欧几里得《几何原本》

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欧几里得《几何原本》

＊最早用公理法建立起演绎数学体系的典范
＊数学的“圣经’.
＊古希腊数学的伟大的百科全书
＊影响世界历史进程的100 本书之一
公元前6世纪，古埃及、古巴比伦的几何知识传人希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。在公元前6世纪到公元前3世纪期间，希腊人力图利用逻辑法则把大量的经验型的零散的片断的几何知识整理成一个严密的系统。到公元前3世纪，基本形成了“古典几何”，使数学进入了“黄金时代”，柏拉图就曾在其学派的大门上书写大字条幅“不懂几何的人莫入”。在这样的背景之下，古希腊著名的数学家欧几里得继承和发扬了前人研究成果之精华，创作了《几何原本》这部杰作。
  《几何原本》是一部划时代的著作，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范，是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。它从少数几个原始假定出发，通过严密的逻辑推理，得到一系列的命题，从而保证了结论的准确可靠，开创了数学公理化的正确道路，对整个数学的影响，超过了历史上的任何其他著作。《几何原本》的发表，使得以前的数学书都相形见绌。它的内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响，一问世就迅速而且彻底地取代了它之前的一切同类著作。它在很大程度上是对前人著述的汇编，但其高明之处在于欧几里得对以前的命题进行了精心的选择，并把它们按照逻辑顺序进行整理，从而成为西方文献中最有影响的经典科学著作之一。
      《几何原本》历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有1000多种不同的版本，它一方面是现代科学技术的理论基础之一，另一方面给予人们一套科学的几何思想。直至今天，《几何原本》无论对数学史或数学教育工作者来说，都有永久的参考价值。
      公元前7世纪之后，希腊几何学迅猛发展，积累了丰富的材料。希腊学者们开始对当时的数学知识做有计划的整理，并试图将其组成一个严密的知识系统。首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底，其后经过了众多数学家的修改和补充。到了公元前4世纪时，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础。
      欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论做了严格的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的、具有严密逻辑体系的《几何原本》。
      《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩(比欧几里得晚约700年)编写的修订本为依据。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识，共包含23个定义、5个公设、5个公理、286个命题。
      第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关于伞汰，表明它有顽强的生命力以及重大的历史和学术价值。值得一提的是，《几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的发展，但也包括了大量代数和数论的内容。《几何原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。饥何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。这本世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，两千多年来一直是世界各国人们学习数学的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中汲取了丰富的营养，从而取得了许多伟大的成就。
第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学
第三卷包括圆、弦、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一雌熟知的定理。
第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。
据说，前捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺在布拉格度假时，恰好生病，为了分散注意力，他拿起《 几何原本》 阅读了第五卷的内容。他说，这种高明的方法使他兴奋无比，以至于从病痛中完全解脱出来。此后．每当他朋友生病时，他总是把这作为一剂灵丹妙药向病人推荐。
第六卷专讲图形的相似问题。
第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理。
第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后三卷，即第十一、十二和十三卷，论述立体几何目前中学几何课本中的内容，绝大多数都可以在《 几何原本》 中找到。
《 几何原本》 按照公理化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们作为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。《 儿何原本》 成为了2000多年来运用公理化方法的一个绝好典范。最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一使得“欧几里得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。从来没有一本科学书籍像《 几何原本》 那样长期成为广大学子传诵的读物。在漫长的岁月里，欧几里得的《 几何原本》 历尽沧桑而没有被淘汰，表明它有顽强的生命力以及重大的历史和学术价值。
值得一提的是，《 几何原本》 虽然基本上是平面和立体几何的发展，但也包括了大量代数和数论的内容。《 几何原本》 作为教科书使用了2000多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧儿里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。（几何原本》 是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。
