数学文化漫谈

管季超0712

数学文化漫谈
来源：清华新闻网
	】

顾沛教授清华演讲“从数学文化谈科学与人文的融合”     对当今全体大学生进行文化素质教育的落脚点之一是在大学教育中充分践行人文教育与科学教育的融合， 培养既有人文素养又有科学精神、既懂得人文价值又掌握科学方法的高素质人才；而使更多的青年学子真正迈出梁思成所谓“半人时代”的樊篱，成为国家和社会的大用之材，正在成为越来越多有识之士共同关心和探究的教育问题与文化问题。以此为出发点，“清华新人文讲座”新近推出系列之（七）：“科学与人文：双赢和融合”。5月29日下午, 该系列正式开讲， 首场演讲特邀南开大学国家级教学名师顾沛教授， 他演讲的题目是“数学文化漫谈”， 其中所彰显的人文与科学理念以及所蕴含的广博深刻的科学文化内涵激起了清华师生的浓厚兴趣和热烈反响。     “数学文化”对许多人来说也许比较陌生。它是指从文化这一角度来关注数学，强调数学的文化价值。顾沛教授从“数学文化”一词的使用入手，剖析了“数学文化”的狭义和广义内涵：狭义上指的是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；而广义上则指数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与各种文化的关系。不管他们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，这种数学素养使人终身受益。那么，什么是数学素养呢？顾沛教授从两个角度进行了说明。从通俗角度讲，就是能从数学角度看问题，有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力；从专业角度讲，数学素养是指主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养；具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。     如何提高数学素养？顾沛教授认为数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。学生在数学学习中，不但要理解数学知识，更要体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高自己的数学素养。接着顾教授列举了若干个数学文化的实例，其中包括历史上的几次重大的数学危机和几道与实际生活相关、富有挑战意味的数学逻辑思考题， 展示了如何用数学思维和方法抓住症结、解决问题的角度、步骤和方法。顾沛教授勉励大家要掌握数学观点，理解数学思维；学会数学方法，使用数学语言；了解数学思想，提高数学素质，他特别强调清华学生需要注意养成准确、清晰、完整地表达数学关系和数学结论的素质。     顾沛教授从数学中的文化元素出发， 指出人文教育与科学教育之间绝不是彼此孤立或对立的关系，是可以双赢和融合的。他的演讲就体现了这一点，讲座自始至终洋溢着人文素养与科学精神的水乳交融， 穿插其中的师生互动和问题抢答生动地演绎了素质教育、创新学习、融会贯通的育人理念与实施方法，使在场的师生深受启发和触动， 不少同学在讲座结束后纷纷围拥到讲台上， 继续追问有关数学文化、创新思维、全面成才等问题， 并询问相关著述和图文资料。 据悉， 顾沛教授主讲的《数学文化》课程和他领导的“数学文化全国优秀教学团队”，正在受到国内很多高校的广泛关注和高度评价， 他们的创新经验和富有成效的教学实践也正在通过应邀讲学、研讨交流等方式在全国很多大学产生积极影响。此次顾沛教授不但应邀来清华大学演讲，还应邀与清华大学理学院和国家大学生文化素质教育基地的专家学者进一步探讨如何通过文化素质教育课程的有效开设来进一步落实和促进人文教育与科学教育的融合问题。     本次讲座是“清华新人文讲座”系列之（七）的第一讲，由清华大学国家大学生文化素质教育基地主办， 清华大学理学院教授白峰杉主持。（国家大学生文化素质教育基地 王渠 供稿）

管季超0712

3．方法、策略和思想的有效渗透与主题实践。
离开学校后，真正能留存于个体脑海中的具体数学知识、技能往往很少，但数学方法、策略、思想却常常以更为内敛、潜在的方式沉积于学生内心深处，成为他们进行数学思考的重要支撑。这是数学文化价值集中体现的又一重要方面。
较之于知识、技能而言，方法、思想和策略更为内隐，常潜伏于许多看似普通的数学知识、数学技能的学习过程中，需要教师敏锐地予以捕捉、判断、放大、外化，并在课堂中予以传递。
如教学“认识分数”时，面对如下问题“在括号里填上合适的分数”（见下图），我有意将后两幅图中的等分线隐去，使这一内容诱导出了更多的数学内涵。
其中有估计意识的培养（估计后两幅图中涂色部分占整体的几分之一）、有思维策略的综合应用（对第三幅图的估计）、有极限思想的渗透（引导学生想象并感受：如果继续往下平均分，份数越多，表示每一份的分数会怎样）等。朴素的内容完全可以承载丰厚的数学内涵，每一堂课，我们都可以作出这样的思考。
此外，我还结合具体数学内容进行“数学思维方法”或“问题解决策略”的主题性教学实践（义务教育课程标准苏教版小学数学教材将“解题策略”作为具体板块进行教学，比如“综合与分析”、“画图与列表”、“倒推”、“假设”、“枚举”、“转化”等），效果也很好。
4．挖掘数学内容中的丰富情感、态度和价值观。
在更多课堂，一句“使学生感受数学与生活的密切联系，体验数学的应用价值”，往往便将数学学习中原本更为丰富、多元、立体的情感、态度和价值观掩盖。事实上，数学可以给予个体情感、态度、价值观方面的影响远不止于此，前文第二小节已有描述，此处不赘。具体的实践过程中，我认为应注意两个问题。
首先是如何正确对待数学史料的问题。历史往往沉淀下许多值得流传的史实与价值观念。我们不能仅仅停留于对史实的介绍上，而应引导学生透过史实，触摸到史实背后的价值和观念，使其构成一种更有教育意义的积极影响。如祖冲之是中国古代研究圆周率的骄傲，但仅到此为止，并进行肤浅的爱国主义教育是不够的。他在研究过程中如何“借助正多边形周长研究圆周长”的数学思想和智慧；他不满足于既有结论，不断超越、执着奋进的探索精神等，更应该透过课堂浸润到学生的内心深处。我在教学时，将这一段数学历史有机融入到具体的周长公式的探索过程中来，学生的感受更丰富了，认识也更全面了。此外，我还适时地介绍了我国古代数学的领先与现代数学的落后，并给学生分析造成这一后果的内在原因，深刻的民族尊严感和为中华数学之崛起而奋斗的决心在学生心中升腾。
当然，数学更多的价值观念应该渗透于日常的教学内容与学习活动当中。教学“小数点移动引起大小变化”，我引导学生感受踏实、严谨的数学作风；教学“交换律”、“正反比例”时，我适时给学生渗透些“变与不变”的观念等。渗透重在日积月累，日常、朴素的数学内容中都挖掘并渗透上一点，那么，六年的数学学习对于学生而言，难道不正是一趟美妙、丰硕的精神之旅吗？
（《人民教育》2006/11）

