苏格拉底方法的现代演绎

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苏格拉底方法的现代演绎
　　                             ——“中括号”教学实录及评析
　　                              ◇施银燕 执教 华应龙 评析
　　著名的苏格拉底方法为很多教师所熟悉。下面的对话是苏格拉底方法的一个经典范例。
　　苏格拉底（对奴隶）：请告诉我这是否是正方形？你能否理解？
　　奴隶：是。
　　苏格拉底：我们是否可以在这里加上一个相等的正方形？
　　奴隶：是。
　　苏格拉底：有了两个是否还可以加上第三个？
　　奴隶：是。
　　苏格拉底：最后在这个角上是否还可以再添上一个？
　　奴隶：是。
　　苏格拉底：这里是否共有四个正方形？
　　奴隶：是。
　　苏格拉底：现在整个图形是原来图形的多少倍？
　　奴隶：4倍。
　　苏格拉底：但你是否记得，它应该是某个图形的2倍？
　　奴隶：当然记得。
　　苏格拉底：从顶点到顶点连接这样一条直线，是否就将正方形分成两个相等部分？
　　    ……
　　苏格拉底（问奴隶的主人门诺）：亲爱的门诺，你是怎样想的，他是否表达了任何不是他自己的意见？
　　门诺：没有，全部都是他自己的想法。
　　这正是苏格拉底所自称的，讲师只是“助产士”，他把我们自己的思想表达出来，而不是表达他自己的思想。非常兴奋的是，在我校“课堂上，我们的退与进”专题研究月汇报课上，施银燕老师的“中括号”一课完全是苏格拉底方法的现代演绎。一句话就可以解决问题的“中括号”，有什么好讲的呢？正因其平常才更显神奇！
　　实录与点评
　　一、课前参与交流
　　师：首先，有请今天的精彩两分钟！
　　生：大家好，我们都知道，平时我们用的数字叫“阿拉伯数字”，是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲。欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”。数学符号的发明和使用比数字晚，但数量多得多。现在常用的有二百多个，小学课本里就有十来个。它们都有一段有趣的经历，今天我给大家简单地介绍一下几个运算符号的来历……我就简要介绍到这儿，谢谢大家！
　　师：感谢这位同学的精彩介绍！没想到，简单的数学符号还都有一段不简单的身世！
　　【点评】很显然，课前的“精彩两分钟”是教者精心策划的。题材的选择和加工彰显了老师的良苦用心：“没想到，简单的数学符号还都有一段不简单的身世！”学生画龙老师点睛，师生合作其乐融融。既是精彩两分钟的总结，又为其后的教学埋下了伏笔。
　　二、活动探究
　　1.游戏互动，感受中括号产生的必要。
　　师：下面，我们就用这些数学符号，来做一个小游戏。
　　（师出示问题：添上适当的数学符号,使等式成立：18 2?摇 3  6 =18）
　　生：18除以2，再除以3，然后乘6。
　　生：18乘以2，再除以3，然后再加上6等于18。
　　（生展示算式：18×2-3×6）
　　师：（故意地）咦，我怎么算不到18呢?18乘2等于36，36减3得33，33乘6不等于
　　18呀！
　　生：不对，应该先算18乘2和3乘6， 18乘2得36，3乘6得18，36减18就是18。
　　生：加减乘除在一起，应该是先乘除，后加减。
　　师：原来如此！先乘除后加减是四则混合运算的一个法则。既然是法则，人人都要遵守，也包括施老师。
　　【点评】苏格拉底就这样以自己的“无知”唤醒学生的“已知”。
　　师：还是这四个数，18，2，3，6，你们能让得数等于33吗？
　　生：18除以2等于9，9乘3等于27，27加6等于33。
　　生：我可以把刚才的式子变一变：在“18×2-3”的外面加上个括号，然后再……（很不好意思地）我看错了。
　　生：18乘以2，加上3，再减去6。
　　师：（出示：18÷2×3+6=33）如果我把得数变成81，这个等式肯定是错误的，你有什么办法让这个等式成立。 （片刻之后）
