样一句话：“课程改革，成在教师，败在教师”。对这句话，我是赞同的，但要看谁说。如果是课改的设计者说，有推卸责任之嫌。如果我们老师自己说，那就好。说明我们认识到了我们在课改中的地位。
教师专业化的内涵包括三方面：专业道德、专业知识、专业能力。
专业道德的核心是爱生、敬业、教书育人、为人师表。专业道德需要个性品质的支撑，教师最实质的个性品质就是两点。一个喜欢儿童，一个喜欢所教学科。我们区对教师道德的教育强调的是坚守一根底线。通俗的讲，你哪怕不喜欢这个孩子，你必须在他面前不流露你内心的情感，你必须表现出你很喜欢他。如果不具备这种个性品质的话，要做到这一点，你会感到很困难。需要极大的意志力，克制自己。
今天我主要讲讲专业知识，关于教师的专业知识有各种不同的专业分类，我还是举心理学界比较公认的一种分类，分为本体性知识，条件性知识和实践性知识。本体性知识就是学科知识，条件性知识就是教育理论，实践性知识就是教学经验。这次课改关于条件性知识我们关注得比较多。特别是课改初期的通俗培训，基本上传授的都是条件性知识。比较少进入学科类。今天主要从学科类，我们教师的本体性知识来谈。
在我国，长期以来，一种根深蒂固的观念是，教师必须具有足够的学科知识，才能应付自如地教学。“给学生一杯水，教师自身要有一桶水”便是这一观念的真实反映。这种观念在课改过程中也受到了质疑，有人把它称之为桶论，认为桶论已经过时了，取而代之的是桶水论、找水论，认为教师所具有的水应该是活水，应该与时俱进，不断更新的。更极端的认为教师有多少水无所谓，最为重要的是掌握找水的方法。即使自己没有水，可以带着学生一起找水。试问，这种极端的观点能成立吗？不敢苟同。找水有偶然性，找了半天，没找到怎么办。算了？这典型的是误人子弟。
如果我们换一种思想方法，我们会发现这三种观点并不矛盾，桶论论的是知识的量，活水论论的是知识的质，找水论说的是方法，三者整合起来就全面了。
第二点说一下课改背景下教师本体性知识状况的调研，多年前我在上海的两个区做过调研，发现情况不尽人意。例如2008年7月到某某省进行农村骨干教师国家及培训。228名教师参加了本体性知识的测试，最高分82分，最低分15分，基本合格（50分及以上）率53%。参加测试的老师坦言，一份简单的试卷，这么多老师50分以下，真的没想到啊！第一部分的题目，54.4除以2.6，商是20，余数是多少。得分率不到60%。再比如，一个因数扩大到他的三倍，另一个因数缩小到他的什么，积不变，得分率30.7%。过去我们习惯于说缩小三倍，这个说法其实是我们小学数学教材自己规定的，一直受到社会的质疑，按照我们过去的规定乘10，扩大10倍，乘1，扩大1倍，还是原来的数，怎么叫扩大了呢？除以1，缩小1倍，缩小了吗？这一次课改我们把这种说法都改了，应该说缩小到他的三分之一。
三、课改背景下教师学科知识的缺失，到底缺失在什么地方？原因何在？老师最大的困惑是：为什么教师学历层次提高了，本体性知识依然缺失？这次课改，我们数学是删减的少，增加的多。操作性的要求降低了，示例性的要求提高了。从知识的角度来讲，很多增加的内容我们过去低学历时没有学，进修时仍然没有学。最典型的几何变化，平移旋转。总的来说，出现这种状况，第一方面的原因是基础教育的发展对我们小学教育提出了新的要求。这就要求我们小学教育要关注小学学习的后效，更加关注学生的可持续发展，要求我们加强学段之间的衔接研究，更为自觉的瞻前顾后。在课程设置、教材编写上，已经存在顾后的问题了。举个简单的例子，初中教研员曾做过这样一个测试：两地间公路长22千米，两人分别以5千米时、6千米时的速度同时从两地相向而行，几小时后相距5.5千米？两个答案，很多人做了一个答案。初中教研员找原因了，发现原因在小学，小学出现了相距，但是只讲一种情况。相距分两种情况，第一次是相遇前，第二次是相遇后。第二个原因是课堂教学的生成性使教师面临新的挑战。确实，这一次课程改革出现了很大的改观，三个变：课堂变、教师变、学生变。其实最根本的是学生变了，我们发现，学生质疑问难、节外生枝的频率与教师本体性知识缺失的显露在同步增长。举个例子，教学平角、周角等常见的角，这节课的老师教完课本的内容以后，让学生提问，学生训练有素，提了很多的问题，老师把每个问题都板书出来，然后讨论、交流，与众不同的是，对学生的回答基本上不做评述，只问学生满意吗？最后留下半黑板的问题，老师说剩下的问题以后进一步学习就会明白。课后交流老师说，一开始我也想回答，但常常令我处在尴尬的地位，答不上来，或者学生不同意捏观点，所以以不变应万变。他留下的不讨论的、擦掉的问题中有这些问题：0度角和周角有何区别？有没有大于360度的角？小学平角、周角的概念，教的时候是通过旋转来入手的，一开始角的概念是静态的，由一点引出两条射线，后来就是旋转。这里可以让学生站起来，伸出胳膊，现在是0度角，转到后面是平角，再转过来是周角，跟刚才的方向一样，和0度角有没有区别？可不可以继续转？由此看来，对教师的知识储备这一桶水提出了更高的要求。教学内容的更新、拓展暴露了教师知识的盲点，课程内容更新力度加大，拓展范围更广。再比如：甲乙两个候选人得票数相同，老师做了4个纸团，只有一个画有☆。甲先摸，摸中了，乙认为不公平；又有同学说，甲先摸，摸中的可能性是1/4，如果没摸中，乙接下去摸，摸中的可能性是1/3，所以这种方法不公平。你认为呢？总而言之，这些方法不公平。怎么办呢？我们把所有方法枚举一下，可以解决先摸，后摸的问题。已知一个画有☆，另外三个分别为1，2，3，无论谁先摸，甲先摸，摸到的可能性有三种，乙后摸，摸到的可能性也有三种，都是1/4。如果甲先摸，没有摸中，拿走了，就剩下三个，可能性是不是1/3？因为甲先摸，没有摸中的可能性是3/4，乙是在3/4的可能性下去摸的1/3可能，所以他的可能性是3/12，所以这种方式是不公平的，这可能超过了小学生的认知水平，现在已经做了调整。
我们在看一个例子，教学平移旋转中的摩天轮，情景是游乐园，农村的老师意见非常大，向你们提个意见，你们都是城市的情景，农村哪有游乐园，现在的教材基本上适合城里的老师教城里的学生。老师以游乐园为情景，讨论摩天轮时都认为是旋转，有个学生要发言，他说，我坐过摩天轮，我坐在上面始终是头朝上，脚朝下，所以我认为人坐在上面是平移，不是旋转。怎么办？我们现有的手段就是讨论讨论，意见很多，最终不了了之。到底是什么呢？通过画上箭头，可以发现是平移，这个问题去问物理老师，他们都能答对，是平移。我们让摩天轮转，某一时刻停下，去两个点，座舱上部的左端，右端，连线，得到的是什么？是一组平行线，因此是平移。是不是旋转呢？将上面的一个点跟中心的点连起来，发现不是旋转。
大家可以参考这篇文章， 2006年暑期的图形与变化的备课与教学。
下面讨论第四个，数学研究问题一个简单的策略就是简化问题，抽象问题。我们可以说把座舱看作一个点可以不讨论。第四个方面的问题，课改理念被误读，导致教师学科思维出现混乱。这次课改通俗培训，变化是很大的，也起到了一定的作用。但如果不深入理解的话，我们一些老师会认为我们可以依据课改理念重新解读学科知识，这就不对。比如看到其他学科老师，学生回答什么都表扬，特别语文学科，老师很宽容，这个对，那个也对。因为语文有同义词，近义词。数学呢？7+8=14，对吗？嗯，还差一点，继续努力！这有意义吗？再比如，分数比大小，二分之一和三分之一，哪个大？毫无异议，是二分之一大，但一位学生说：大圆的三分之一就比小圆的二分之一大。有意思的是这样的回答有85%的得到老师的肯定。于是，我编了这样一道测试老师的题目：“老师问：2大，还是3大？甲生：3大，因为3岁小孩比2岁小孩大。乙生：2大，因为老二比老三大。请从自然数的两种含义说明谁的判断正确。”这道题的得分率也是很低的。
其实我们的大小都是在基数意义下比较的。最基本的一条规定就是要么a>b,a<b,a=b。三者必居其一。
最后再谈一个，教师学科的童化现象，影响教师自身的发展。源于对老师的观察。
×××，中师毕业（在校期间，曾任数学课代表），在职进修获本科学历（大专学的是小学教育，理科；本科改学文科）。16年教龄，一直任教数学，钻研业务劲头较足，所教班级学生数学成绩很好，两次参加教学评比获奖，是一位比较典型的小学数学骨干教师。一次公开课上，她随手在黑板上画了个三角形，标上三条边长的厘米数1、2、3，直到下课未发现不妥。课后经人指出，羞愧不已：“我怎么会犯如此低级的错误！”显然，“三角形任意两边长之和大于第三边”的知识不是遗忘了，而是“当时没想到”。
又有一次，讲述射线与圆角的区别，只从表示方式上详细指出：射线用两个字母表示；周角用三个字母表示，且标有一圈弧。就是忘了从概念的本质属性去说明它们的区别。原因呢？又是“没想到”。同时还解释说：这是采用了某某参考书上的说法，记得有一节教学评优获奖课也是这样处理的，所以没再多想。像这样正在教学的基本概念，用“遗忘”是解释不通的。为什么课前查阅资料、撰写教案时，以及课中亲口陈述时，都没想起呢？
诸如此类、司空见惯的个案，都不仅仅是偶然的遗忘。那么，是因为小学的教学内容太简单，教久了，势必出现学科知识的“退化”吗？
分析教师的成长历程，刚踏上讲台，儿童语言贫乏，也不了解儿童思维。为了搞好教学，经过几年的努力，丰富了儿童语言，熟悉了儿童思维。表现在备课时、课堂上，能自然而然地想儿童所想了。这是教师胜任小学教育的必由之路。的确，要想深入了解儿童的文化，真正成为他们的学习伙伴，就要进入儿童的世界，像儿童那样思维，在自己的头脑里重建儿童的心智。与此同时，教师自身的思维也有可能被儿童同化而“童化”。而且钻得越深，童化的可能性就越大。
基于以上分析，我们认为教师本体性知识缺失的职后原因，除了学习的自然遗忘，更重要的是教师思维的“童化”，即伴随教师重建儿童心智的努力，而出现的本体性知识及其思维的退化。
类似地，教师数学能力的缺失，除了“先天不足”，也有后天“童化”的原因。
如“x=（128－36）÷4不是方程” “是算术方程”。很多老师认为是算术方程。
又如女生a人，男生人数是女生人数的2倍，2a+a表示男生和女生的人数和？2a-a表示什么？习惯上说是男女生相差的人数，其实有两个答案，a海表示女生的人数。
长方形框，钉木条，哪种能使木框不变形？

