小平邦彦的数学教育思想----兼论数学家与数学教育家的争论

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小平邦彦的数学教育思想----兼论数学家与数学教育家的争论
	2009年9月12日

代 钦 （内蒙古师范大学数学科学学院 010022）   1.前言 数学家关心数学教育，虽然是零星的，但是有悠久的历史了。20世纪初，德国数学家克莱茵倡导以“函数为纲”的数学教育改革运动、英国数学家贝利制定了实用数学教学大纲、法国数学家阿达玛和勒贝格等编写数学教科书、美国数学家摩尔提倡混合数学、日本数学家小平邦彦和广中平佑在60年代对“新数运动”的批判、我国的华罗庚等数学家对数学教育的关心等无不说明数学家与数学教育的密切关系。由于数学家的特殊地位，这些事实对数学教育的发展起了不同程度的影响，有的甚至起到了关键作用。近年来，在我国也有不少数学家关心或参与数学教育改革、数学课程标准的制定工作，例如，张景中院士的“从数学教育到教育数学”、王梓坤院士和徐利治教授的“MM教育方式”（“TEC教育方式”）的倡导、他们对数学教育的关心令数学教育工作者欢欣鼓舞。数学家对数学教育的关心和参与的原因可能是很复杂的，有各方面的理由。数学家“由于对低一级学校的训练不足、高等课程选修人数的下降、中小学数学课程变质的潜在可能性以及国家地位的受威胁等问题的关注，不时地推动着数学家们去考察中小学的所作所为，和考虑它们可以怎样地改进。关于数学是怎样地被创造出来的这个问题的好奇心，也不时地引导数学家们对他们自己的思考过程进行回顾，并企图把那种思考过程教给别人。一些数学家在观察了他们的儿辈或孙辈的数学思维结果之后，受到鼓舞去对那种思维作出详细的分析，或对它们的改进订出计划。”[①]在本文中将要论述日本数学家小平邦彦从自己女儿在美国的中学学习的经历、数学的发展和数学结构等特点和数学与日本国家命运之间的关系等方面来关注数学教育，以及他与日本数学教育家之间的激烈争论。 2. 小平邦彦 小平邦彦，1915年3月出生于日本长野县，1938年毕业于东京大学数学科，1941年毕业于东京大学物理科。先后任东京文理科大学副教授、东京大学副教授，1951年晋升为东京大学教授。1949年获得理学博士学位。1949年，被美国著名数学家外尔邀请到普林斯顿高级研究所工作，先后被聘请为普林斯顿大学、哈佛大学、约翰斯·霍金斯大学、斯坦福大学等大学的教授。当时他虽然辞去东京大学教授职务，但是1967年回国后又被聘为东京大学教授。1965年当选日本学士院会员，先后获日本学士赏（1957）、文化勋章（1957）、藤原赏（1975）。此外，他被选为哥廷根学士院和美国科学院的客座会员、美国艺术科学院外籍名誉会员。1975年退休后，任学习院大学的教授。小平邦彦在代数几何学、分析学、位相几何学、代数学等多个领域都取得了卓越成就，并于1954年，在荷兰阿姆斯特丹举行的第12届世界数学家大会上被授予第三届菲尔兹奖。著名数学家外尔颁奖时评价小平邦彦说：“小平先生，你所做的工作，与我从年轻时就想做的工作密切相关，但是你的工作比起我所梦想的还要漂亮得多。自从1949年你来到普林斯顿之后，看到你的数学研究的发展，是我一生中最高兴的事。”[②]1985年，小平邦彦由于对代数几何做出杰出贡献而获得沃尔夫奖。 作为世界著名数学家的小平邦彦格外关心数学教育的发展，从1968年开始通过在学术杂志上发表文章、电视讨论或辩论等各种形式阐述了自己的关于数学教育的观点，引起了当时的日本数学教育界的广泛关注，同时也引起了数学家和数学教育家之间围绕数学教育现代化这个问题的激烈争论。后来小平邦彦的言论和文章收录在他的文选《懒惰的数学家的书》（岩波书店，2000年）、《我只会算术》（岩波书店，2002年）中。另外，小平邦彦还出版了与初等数学教育有关著作《几何的乐趣》（岩波书店，1985）、《数学的学习方法》（岩波书店，1987）、《几何的魅力》（岩波书店，1991）等。上述著作对日本数学教育产生了很大影响。