管季超0712

具体的课堂实践，我努力从数学概念、数学规则、数学思想方法及情感态度价值观四个方面切入，试图以更为日常化、更具涵盖性的数学内容和更加朴素的教学实践表达对数学文化的理解，追求数学文化的教育价值。
1．数学概念，在“头脑创造”中还原生命活力。
即便在“学校数学”的范畴里，概念通常也是以一种冷冰冰的姿态呈现在教材或者课堂上。但我们应明白，任何数学概念的形成、发展、生成，都经历了数学家无数的观察、分析、猜测、实验、判断、辨析、调整、优化等一系列数学思维活动。由此想见，即使是静态的数学概念，其必沉淀下丰富的数学内涵、数学思考、数学观念。如果课堂仅仅停留于对数学概念的被动认识、理解和传递上，那么内涵于“冰冷的美丽”背后的这些“火热的思考”将无法为学生所触及、所分享，数学概念“可能”的文化价值也无法成为“现实”力量。数学课堂，恰恰需要在这儿做一些工作。
比如“认识乘法”，当学生已经感受到用“2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2”表示“9个2相加”比较麻烦时，教师直接告知乘法算式“2×9”是一种方式，引导学生自己想办法去“创造”一种新的算式表示“9个2相加”也是一种方式。但后一种方式更加充满挑战，也预示着更多生成的可能。在我的课堂里，有学生选择了“2＋2＋……2（9）”，有学生选择了“2＋2（9）”，有学生选择了“29”，在教师的引导和点拨下，又有学生选择了“2·9”或者“2★9”等。静态、冰冷的乘法概念在这一刻绽放了绚丽的光芒。可以想见，这些看似不太科学、不够准确的“乘法”表达形式背后，折射出了学生多少生动、活泼的数学思考，比如观察、概括、想像、推理、优化、调整、创造，而这恰恰正是数学的“文化力量”。
再如认识“长方体的长、宽、高”，作为规定性知识，直接告知未尝不可。然而，倘若引导学生作这样的思考：如果将长方体12条棱中擦掉1条，你还能想像出这个长方体的大小吗？如果擦掉2条、3条……呢？试一试，看至少留下几条棱，才能确保想像出长方体的大小？当学生在经历尝试、探索、操作、优化等数学活动后不约而同地选择了这样三条棱（如图）时，规定性的数学常识“长、宽、高”在这一刻被“活化”了，并被学生生动、深刻地予以建构。我以为，像这样的“头脑创造”可以还原数学概念的内在生命力量，相对于概念的授受而言，其文化价值显然更大。
2．数学规则，在充满张力的数学思考中绽放理性之美。
和数学概念一样，对数学规则的学习同样面临着一个“冰冷美丽”和“火热思考”之间的抉择和转换。处理不当，规则学习会诱导学生陷入机械记忆、单纯模仿、反复操练的窠臼。如何将学生置身于规则发生、发展、形成的生动过程，引导他们亲历观察、猜想、验证、建模、应用等数学活动，进而获得一种更有力度、充满张力的数学思考以及触及心灵的精神愉悦，这是我在课堂教学中一直关注并努力实践的问题。
比如教学“笔算两位数加两位数（进位加）”时，“从个位加起，满十进一”是绕不开的计算规则。在成人看来，“从个位加起”应是一件再自然不过的事，但学生究竟会如何理解、建构这一规则呢？教学时，我放手让学生自己探索24＋18的笔算方法，没想到，竟有不少学生选择了从十位加起（事实上，要合并两堆小棒，我们通常不也是先数数一共有多少捆，然后再将零散的小棒满十根一捆，最后得出结果的吗），过程如下：
24
＋18
432
面对这一状况，草率地否定这一思考显然不够理智，急于纠正更显得缺乏智慧，还是让他们自己在比较中去发现、去感悟吧。结果，正是这样一份理解和从容，不但让他们在两种不同计算规则的比较中深化了对“从个位加起”的合理性认知，同时也让大家深刻地感受到了计算规则丰富和确定的辩证统一，体验到了规则生成过程中丰富的数学思考。
此外，“满十进一”也是数学中重要的规则之一。教学时，我没有仅仅停留于“告诉”，而是在学生认识“十进制”后，进一步拓展他们的视野，给他们介绍了关于五进制、七进制、十二进制的知识，并引导他们思考诸如“不同的进制之间有什么共同的地方”、“十进制之所以被广泛应用，可能的原因是什么”、“如果将十进制改为七进制，对已有的数会产生怎样的影响”等问题。或许这样的思考对于学生巩固或强化十进制并无太大帮助，然而正是有了这样的适度开掘，学生的视野开阔了，尤其是，数学发展过程的多元化，数学思考的多样性，数学发展过程中所展现出的无穷智慧等，渐渐沉积为学生的内在涵养，成为一种文化积淀。

