一咏三叹 且行且思

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一咏三叹
且行且思
-------关于“数学文化”的三次探索、实践与思考
张齐华


数学是一种文化，它是人类文明的重要组成部分。而在当下的数学课堂，原本属于文化范畴的数学，如今 正渐渐丧失着它的文化性，变得不那么“文化”了。教育语境下的数学，已经开始和文化背道而驰。对数学知识 积累、数学技巧训练等工具性价值的过分关注，正在使数学本该拥有的文化气质和气度一点点剥落、丧失。 “让数学变得文化些，还数学以文化之本来面目”，已经成为数学教育亟须关注、思考和探索的问题。

2002年秋，一个偶然的机会，我开始了关于“文化数学”的探索与实践。如今，3年已过去。回顾这段时日，梳理走过的探索之路，收获和成长自在不言间。

“踌躇满志”
——关于“走进圆的世界”的尝试
为了把握数学文化的内涵，我开始认真阅读大量有关数学文化方面的文献资料，其间，西方数学教育中关于数学文化的论述给了我不小的影响。2003年秋季，适逢笔者参加某大型数学教学研讨活动。以“追寻数学课堂的文化意韵”为意图，我选择以“圆的认识”这一经典数学课例为蓝本，进行了新的探索和尝试。

〔案例1〕“走进圆的世界”及思考

片断一: 师:其实，早在二千多年前，我国古代就有了关于圆的精确记载。墨子在他的著作中这样描述:“圆，一中同长也。”你能理解其中的意思吗?
生:一中是指一个圆心，同长则是指半径或直径同样长。

师:而中国古代的这一发现，要比西方整整早一千多年。听到这里，同学们感觉如何?
生:特别自豪和骄傲。

生:我觉得我国古代的人民非常有智慧。

师:其实，我国古代关于圆的研究和记载还远不止这些。《周牌算经》中有这样一个记载，“圆出于方，方出于矩”，是说最初的圆是由正方形不断地切割而来(动画演示渐变过程)。现在，如果告诉你正方形的边长是0厘米，你能获得关于圆的哪些信息?
生:阴阳太极图。

师:细细看来，阴阳太极原来是由一个大圆和两个同样大的小圆组合而成。现在，如果告诉你小圆的半径是3厘米，你又能知道什么呢?


片断二: 师:其实，又何止是大自然对圆情有独钟，在我们生活的每一个角落，圆都扮演着重要的角色，并成为美的使者和化身。让我们一起来欣赏—

(伴随着优美的音乐，如下的画面一一展现在学生眼前:生活中的圆形拱桥、世界著名的圆形建筑、中国 著名的圆形景德镇瓷器、中国民间的圆形中国结、中国传统的圆形剪纸、世界著名的圆形标志设计等等。)

[思考]

研讨活动中，“走进圆的世界”以其鲜明的“数学文化”特色而获得成功。于是，作为反思和总结，我在教学后记中写下这样一段:
“‘走进圆的世界’一课，表达的正是对数学这样一种文化的解读。教学伊始，我们从最常见的自然现象引人，既巧妙渗透了圆的神奇魅力，激发了学生对圆的向往，又无形中渗透了‘大自然本身遵循一定的数学规律’这一西方数学文化的经典思想;探究结束，我们介绍了中国古代关于圆的记载，从宏观的历史视野丰富学生的认识视域，拓展了学生的精神世界;最后，我们更是借助‘解释自然中的圆’和‘欣赏人文世界中的圆’等活动，帮助学生在丰富多彩的数学学习中层层铺染、不断推进，努力使圆所具有的文化特性浸润于学生的心间，成为学生数学成长的不竭动力源泉，让数学课堂摆脱原有的习惯思维与阴影，真正美丽、动人起来。由此看来，要真正体现数学的文化特性，我们应该对数学的发展史、数学的美以及数学与人类社会各领域的紧密联系予以相当的关注，这些都是体现数学文化的重要因素，是构成数学文化内涵的 核心组成部分。”

“峰回路转”
——因“轴对称图形”而引发的思考
2004年10月，在苏州举行的江苏省青年教师数学教学研讨会上，笔者有幸再度执教观摩课。为了彰显一年多来在“数学文化”领域所作的探索，接到任务后， 笔者十分自然地对本课教学作出了“充分展现数学文化的魅力”这一定位，并进行了细致的思考。最终将课题定为“轴对称图形”，也是因为这一课例相对而言本身就具备较浓郁的文化要素，对于体现“数学文化”这一主题有一定的优势。