更值得提出的是，小平邦彦作为数学家，不仅关心中小学数学教育，而且直接参与了中小学数学教育工作，他自己编写了中学数学教科书《代数·几何》（东京书籍，1982）和《基础解析》（东京书籍，1982）。上世纪80年代初我国翻译并出版了这些教科书，1996年美国也翻译出版了这些教科书。他的教科书有简明扼要等特点（另文介绍）。 诚然，小平邦彦的数学教育思想的提出和教科书的编写等活动都有着特殊的历史背景：欧美、日本数学教育现代化运动和日本的中小学生学力降低等，激发了小平邦彦对数学教育的关注与参与。他的数学教育思想以及与数学教育家之间的争论对我们今天的数学教育教学也具有重要的参考价值。 3. 小平邦彦的数学教育思想 小平邦彦不仅对世界数学发展作出了杰出贡献，而且对数学教育也有一定的研究，并提出了自己独到的见解。 3.1没有创造能力的教育是很危险的 1984年，小平邦彦以日本大学生学力下降的事实为切入点，对日本教育的发展提出了自己的见解。 小平邦彦指出：“所谓学力不是指知识的量，而是指独立思考事物的能力。这种能力对于缺乏自然资源的日本来说是至关重要的。”[③]他认为，学生学力下降的根本原因可能在于，初等教育和中等教育阶段过早地给学生灌输多种学科的过多的知识。他指出：“例如从小学一年级开始教理科和社会科。由于过早地把多种学科教给学生，理论性的学科也被堕落为死记硬背的东西了，学生失去了自己思考的自由，这可能是学力下降的一个原因。”[④]事实上，有些知识是孩提时期一定要学习的，有些知识是长大以后在理解的基础上学习的。但是不科学的教育政策让儿童死记硬背成人的知识。于是大幅度地减少数学和语文的学习时间，浪费儿童的时间和精力。小平邦彦认为，数学和语文是最基本的学科，它们的性质与理科、社会科是截然不同的，应该安排更多的时间来教数学和语文，同时要减少其它社会科的教学时间，甚至在小学低年级不安排理科和社会科更合适，在小学五年级安排社会科和理科教学其效果更好。 3.2以基础学科为重点的课程设置原则 小平邦彦对人类学习的知识进行分类之后，提出了课程设置原则。他认为人类学习的知识可以分三个种类： （A）儿童时期必须要学习的知识，即长大以后学习起来困难的知识； （B）长大以后也容易学习的知识，或者说长大以后学习起来要比儿童时期更容易的知识； （C）即使是不在学校专门学习也能够自然地掌握的知识。 由此可见，（A）是在小学必须要学习的知识，那就是数学和语文了，这就是把数学和语文作为小学基础学科的根本原因。 基于上述分类及观点，小平邦彦提出课程设置的两条原则： 原则一，把在小学用充足的时间来彻底地教语文和数学作为第一目标，在剩余时间里教其它学科。从初中开始英语也成为基本学科。 原则二，学生到适当年龄后再教语文和数学以外的其它学科。 小平邦彦认为，给小学一二年级学生教理科和社会科是不符合他们年龄特征的。基于以上原则，他对当时的学校教育制度提出了批评，认为争先恐后地过早地教多种学科的做法是无视教育原则的体现。在中小学设置多种学科之后，各学科的教师为了扩大自己学科势力范围而互相竞争，结果导致语文、数学等基础性理论学科的知识被变成死记硬背的东西，学生忙于背这些知识，从而丧失了独立思考的时间，如果这样的教育继续下去，日本将会在国际竞争中遭到失败，经济发展也会停滞的。 他认为在中等教育中，“在培养基础学科的实力时，要用充足的时间来进行反复练习是不可缺少的。”[⑤]小平邦彦指出，不仅过早地教各种学科，而且在数学学科内部也存在不少问题。首先，过早地教很多知识的现象，如高等数学内容逐渐被降到高中，高中的高年级内容被降到它的低一年级等。其次，数学考试越来越难，在没有掌握试题模式的情况下回答问题是相当困难的。例如，小平邦彦全力以赴做小学六年级的50分钟的测试题，结果没有能够全部做出来[⑥] 。训练考试技巧的数学教育的特点就是：“调查了入学考试中要出的问题的模式之后，教给学生对某种模式的问题应该采用什么方法来解答。学生在考试中，首先观察问题的模式来判断自己是否能够解答，如果能解答就立即去解答；如果不能解答，由于时间不够，因此连考虑都不用考虑就跳到下一个问题。