课后讨论，1、2两种还是变形，你焊一个铁框，能拉得动吗？所以出现了一个问题，实验能代替数学证明吗？这个例子是多年前的，那时新一轮课改还没有来。
我要强调的是实验能靠诉我们有所发现，过去我们不重视它，那样不对。但应该知道数学最终的结论要靠逻辑推理，这是数学的精髓。如果数学也考实验说话，那要数学干什么，物理、化学都靠实验。这也是数学有别于其他学科最基本的特征。验证不能确立结论，在我们小学数学中经常出现验证，那时帮我们小学生确信。
再比如，哥德巴赫猜想验证了无数次，从来没有一个反例，但他还是猜想！我这辈子不知能不能看到有数学家把它证明出来？
面对这些缺失的种种表现我们应该怎么办呢？我认为最关键的应该是端正我们对数学学科的认识。
下面谈谈怎样认识数学的学科特点，数学是什么？网上有一位数学老师说：今天我问学生：数学是什么？只有一位学生举手回答。为什么学了六年数学，却不知数学是什么？他们不敢说，拿不准。那我们给学生头脑中流下了什么数学痕迹呢？感兴趣的老师后天回去可以问问你的学生，问问他们数学是什么？看看他们会有何回答。如果你跟学生关系很好，你的学生一定回答得很精彩。我曾经看过一个资料：前苏联也做过这样的调研，他们的学生回答中有学生说数学是帝国主义课程。
一位母亲说，数学是头痛，小学我看到应用题，立马头发胀。现在拿起女儿的数学书还心有余悸。好在初中学了解方程，才让我的数学恐惧症消失了。但是在我们的周围还有一些人数学恐惧症伴随他们终身。举一个名人，崔永元。他写了一本书《不过如此》里面有一段谈了数学：对我来说，数学是疤痕，是泪痕……书中谈到他一天上街卖西瓜，摊主马上给他最大的18斤8两，摊主说市面上1元8一斤，崔哥你看着给，崔永元听了脸都白，论称才一百元，拿了西瓜不找了。回到家，他想：我出去的时候还心情很愉快的，为什么会发这么大的火呢？仔细一想原来是多年的数学恐惧症复犯了。
我们数学老师怎么回答？好像清楚，又好像不清楚，需要回答吗？引用郑教授一句话：正是在学校这样一个环境中，大多数人开始形成了自己的“数学观念”，而且在大多数情况下，这些观念在他们以后的生涯中一直得到保持。现行数学教育的一个重要弊端就在于：学校通过数学学习所形成的数学观并不是“真正数学”的真实写照。也就是说，就今天的现实而言，“学校的数学”并不是“真正的数学”。      ——郑毓信。
我基本上同意这样的观点。数学家会怎样回答？最初是万物皆数说，后来是哲学说，还有创新说，直觉说，活动说，精神说，审美说，艺术说。这些都是从人文角度来说。从科学角度来说呢，最早认为数学是科学的，高斯。他的名言是数学是科学的皇后。还有技术说，高科技本质上是数学技术。还有工具说，逻辑说，符号说，集合说，结构说，模型说等等。
作为一个数学教师，数学事业中的数学，我们应该怎么看？恩格斯对数学的一个描述还没有过时，考虑到高科技的发展，我们可以再加一个：研究数与形的科学；数学是普遍适用的技术。这样的定义不一定能带给我们教学更多的帮助，我们过去的一些看法：数学是基础，是工具，是能力，是素养，是文化，都没过时，都有道理。基础说认为数学提供了独特的语言、思想、方法。关于数学语言，有三种形态。
我们来看这个例子：两个数的和与一个数相乘……（这时文字语言形态）；用符号语言：（a+b）c=ac+bc就一目了然了。第三种就是图形语言，我们也可以用这样一个图表示，两个长方形拼在一起，长分别表上a、b，宽都是c。我们不一定追求某种形态，我们应该认识到有不同的表现方式。拿分配率来讲，我们可以有些是现实模型，也可以有几何模型，还可以是代数模型。
实际解释；图形解释；算理解释。
再说说数学的文化，比较热门，认为我们可以渗透许多人文的内涵。实际上我认为更主要的应该是挖掘。应为数学本身也有人文性。举个最简单的例子，四则运算的符号，为什么加号是十字，减号是一横，乘号是一个叉叉？如果我们把符号本身的内涵揭示出来的话，我们就可以取得很好的教学效果。
加号的本意是在意亨德基础上添上一竖，表示什么？表示合并，和，总数。由此看来，减法为什么是一横，正确的诠释是在加号的基础上拿走一竖，表示去掉了一部分，更少了。这两个符号本身就把运算的含义生动直观的显现出来了。乘号为什么是一个叉叉呢？因为乘号表示相同的数连加，因此不需要用其他的符号，就把加号旋转45度，请问你在教学时转了吗？没转，下次记得转一下，特殊的加法。除号呢？一横表示平均分，上下都一个点表示同样多，这也符合本意。
我们非常重视中国文化中的数学，圆，到定点的距离等于定长的轨迹。这时西方传过来的。中国话怎么说：圆一中同长。
数学的中国文化还可以表现在很多方面。比如多位数，30006三万零六，30060三万零六十，30600三万零六百。为什么都只读一个零呢？那时因为我们把计数单位读出来了，为什么中国的孩子数学学得好，结论一是中国的语言给了我们学习数学很好的帮助，每一字都是单音节的，所以我们有乘法口诀。你看，数的组成，数感都读出来了。3056是由几个千，几个十，几个一，其实在读的时候已经读出来了。再说分数单位一从除法引入，还是从单位一的等分引入，我的观点就是中国的老师教中国的孩子，就应该从单位一的等分引入。尽管这种引入不是太科学，单位一的等分对非复数没有问题，对复数就有问题，我们复数怎么读，2/3读作三分之二。我们已经把它的含义读出来了：三等份中的两份。英语不同，它先读分子，再读分母，所以它适合从除法引入。
课改之初，我们对有价值的数学讨论得比较多。问题出现在我们的加工上。比如这样的计算有价值吗？分数四则运算有价值，分数推导用到分数，小数四则运算有价值。那么把分数、小数混合到一起呢？恐怕只有形式训练的思维价值。所以我认为：产生价值偏离的原因之一在于认为“综合”。
所以要认识数学学科的特点，很有必要回顾一下数学的特征：高度的抽象性；逻辑的严谨性；广泛的应用性。数学的抽象非常特殊，撇开具体内容，纯粹研究事物的数量关系和空间形式。数学的严谨：根据不讲自明的假设，依靠逻辑推理得到大量的结论。数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之谜，生物之谜，日月之繁，无处不用数学。”——华罗庚。甚至可以说，数学的独特魅力是抽象的魅力。比如七桥问题，有人突发奇想，能不能不重复的走完七个桥？试了很多次都失败，于是人们把问题寄给大数学家欧拉。欧拉以数学的眼光来审视这个数学问题，在他看来河、支流把陆地分成了四块，管它是直的，是弯的，其他不管，这就是数学的抽象。
我们可以说：数学的价值在于它的高度抽象性和严谨性，决定了它的广泛应用性。问题在于我们怎么看？怎么用？
前几年香港教材中有这样一个题目：
香港某厂业绩：年份   1990年   1991年    1992年
股东红利     5万      7.5万      10万
工资总额   10万     12.5万     15万