　　生：在“3+6”的外面加上括号，就行了。
　　师：添上括号，怎么算到81的？
　　生：18除以2得9，3加6得9，九九八十一。
　　师：是的，“（ ）”是一个很特殊的数学符号，它可以改变运算顺序，“（ ）”里的必须先算。
　　【点评】“添上括号，怎么算到81的？”自然而然的苏格拉底式的发问，是复习，更是一种解决问题策略的引领：“是的，‘（ ）’是一个很特殊的数学符号，它可以改变运算顺序，‘（ ）’里的必须先算。”我尝试过，如果没有这样一问，当有学生创造出“中括号”一类的符号后，相当一部分学生不明就里，明白的学生，表述得也磕磕绊绊。
　　（屏幕上的算式变为：18÷2×(3+6)=1）
　　   师：你能再添上一个数学符号，使这个算式的得数等于1吗？
　　生1：18除以2，再减去3加6的和。
　　生2：你这么说是不对的，如果是减的话，那就等于0了，应该是18除以2，再除以3与6的和。
　　师：这么变，倒是等于1了。但是，我们再看看要求。
　　（生轻声地读要求：添上适当的数学符号，使等式成立）
　　师：是啊，不许修改运算符号，只许添加。
　　【点评】学生回答中的问题，老师指出得多么艺术！不是某个人的意志，而是题目的要求。规则意识就该这样一点点构建。这么一“逼”，好多学生一筹莫展。“行到水穷处，坐看云起时。”“中括号”已经呼之欲出了。
　　生1：18除以2乘3加6的积，后面再加一个括号。
　　师：把你的想法写下来，好吗？
　　（生1在黑板上写下了：18÷（2×（3+6)）
　　【点评】多好的创造！学生“再创造”出来了。如果老师不“退”出来呢？如果知道“中括号”通常写法的学生抢了这个先呢？真是“文章本天成，妙手偶得之”。
　　生2：我觉得你写得不对！
　　   （边说边来到黑板前修改：18÷［2×（3+6）］）
　　师：（指着中括号问）这是什么符号？你为什么不像刚才那位同学那样，继续用小括号，非要用这么一个新的符号？
　　生2：这是中括号，因为小括号外面还要加一个括号，就要用中括号了。
　　生3：我认为不可以用小括号。那样就重复了。
　　生4：小括号外面就得用中括号，中括号外面就要用大括号了。
　　师：同学们知道的知识还真不少！一开始，第一个同学在“2×（3+6）”的外面又添加了一个小括号，他的想法是完全正确的。但是，好多同学都给他提意见了。大家认为，小括号外面如果还要加一个括号的话，得换一种形式了。这样就产生了中括号，就像衬衣外面就不再穿衬衣了，得穿外套。这样表示更有层次，更清楚。中括号是代数的创始人之一——数学家魏治德首先发明并使用的。
　　【点评】咀嚼回味:“（指着中括号问）这是什么符号？你为什么不像刚才那位同学那样，继续用小括号，非要用这么一个新的符号？”活脱脱的苏格拉底的形象浮现眼前。 生1二合一的右括号，正好说明了小括号外加小括号有道理，但读、写时却容易出错。老师肯定他完全正确！之后又运用“衬衣”和“外套”的比方，新颖、有趣、贴切！老师“进”得好，好在时机；“进”得妙，妙在艺术。
　　2．讨论比较,掌握四则混合运算的顺序。
　　师：这个有小括号又有中括号的算式，小括号里的要先算，中括号里的也要先算，到底按照什么顺序计算呢？
　　生：先算小括号里面的，再算中括号里面的。
　　师：是的,别看小括号“小”，但因为它在里边，就数它最厉害了，最先算的还是小括号里的，然后才是中括号里的。说说，怎么算到1的？
　　生：先算小括号里的3加6得9，再算中括号里的2乘9得18，最后18除18就等于1。
　　师：刚才我们认识了中括号，知道了含有中括号的算式的运算顺序。说说下面三道题的运算顺序，再算出得数。
　　1. 90÷10+5×2。
　　2. 90÷（10+5）×2。
　　3. 90÷［（10+5）×2］。
　　（算第3题的时候，有几个反应快的学生举起了手，一生第三次站起来抢着发言，师示意其坐下）
　　师：稍等一下，可以把机会让一让吗？你看，同学们都在举手呢！你也不是小括号，对吧？