〔案例2〕为了彰显“轴对称图形”的文化内涵，类似地，笔者搜集了大量有关“轴对称图形”的资料，有自然景观、有民间工艺、有商标集锦、有经典图案……应该说，轴对称图形的美感及其文化内涵在这一设计中得到了相当充分的体现。
活动如期举行。如我所愿，本课教学同样获得成功。然而，由于活动本身在于交流、研讨，活动结束后，由此而引发的关于“如何体现数学文化”的讨论、争鸣在更大范围内得以展开，交流也更为深人、深刻。当所有观点交互碰撞、所有争鸣趋于平静后，一种关于“数学文化”的见解浮出水面，并对我原有的观念造成冲击。这里，仅择主要观点，以便论述。

观点1:教学过程过分关注了“轴对称图形”的文化特性，“色彩”太浓，文化味太重，而相应的数学味没有得到应有的体现，数学课堂“着力培养学生的数学思考”这一目标没有得到足够重视，课堂教学呈现出本末倒置的倾向。

观点2:在一般人看来，这节课的最大看点似乎在大量对称图案、标志、建筑的介人以及最后桂林山水和生物对称性的渗透。这些固然很好地体现了轴对称图形的美与和谐，然而，我们以为，本课最为成功也最能充分彰显数学文化魅力的地方不在于此，反而在认识概念后师生围绕“5个图形中哪些是轴对称图形”所展开的那一段精彩的教学对话。粗粗看来，内容朴素无华，似与文化相去甚远，然而细细琢磨，这当中所体现出的对于数学思维的有效关注和巧妙引导，对于数学思维品质及数学思辩能力的培养，以及由思考而带来的智力偷悦，恰恰彰显了更为本质的数学文化魅力。
观点3:文化不是外在的附属品。同样，数学的文化诉求不应从数学之外去找寻。从这一意义上讲，本课对于轴对称图形所作的拓展与升华，固然为本课学习增添了亮色，但却没有涉及数学文化的本质。数学最内在的文化特性应该是数学本身，应该反映数学的个性，体现数学的思维魅力。如果数学课堂使学生真正感受到了思维的快乐，并且因为思维品质的优化和思维能力的提升，而使学习个体的本质力量得到体现，那么，数学的文化张力也就真正得到了彰显。这里，我们同样欣赏师生围绕“5个图形是否为轴对称图形”所作的交流，因为它体现了数学内在的文化力量。

应该说，倘若没有这些评论，我一定会忽略关于“5 个平面图形”的讨论这一环节。至少，我不会将其和“数学文化”联系在一起。于是，为了印证这些评述，我对照光盘，翔实记录下了这段对话。

片断三:
认识轴对称图形的概念后，教师出示如下5个平面图形:
师:观察这些平面图形，你觉得哪些是轴对称图形，哪些不是?
生1:我觉得五边形和圆是轴对称图形，其他都不是。

生2:我认为这5个图形都是轴对称图形。
生3:我觉得第一个和第三个不是，其余都是……

师:同学们就这一问题发表了不同见解。那究竟该听谁的?
生4:动手试一试吧。

师:对呀。当意见出现分歧时，不如亲自动手试一试，用事实来说话! (学生拿出这5个图形动手操作、验证。)
师:动手实验后，大家对这一问题一定有了更加深入的认识。谁来说说?
生5:一开始，我以为这个三角形是轴对称图形，现在我认为它不是了。因为把三角形对折后，发现两边没有完全重合，所以它不是轴对称图形。

生6:我想说这个平行四边形。原以为它是轴对称图形，可是把它对折后，我才发现它并不是。

生7:老师，我不同意他(生6)的观点。我也把平行四边形对折，它是一个轴对称图形。
师:关于平行四边形，出现了两种截然不同的观点。(教师统计全班的观点)两种观点势均力敌，那就用事实来说话吧。正方先亮出你们的观点。

生8:我把这个平行四边形对折后，发现两边是两个完全一样的梯形，所以我们认为它是一个轴对称图形。

生9:我们反对。虽然对折后两边大小一样，但并没有完全重合，你看，这边多出了一些，而那边又少了一些，不符合轴对称图形的定义。

师:嗯，抓住轴对称图形的特点进行分析。
生10:我反对。虽然对折后两边没有完全重合，但只要我们沿着折痕剪开，换一个方向后两边就能完全重合了，所以我们认为它是一个轴对称图形。