老板所画的图表明他很公平，端平了一碗水，对吗？工会主席认为不对，他画了一个图，蓝线跑到上面了，为什么？股东红利从100%到200%，涨了一倍。而工资只增长了50%。所以得利的是股东，工人利益受损了，这是工会主席做出的解释，同样是用数学工具做出的。
面对缺失我们怎么办呢？
1.  引起自身关注弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力。
2.  加强自身学习何有源头活水来？学习数学知识，了解数学历史。数学分析、高等代数、高等几何，概率论……怎样学习更有效？基于学科、基于问题、基于经验、基于群体。
3.  结合教材分析学习有关数学知识。
4.  结合课例点评学习数学知识。
5.  结合教学研究学习有关数学知识。
有必要指出：
充分认识本体性知识对于驾驭教学内容的潜在作用，关注教学的科学性，并不意味对教学语言的苛求！
数学教师，最忌讳、最难堪的是被人指出犯有“科学性错误”。在目前的听课、评课活动中，被提升到科学性高度来谈的问题，确有一些是违背了数学规律或逻辑规则的错误，但更多的属于抠字眼、钻牛角尖的问题，属于对自然教学语言的挑剔。
如：“三角形的高等于它的面积乘2除以底”。标准答案是叉，理由是什么呢？说缺少相对应。我不认为是错的。
后一类批评一再耳闻目睹的结果，迫使教师谨小慎微，听任生动活泼的数学思维被字斟句酌的语言压抑或纂改。
“水至清则无鱼”。
我们追求课堂教学的“大气”，需要教学评价的“宽容”。

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                                                        关于左右概念教学的研究

上海市静安区教育学院
曹培英

一、为什么将左右概念纳入小学数学课程

我们知道，原来的小学数学，一般都把左右概念当作日常生活用语，或者说当作不加定义的原名，而不是作为数学概念来引入并使用的。自从义务教育阶段《数学课程标准》（实验稿）颁布以来，左右概念进人了小学数学各种版本的新编教材，几乎无一例外地都将它视为一个“知识点”，作为新授教学的内容来处理。

小学数学课程为什么要引入左右概念?这要从数学课程内容的改革谈起。

一般认为，数学研究的两大基本范畴，一是数量关系，二是空间形式。小学数学中关于空间形式的内容，过去叫做“几何初步知识”，现在称为“空间与图形”。这一名称的更换有何实质性变化呢?