　　【点评】“你看，同学们都在举手呢！你也不是小括号，对吧？”真是神来之笔！在当下的课堂上，常常可以看到少数“资优生”尽显风流。怎么办？不“进”，不该；“进”得不好，必定打击“资优生”的积极性，并且如果课上有学生与老师对着干，那可不是闹着玩的。“你也不是小括号，对吧？”智慧的话语，醍醐灌顶！
　　师：比较一下，这三道题有什么相同的地方，又有什么不同的地方？你有什么想法？
　　生：相同的地方，就是三道算式的数都一样。不同的地方是第一个算式没有括号，第二个算式有小括号，第三个算式既有小括号又有中括号。
　生：相同的地方还有，都是除加乘。
　　生：三道题的得数也不一样。我还发现，括号越多，得数越小。
　　师：数都一样，运算符号也都一样，唯一的区别就是括号的不同。括号不同，实质就是什么不同？
　　生：（齐）运算顺序不同。
　　师：运算顺序不同，得数也完全不一样。看来运算顺序非常重要。刚才那位同学发现括号越多，得数就越小，挺有意思的一个想法，到底是不是这样呢？同学们可以课后去研究。
　　【点评】“千金难买回头看。”“比较一下，这三道题有什么相同的地方，又有什么不同的地方？你有什么想法？”老师引导学生做“聪明的解题者”。对于学生的发现，老师“进”了又“退”，“刚才那位同学发现括号越多，得数就越小，挺有意思的一个想法，到底是不是这样呢？同学们可以课后去研究。”老师尊重了学生的创见，留有研究的空间。
　　3．动笔计算，学会有理有据的表达。
　　师：刚才的几道题尽管步骤不少，但数据很简单，所以，我们可以直接算出得数。但是，更多的时候，我们可没那么幸运，如果数据比较复杂，要有条理、有根据地把计算的过程表达出来，我们通常用什么形式？
　　生：脱式计算。
　　    (师出示:360÷[(12+6)×5])
　　师：好的，脱式计算，在课堂本上试着完成。
　　（师巡视，两分钟后，指名展示）
　　（生1展示计算过程：360÷［（12+6）×5］=12+6=18×5=360÷90=4）
　　生2：（小声地）错了！怎么这样啊！第一步360到哪儿去了？
　　师：我觉得你的想法好像没错，我能明白你每一步要做什么，同学们明白吗？
　　生3：我知道，他是想先算小括号里的12加6等于18，再算中括号里的18乘5得90，最后用360除90就得4了。
　　师：是呀，顺序没错，计算也很细心，只是表达起来有点小问题！谁能帮帮他？
　　生4：脱式计算应该是这么做的：没有计算的都要抄下来，先算的不要抄，把得数写下来就行了。
　　生5：我想问问你：“=”是什么符号？
　　生1：（疑惑不解地）等号！
　　生5：对了，等号表示的是相等！你这么做，一会儿等于18，一会儿等于90，一会儿又等于4，就不相等了。
　　师：就是这个道理！为了保证每一步都相等，先算的我们就写出得数，没算的就要原封不动地抄下来。
　　（生1在黑板上写出了正确的过程。师注意到生1写得特别工整，等号都用直尺画）
　　师：生１真会学习！另外，我特别喜欢他画的等号！一位数学家认为，用两条平行且完全相等的线段来表示相等，是最恰当不过的了。他写的完全是数学家心目中的等号！
　　（全班学生给予生1热烈的掌声）
　　【点评】对于生1显然的错误，老师竟然“我觉得你的想法好像没错”，看到了学生思维的合情成分、正确成分，难能可贵！当然，这种错误产生的原因是学生只知道“=”是为了得出结果，而忽视了“=”最根本的含义：表示相等。“我觉得你的想法好像没错”，不是老师“进”来简单地告诉，而是给学生们一个思考和表达的时空。正因为老师的尊重，所以生1修改得特别工整，等号都用直尺画。又因为生1用直尺画等号，才给我们带来了老师充满智慧的评语：“他写的完全是数学家心目中的等号！” 听课中的我仿佛进入了著名诗人卞之琳描述的境界：你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你。明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦。听课中的老师也都是那么的惬意!