管季超0712

数学文化：概念误读与意义重建
在实践和探索的过程中，概念或命题的被误读已不是什么新鲜事，数学文化同样没能幸免。如何被误读，为何被误读，值得我们思考。
首先是概念的窄化。将数学文化简单等同于数学史，以为渗透了数学史，那就是一堂体现数学文化的课。应该说，数学史是数学文化的重要组成部分，但数学文化还远不是数学史能包容和涵盖的。
其次是概念的泛化。将数学文化和课堂文化混为一谈。课堂上人与人的不断对话、交往、互动无疑是一种文化现象，人们通常称之为课堂文化。事实上，不存在挣脱文化现象的课堂行为。然而，这里的“文化”关涉的是课堂活动本身，而并非指课堂中所承载的数学内容。一个充满着文化现象的数学课堂里，传递的未必就是带有丰富文化意蕴的数学内容，这足以表明二者的区别。不少教师将民主对话、平等交流等都纳入数学文化的领域，这显然不妥，是对数学文化的一种泛化，不利于我们认识数学文化本身，不利于我们准确把握数学真正的文化价值。
那么，究竟什么才是数学文化？数学又拥有怎样的文化价值呢？此处笔者无意于给出关于数学文化的确切定义，倒是更倾向于从这样一个角度给出自己对数学文化的理解。作为一种“看不见的文化”，数学在其发展过程中，伴随着数学知识的发生、生成、传播而在特定的数学共同体内积蓄下的对人的发展具有重要促进和启迪价值的数学思考方法、数学思想观念及数学精神品格等，这些都属于数学文化。具体而言，数学的文化价值主要表现在：首先，“数学是思维的体操”，由于数学并非对客观事物或现象量性特点的直接研究，而是通过相对独立的“模式”的建构，因而它有重要的思维训练功能，对于创造性思维的发展尤具重要意义。其次，数学学习需要激情，但更需要理智，需要数学地思维，因而其对于人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义。再次，数学看起来似乎与价值判断无关，然而数学依然具有至高无上的“善”，数学学习同样具有独特的“教化”功能：比如探索过程中的执着与坚韧；比如论证过程中的务实与谨严；比如数学规则推导过程中的理智与自律；比如数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵。
文化，如何润泽数学课堂
“有些数学课很难体现数学文化，比如‘数与代数’领域的许多内容，尤其像计算课……”类似的声音并不鲜见，我以为，这同样涉及对数学文化价值的定位问题。正如前文所言，如果将数学文化窄化为数学史，那么，“数学文化”势必会成为某些数学课堂的奢侈品，而在更加普遍、更为一般的数学课堂里，它必然只是难以登堂入室的“稀客”。反之，对数学文化的泛化理解，又会带来这样的后果：一切皆为文化，也就没有了文化。
如此看来，教师首先要做的是调适好自己的数学观、数学文化观、数学价值观，这是文化能否润泽课堂的重要前提。唯有澄清了认识，实践才不至于迷失方向。至于如何澄清，那就涉及阅读与积累的问题了。比如，适当阅读一些关于数学文化领域的书籍、资料等，廓清自己对数学文化的理解。再如，可以涉猎一些关于数学历史典故、趣闻轶事等，必要时，还可以了解一些高等数学方面的内容、思想、方法，这对于打开自己的数学视野不失为一种可行的路径。

管季超0712

用文化润泽数学课堂

作者：张齐华    文章来源：人民教育

数学，内在文化的消解及缘由 不得不承认，越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点。然而作为一种推论，既然承认数学自身是一种文化，那么以传承数学为目的的数学课堂，就当然具有了一种内在的文化性。于此种语境之下，再谈“用文化润泽数学课堂”，是否有些不合逻辑？ 问题恰在于此。认同某一事物具有文化性，并不等于这一事物就一定能在所有的境域中彰显出它的文化属性来。比方说，“鱼”很有营养价值，但糟糕的烹饪方式不仅会破坏其固有的营养价值，甚至还可能使其完全丧失营养、变成有害于健康的食物。 烹饪鱼是如此，教学数学又何尝不是这样？事实上，只要稍加辨析便不难发现，我们论定“数学是一种文化”，思考的对象是“科学范畴”里的数学，也即，我们探讨的还只是一般意义上的、以“学术形态”存在的客观的数学科学。此时的数学，它既是“人类创造活动的结晶”，同时，“对人的行为、观念、态度、精神等又具有重要影响”，无论从广义还是狭义上看，它都已具备作为一种文化的资格。然而进入学校视野、课堂范畴的数学，势必经历了一个从“科学数学”向“学校数学”，进而向“教育形态”的“课堂数学”的转换。转换的过程中是否消解了数学原有的文化属性，恰是我们深入探讨数学文化时应着力关注的话题。 现实境况不容乐观。反观当下的数学课堂，由于对知识、技巧等工具性价值的过度追逐，数学原本具有的丰富意蕴日益被单调、枯燥的数学符号所替代，并几乎成为了数学的全部，这使数学本该拥有的文化气质一点点被剥落、以致本属文化范畴的数学，正渐渐丧失着它的文化性。正是在这一意义上，重申“数学文化”，呼吁“还数学以文化之本来面目”，就成为数学实践层面迫切需要解决的问题。 数学的文化消解固然有多方原因，但教师对于数学不同的认知和理解所带来的教学行动的偏差却是重要的原因之一。试想，倘若教师在课堂中只认同数学是一门技术，那么习得、模仿、练习、熟练化势必会成为数学课堂中的强势语言。生活在这样的数学课堂里，学生如何去触摸、领略数学那开阔、丰富、优美、甚而是动人心魄的一面？而换一个视角，在我们的课堂中，倘若数学不再只是数字、符号、公式、规则、程序的简单组合，透过它们，我们可以感受数学丰富的方法、深邃的思想、高贵的精神和品格，领略数学发展进程中的五彩斑斓、多姿多彩，分享数学前行足迹中的创造、超越及其背后折射出的人类的智慧和人性光芒，此时的数学，又将以怎样的姿态展现在课堂？ 如此看来，文化可以在课堂被消解，也同样可以在课堂被重拾。二者之间，差异恰在于视角的切换。所以我一直坚持，文化应该成为数学课堂理应选择的视角和姿态。唯有如此，数学课堂彰显其文化的本性方有可能。