从该领域的内容及其结构看，分为图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置四个部分，其中“图形的认识”基本上还是原来的内容；“测量”是把原来量与计量部分中的长度、面积、体积（容积）单位的认识与求积计算的内容放在一起；“图形与变换”除了原来就有的轴对称的初步认识之外，新增加了平移与旋转的初步认识这两个内容；“图形与位置”则基本上都是新增加的内容，包括确定物体相对位置和用数对来表示位置，以及辨认方位、描绘线路图。当然这些内容也都只是初步认识。

不难理解，增加图形与位置的学习内容，最显然的教育价值就是，有助于学生更好地认识我们人类的生存空间。我们在这三维空间内居住、活动，为了更好地利用生活空间，更好地生存与发展，每个人都需要具备有关的常识，都需要认识和理解三维空间。这应该是内容名称变换，即将“几何初步知识”改为“空间与图形”的主要用意。

为使小学生认识三维空间，比较恰当的起点，恐怕莫过于用上下、前后、左右来描述物体的相对位置了。

二、“左右”概念教学中出现的问题

过去的小学数学教材，将左右看作儿童已有的常识，在数数的教学中，在认识自然数序数含义，即学习“第几个”的教学活动中，直接加以应用，通常只需教师略加引导，也就过去了。虽说个别学生（主要是所谓“左利手”的儿童）有时表现出左右不分、左右颠倒的现象，但也并不构成教学的难点。因为多数学生区分左右并不困难。为什么现在把它视为一个“知识点”正式进行教学，却反而令教师与学生都“左右为难”呢?

原来，过去引入左和右，主要是出于数数的需要，因此只要求学生分清自己的左和右，能够正确地从左往右数。这样的要求对绝大多数一年级儿童来说都不困难，所以能一带而过。现在拓展为一节课的新授内容，教学的要求是“会用左、右描述物体的相对位置。”于是，左右的相对性，就凸显为一个公认的教学难点。因为不讲左右的相对性，一节课的内容就太少了，况且新编教材中，几乎都安排了与左右相对性有关的内容。进一步，在用左右描述物体的相对位置时，又生成了一系列的新问题。

三、关于儿童形成左右概念的心理学研究

早在上世纪60年代，我国著名心理学家朱智贤等人，就对儿童左右概念的发展进行了系统的实验研究，得到的结果与皮亚杰1929年在瑞士、艾尔金1961年在美国所作的同类实验结果基本相同。

“实验表明，儿童左右概念的发展，有规律地经过三个阶段：第一阶段 (5—7岁)，第二阶段- (7—9岁)，第三阶段 (9—11岁)。”

儿童比较固定化地辨识自己的左右方位儿童初步、具体地掌握左右方位的相对性儿童比较概括地、灵活地掌握左右概念。这就是说，小学一年级学生大多数正处在左右概念发展的第二阶段，我们不应该对他们要求过高。同时，实验结果还告诉我们，随着年龄的增长，儿童能自然而然地进入掌握左右概念的第三阶段。因为当时的小学算术教学并没有像我们今天那样，为促进儿童左右概念的发展煞费苦心，施加种种高难度训练。

作为对照，下面摘录该实验用于识别儿童掌握左右概念发展进入第三阶段的两组测试题，分别为：


第5组：（测验时被试坐在主试对面，桌上并排放着铅笔、刀子和橡皮。）指导语为：“告诉我：铅笔是在橡皮的左边还是右边？橡皮是在铅笔的左边还是右边？刀子是在铅笔的左边还是右边？刀子是在橡皮的左边还是右边？铅笔是在刀子的左边还是右边？橡皮是在刀子的左边还是右边？”

第6组：（测验时被试并排坐在主试一旁，物体在原处不动。）指导语同第5组。

显而易见，上述问题三至问题五中，涉及两种答案的讨论，其难度都已超出心理学家们用于测定左右概念发展阶段三的试题。也就是说，从心理学角度看，儿童建立左右概念，不需要去区分被观察物是否具有生命。这类不妨称之为“智力磨刀石’’的思辨性讨论，用到了左右的概念，但却不是建立左右概念本身所需要的。

四、关于左右概念部分练习难度过高的归因分析

为什么各地教师都会不约而同地在教学左右概念的过程中加大练习的难度，引申出令成人都费解的问题？除了市面上的一些练习册在作祟等因素之外，恐怕比较主要的原因是以下两个。

其一，钻研教材和练习设计中“深挖洞”的思维定势仍在发生影响。过去，各种统测频繁，试题为避免雷同，为提高甄别学生能力的区分度，又不准超“纲”，唯有别出心裁，人为地越挖越深。进而左右了教师的练习设计，为了捕捉各种可能出现的变式，不断地在习题的新颖性和灵活性上下功夫。以致形成了教材内容浅、难度低，习题内容深、难度大的局面。又由于小学的教学内容就数学本身而言，特别“窄而浅”，所以深挖洞的结果是常常出现变异，甚至偏离了数学的实质。这是应试教学的特征，也是新一轮课程改革力图“改变课程内容难、繁、偏、旧”现状的真正问题所在。现在很多地区都已明确规定一、二年级不搞统测，但长期形成的思维定势一时还难以消除。

其二，《数学课程标准》中关于“会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置”的目标，还有待进一步具体化、明确化。比如，可以增加目标的行为条件和表现程度的刻画，或者给出案例予以说明，等等。

五、怎样把握左右概念的教学要求

既然左右概念不作刻意的教学努力，学生也能自然形成与发展；既然小学一年级的大多数学生正处在左右概念发展的第二阶段，那么相应的教学目标定位就应该适当。我们不能因为其他种种理由、种种原因去作违背儿童发展规律的努力。

那么怎样的难度比较合适呢？一般来说，一年级学生可以初步认识、掌握左右的相对性，具体地说，只要能够正确分辨他对面的人，哪一只手是左手，哪一只手是右手，并能据此判断对面人的左边、右边就足够了。如果有个别学生不能每次都正确辨别自己和对面人的左右方位，也不必大惊小怪。因为儿童的发展有快有慢，并不是每个正常的7岁儿童都能达到掌握左右概念的这一水平。让儿童自身的发展去解决左右概念的发展问题，也不失为一种可以选择的策略。因为左右概念发展的迟缓，对小学二、三年级的数学学习影响并不大。