……如果不是这样，小学生不可能在限定时间内能够解答连数学家都不能解答的问题的。”[⑦]这就说明了试题的某种固定模式起着重要作用，这种数学教育就像“给猴子教把戏一样”没有什么创造性思考能力的培养。 基于以上论述，小平邦彦提出了一个重要问题，即现在这种“早期教育”比过去的传统教育是否优越？ 他对于教育制度的灵活化提出建议：学生的能力和个性等方面存在着千差万别，因此基于这些差距，应该制定灵活的教育制度。例如，可以制定如下制度： 第一，根据各个学科的能力的不同来编制班级。某一学生是语文的A班级、数学的C班级；某一学生语文的C班级、数学的A班级。这种班级编制能够避免教育不公平的问题； 第二，允许学生跳级。即允许学习成绩优异者可以跳高年级或提前参加大学入学考试。（一般地，日本教育法不允许学生跳级。） 第三，个别解决有特殊才能的学生，所谓特殊才能不局限于学问的才能，例如也包含音乐、绘画等方面的才能。 3.3固定的考试模式会抑制创造性思维的培养 小平邦彦认为，当时数学考试存在两个方面的问题。首先，无论是中小学试题还是高考试题，其题目数量过大。这与过去不同，在过去的学校数学教育中，考试题的量不大，学生可以有充分的时间来思考。 其次，高考试题的“×〇”（注：只看结果的对错，不看过程的考试题）形式严重影响了初等教育和中等教育，因为这种试题模式一直影响到小学数学教学，在过去的高考试题中没有“×〇”形式的题，学生有充分的时间来思考，过去的学习是学问的学习。例如对于学习数学这个学问来说，理解了它之后才能解答数学问题。现在的学习在考试技巧的练习方面更突出，数学试题的模式基本上已经被固定了，被试题模式束缚的学生即使是上了大学也是未必真正理解数学，这是一个奇怪的现象。 小平邦彦给本科生上课时进行了一次问卷调查[⑧]，问学生“你们说听不懂讲课，那为什么不能思考到理解为止呢？”某些学生回答说：“在中学阶段我们常常是被动的，虽然自己没有彻底理解但却能解答问题，所以可能养成了不求甚解的思考习惯。”由此可见，大学生的学力下降的另一个原因就是，学校教育受高考影响已经被堕落为训练考试技巧的教育了。 出现忽视上述教育原则的根本原因之一就是，人们认为“小孩是小型的大人”，即“小孩的能力就是大人能力的缩小而已。” 小平邦彦通过大人和小孩学习英语水平的差别等具体例子反驳了这种错误观点。 4.小平邦彦对数学教育现代化运动的批判及其与教育界之间的激烈争论 小平邦彦在不同场合和不少文章中，从数学学科的发展史、数学学科的特点和儿童的年龄特征等角度对上世纪60年代的数学教育现代化运动提出了尖锐的批评。他对数学教育现代化的观点集中体现在于1967年他在日本《通产杂志》上发表的《不可理解的日本数学教育》[⑨]中，那就是：（1）数学教育应按数学发展史顺序进行，而不是按逻辑基础来进行；（2）在中小学教集合论是不可取的；（3）在中小学数学教学中，要教基本的知识，没有必要教多领域的知识；（4）在小学通过数的计算的反复练习来培养学生数学的基本学力是最基本的。为了更全面地了解他的思想，把该文的主要部分摘录如下： 由于科学技术的基础是数学，数学教育对于日本的产业的未来生存具有至关重要性。 在数学的初等教育中教各领域的少量知识，犹如让学生学习音乐中的所有乐器和少量地教多种外语那样的很没用的知识。那为什么在数学的情形下，谁也没有注意到这种现象呢？例如，在小学六年级教一点概率，在初中二年级也教点概率，高中一二年级也教一些概率。这是没有效果的教育方法。制定课程标准的委员会的各位成员，是否忘记了人在几周、在一周内数小时来学习的知识过了一年半载之后会完全被忘掉的事实？ 奇怪的是，在中小学教学中混进来了多种领域中的集合、位相几何等知识，这些知识除将来成为数学家以外的学生来说都是没有必要的。从小学开始教集合的理由就是因为数学的基础是集合论，因此数学教育也应该从集合开始，这就是现代数学教育的基本理念。 但是，所谓数学基础的集合论有以下含义：对2000多年前以来所发生发展起来的数学的集大成的结构进行分析，并它把作为一个体系来记述的基础就是集合论。这并不意味着发生发展的基础是集合论。