这本世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作．2000多年来一直是世界各国人们学习数学的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《 几何原本》 ，从中汲取了丰富的营养，从而做出了许多伟大的成就。
经典导读
《 儿何原本》 浅释
从公元前338 年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前3 0年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密上国的3 （用余年，史称希腊数学的“黄金时代”。这个时期，希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城、亚历山大城是马其顿帝国君主亚历山大大帝征服埃及后在地中海之滨建立的城邦。亚历山大去世后，帝国一分为三。托勒密统治下的希腊埃及，定都于亚历山大城，并于公元前300 年左右，开始兴建规模宏大的艺术宫（或译博物馆）和图书馆，提倡学术，罗致人才，使亚历山大城成为希腊文化的首府．那里学者云集．先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯三大数学家，他们的成就标志着古典希腊数学的巅峰。
欧几里得是希腊论证儿何学的集大成者，关于他的生平我们所知甚少。根据有限的记载推断，欧儿里得早年就学于雅典，公元前300 年左右应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。欧儿里得写过不少有关数学、天文、光学和音乐方面的著作，在这些著作中，最重要的莫过于＜几何原本》 了。
几何原本》 是一本划时代的巨著，其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起一个演绎推理的体系。由欧几里得之前的数学家所积累下来的数学知识，大多数都是零碎的和片断的．欧几吧得借助于逻辑方法．把这些知识组织起来，加以分类、比较，整理成一个严密的系统，并成为《 几何原本》 一书。欧儿里得完成了这一艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远的影响。
《 几何原本》 的英文译名为拟elements ，原意是指一学科中具有广泛应用的重要定理。欧几里得在这本著作中月公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。
《 几何原本》 的译名虽然称为“几何”，但事实上它是一木集合了平面几何、比例论、数论、无理量论和立体几何大成之书。（故此，近代学者已渐渐将此书改称为《 原本》 ，删去“几何”两字。）当中包括了不少重要的数学命题（难题），在现今的中学（甚至是大学）课程之中，亦有教授。试举例如下：正方形面积等于夹于直角两边上正方形面积之和。”这是著名的“勾股定理”。据说，在西方，这个定理最先是由毕达哥拉斯所证明的，但他的证明方法却没有流传下来。而《 几何原本》 中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。书中的很多命题不单只在数学理论中占有一个非常重要的地位，而且当中的证明，亦非常巧妙，阅后令人拍案叫绝，亦能显示出欧几里得的超凡智能。
后世大多数的数学家都认为，《 几何原本》 中的演绎体系，是逻辑推理的一个典范。书中对“在直角三角形中，直角所对的边上的一命题关系的要求，甚至于比现代教科书的要求还要高。以下就是一个很好的例子：
在《 几何原本》 的第六卷中，有以下两个命题：
命题vi .2 ：如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。
命题vl . 4 ：在两个三角形中，如果各角对应相等，则夹等角的边成比例，其中等角所对的边是对应边。
命题vl . 2 的前半部其实就相当于现时教科书中的“等比定理”，而命题VI . 4 则是相似不角形对应角相等的充分条件。在现时的教科书中，我们r 一般都会应用相似三角形的定理来证明“等比定理”。但在《 几何原本》 中，两个命题出现的次序则刚好相反。事实上，在《 几何原本》 中，相似三角形对应角相等的充分条件却是由“等比定理”所推导出来的！
欧几里得这样安排，可以避免像现时教科书般，以一种直观的眼光去理解相似三角形性质；将相似三角形对应角相等的充分条件变成推理的结果，而不是一项几何假设。由此可见，（几何原本》 的逻辑要求，远在现时教科书之上！
《 几何原本》 所使用的演绎法，它的精神是由简单的数学现象，去址明复杂的现象的。在这个过程中，逻辑推理自然非常重要，但更重要的，是我们必须接受一些简单的数学现象作为我们的“起步点”，才可以完成所有的证明。而欧儿里得就称这些“起步点”为“公设”和“公理”。以公理方式去处理演绎几何的手法，并不是欧几里得所首创的，在欧几里得之前已经有希腊数学家提出有关的问题。不过，《 儿何原本》 中的公设和公理，全部都由欧几里得本人所选定。后来历史的发展可以让我们体会到，这些公设和公理十分有代表性。通过深入地研究《 几何原本》 中的公理系统，我们更可再一次欣赏到欧几里得超凡的智能！（侠名）
数学的“圣经”
( j 州可原本》 是世界上最伟大的科学典箱之一，它是用公理法建立演绎体系的最旱典范。欧八』 坦得在前人的基础卜．选定了若干公理．把当时数学的几乎所有定理按逻辑llta 序排列起来，并分别给予论证，使之成为个党整的演绎体系．它在科学方法论上的意义已不仅限于数学。一刊数学史》
确立欧几里得的历史地位的，主要是那本伟大的几何教科书《 几何原本》 。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黔然失色。《 儿何原本》 是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482 年，即谷登堡发明活字印刷术30 多年之后。自那时以来，《 几何原本》 已经出版了上千种不简版本。在训练人的逻辑推理思维方面，《 几何原本》 比亚里士多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧儿里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因索。科学决不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心地分析和演绎推理。
我们不清楚为什么科学产生在欧洲而不是在中国或日本，但可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、伽利略、哥自尼和开普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔萃的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数字知识。
对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧几里得作为典范（总的来讲，欧洲人不把欧几里得的几何学仅仅看作是抽象的体系，他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的）。