至于联系生活实际的应用，一个难度比较适当而又富有现实教育意义的情境就是“上下楼梯靠右行”。比如，人民教育出版社与江苏教育出版社的实验教材中都有这一内容。在这情境中，既有自己的左与右，又有对面同学的左与右，构成了一种综合性的应用练习，其辨别难度较大。但由于学生具有一定的学校生活经验做基础，所以多数学生能够理解。

其实，从教学上、下、前、后、左、右的目的看，主要是为了通过发展学生的方位知觉来帮助学生认知物体的相对位置
（如同学上下楼梯时的相对位置），并逐步形成空间观念。因此，没有必要引入判断标准由人到物的转换训练，以及被观察物是否具有“生命’’的辨析，也不宜面对全班学生展开多种答案的讨论。

主要参考资料

1、朱智贤等：儿童左右概念发展的实验研究。心理学报，1964年第3期。

2、周燕芬：“左右”使教师左右为难。小学数学教师，2005年第1、2期合刊。

3、教育部：全日制义务教育数学课程标准（实验稿）。北京师范大学出版社，2001年。

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独立思考是教师成长的关键

曹培英，现任上海市静安区教育学院教研室副主任，1999年被评为上海市特级教师，是小学数学目前在岗仅有的三位特级教师之一。2006年当选为上海市中小学数学教学专业委员会（小学）理事长。他任教过小学、中学、大学，最终选择了小学数学作为自己的教学和研究方向。 图为曹培英老师 　　“我直到今天都对数学有感情。数学教人认真，让人相信真理。”采访伊始，曹培英就向我们道出了他浓厚的数学情结。从事教学工作已有30个年头，额头上也亦悄然留下了岁月的痕迹，可一谈到他所钟爱的数学，曹培英显得神采奕奕，并津津有味地向记者回顾了他的数学教学与研究的经历。 起步阶段：为了弥补学生之间的差异而学习 　　1970年，与大多数的同龄人一样，年轻的曹培英奔赴江西上犹县插队落户，在那里一呆就是数年。1977年，从江西赣州师范学校毕业的曹培英被分配到南方冶金学院附属学校，成为了一名教师。在那里面对校长的提问：“你想教什么学科？”他毫不犹豫地脱口而出：“我喜欢教数学。” 　　曹培英任教的南方冶金学院附属学校集小学、初中、高中于一体，由于班级生源差异巨大，这对于刚走上讲台的曹培英无疑是巨大的挑战。为了能够尽快适应新的环境，曹培英在向自己的带教导师学习课堂教学的组织调控、学生教育以及班级管理的同时，在业余时间还自学了小学数学教材教法、数学史、数学方法论、数学方法史、心理学，等等。为了弥补学生之间程度的巨大差异，曹培英还在班中尝试了分层教学，取得良好的效果。工夫不负有心人，曹培英很快地度过了职初教师的不适应期，迅速成长起来。从教第一年恰逢毕业考试，曹培英所带教的毕业班获得了赣州市小学毕业统考数学第一名的好成绩，这无疑激励了他，使得曹培英在执教伊始就顺利走上了一条“用心教学”→“成绩突出”→“反馈激励”的良性循环之路。 　　在以后的几年中，曹培英全身心地投入到小学数学教学的第一线。除了系统地自学相关知识，他还积极主动地与本校以外的优秀教师以及教研员交流学习，在尽可能地借鉴前人的教学经验的基础上（教参、各种版本的中等师范教材教法课本、各地杂志上的经验文章）进行自己的教学设计与实践。此外，曹培英十分注重资料的更新和积累，每个月总要抽出一些时间阅读各地教育期刊上的数学教学的相关文章，搜集整理研究全国各地的升学考试卷，对自己掌握的信息和知识不断加以丰富、更新。 　　八年一晃而过，曹培英从数学教师到教研组长，再从教导主任到分管教学的副校长，他的辛勤与努力得到了回报，成为了当地著名的小学数学教师。而南方冶金学院附属学校的小学毕业班数学统考也取得了连续八年赣州市第一的优异成绩，创造出了南方冶金学院附属学校办学以来前所未有的辉煌。在同行和学生家长的赞誉面前，曹培英依然保持了一贯的低调和冷静，而此时的他思考的问题已经不仅仅局限于如何把课上好，如何提高学生的考试成绩，而是把目光放在了关注学生的后续发展上，开始找寻探索一条数学教学的固本之道。 　　发展阶段：研究实际问题中向研究者转型 　　之所以会关注学生的后续发展，开始找寻探索数学教学的固本之道，源于一次偶然的交谈。由于曹培英所在的南方冶金学院附属学校是一所完全学校，因此可以比较清楚地观察了解学生毕业后升入高年级的后续发展。那一年曹培英所带教的班级以全市数学统考第一的成绩升入了初中，执教这个班级的数学教师也是一位年轻教师，他在与曹培英交流时谈到：这些学生计算能力强，分数四则运算比教师还快，但算术思维定势顽固。教学列方程解应用题时，教师还没抄完题目，他们就已经算出了答案，于是不愿再继续学列方程了。诸如此类的反映，使得曹培英开始着眼于数学学习的长期效应，反思自己的教学行为和教学措施，在勤学苦思中逐渐形成了一些有利于学生可持续发展的教学特点：①重视理解，着力启发学生知其然，更要知其所以然，使学生在理解的基础上掌握“循理入法，以理驭法”。②重视方法与思路的教学，采用一题多变、一题多解等方法开拓学生的思路，重视通则通法的概括与提炼，并将其归结为基本概念或原理。③借鉴人类认识数学的本来面目，引领学生经历部分知识的生成探索过程。 　　思考、钻研之余，曹培英习惯将他的所思所得形成文字记录下来，从1983年开始陆陆续续地发表了不少论文。当时的小学普遍存在一个现象：一二年级学生在升入三年级后成绩往往会严重下滑，而在进入四五年级后则又恢复了正常。曹培英敏锐地捕捉到了这个现象并对其进行了思考和研究。他认为造成这种现象的原因并不是因为教师和学生的能力问题，而是由于教材内容脱节、难度过大所造成的，并将这个观点整理成文发表。这篇论文引起了当时国家教委的关注。此后曹培英作为仅有的两位教学第一线从事教学的教师之一，应邀赴京参加了1986年《全日制小学数学教学大纲》的修订以及《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（初审稿）》的制定和教材的编写。正是由于参加了这三次重要的教材编写工作，一下子就把曹培英这位一线基层教师推向了小学数学学科教学研究的最前沿，也促使他从一名基层教师逐渐向研究者转型。 　　成熟阶段：在教师培训工作中悟出教师专业发展心得 　　上世纪90年代回到上海的曹培英，由于工作的关系，开始从事教师培训和教研工作，因此，除了原先课程和教材的研究以外，曹培英又开始关注教师教育。因为参加过教材的编写，也亲自使用过教材教学，曹培英发觉教材的意图并不一定能够转变为每个教师的教学意图。因此课程改革发展到一定阶段，教师教育必须要同步跟上。 　　曹培英来到静安区教育学院工作时正值上海二期课改深入推进的关键时期，由于对小学数学几十年的教学实践与理论研究，使他具有了扎实的数学专业功底和丰富的课堂教学实践经验，没有经过太多熟悉、适应的时间就立刻投入到二期课改的推进工作之中，很快受到了基层学校领导和教师的好评。在此期间，曹培英也没有停止笔耕，论文内容涉及课程教材研究、教学评价研究、学习心理研究、课堂教学研究等，这些论文在上海乃至全国的小学数学界产生了一定的影响。 　　在曹培英看来，一名年轻教师要想在专业上得到较快的成长，应该做到以下三点： 　　1.教师一定要热爱自己所执教的学科，对自己能够执教好这门学科充满自信，这样才能全身心地投入到教研工作中去。没有这份兴趣和热爱，得过且过，那就失去了继续前进最起码的动力。因此，教师首先要热爱自己执教的学科。 　　2.年轻教师应该扎扎实实地向老教师学习。老教师的许多经验是无法用文字或语言来表达清楚的，必须自己跟着老教师体验来加以领会。许多课堂上碰到的具体问题无法通过教育理论来解释、解决，这个时候就需要教师之间的同伴互助，而向老教师请教无疑是最好的。当然，年轻教师可以向老教师学习管理、组织、具体问题的解决，但不必具体到某一节课该怎么上，也没必要照本宣科地将老教师的经验统统学去。因为老教师的带教并非完美，有的时候他们往往会把一些很陈旧的理念和方法传授给年轻教师，而这个时候越是虚心好学的年轻教师受到的负面影响反而越大。 　　3.教师一定要运用自己的头脑去独立思考。诚然，普通教师是教育理论的消费者，但在五花八门的理论前应该保持清醒的头脑，不经过独立思考而唯学者专家们马首是瞻是不可取的。只要经过了自己的独立思考而做出的选择、得出的结论，哪怕是有点问题的，不完美的，也是一种不小的收获。教师就好比走进饭店用餐的消费者，理论工作者提供了各式各样的理论以供选择，教师要思考后加以选择，选取适合自己的来消化吸收，而不是拣到篮里都是菜，否则只会在前进的方向中迷失自我。 　　综观曹培英专业成长经历的三个阶段，其发展轨迹与我们国家的教育改革基本上吻合：教学改革一开始从教学方法开始，过渡到教材的改革；而教材改革发展到极致是课程改革；课程改革发展到一定阶段，就必须关注教师教育。曹培英之所以能够在每一个阶段都能正确而清楚地找到研究的目标和前进的方向，与他勤于学习、善于独立思考是密不可分的。正是由于他的勤学苦思，不断充实自己的理论积淀，不断提升自己的经验境界，才使他在小学数学专业内游刃有余，也逐渐形成了自己收放自如、充满底蕴的教学风格。 摘自：现代教学 第200705期