管季超0712

顾沛教授“数学文化漫谈”讲座成功举办

LOCAL时讯         5月30日下午2：00~4：00，由首批国家教学名师顾沛教授主讲的“数学文化漫谈”讲座在北京理工大22号楼学生创新活动中心成功举办。参加此次讲座的有理学院副院长修乃华老师、数学系部分老师以及理学院部分本科生及研究生。     顾沛教授以自己独到的见解对数学文化做了广义和狭义的界定。他提出，数学文化即数学思想、精神、方法、观点、语言及形成发展。在让大家对数学文化有了一定的了解后，顾教授对数学素养进行了耐人寻味的阐述，他强调，数学素养能使人终身受益。接着，他通过“芝诺悖论与无限”、“邮票中的数学文化”、“变换的数学方法”等数学文化中素质教育的例子，向同学们传授如何在具体事物中渗透数学思想、如何提高数学素养与创新实践意识。     顾教授严肃却不乏幽默的讲述与同学们积极睿智的互动相得益彰，整场演讲气氛活跃，掌声此起彼伏。讲座结束时，他对同学们提出了几点要求，希望大家掌握数学观点、理解数学思维、学会数学方法、使用数学语言、了解数学素质。     此次讲座，不仅是一次知识的传授，更是一次思想的交流碰撞；不仅让同学们对数学文化及数学素养有了更深层次的理解，更激励着同学们去探索数学的精髓并学以致用！     附：顾沛教授个人简介     顾沛，男，南开大学数学科学学院教授，首届“国家级教学名师”，天津市数学会常务副理事长，教育部数学与统计学教学指导委员会副主任；        1963年考入北京大学数学力学系，本科毕业；        1978年考入南开大学数学系攻读研究生，获硕士学位，留校；    曾任数学专业主任，数学系系主任，1998年3月以后任数学科学学院副院长至2007年1月；     顾沛获校级以上各种奖励四十余项，其中省部级以上奖励十一项；        1986年被评为天津市教书育人优秀教师，1989年被评为天津市高教局优秀教师；        1997年、2001年及2004年三次获天津市教学成果一等奖；        1998年被评为全国优秀教师；        2001年被评为天津市劳动模范、市级优秀党员，获国家级教学成果一等奖（第一完成人）；        2002年获得由陈省身主持的首届“吴大任—熊知行数学教学奖”，被教育部和国家自然科学基金委评为“国家基础科学人才培养基金实施工作先进工作者”.；        2003年获“国家级教学名师奖”；        2004年被评为“全国师德先进个人”，获“宝钢优秀教师特等奖” ；        2005年获国家级教学成果二等奖（第一完成人）；        2006年，其负责的“抽象代数”课程被评为“国家精品课程”；        2007年，其负责的“数学文化”课程被评为“国家精品课程”；     作为带头人的教学团队被评为首批“国家级教学团队”；     顾沛负责的“国家理科基地”即“南开大学数学人才培养基地”，2002年获“全国五一劳动奖状”；     他负责的“南开大学‘数学文化’课程组”，2007年获“全国五一劳动奖状”。

管季超0712

载2004年11月5日《文汇读书周报》
　

理解数学，才能更好地理解文化 纪志刚

　