上面提到的所有人物都接受了欧几里得的传统。他们的确都认真地学习过欧几里得的《 几何原本》 ，并使之成为他们数学知识的基础。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的（数学原理》 一书，就是按照类似于《 几何原本》 的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德• 罗素、阿尔弗雷德• 怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是．中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到l 仗旧年，欧几里得才被介绍到‘! : ，国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之‘! ，普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学T 作。
在日本，情况也是如此。直到18 世纪，日本人才知道欧几里得的著作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想。尽管今天日本有许多著名的科学家，但在欧几里得之前却没有一个。人们不禁会问，如果投有欧几里得的奠基性工作，科学会在欧洲产生吗？不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会削弱欧几里得学术成就的光芒，也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学成就中必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。（迈克尔• 哈特）
大师传奇
儿何学起源于测量距离、面积与体积。在这些测量过程中，人们逐渐地积累出许多经验，对此，常常要求给予超出经验理论上的证明。而将逻辑学的思想方法引人儿何学，对几何问题进行逻辑推理证明，这项具有划时代意义的工作起始于公元前7 世纪的希腊，完成于公元前3 世纪的欧几里得。没有谁能够像伟大的希腊几何学家欧几里得那样，声誉经久不衰。有些人物，如拿破仑、亚历山大大帝和马丁• 路德，他们生前的声望远比欧几里得大，但就长期而言，欧几里得的名望可能要比他们持久。尽管如此，欧儿里得• 生的细节仍然鲜为人知。虽然我们知道他在大约公元前300 年给埃及的亚历山大当过教师，然而他的出生及去世的日期则无法确定。我们甚至不知道他出生在哪个洲，更不知道他出生在哪个城市了。据史料记载，欧几里得曾在柏拉图学院求学，后来应埃及托勒密国王的盛情邀请，到亚历ljJ 大城主持数学教育，创造出了辉煌的数学成就。他治学严谨，为人谦虚．是一位温良敦厚的数学教育家，他提倡在学习上刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧，急功近利。据说当时的托勒密国王对数学非常有兴趣，经常求教于欧几里得。但是几何的公理和习题并不认识这位尊贵的国王，托勒密国王常被弄得头昏脑涨，很不耐烦。有一次他问欧几里得；“学习几何学，有没有便当一点的途径，一学就会？”欧几里得毫不客气地回答：“陛下，很抱歉，几何学里可没有专门为您开辟的大道！”这句话后来成为人们学习几何的箴言。
由于欧几里得学识渊博，声名远播，人们都以向他学习几何学为荣，其中有许多人是为了赶时奄。一位学生就曾经问他：“老师，学习几何会使我得到什么好处？”欧几里得没有作正面的回答，却让仆人拿点钱给这位学生，然后冷冷地说：“看来你拿不到钱，是不肯学习几何学的。”
欧几里得著有许多关于数学、物理、天文方而的著作，其中最伟大的著作就是流芳T －古的《 几何原本》 ．这部巨著是他一生中鼓谊要的T －作成果，他把前人的数学成果加以系统地整理和总结，以填密的演绎逻辑把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严密的体系。到2 佣。多年后，即使是爱因斯坦也对他的严密的体系惊叹不已。欧儿里得使儿何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《 几何原本》 之外，他还有不少著作，可惜大都失传。
《 已知数》 是除《 几何原本》 之外惟一保存下来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和《 几何原本》 前6 卷相近，包括94 个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《 图形的分割》 现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《 光学》 是早期儿何光学著作之一研究透视问题，叙述光的人射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
如果说毕达哥拉斯在努力寻找关于自然的数量关系的话，那么欧几里得则成功地建立了一个关于自然的空间关系的体系。数量和空Ib1 乃是构成世界上一切事物的基础，这一关系也成为近代科学发展的基础。这些成就是令人震惊和值得崇拜的。
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延伸阅读
《 几何学》 是法国数学家笛卡尔一生中所写的惟一的数学著作。它是作为笛卡尔的名著《 更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》 （或简称《 方法沦》 ）的二个附录之一，于1637 年出版。《 几何学》 在《 方法论》 中大约占l 的负，共分共卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡尔在这本书中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解析几何的方法，被认为是论述解析几何的一部经典之作。
＜代数学》 由伊斯兰数学家、天文学家花拉子密所著。阿拉伯原文书名直译为《 利用还原与对消运算的简明算书》 。该书1 183 年被译成拉丁文传入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中“代数学”( Algebra ）一同是由阿拉伯文的拉丁转写al-jabr演变而来，后渐称该书为镶代数学》 。这是历史上使用这一名称的最早的代数方面的著作。一般认为该著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。全书由三部分组成，第一部分讲述现代意义「的初等代数；第二部分讲各种实用算术问题。最后列举了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，而是用语言叙述。《 代数学》 是受到了希腊数学乃至印度数学的影响的。；它不但对阿拉伯数学而且对欧洲数学的发展产生了深远的影响，花拉子密因此有“代数学之父”之称。
(摘自 王乐//张艳萍:《一次读完30部科普经典》)