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“图形与变换”教学漫谈

曹培英

一、引进的背景
为什么要在基础教育阶段引进图形变换的内容，怎样认识这一引进的必要性和可能性？不妨从数学本身和数学教育的历史视角切入讨论。
我们知道，约公元前300年，古希腊著名数学家欧几里得在前人基础上所写成的不朽名著《几何原本》，几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。
那么，怎样改造这些传统的、古老的几何内容，怎样克服教学上的相关弊端呢？
一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。
另一条途径是用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从数学发展的角度来看，1872年，德国大数学家克莱茵（Klein，1849—1925）在爱尔兰根大学宣读了现在大家叫做“爱尔兰根纲领”的演说，提出用变换群将几何分类，认为一种几何无非是研究某种变换群下的不变量。这是一个里程碑式的论断，它改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法，从变换的视角整体考虑几何学的问题，使当时的各种几何学有了统一的形式，对几何学的发展起到了重大的推动作用。“爱尔兰根纲领”公开发表后，很快被人们接受，一些新的几何分支相继建立，几何学的理论及应用呈现出前所未有的局面。必然地，这一观点也会对基础教育数学课程中几何教学的改革产生影响。
按照克莱茵的观点，我们所研究的几何图形的种种性质，只不过是研究几何图形在各种几何变换下的不变性和不变量。例如，线段的长度不变、角的大小不变和直线的性质不变，等等，都是在全等变换下的不变量和不变性。但线段的长度不变，在相似变换下就不再存在(相似比为1除外)。于是两线段的比不变，又成了相似变换下的不变量。正是这些建筑在不变量和不变性基础上的图形性质，构成了我们所研究的几何基本内容。①
从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。
由此可以说，将图形变换的观点和内容适当地引入我国基础教育的数学课程中，顺应了数学科学和数学教育的发展趋向。
从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车车厢在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。
从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换，可以引出无数美妙的图案，可以使数学更生动地与现实世界联系起来。从而诱发学生主动探索其中的奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。
这些，都是在小学引进图形变换的有利条件。可以说，通过感知和初步学习图形的变换，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解图形之间的联系，从中发展他们的空间观念和几何直觉，而且还有利于学生感受、欣赏图形的美，感受数学与现实世界的联系，有利于他们体验学习“空间与图形”的乐趣，增强对数学的好奇心，激发创造潜能。
当然，充分肯定引进图形与变换这部分内容的作用，并不是说它比其他内容更重要，更不能认为它可以代替其他内容的学习。之所以添加图形与变换，主要是因为学生只学习传统几何内容不能适应时代要求，而作出的必要补充。
二、概念的理解
以往的中小学数学课程，在平面几何与立体几何中，一般只讨论图形的对称性。图形的平移变换与旋转变换，是在解析几何的坐标变换中讨论的。而在过去的一段时期内，坐标变换又被作为较高要求略去不讲。中等师范学校的数学课程大多也这样处理。教师在职进修大专学历的数学课程通常直接从空间解析几何或数学分析切入。所以有关平面图行平移与旋转的知识成了多数小学教师数学知识的盲点。因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。
通俗地讲，所谓平移，就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；所谓旋转，就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合中小学生的认知水平，但对教师来说，绝对是不够的。请看一个案例。
在一堂教学平移与旋转的公开课中，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执着地要求发言，他说：老师，我坐过摩天轮，我坐在上面，始终是头朝上、脚朝下，所以我认为我坐在上面是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的应变对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；有的反对，理由是人在转圈。直到下课，都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与座仓的运动不是平移，也有少数认为是平移的。那么是否旋转呢？同样有两种意见，莫衷一是。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。
file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-28876.png这里，把最主要的概念与性质尽可能以浅显的方式描述如下。
1.什么是变换？
变换是近代数学中的重要基本概念之一。一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。
如果一个平面图形的每一个点，都对应于该平面内某个新图形的一个点，并且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。
几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。
能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离，都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。
能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。
在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。
2.什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？
先说平移与旋转。
如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。
如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是，图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。
现在我们可以回答摩天轮座仓里的人是否在平移或旋转的问题了。
file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26342.png摩天轮在旋转，但上面的座仓及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平移呢？我们可以依据平移的基本特征，画出运动过程中任意两个位置上座仓上下