　　在写下这个题目的时候，心里是有些顾虑的。一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的技巧，或者是那些似乎不食人间烟火的数学家们躲在自己书房中挖空心思的抽象构造。而“文化”则多是指文学、艺术、音乐、美术，再深刻一些则是宗教、哲学、政治、历史（不过，现在“文化”的概念已经被用滥了）。那么，数学与它们有什么关系呢？
　　还是先说一个例子吧。丹·布朗的小说《达·芬奇密码》甫经问世，就引起了普遍的关注，至今在排行榜上高居不下，形成了一种全球现象。小说里有多少真实，有多少虚构？这里不去评论，而引导小说展开的一条主线则是数学。年迈的馆长在生命的最后时刻，把自己摆成达·芬奇名画《维特鲁威人》中的五角星形的样子，这种五角星形，正是从古代希腊流传下来的“神圣几何学”的一种标志；馆长蘸着自己的鲜血写下的一组数字“13-3-2-21-1-1-8-5”，经过重新排序正是著名的“斐波那契数列” 1-1-2-3-5-8-13-21，这个数列揭示了大自然中许多数学奥秘，如花瓣的瓣数、向日葵的花盘、鹦鹉螺的螺旋形躯壳，等等；而且这个数列又引出了著名的黄金比例1.618！作者甚至在第二十章中用了大段的篇幅来介绍黄金比例的特性及其在生物、建筑、艺术，甚至音乐中的表现。……当然，作者这样做，更多的是为了渲染小说中的神秘气氛，但却在有意或无意之中为我们揭示了数学与西方文化的历史渊源。
　　当然，对普通公众来说，理解数学不一定非要去啃《高等数学》。事实上，就是读完了大学数学系四年的课程，也未必能够了解到数学与文化的关系。因为，“千锤百炼”的数学教科书早已割断了数学与历史、数学与文化的血脉联系。著名数学家柯朗（Courant,1888-1972）在其名著《数学是什么》（1941）第一版的序言中就已指出“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然，这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高思考的能力。数学的研究，有过度专门化和过度抽象化的倾向，忽视了应用以及与其他领域之间的联系。这种状况……必然激起强烈的反感。”
　　柯朗的呼吁在12年后有了回应。1953年，莫里斯·克莱因（Morris Kline,1908-1992）出版了他的《西方文化中的数学》（Mathematics in Western Culture）。作为一位数学家，M·克莱因的主要研究领域是在应用数学和电磁学，他曾任纽约大学柯朗数学科学研究所电磁研究部主任长达20年。柯朗是希尔伯特的学生，是他把哥廷根大学的数学传统带到了美国——那就是注意从整体上把握数学，注意数学史的研究（关于希尔伯特和柯朗，可以读康斯坦斯·瑞德写的两部著名的传记，有中文译本）。与柯朗的密切交往，使M·克莱因对数学有了更深的理解。他感受到“在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。由于外行人很少使用数学技巧及其知识，因此他们对这些通常显得枯燥无味的东西很反感。这样一来的结果是，对于数学这样一门基础性的、富有生命力的、崇高的学科，就连一些受过良好教育的人也持无视甚至轻蔑的态度。的确，对数学的无知已经成了一种社会风尚。”
　　因此，在《西方文化中的数学》的前言中，M·克莱因首先阐明了他的写作目的：
　　本书的目的是为了阐明这样一个观点：在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。
　　克莱因的眼光是深邃的，他敏锐地把握住“数学是西方文化中的一种主要的文化力量”！事实上，正是这种力量孕育了希腊的理性精神，构建了缜密思维的逻辑体系，催生了文艺复兴的人文主义，从而迎来从哥白尼到牛顿科学革命的新的曙光，并把西方文明推向了近代科技发展的快车道。所以，克莱因在书中着重考察了数学如何影响了直到20世纪的人类生活和思想。全书按照历史的顺序对数学思想进行考察，涉及的内容从古巴比伦、古埃及，到希腊数学精神的诞生，从文艺复兴时期数学与艺术的关系，一直到现代的相对论。
　　需要指出的是：尽管本书采用的是历史方法，但却不是一部数学史。历史的顺序碰巧与这门学科的逻辑发展有着惊人的一致性，并且历史方法亦是考察思想如何产生、是什么激发了对这些思想的研究，以及这些思想是如何影响其他领域的最合适的方法。因此，通过阅读本书，读者将得到一份重要的额外收获：数学作为一个整体是如何发展的，数学的活跃时期和沉寂时期与相应的西方文明发展时期的关系怎样，以及文明的进程如何影响数学的内容和本质。克莱因希望：“通过把数学作为现代文明的一个有机组成部分，将能使读者对数学与现代文化之间的关系有全新的认识。”
　　国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编《数学与文化》（1990），汇集了一些数学名家的有关论述，第一章“导论：数学与文化——是与非的观念”，正是译自克莱因此书。现在《西方文化中的数学》中文版的问世，必将使中国读者加深对数学与文化的认识和理解，正如柯朗在为该书所写序言结尾处的赞誉：“我相信，事实将证明这部书所具有的重大价值，而且这部书必将使还没有欣赏到数学全貌和魅力的人，进一步了解数学。”
　　《西方文化中的数学》是克莱因的早期著作，后来他出版的一系列的著作都产生了重要的影响，其中《古今数学思想》、《数学：确定性的丧失》已经为国人所熟知。他的另外两部著作也着重论述数学与文化的关系，它们是：《数学：一种文化探索》（Mathematics, A Cultural Approach, 1962）,《数学与对知识的探索》（Mathematics and the Search for Knowledge,1985）。在复旦版《西方文化中的数学》的封面上，注意到这样一行字“西方数学文化理念传播译丛”，这就给我们留下了更多的期待……