生9:可是，黑板上写得清清楚楚，只有对折后两边完全重合，才算是轴对称图形。剪开后两边重合是不算的。

生11补充)不然，黑板上应该写“对折剪开后两边完全重合”了。

生12:再说，如果剪开的话，原来图形的特点已经被破坏了，最多只能说现在的图形是轴对称图形而已。

师:在这么多事实面前，你们(另一方)还有什么想 说的吗?
生8:我也同意它不是轴对称图形了。(这时，他的同桌又将手高高举起。)
生13:我还有补充。如果平行四边形的四条边长度一样，变成一个菱形的话，那它就是一个轴对称图形。 (面对他突如其来的补充，笔者也颇感意外，并临时剪了一个菱形。)
师:请你给大家说说，为什么它是一个轴对称图形。

生13边折边说)把它对折后，两边完全重合，所以它是一个轴对称图形。

师:你的发现告诉了我们，也许一般的平行四边形不是轴对称图形，但有些特殊的平行四边形却是轴对称图形，比如菱形。

生14:我觉得还有长方形和正方形，它们对折后也能完全重合。

生15:既然这样，我觉得屏幕上这个三角形虽不是轴对称图形，但有些特殊的三角形却是的，比如等腰三角形和等边三角形。

(教师给出这两种三角形，引导学生上台操作)
师:能从平行四边形自觉联想到三角形，这是多么有益的一种学习方法啊!
生10:我想说这个正五边形。通过对折，我发现它是一个轴对称图形，但如果它不是正五边形，那它就不是了。

(正在这时，笔者发现有位学生画了这么一个五边形 ，教师顺势拿起这个图形，放在实物展台上。)
师:瞧，这位同学画了这样一个五边形，想象一下，它是轴对称图形吗?(是！)看来，除了正五边形外，有些特殊的五边形同样也是轴对称图形。

生17:我认为圆是一个轴对称图形，因为把它对折后两边能完全重合。而且圆的直径就是它的对称轴。

师:能和圆的其他知识联系起来进行思考，真不错。不过，准确地说，直径所在的直线才是圆的对称轴， 你们说是吗?(是。)
生18:我还想补充，不管什么圆，它都是轴对称图形。

师:你的补充很有见地。讨论平行四边形、梯形、三角形时，我们既要考虑一般的情况，又要考虑特殊的情形。但圆就不同，所有的圆都是轴对称图形，不存在什么特殊的情况。看来，数学学习中，具体的问题还真得具体对待。你的补充让我们的思考又向前迈进了一步!
[思考]
透过朴实无华的教学实录本身，我们发现，短短的教学时空里，学生不仅对“5个平面图形中哪些是轴对称图形，哪些不是”这一问题获得了清晰、深刻的认识，更由此引申开去，在对话和思辩中获得了对一般和特殊的辩证思考，对直觉猜测与实践验证复杂统一性的深刻体会，对思维全面性和深刻性的丰富体验等。特定的时空里，学生的思维始终处于积极活跃的状态，他们尽享因数学思考而带给他们的思维的确定性、变通性、灵活性、辩证性。数学的真理感、数学思考的内在美、数学丰富的思维方式等，正是在这样一种润物无声的对话和思辩过程中悄悄滋润着学生心灵，化作学生思考的力量源泉。
清楚地记得，当执教完“走进圆的世界”一课后，有人提出，“虽然这节课的文化味体现得很充分，但普通的数学课，比如计算，比如应用题，再比如一般的概念教学，如何体现数学的文化特性?”那一刻，我无以答复。如今想来，当时的无言以对，背后折射出的恰恰是自己对数学文化片面、狭隘的理解。

的确，文化不是外在附属品。数学文化也不是简单意义上的“数学十文化”。在关注数学历史性和数学美的同时，我们更应该对数学文化有一种更为家常的朴素理解:文化者，以文化人也。数学真正的文化要义在于，它可以最大限度地张扬数学思考的魅力，并改变一个人思考的方式、方法、视角。数学学习一旦使学生感受到了思维的乐趣，使学生领悟了数学知识的丰富、数学方法的精巧、数学思想的博大、数学思考的美妙，那么，数学的文化价值必显露无遗。从这一意义上讲，数学文化又怎会仅属于“圆”和“轴对称图形”?任何数学课堂.我们都可以触摸到数学文化的脉搏，因为，拥有思考，便拥有了数学的文化力量。

“柳暗花明”
——“因数和倍数”一课及其他
为了使新的思考转化为现实的课堂实践，2005年春，我又开始了新的关于数学文化的探索。这次选择的是一节普通的数学概念课—“因数和倍数”，没有图形的直观和具象，也没有丰富、直接的现实背景作支撑，一切从朴素中开始。限于篇幅，此处只呈现当时的教学预案。
[案例3]“因数和倍数”预案及思考