                   图1                     图2
部中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。
那么座仓及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座仓下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。
明明摩天轮在旋转，而座仓与里面的人却不是在旋转，是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座仓顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座仓也在逆时针细微地转动，从而使座仓与里面的人始终保持向上的方向，并且座仓与人上的每个点都移动相同的距离。其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。
再说对称。对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学中它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等等，都不在我们讨论的范围之内。但是当学生提到这类现象时，如平行四边形（中心对称）、电扇叶片（旋转对称）等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。
如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。
构成轴对称的图形可以是一个，通常就叫做轴对称图形（如图3）；也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称（如图4）。
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图3             图4
成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。
我们也可以用更通俗的语言，对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折，如果折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕（所在直线）叫做对称轴。当然这种描述偏重于图形性质的刻画，运动变换观点的渗透就不那么突出了。
在数学中，为了刻画平移的方向与距离，通常采用有向线段或向量，并放在特定的坐标系内讨论。为了刻画旋转的要素，最简捷的方式就是采用极坐标。因为图形的变换作为点与点之间的一种对应，要精确刻画它是离不开坐标系的。就是把图形的变换看作一种运动，同样需要参照系。事实上，过去一直把平移与旋转放在解析几何里讨论，主要就是这个原因。在小学数学中，讨论平移和旋转时经常利用方格纸，也是这个道理。
3.平移变换、旋转变换与轴对称变换有什么联系？
前面，我们在描述三种全等变换时，特别强调它们各自的基本特征，以便于正确识别和区分。那么，这三种全等变换又有什么联系呢？
首先这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化，这是它们最主要的共同点。其次，如果连续进行两次轴对称变换，在一般情况下：
（1）当两条对称轴平行时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称轴之间距离的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴互相平行）相当于一次平移。
（2）当两条对称轴相交时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。
上面两条结论是针对图形的一般情况来说的。有些特殊的图形，也可能只经过一次轴对称变换，就能达到平移或旋转的效果。例如图5中“带烟囱的房子”
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              图5                           图6
经过两次轴对称变换（对称轴平行，且相距4格），相当于一次向右平移8格。图6中“没有烟囱的房子”只要经过一次轴对称变换就相当于平移了。
file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-5320.png此外，上面两条结论反过来同样成立。即一次平移变换可以由两次轴对称变换（对称轴互相平行）代替；一次旋转变换，也可以由两次轴对称变换（对称轴相交）替换。它们的运动方式不同，但效果相同。
在小学数学教材中，有些图案可以用不同的变换来生成。例如图7的四叶图案，其中的每一片叶，既可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋转90°得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。
认识三种全等变换之间的联系，也有助于我们理解在数学中，研究图形变换的关注点，主要在于变换前后图形的相对位置关系及其对应点的关系。
三、目标的把握
考虑到认识不能一次完成，往往需要多次反复，逐步加深理解，所以在《数学课程标准（实验稿）》中，与其他内容一样，图形与变换的具体目标也是分两个学段陈述的。
第一学段：
（1）结合实例，感知平移、旋转、对称现象。
（2）能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形。
（3）通过观察、操作，认识轴对称图形，并能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。
第二学段：
（1）用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。
（2）能利用方格纸等形式按一定比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。
（3）通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。
（4）欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。
显然，无论是第一学段，还是第二学段，都不要求对三种变换做出一般化的描述，更不要求给出定义。
从整体上看，整个小学阶段都只是初步认识图形的变换，上面摘录的这些具体目标可概括为：积累感性认识，形成初步表象，其外显的表现就是“能识别”，“会画图”。离定性地认识、定量地研究还有一定距离。
因此，学习的主要方式是结合实例，通过观察与动手操作，如折纸、画图等活动来进行。而且还规定了画图的行为条件“在方格纸上”。如前所述，这是数学的需要（提供参照系），自然也是降低学习难度的需要。
仔细分析不难看出，两个阶段的学习目标，呈现螺旋上升式的递进。第一学段从感知实际生活中的图形变换现象开始，学习特殊方向的平移，以及直观地认识轴对称图形。第二学段对平移、旋转、轴对称要求略有提高。主要是增加了90°的旋转，确定轴对称图形的对称轴，并能运用所学知识设计图案。同时还要求初步体会图形的相似。
两个阶段学习目标的递进又是细微的。有些光靠课程目标简练语言的描述还显不够。以画轴对称图形为例，第一学段“画出简单图形的轴对称图形”与第二学段“画出一个图形的轴对称图形”，有什么区别呢？考虑到小学以认识轴对称图形为主，关于直线对称的两个图形可以出现，但一般不要求学生画。所以，我们可以理解为，前者要求画出的图形比较简单；后者可以是一个有所组合的图形。
更进一步的目标，就是灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。实现这一目标需要学生综合运用有关的知识，还需要学生具有一定的创造力和想象力。但由于设计图案的过程是开放的，不同的学生可以有不同的设计，不同的表现。因此这又是一个具有弹性的目标，能够体现学生学习与个性差异的目标。
四、教材的梳理
1．对称现象和轴对称图形的感知。
过去的小学数学教材，尽管也有轴对称图形，但一般安排在高年级出现，并局限于轴对称图形的认识。现在则加强了观察生活中的对称现象以及画轴对称图形的内容。有的教材还增加了初步感知镜面对称的内容，使对称现象的认识，从一开始就显得更加丰富、充实。
在第一学段，为使学生初步感知对称现象和轴对称图形，从而能以新的视角去观察物体，研究图形，体验它们的对称美。教材一般都会给出各种生活中常见的对称物体，让学生观察，引导学生从对称的视角去重新认识平时经常看到的物体。然后再通过折纸、剪纸等活动，引出轴对称图形。这里，有的教材由折痕引出“对称轴”的概念，但不出轴对称图形的概念，（如人教版二年级上册中的有关内容），也有的教材两个名词都出现（如北师大版三年级下册的有关内容）。
各套教材的共同点就是提供了现实生活中比较常见的一些物体、一些图形、一些交通标志，以及英语字母，或者一些国家的国旗，让学生观察、判断。提供这些素材的意图，一是激发学生的学习兴趣，体验轴对称图形的多样性及其应用的广泛性，只要注意观察，经常能看到；二是通过一些交通标志或一些国家的国旗，丰富学生的社会知识；三是体会对称美，体会生活中为什么会有大量的对称物体、对称图案，培养对数学的情感。显然，从一开始就落实教材的这些编写意图，不但能使图形变换内容的教学有一个良好的开端，对数学其他内容的学习，也是一种促进。
镜面对称同样是日常生活中的常见现象。在儿童生活里（如照镜子），在童话故事里（如猴子捞月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在语文课文里（如水平如镜），都不乏这种现象的实例。这方面的很多实例还很容易引起学生的兴趣和探究的欲望。因此，在第一学段就引入镜面对称，具有一定的认知基础。然而，镜面对称与轴对称既有联系，又有区别。它们的联系在于两者都改变图形的方向，如左右互换。区别在于镜面对称严格地说是一种物体或图形关于某个平面的对称，而不是关于一条直线的对称。上面提到的照镜子，是相对于竖直平面的对称；水面倒影是相对于水平面的对称，这是两种特殊的也是最常见的镜面对称。如果在纸上画一个图形，旁边竖一面镜子，则随着镜子摆放位置、角度的变化，图形（镜面对称的“像”）的变化非常多样，对学生来说可谓变幻莫测。所以，一般只是让学生在照镜子的活动中，通过比较镜子内外人与像的位置关系，初步感受镜面对称的特点。至于“镜面对称”、“平面对称”等名词以及镜面对称的性质，教材通常都不会涉及。
2．轴对称图形的初步认识。
第二学段关于轴对称图形的初步认识，主要内容一是从折纸或观察入手，找到并画出一个图形的对称轴。二是借助方格纸观察并发现轴对称图形的特征，如对应点到对称轴的距离相等。进而根据这个特征，学习在方格纸上画出轴对称图形的另一半。也就是先根据对应点到对称轴的距离，确定图形另一半的顶点，再把轴对称图形画完整。显然，画出轴对称图形的关键，在于掌握对应点的规律。所以，下面两道例题，具有紧密的内在联系。
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           图8                       图9
容易看出，例1是例2的基础，例2所要画的图形，实际上是一个组合图形，比第一学段的简单图形稍复杂一些。
3．平移、旋转现象的感知。
平移和旋转都是学生在日常生活中经常看到的现象。所以第一学段的教材在首次介绍这两种现象时，都会注意结合学生的生活经验，列举一些学生比较熟悉的事物，如火车车厢、电梯间的运动和螺旋桨、钟摆的运动，等等，唤起学生的联想，使他们重新审视生活里的某些常见现象，哪些是平移，哪些是旋转。在结合实例初步感知平移和旋转的基础上，体会它们的不同特点。进而学习在方格纸上把简单的图形沿水平方向或竖直方向平移几格。这就达到了本学段的学习目标。
这部分教材的特点是，既不给平移和旋转下定义，也不用语言描述，只要求学生获得物体平移、旋转的感性认识，初步体会生活中的平移现象和旋转现象是很普遍的。
为了提高学生的学习兴趣，让学生在玩中获得感悟，有的教材还运用运动变化原理设计了一些新颖、有趣的“学具”。例如，下面的“拉一拉”、“转一转”，巧妙地蕴涵了平移、旋转的特点。