　　“他写的完全是数学家心目中的等号！”这样的话语，不说不是错，说了更精彩！当然这样的话语，只有具备相当数学教学功底的人才能看到和说出。这是不可能事先预设的，只能是在事到临头的生成状态下考量老师的专业功底。游刃有余解牛的庖丁，依附的是对牛的透析、精准的把握。我明白了为什么有的人模仿苏格拉底的方法只能“形似”而不能“神似”的原因。
　　（实物投影展示，计算过程是：360÷［（12+6）×5］=360÷（18×5）=360÷90=4）
　　     师:我第一步把小括号里的算完之后，就把中括号改写成小括号了。我有一个问题想问问大家：这里“18×5”的外面到底应该是保留中括号还是改成小括号？
　　生：我认为中括号里已经没有小括号了，就应该把中括号改成小括号。
　　生：我认为应该保留中括号，因为小括号里已经算完了，你刚才不还说，没算的要照抄嘛! 中括号也应该抄下来。
　　生：我不同意！小括号外面才加中括号呢。我认为小括号里的算完以后，小括号都没了，中括号当然得改成小括号。
　　师：多少个同学同意改成小括号？
　　（绝大多数学生举起了手）
　　师：你们的意见是小括号都没了，单独的中括号看上去很不舒服，就像没穿衬衣就穿外套一样。（大部分学生点头认可）还有同学坚持保留中括号吗？（三四个学生举手）大家的意见不一致，这样，我们一起请教身边的“老师”！打开数学书，翻到７４页。看看书上是怎么写的。
　生：（或兴奋或沮丧地）保留中括号！
　　师：其实，两种做法都完全正确！不过，我个人更喜欢保留中括号的那种。理由恰恰是因为这个看上去不太舒服的中括号，能够表达更多的信息，看到这个中括号，我就知道，它的上一步刚刚完成了小括号的运算，我还知道，下一步就要算中括号里的了。而且，这么写，不需要作任何的改变，所以也就不容易出错。我这么说，大家同意吗？
　　生：同意！
　　师：同意，我们就这么做！现在，谁能完整地总结一下四则混合运算的顺序？
　　
　　【点评】老师的“退”是为了更有效地“进”。脱式的书写，老师不讲，放手让学生尝试，“进”来之后，也是充分尊重，没有生硬地“强加于人”，而是言之有理。记得在音乐里，“４”和“７”两个音因为不够稳定与和谐，所以往往不会作为结束音。但是在乐曲中，由于“４”和“７”两个音的加入，反而能带来旋律的变化，使乐曲更丰富多样。从“不够舒服”走向“舒服”的脱式过程是否与其有异曲同工之妙？
　　4．去掉多余括号，进一步理解中括号的作用。
　　师：淘气特别喜欢刚刚学习的中括号，他在自己列的所有的算式里都加上了小括号、中括号。请你好好观察，看看哪些括号是可以去掉的。
　　［(36+24)÷15］-18      
　　    24×［19-(2×6)］
　　320÷［5×(26-18)］  
　　    15×［4×(12+22)］
　　（生小组讨论，然后全班交流）
　　师：该出手时才出手，简洁是数学永远追求的目标。
　　【点评】课首，添加括号；课尾，去掉不必要的括号。中括号的作用在一加一减的对比练习中得到了很好的突出,给我的体验是：数学从某个角度说就是符号的乐园。
　　三、总结延伸
　　师：我再问大家一个问题：为什么要有中括号？
　　生：因为小括号外面还有要先算的部分，就要加中括号。
　　师：那么，有了中括号以后，是不是所有的问题都解决了？
　　生：还要有大括号！
　　师：那么大括号之后呢？无休止的括号没有意义，生活中一般用到大括号就够了。计算机要做的运算常常非常复杂，而用计算机编写程序计算的时候，只用一种——小括号，一层一层地往上套，是不是很有意思？有兴趣的同学可以课后去查找相关的资料。
　　【点评】由中括号自然地拓展到大括号，再意外地恢复到小括号，真是课已终，而意无穷。我想有兴趣的同学一定不会少！
　　
　　感悟
　　1.拥有彻底的理性才想对话。苏格拉底方法究其实质就是教育者和受教育者之间的对话。而苏格拉底式的对话，不是要知者带动无知者，而是双方在对话中共同寻求对世界和自我的认识。听了施银燕老师的“中括号”这节课，我确确实实感受到：她和学生不是在教、学“中括号”，而是借助“中括号”这一平台构建对世界和自我的认知。