管季超0712

Christer Kiselman

数 学 的 文 化 涵 义* 克·基塞尔曼 张大卫译

目次 1．作为独立学科的数学 2．数学的固定性和可变性 3．作为亚文化和文化元素的数学 4．数学文化(kultureco)的影响 5. 数学的文化涵义 参考文献 一、作为独立学科的数学 人们在中小学以至大学里学过不少数学。尽管如此，人们对教学仍不甚了了，乃至发生误解。有些学生和成年人（因为学生总是要长大的）往往害怕或厌恶数学。这个问题的根源何在呢？是否在于数学的本身的性质？ 人们首先把数学成功地应用于对自然界的研究（天文学、物理学，以后是化学、气象学和生物学），而且这种应用至今仍然十分重要。大概是因为如此，数学被认为是自然科学的一个分支。但是，数学井不属于自然科学。当今它在经济学中的应用是很重要的，它是这类科学的不可缺少的组成部分。仅就其应用而言，数学绝不能划归自然科学。 不过，还有一个不把教学划归自然科学的原则上更为重要的理由。表面上看，数学的发展是由于技术和其他科学的需要，而实质上，它受到与在艺术中起作用的好奇心和求知欲相类似的心理状态的驱使。承计这一点对组织各种年龄（从小学到攻读博士学位）的教育有着重大影响。 为了说明教学的这种独立性，让我来举几个例子。 在广义相对论中，爱因斯坦 (Einstein, 1879－1955) 使用了黎曼几何和能量计算。但是，这些智力工具并非是为物理学而建立的，它早已在纯数学内部发展起来。这类工具的出现早于爱因斯坦使用它们的时候。黎曼 (Riemann, 1826－1866) 引进了现在称为黎曼微分几间的数学理论，在黎曼空间中，人们可以计算各种距离，可以有各种曲率的概念。人们习惯于把能量计算同里奇 (Ricci, 1853－1925) 的名字联系起来，利用它可以处理各种几何量及其在坐标变换下的变化。张量计算变得为人熟知则是由于爱因斯坦把它用于1916年发表的广义相对论中。爱因斯坦是从格罗斯曼 (Grossman, 1878－1936) 那里学到这种技术的。 另一个例子是在希尔伯脱空间中有关自轭变换的谱分裂的理论。这个理论的重要部分， 即连续自轭算符的理论，是希尔伯脱 (Hilbert, 1862－1943) 以纯数学理论的形式建立的，它也不是从物理观测中得出的，但它们对于表述量子定律是必需的。 第三个例子是理论物理中的弦理论。在这个理论中，人们不止一次地用到抽象的和新发 展的数学理论。 威格纳（Wigner）写道：数学的巨大用途有些近乎神秘，不存在任何合理的解释。正是 _________________________ * 原文标题为La Kultura Signifo de la Matematiko，是瑞典著名数学家、乌普萨拉（Uppsala）大学教授兼世界语者克· 基塞尔曼（Christer Kiselman）用世界语（Esperanto）撰写的。中译文据作者置于Internet个人主页上的世界语文本。此文另有瑞典语文本和日语译文。 数学概念的这些令人吃惊的用途激发了统一我们的物理理论的要求 [Wigner 1960:2]。我们还可援引戴森 (Dyson) 的话：对于物理学家来说，数学不仅是用以计算各种现象的工具，而且还是使新理论得以建立的概念和原理的主要源泉 [Dyson 1968]。 不过，数学家并不总是成功的。按照戴森的说法，数学家曾多次错过推进科学的机会[Dyson 1972]。例如，麦克斯韦（Maxwell，1831－1879）方程发表于1873年，它为数学家提供了极其有意义的工作领域, 但却没有受到足够重视。如果他们立即着手研究这个问题，他们也许会比爱因斯坦早几十年发现相对论。这个大胆的断言是基于如下的概念：麦克斯韦方程在某种变换群下形式不变。这个群一般说来是数学的重要课题。麦克斯韦方程在洛仑兹群下是不变的，而牛顿（Newton）力学的方程则是在另一种群即伽利略 (Galilei) 群下不变的。人们发现，洛仑兹群比伽利略群在数学上更简单，更优雅。假如人们早去研究这个群的数学性质，他们也许会发现狭义相对论。自然，应当注意，以上的论证用的都是假定式。我们不能证明，假如数学家做了另外的事，情况将会怎样。戴森的断言虽然令人沮丧，但是却象以上的正面例子那样，证明了如下的信念：数学是独立的，从数学内部可以发现有物 理意义的理论。 鉴于数学的独立性，再参考这里援引的威格纳和戴森的话，我们会间：物理理论是否仅 限于在某个时候数学的理论和方法能够加以处理的那些理论？如果是，为什么这样的数学方 法总是在一定的时候产生？不同的数学是否会产生不同的物理学？这些问题对于数学家的职责有何影响，对于科学政策的制定有何影响？ 二、数学的固定性和可变性 很多人相信，数学是固定的真理的集合，是永恒不变的定律的集合。产生这种信念的原因是不难理解的。人们学过二加二等于四，很难设想这个真理在某个时候会变为谬误。我们看到的地上的石头已有大约十亿年的历史，再过几百万年，它就会变为粉末。但是，再经过这么多年，二加二等于四仍然正确。难道你不相信这一点？数学似乎比我们的物理世界最稳定的成分还要稳定。在其他知识领域，有关世界的一般认识变得更快。按照魏格纳（Wegener, 1880一1930）的理论，大陆是在漂移着的。当我还在学校上学的时候，老师告诉我他的理论是幼稚的、谬误的。而现在，一个公认的事实是，例如，南美洲和非洲在某个时期曾连在一起。我学到的是人有48条染色体。而现在人们说人只有46条染色体，数目48是误数的结果，现在人们在照片上看到的只有46条。我自己的有关世界的知识就这样地变化着。至于数学，我学到的是函数X一〉X4的导数为4X一〉X3，直到现在，我也没有听到过其他说法。这些事实给予我们一个不可磨灭的印象：地质学是发展的，生物学是发展的，而数学是不发展的。真的是不可磨灭吗？ 