活动1:巧用模型，建构意义
教师出示12个完全相同的小正方形，引导学生在头脑中将它们摆成一个长方形，并试着用乘法算式将相应的摆法有序地表示出来。
在此基础上，师生共同建构因数和倍数的意义。在此基础上，结合具体内容，引导学生感受因数和倍数的相互依存性和辩证关系，发展学生的数学思考。

活动2:自主探究，提升思考
明确概念内涵后，教师引导学生自主研究“36的因数”和“3的倍数”。考虑到学生在认知背景、思维品质及思维方式上的差异，学生中势必会出现不一样的思考过程和结果。此时，教师应该引导学生将自己的数学思考展示出来，在师生之间多维地对话、思辩、质疑、争论的过程中，彼此取长补短，相互吸纳。

活动3:激化冲突，活化思维
引导学生分别思考:在1-10这些自然数中，哪些数一定是20、口4和口口这些两位数的因数。
开放而充满智力挑战的问题情境，学生在认知冲突中展开思维，寻求结论，并在思维和对话中使自身的认识从粗放走向细腻和深刻，相应的数学知识也在交流中得以有效渗透。

活动4:探寻规律，感受奥秘教师引导学生利用9颗珠子，在计数器上分别拨出不同的两位数。并引导他们观察并思考，这些数和9 之间有没有什么特殊的联系?在此基础上，再自然引导学生展开联想、猜测:8颗、7颗,6颗……珠子拨出的两位数，会不会也是8,7,6……的倍数。由此，开放而充满召唤的问题情境，丰富而多变的数学规律，使原本枯燥、乏味的数字绽放神奇的力量。

活动5:内部拓展，彰显魅力

先引导学生猜一猜100以内的自然数中谁的因数最多。当最终的结果“60”出人意料地展现在学生面前时，教师再适时介绍((数字王国—世界共通的语言)一书中关于“时分秒进率为60”的原因的描述，并进一步拓展到“1日＝24时”"1年=12月”中 24,12的来由。既激发学生的探究兴趣，引领学生感受数字在人类历史发展进程中的神奇作用，更激活学生的辩证思考，体会数的大小与因数多少之间的复杂关系，获得对于因数更为立体、更加深刻的理解。

接着，再引领学生走进和因数有着密切关联的另一特殊数学现象:“完美数”，在认一认、找一找、比一比的过程中，引导学生感受完美数的美妙结构，体会数学家对于完美数的无穷探究兴趣(前100亿个自然数中，只找到6个完美数，需要数学家们付出怎样的执着和艰辛)，间接体验数学的内在魅力，以及数学家孜孜以求、不断超越的数学探索精神。

活动6:沟通联系，丰富内涵从两千多年前古希腊人最初从因数、倍数角度研究音乐，到希腊建筑中大量倍数关系的存在与其雄伟、牢固、美观之间的内在联系。在此基础上，再从“数论” 的角度重新关照“因数和倍数”，使新的知识在深度和高度上获得提升。

很难说这是一次成功的探索，或者说它已经体现了数学文化之真义。但有两点是可以肯定的。其一，摆脱“空间和图形”领域，将探索触角伸向“数与代数”， 选择枯燥的“因数和倍数”这一内容，本身反映的便是一种求真、务实的研究态度，一种对各类型数学课堂中如何体现数学文化问题的自觉追求。其二，在思考和研究这一课时，能自觉跳出“数学十文化”的窠臼，从更为开阔、全面、辩证的视角理解并构建数学文化课堂。尤其是从以往对数学历史资料的简单引人，到本课全面关注学生数学思考的提升、数学思维方式的培 养，关注数学精神品质的有机渗透等(这些在教学预案中均有描述)。

不是尾声
如今，细细想来，数学不只是知识和方法的简单汇聚，它应该是一个开放的文化体系，是人类智慧和创造力的结晶。它在给予我们知识与方法的同时，更以一种文化的姿态改变人类的思考品质，拓展人类的视野，丰富人类的精神世界，增进人的本质力量。数学的文化特征不仅仅只在于数学的历史性和美学价值，凝聚在数学之中的美妙绝伦的数学思维方法、探索不止的数学精神、求真臻善达美的数学品格，对于一个
人全面和谐的发展，都具有极为重要的意义。可以说，数学是“真”、“善”、“美”的完美集合!因而，我们在承认和弘扬数学工具价值的同时，更应该看到它的文化价值，并借助日常的数学教育实践，使其外化为一种现实的数学影响，努力彰显数学的文化品性，真正使数学学习成为学生获得知识、形成方法、感悟价值、提升精神的生命历程。