给儿童教数学就是为了生成和发展儿童的数学能力，因此数学的初等教育必须遵循数学的历史发展的顺序。比起逻辑性的基本概念，历史性地出现的概念，对儿童来说更容易理解。高中毕业之前的数学是在17世纪后半叶到18世纪发展起来的微积分初步。19世纪后半叶，康托尔为了解决实数全体集合的无穷集合而创立了集合论。 违背这种历史顺序，即使给中学生教集合，儿童还是不易理解集合论的本质，所以只能给学生教的是集合论的没有价值的部分——集合论的玩具了。其结果，为了教玩具的数学而浪费掉时间和精力，从而真正的数学被忽视了。 如数学这个词所表示的那样，它是数的学问，其基础首先就是计算（运算）。在初等教育中最重要的区别是，若儿童时期不习得的话，长大之后不易掌握的基础学力和长大之后更容易掌握的技能，并把基础学力的训练置于重要位置上。 如果儿童时期不能够通过反复练习掌握数的计算，那么长大后不易掌握；数学家作为常识的必要的集合论，上大学后听两节课就会很容易记住它。从这个意义上看，在中小学教集合论是错误的。在小学数学中，关键的是通过反复练习数的计算来培养数学的基础学力。 推进现代化的人们认为，并不是在小学教集合论，而是根据集合论教现代数学的思考方法，除了成为数学基本思考能力的数的计算之外，还存在更高尚的数学的思考能力。我认为这种观点是错误的。 据了解初中一年级学生有一成学生不会简单的分数加减计算了。无论如何地教集合论也不会分数的计算，那究竟是怎么回事呢？如果通过集合论的教学能够培养学生思维能力的话，应该会分数的简单计算吧。但是事实并非如此，这就证明了现代化的观点是错误的。 数学家以外的人是不需要集合论的，在第一线活跃着的自然科学家和工程师都没有学过集合论，这是明摆着的事实。 逻辑是数学的语法。我们写文章时的语法是在多年读、写文章的过程中自然掌握的，而决不是根据在过去初中所学过的语法来写，因此才能够得心应手地使用。众所周知，这与无论怎样学习英语语法也不怎么会写英语文章一样。 数学中的逻辑也是一样，我们数学家在学习数学的过程中自然地掌握了逻辑。除数理逻辑学的专家以外，没有人再回头来学习逻辑的。从现行课程标准看，在高中一年级教逻辑，那为什么把连数学家也没有学过的逻辑教给高中生呢？这是不可理解的。 数学的初等教育的目的并不是把数学的各领域的片段知识灌输给学生，而是要培养数学的思维能力和数学的感觉。正因为如此，必须把范围限定在数学的最基本领域内，将它彻底地教给学生。如果能够熟练使用小学的数的计算、初中的代数和几何、高中的代数、几何和微积分初步知识，那么这种初等教育就是成功的。 有必要的时候学习概率统计等应用学科，因为这是即使长大以后也能学习，那时的学习与半生不熟的入门知识的学习相比，它对在基本领域中所养成的灵活的思维能力和敏锐的直觉能力所起的作用是更大的。……倡导数学教育现代化的人们认为，为了适应数学的迅速发展必须更新数学教育。但是进步的是数学的最前沿部分，而数学的基本东西一点也没有变。正在从事数学研究的数学家们都反对数学教育的现代化。然而现代化在数学教育界还是很流行，这实在是个不可思议的现象。 小平邦彦的以上观点得到了广中平佑等数学家的赞同，同时也受到当时的不少在教学第一线的中小学数学教师们的欢迎（注：这些中小学数学教师并不是像小平邦彦那样深刻认识数学和数学教育现代化，而是对现代数学的教学内容感到陌生而欢迎小平邦彦的观点）[⑩]，但是在很大程度上遭到数学教育界的反对，甚至辩论是极其激烈的。当时日本的《朝日新闻》、《每日新闻》、《读卖新闻》和NHK电视台等媒体主持举行反对数学教育现代化的讨论，事实上，辩论的对象就是反对数学教育现代化的代表——日本大名鼎鼎的数学家小平邦彦和广中平佑。很多数学教育研究者都对小平邦彦持反对的观点。特别是日本数学教育家川口廷[1]通过电视、报纸、杂志等传播媒体严厉地反驳了小平邦彦对数学教育现代化的指责。他说：“日本数学界精英的（小平邦彦）先生在很多杂志上强调在小学数学中的‘集合’无用论。由于数学界的最高权威的先生们具有说服力，其影响是极其深刻的。我对此提出异议，不能接受他们的批评。……小平邦彦博士认为把集合论教给学生是非常错误的。