数学也象其他事物一样是由固定部分和可变部分组成的。人需要坚硬的骨骼还是柔软的 肌肉呢？对于跑步来说，两者都需要。仅有骨骼不能运动。没有骨骼，肌肉就丧失了起作用 的对象。对于一切知识领域，情况都是如此。数学的某些部分看起来似乎固定不变，但另一 些部分却迅速地演变着。学校里教的部分是早已固定了的部分，变动着部分则鲜为人知。因 此，对于普通人所谓数学不象肌肉而更象骨骼的说法就不足为奇了。 在数学方面，每年有几万篇报道新的研究成果的论文发表。人们发现了许多新的事实， 对一些旧的事实也有了新的认识。就此而论, 数学的确类似于其他演进着的科学。（另一方面，我要指出，数学不受实验或观测方面的困难所困扰，而这些困难往往推迟其他科学的进程。） 数学不仅是飞速发展的，它还包含许多不确定性和任意性。恰似数学的固定部分极其稳定，数学的可变部分在其不可驯顺的任意性方面又极其易变。这个事实会使那些因渴望安全 与永恒价值而热爱数学的人感到懊丧，任意性令他们感到幻灭甚至恐惧。 平行公理的历史是这种任意性的一个例子。按照欧几里德（Eŭklido, 公元前约303—275年）公理，通过一给定点正好存在一条直线平行于已知直线。我们能否从其他公理出发证明这个公理呢？这个问题使数学家困扰了两千多年。最后，上一世纪的三位数学家证明了这是不可能的，他们是博利埃（Bolyai, 1802－1860）罗巴切夫斯基（Lobaĉefskij, 1793—1856）和高斯（Gauss, 1777—1855）。证明方法是构造通过给定点可作数条平行线或一条也不能作的几何学。这些几何学同欧几里德几何一样有效、一样真实。通过这些几何学的存在，人们了解到欧几里德平行公理不能由其他公理证明。为什么这个问题的解决需要两千多年呢？人们几乎不能回答这个问题，可能的原因是接受作为人类思想的“不言自明的”出发点的公理的任意性太令人震惊，这也能说明高斯为什么没有公布他的发现，尽管他在当时已如此受人尊敬，公布这个发现绝不会使他的事业蒙受损害。 关于我们的思维能力，另一个有关任意性的例子更为惊人。这个例子涉及如下假设: 实数体 (korpo de la realaj nombroj) R的任何无限子集或者与自然数N或者与R本身具有相同的元素个数。为了用数学符号表示这一假设，我们以kard A标记集合A的基数或简称为A的元素的个数（有限或无限）。这样，连续统假设断言不存在下面的不等式：kard N ＜ kard A ＜ kard R。证明这点是希尔伯脱于1900年在巴黎作为 “未来数学问题”（estontaj problemoj de la matematiko）提出的23个问题中的第一个问题。他认为这个断言很可能是对的[1902:2]。 对于希尔伯脱及与其同时代的其他所有可信赖的数学家来说，或者存在集合A ∈ R使得kard N ＜ kard A ＜ kard R, 或者不存在这样的集合；研究将会告诉我们哪个结果是正确的。但以后证明，这个断言不依赖于其他公理。戈德尔（Gödel, 1906－1978）证明可以把它加到集合论的其他公理中去而不引起（新的）矛盾。而科恩 (Cohen) [n. 1934] 则证明, 把与上述断言相反的断言加得公理中去同样不会引起矛盾。这表明：只要其中存在kard N ＜ kard A ＜ kard R的集合A，此集合论就成立，与集合论一样，连续统假设也成立。 总之，数学不能帮助我们确定在现实世界中过一给定点可以作几条直线与已知直线平 行，也可能帮助我们确定某种无限集是否存在。数学的任意性就表现在这些方面，它使我们 毫无办法。但同时（似乎是自相矛盾的）它又是自然科学的概念和原理的主要的甚至是唯一的源泉，是自然科学表述自身的独一无二的语言。 三、作为亚文化和文化元素的数学 正如我们所看到的，就数学与其他科学的关系而言，它的作用是如此地自相矛盾, 以至有可能也有必要寻求其他观点，籍以理解数学的功能。一种观点是承认数学是人类文化的组成部分，并把它同一般的文化现象加以比较。怀特（White）[1956] 和怀尔德（Wilder）[1981] 曾论及这种观点。 首先，我们说明人类文化的组成有两类：文化元素（kultura elemento）和亚文化（subkulturo）。 前者是人类文明中为所考虑的一群人中绝大多数所共有的文化的组成部分；后者则是这群人中的一部分人所专有的一种文化（这部分人很少或很分散）。 数学既有文化元素的作用又有亚文化的作用。作为文化元素，数学是由某人群所共有的数学知识，概念和能力所组成。保存和发展这种文化元素是普通教育的任务。举例来说，人 们一般并不知道导数和积分的概念，但是，人们会有速度（以每小时公里计量）、加速度（速 度的增加）、银行借贷的利息、一年中月工资的总和等概念，这些概念是各种函数的导数和积分的具体体现，很难精确的指出这种文化元素的界限，但可以证明它是由数学中早已成熟的部分组成的。 作为亚文化的数学只属于一群受过理论数学（scienca matematiko）教育的人。这群人的观点不尽一致，但是，作为亚文化的数学是一个饶有趣味的现象，同诸多其他文化现象相比，特别是同初等数学相比，它因国家不同而出现的差异更小。在古代，人们可以说中国数学、阿拉伯数学、希腊数学和南美数学，但现在几乎不能这样说。 四、数学的文化属性（kultureco①）的影响 为什么我们把数学看作是一种文化呢？一般说来，我们强调某一现象的文化属性是为了理解和预言它的演进（evoluo）。我不敢说我能作出很多预言，但依我看来，对于表面上自相矛盾的科学采取这种观点有助于理解和表述许多难以处理的问题。　数学作为文化元素和作为亚文化这两种观念在教育中存在着明显的冲突。教育机构既传讲文化元素又教授亚文化，只是随着年龄的不同，两种观念的混合程度也不同。