　　雅斯贝尔斯认为，苏格拉底的教育思考,包括反讽（刺激学生感到离真理甚远）和催产术（通过问答逐渐使真理明显），以及探索发掘真理，而非传递真理。他在《什么是教育》中，把反讽分为三个阶段。首先，苏格拉底在对话中使用反讽，是使一切蒙昧均清晰陈列于眼前，反讽使苏格拉底获得透明性。于是,他可以使人循入绝途而终于醒悟，或攻击别人明显的错误言论以求其自省。第二阶段是苏格拉底所采取的反讽的基本立场，即让人对自己的无知(而自以为知之甚多)有所认识。在第三阶段，柏拉图制造出一种动摇别人根本信念的整体氛围，在这种氛围中，反讽所表示出的一切现成物都成为模棱两可的，也只有在这两个极点之间，在纯然反嘲的氛围中，存在的质（核心）才会出场。
　　在施银燕老师和学生一起探索发掘真知，而非传递真知的“中括号”这节课中，我看到了这三个阶段。
　　“这么变，倒是等于1了。但是，我们再看看要求……是啊，不许修改运算符号，只许添加。”这就将学生带到了“山重水复”的境地，使学生循入绝途而终于醒悟。此为第一阶段。
　　课前我们做过调查，近30％的学生知道“中括号”，这些学生自豪地认为自己知之甚多。这节课下来，我想他们感受到的是学无止境，是不会再“自以为知之甚多”了。让学生对自己的无知有所认识，就是教学的成功，我们的教学就该追求“无知”。这是第二阶段。
　　课中对学生创造的起到中括号作用的半个小括号的肯定，课尾由中括号自然地拓展到大括号，再意外地恢复到小括号，揭示的是“一切现成物都成为模棱两可的”第三阶段。在这纯然反嘲的氛围中，存在的质（核心）出场了：彰显解决问题的策略和弘扬创造精神。
2.葆有丰厚的学识才会对话。
　　乏味的内容为什么能够上得趣味盎然？计算教学，不是不需要智慧，而是需要大智慧！在研究过程中，施银燕老师告诉我：“新课程特别强调数学与生活实际的联系，可这方面做得特别好的新世纪(版)教材在编这部分内容时，却没有联系任何生活实际，而是有些生硬地引入：‘我在数学报上看到这样一道题：360÷［（12+6）×5］。’这是为什么呢？我猜想,编写者认为就解决实际问题而言，中括号并非必不可少的。完全可以分步列式，因为分步与综合也只是表达形式上的区别，没有高下之分。是不是体现了‘淡化形式注重实质’的宗旨？不得而知。但是，这样的教学会不会让学生误认为只有数学书、数学考试中才会需要中括号的知识？我还是想在生活中寻找。我可不可以先引入中括号，出现算式:90÷［（10+5）×2］以后，立即插入几个问题，让学生甄别、选择，看看哪个问题可以用这个带有中括号的算式来解决。我想不管原来的情境如何丰富多样，一旦建立了算式这一模型之后，就可以暂时脱离具体情境。这不正好可以渗透数学建模的思想吗？记得当时，挺为自己叫好的。然而，试讲时效果却很不好。首先，学生感知问题花了不少时间，然后还为了一个围长方形的问题争论不休，最后学生似懂非懂地认可了，既无趣也无意义。再一想，那所谓的生活也是杜撰的‘伪生活’， 于是，我忍痛割爱。似乎又回到了起点，对教材的认识却更深刻了。”
　　“随后，我开始留意有关数学的史料，当我阅读了包括中括号在内的一个个数学符号从出生到被普遍认可的曲折而漫长的历史后，那些原本在我眼里单调枯燥的数学符号顿时拥有了鲜活的生命！我开始喜欢上了它们。态度的大转变立刻带来了许多新奇的联想：四则混合运算的顺序规则非常像我们的交通规则，‘先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行’相当于‘绿灯行红灯停’，小括号、中括号不就相当于需要优先的急救车、消防车吗？圆滑的小括号，有型有款的中括号不正对应着人们柔软的衬衣和挺括的西服吗？这些未必合适的想法，使我对‘中括号’这一教学内容越发地充满感情。”
　　大家都知道，数学的发展由两股力量推动：一是解决生活中的问题；二是纯数学的研究。数学，从某个角度来说是数学爱好者的自娱自乐。那我们的数学教学呢？在施银燕老师的课堂上，孩子们专注投入，其乐融融。我想：如果我们的数学教学也是一种自娱自乐，应该是一种境界，是一种把教学内容当作礼品或者玩具送来与孩子们分享的境界。泰戈尔有这样一句诗：“鸟翼系上了黄金，这鸟就永远不能再在天空翱翔了。”我们数学教学的内容也应该由两部分组成，为什么一定要那么功利呢？
　　回味苏格拉底方法的经典范例，在施银燕老师的课上，我更看到了“教”的相对弱化，“学”的绝对凸显。课上所教的东西都是在上