我们能够理解博士所指出的‘现在小学数学是以康托尔创立的集合论的学习为教学目标是错误的。’但是我们不知道他这个判断的根据是从那里推导出来的呢？在课程标准和教科书中连一句也没提到教集合论的要求，因此值得怀疑小平博士的判断。也许我的话有些失礼了，那就是博士的高论给人的感觉就是，您自己随意地确定那种小学数学教学目标之后反过来自己进行攻击它吧。”[11] 川口认为，在小学数学教学中，值得注意的是以具体知识等为契机，形成数和图形等概念时，从某中观点观察那些知识，对被认为相同的事物起共同的名称，发现共同性质的教学指导。这种想法对知识的分类和整理的学习具有重要作用。在这种情形下，必须将集合作为思考对象，从某种观点作集合来开展教学活动成为问题。在这个意义上，不局限于数和图形，对于小学数学中的各种概念的形成来说，着眼于集合的活动具有重要意义，但博士所说的“没有价值的部分”是否指这样的教学活动？当然在康托尔所想出来的集合论的学问体系中，这种教学活动是“最没有价值的部分”。但是我们不能忘记了所议论的焦点是从6岁开始的儿童教育问题。 对于小平邦彦的关于不教集合，“彻底的计算训练才是最重要”之主张，川口提出了严厉的批评。川口认为，计算训练是重要的，学科教学都强调着技能的培养。他说：“但是博士所说的真正意思是，仅仅在形式上训练多位数的四则计算等为最佳，而不重视其它内容的话，我是不敢恭维的。但是对于计算训练的问题，进行抽象的议论也是无济于事的。具体地说，如果博士能够具体地指出来在数学学科的课程标准中与计算有关的内容，哪些部分是有缺陷、应该强调哪些部分，那么我会感到无比荣幸的。”[12]当然，川口并不认为现行的数学教育没有问题，他只对数学家从纯粹数学角度出发过分指责数学教育的做法进行反驳而已。 由此可见，川口是针锋相对地批评了小平邦彦。还有一些数学教育专家婉转地批评小平邦彦。如，佐佐木元太郎教授对小平邦彦和广中平佑提出批评说：“这两位数学家的批评在很大程度上，误解了我国数学教育现代化比英国还稳健地考虑之后才进行的实际情况。另外，从制作课程标准者的方面看，忘记了二战前从小学上中学的升学率不到百分之几的事实。”[13]一言以蔽之，多数数学教育家对小平邦彦的言论不满，都不同程度地提出了自己的观点。 以上简要介绍了小平邦彦的数学教育思想及围绕日本数学教育现代化的争论。这对我国目前的数学教育改革和数学教育研究都具有一定的启发作用。首先，让我们去思考我国的著名数学家关心参与数学教育研究的究竟有多少？据笔者了解，日本著名数学家弥永昌吉[2] 、藤田宏[3]教授等都格外关心数学教育，并主编或编写的中学数学教科书影响颇大。其次，从研究方面来讲，我们从数学家参与数学教育的层面，对中日或中外数学教育进行比较研究，也许得到更有意义的结果。 注释 [1] 川口廷：1908年出生于日本静冈县。1935年毕业于东京文理科大学数学科，从事数学教育研究，1977—1981年，任日本数学教育学会会长，1981年后任日本数学教育学会名誉会长。1956—1978年，先后任日本文部省教材等调查委员会委员、教育课程审议委员会委员、学术审议委员会委员等职务。1949年以来，多次参加编写或主编了日本中小学数学教科书。 [2] 弥永昌吉：数论专家，日本学士院院士，1959年获法国文化勋章，1976年任ICMI主席。编写的中学数学教科书也很有影响。 [3] 藤田宏：计算数学和应用数学家，也是日本数学界的头面人物。现任（日本）数学教育学会会长。编写的中学数学教科书有很有影响，也受到我国数学教育工作者的好评，如，齐民友教授说：“全书篇幅不大，条理分明，可谓中规中矩。既没有空话，也没有繁琐  的学究式的议论。教材内容，没有困难深奥的，而必是清清楚楚，让学生确能有收获。”（大学数学课程报告论坛组委会，《大学数学课程报告论坛2005年论文集》，高等教育出版社，2006年，第61页。） [①]  [美]　D.A.格劳斯主编：《数学教与学研究手册》，上海教育出版社，1999年，第6页。 [②] 《日本数学100年史》编辑委员会编：《日本数学100年史》。东京：岩波书店，1984年。203页。