我的确不能评论全世界的数学教育，但我不能不指出在许多国家数学教育是不成功的。它过于形式化，过于注重常规能力的传授。这就给学生一种印象：数学是全世界最枯燥无味的知识领域。 在心理学中，人们往往把智慧区分为两种：会聚智慧（konverĝa inteligento）和发散智慧（diverĝa inteligento）。第一种是从已知条件出发求得唯一的或几乎唯一的解的能力。第二种是从已知条件出发循各种途径求得适当解的能力；但在这些解中没有一个是最好的。中学数学的缺点是它仅仅激发会聚智慧，留给学生的题目都是针对常规方法而设计的。而发散智慧被认为是不必要的。显然，会聚智慧是发散智慧的特殊情形，人们多半是首先尝试这种智慧，以便发展出各种工作方法，然后将它们用于需要发散智慧的更复杂的情形。可以理解，在任何科学的探索领城，发散智慧是不可缺少的，否则就谈不上探索。 我们可以按三条准则将数学粗略地（也许过分粗略）分类，即按文化、按可变性和按智慧类型来分类。分类结果如下： 文化元素数学 | 亚文化数学 不变的数学,“骨骼” | 可变的有任意性的数学,“肌肉” 需要会聚智慧 | 需要发散智慧 　　　　　 这些分类是否彼此一致？如果是，我们应当尽力改变文化元素。因为我认为，如果普通数学教育变得更灵活，更少规范化，如果解答它的习题需要更多的发散智慧，那么它就会变得更加有效。为什么呢？因为这样数学的应用变得更有效、更现实、更可信，这些都会对所有用到数学的知识领域产生积极的影响。但是，改革教育殊非易事，因为喜欢应用会聚智慧的人都已被吸引到数学上来，他们不喜欢使数学变得“柔软些”（malpli “osta”）。 五、数学的文化涵义 最后，我们谈谈作为亚文化和作为文化元素的数学的文化涵义。这涵义当然取决于各种 特定的价值尺度。我只想指出数学的四个性质，以便同其他科学和文化现象作比较： 甲、国际性 乙、优美性 丙、对我们认识世界的影响 _________________________ ① 世界语“kultureco”系由词根 “kultur”(文化) + 后缀“ec”（性质，属性）+ 名词词尾“o”构成。 丁、对我们的固有的思维能力和信念的影响 谈到国际性。必须指出没有一件事物是绝对国际性的，文化现象多少要随人群的不同而变化。当然，亚文化数学较之许多其他文化现象更具国际性，也比许多科学特别是社会科学更具国际性。这会影响到数学教育，使之更具国际性，这显然是好事。但是，我们应当注意 理论数学不是完全国际性的，其中存在若干民族特征。应当把国际性同高级通讯工具的发展 所带来的国际交流区分开。 同对待所有的文化现象一样，我们会问：文化的演进“规律”是什么？哪条规律最重要？什么东西决定那条规律最重要？能够决定什么最重要的乃是真实的能力（vera potenco）。 数学的优美性是其本质特征，诸多观点都认为它很重要。同艺术一样，优美性有其自身的价值。非但如此，当理论的发展有几种可能的形式可供选择时，优美性会帮助我们迅速地作出决择。 数学影响我们对世界的认识；在最数学化的学科中甚至没有其他语言。至今为止，数学最富有排序功能：保证我们的世界是有序的和可预言的，而不是杂乱无章的。事实上，对预 言（日月蚀和天气）的偏爱是追求数学化的重要源泉。而且连杂乱本身也有自己的数学！数学的确影响我们对世界的看法。但达到何种程度呢？ 数学还影响我们的精神。与计算机不同，人脑是要受其所从事的工作的影响而改变的，这至少是在年轻时如此，人脑就象一台在工作中会创造自身的计算机。年轻人的语言和理论工作会影响他们的大脑的发展。因此选择好的工作就显得愈益重要。如果我们能从困难的情况出发解决问题，我们就赢得了个性。这样，数学既能增强我们的自信心（如果我们成功了） 也会破坏我们的自信心（如果我们失败了）。 所有这些都表明，重要的是创造一个尽可能好的数学环境，特别是在幼儿时期。 参 考 文 献 Dyson, Freeman J. 1968. Mathematics in the physical science，En Mathematics in the Modern, World, San-Fransicko: W. H. Freeman, paĝoj 249-257. Dyson, Freeman J．1972. Missed Opportunities．Bulletin of theAmerican Mathemathal Society. 78, 635-652. Hilbert, David. 1902．Sur le problèmes futurs des mathématique. Compte rendu du duexième congrès internatinal des mathématiciens, 58-114. Parizo: Gauthiers-Villars. White, Leslie A. 1956. The locus of mathematlcal reality: An anthropological footnote．En The World of Mathematics, paĝoj 2348-2364．Red. James R．Newman．Novjorko: Simon and Schuster． Wigner, Eugen P. 1960. The unrasonable effectiveness of mathematics in the physical sciences．Communications on Pure and Applied Mathematics, 13, 114． Wilder, Raymond L. 1981. Mathematics as a Cultural System．Pergamon Press．