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            图10                                  图11
4．平移、旋转的初步认识。

第二学段的教材中，有关平移的初步认识大多没有多少新的内容。因为依据课程标准，学生在第一学段已经学习了利用方格纸沿水平方向或竖直方向平移简单图形。考虑到小学生的知识基础，第二学段在方格纸上平移图形也只能沿这两个方向，至多把两个方向的平移综合起来。如先向下平移2格，再向右平移3格，等等。学生有了平移的初步认识，再来学习画平行线就比较方便了。所以，有的教材还安排了引导学生用平移方法画平行线的内容。这样安排，可以发挥学习的正迁移作用。

第二学段有关旋转的初步认识，除了继续联系现实情境让学生进一步体验图形旋转的特点之外，主要就是学习在方格纸上将图形旋转90°。通常，教材的编排是先通过实际情境使学生认识顺时针旋转和逆时针旋转，然后教学怎样在方格纸上把一个简单的图形旋转90°，让学生在动手画图的过程中体验旋转的方法。

最后，各套教材都会安排的一个课题，就是欣赏与设计图案。通常先让学生欣赏一些漂亮的图案，并思考图案的形成，即这些图案是经过怎样的平移、旋转或翻转得到的。然后启发学生尝试用平移、旋转或轴对称的方法做出一些简单的图案。在此基础上，放手让学生灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作图案。教学实践表明，这是一个数学应用与审美、手工融为一体的学习课题，也是一个能够将培养学生的创新精神与实践能力结合起来的载体。在小学数学学科中，这样的有效载体是为数不多的。应当充分用好。

五、教学的策略
1．注意选取生活中较为典型的例子，让学生感知对称、平移、旋转现象。
我们知道，新一轮课改，数学学科的主要改革趋势之一就是加强数学与儿童生活的联系，关注数学的抽象与数学的应用。因此，教学图形变换时，大家都想到了联系现实生活，由观察实例切入教学。
这一教学策略，符合儿童的思维特点和这部分内容的教学定位。儿童思维的特点即年龄特征，主要反映在他们的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形变换这样的抽象概念来说，尤其需要。相应地，小学阶段关于图形变换的教学定位，在于积累感性体验，形成初步认识。因此，结合实例展开教学，是一条相当重要的教学策略，很多教师已经积累了一定的经验。
从近几年的教学实践来看，还需要注意实例选取与活动设计的典型性。
以平移和旋转为例，生活中有许多物体的运动可以看作平移或旋转。学生在生活中也或多或少接触过平移、旋转现象，这是他们已有的认识基础。但是，生活中的平移或旋转现象，并不都是数学意义上的平移或旋转。如果我们选来让学生观察的例子不够典型，就容易屏蔽概念的本质，有时还可能产生歧义，对学生形成正确表象不利。
让我们来分析下面三种不同的教学活动设计。
活动一：请学生表演健美操的走步与转身动作，作为平移、旋转的观察例子，一人表演，众人观察；
活动二：让学生自己用各种动作表示平移、旋转，同桌互相表演，再全班交流；
活动三：让学生用铅笔头表示交通工具在方格纸上平移或旋转。
教学实践表明，三种活动都富有童趣，都能激起学生的学习热情，后两种活动还做到了人人参与。差异表现在：
实施活动一时，学生对健美操走步时的跳跃现象产生了质疑。争论后形成的共识是走步才是平移，但实质上跳跃与走步在这里并没有本质上的区别。

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