顾沛：数学文化[视频]

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数学文化与数学教养

李大潜
（复旦大学教授，中国科学院院士，教育部高等学校教学与统计学教学指导委员会主任委员）


要谈数学文化，首先就碰到“什么是文化”这个问题，与此相关的还有“文化”、“文明”这两个经常在口头或书面混用的词究竟有没有区别或究竟有何区别这样一些问题。这些问题不弄清楚，立论难免会有偏颇。但这种咬文嚼字的工作，却不是我们数学家的强项，逻辑思维再好，也是愈想愈不明白的。无奈之下，只好去查字典。正好手头有一本辞海，那儿在“文化”这一条目中写着：“广义指人类在社会实践过程中所获得的物质、精神的生产能力和创造的物质、精神财富的总和。狭义指精神生产能力和精神产品，包括一切社会意识形态：自然科学、技术科学、社会意识形态。”无论是广义的还是狭义的，看了以后都有些不得要领。再看“文明”这一个条目，写得到相当干脆，说“犹言文化。如：物质文明；精神文明”。这就为我们在一定条件下将文化与文明这两个字眼不斤斤计较它们可能有的区别而加以混用开了绿灯。但到底什么是“文化”呢?问题还是没有解决。于是接着查英汉大辞典。其中对“Culture”的中译为“文化，文明；教养，修养；陶冶，教育”，而对“Civilization”之中译则为“文明；(特定地区、国家和时期的)文化、社会和生活方式；开化，教化(过程)”。这进一步说明了文化与文明这两个字语至少在不少情况下的确可以混用，而具体到底用哪一个，要根据现在约定俗成的语言习惯，也会夹杂着用者个人不同的品味。至于“文化”的含义，综合这两个大辞典上的说法，我觉得在精神及意识形态的层面上，够得上称为文化，特别是够得上称为先进文化，应该在下面的两个方面均有所体现：一是在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面，在推动人类物质文明和精神文明的发展中，起过或(和)起着积极的作用，甚至具有某种里程碑意义的。二是在这一历史进程中，通过长期的积累与沉淀，自觉不自觉地转化为人类的素质与教养，使人们在精神与品格上得到升华的。人类在认识世界与改造世界的过程中，也自然会加深认识并不断改造着自己，向更高更完善的境界前进。因此，这两方面既有区别，又密切联系，总起来就组成了人类文明的进程，构成了人类文明的发展史，也形成了现今意义上的文化。

正是基于这样一个总的认识，下面将主要就三个方面的内容发表一些不成熟的看法，供大家参考，并欢迎批评指正。


一、数学是一种先进的文化

先谈谈对数学这门学科的看法和认识。

数学是什么?按照恩格斯的说法，数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。这是对数学的一个概括、中肯而又相对来说易于为公众了解和接受的说法。尽管从恩格斯到现在，数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中数量关系和空间形式的认识和理解也
已今非昔比、大大深化和发展了，但恩格斯的说法应该说仍然有效，没有必要从根本上加以改变。

长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，对数学的重要性及其作用逐渐形成了自己的认识和看法，而且这种认识和看法随着时代的进步也在不断发展。现在概括起来，大概有下面这么几条：


1．数学是一类知识

从小时候识数开始，经小学、中学到大学，数学都是必修的重要课程。数学作为人类必不可少的一类知识，地位已经牢固地确立。和科举时代只学四书五经相比，时代毕竟是大大地前进了。



2．数学是一种语言
数学是一种科学的语言。伽利略就曾说过：“宇宙这本书是用数学语言写成的……除非你首先学懂了它的语言……这本书是无法读懂的。”数学这种科学的语言，如果运用得当，是十分精确的，这是数学这门学科的特点。同时，这种语言又是世界通用的。加减乘除，乘方开方，指数对数，微分积分，常数等，这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋，但早已统一为一个固定的样式，世界各地通用。正因为如此，尽管不怎么精通外文，往往还是可以凭着文中的记号及公式把外文书籍或论文中有关的数学结论猜个八九不离十。数学是一种精确的科学语言这一点，应该容易成为人们的共识。


3．数学是一个工具


数学是一个有力的工具，在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，已经是一个不争的事实。在现代，数学作为四化建设的重要武器，在很多重要的领域中更起着关键性、甚至决定性作用，这一点也愈来愈清楚地为人们所认识。


4．数学是一个基础


数学是各门科学的基础。不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础。现在，很多科学(特别是很多自然科学)中的数学化趋势，有的己初见端倪，也已是呼之欲出。


5．数学是一门科学

数学不仅具有上述那些服务性的功能，而且特色鲜明，自成体系，本身是一门重要的科学。按照恩格斯的说法，自然科学是以研究物质的某一运动形态为特征的，而数学则不然，它是忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的。数学和物理、化学、天文、地学、生物等自然科学不属于同一个层次，不是自然科学的一种，而是和研究思维规律的哲学类似，具有超于具体科学之上、普遍适用的特征。现在的数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学内涵的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。好多学校的数学系改名为数学科学学院，反映了这一个现状和趋势。

6．数学是一门技术

过去一支笔、一张纸就能搞定的数学，竟然可以成为一门技术，似乎是匪夷所思。但是，数学的思想和方法与计算技术的结合的确已经形成了技术，而且是一种关键性的、可实现的技术，称为“数学技术”。它本质上是数学的内容物化为计算机的软件及硬件，成为技术的一个重要组成部分和关键，从而也可以转化为先进的生产力。“高技术本质上是一种数学技术”的观点现已为愈来愈多的人们所认同。


7．数学是一种文化

数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础。它的产生和发展伴随着人类文明的进程，并在其中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。

远在古希腊时代，著名的毕达哥拉斯学派的信条就是“万物皆数’’(这儿的数指的是整数)，他们是通过数来理解整个世界的。在数学史上，古希腊的数学是一个极为辉煌的时期，整个古希腊的文明是与其相伴并以其为基础的。在古希腊，一个不懂得数学的人不算一个有文化、上档次的人，是被人轻视，难以进入大雅之堂的。柏拉图在雅典学院的门口大书“不懂几何学的人不得入内”，就充分体现了这一点。在当时，懂不懂数学是身份、品位和文明的象征，数学是作为一种高雅的文化得到人们的尊重的。这正像在俄国过去的沙龙中，人们是以说法语为荣的。在俄国的上层社会，懂不懂法语成了有没有文化上不上档次的一个标志。托尔斯泰的《战争与和平》中有着大段大段直接用法文写出的对话，就是一个明证。文艺复兴是在中世纪的黑暗统治之后力图恢复古希腊的文明及传统，所以称为文艺复兴。这个传统一直延续下来，应该说，在西方，数学作为一种文化、作为一种文明的象征受到尊重，是有悠久历史的。

在我们国家，情形有很大的不同。在过去，一个人懂得诗词歌赋，会得琴棋书画，甚至会写一点儿八股文，就被尊为文人，就被认为有文化、有知识、有品味，科举的大门为他们敞开，升官晋爵的机遇也主要向他们提供。而懂得数学，好的，大体上被视为一个能工巧匠：
不好的，甚至视为另类，视为一个不食人间烟火的怪物，恐怕很少会有人把这和文化沾边、觉得有什么文化的。这种情况现在有了一些转变，但要在内心深处承认数学是一种文化，而且是在推动历史进步、人类文明发展方面起重要作用的文化，是人类文明重要的支柱；要在内心深处认为对数学必须大力弘扬，必须努力创造条件使数学在我国更快的发展，为人类的文明做出更大的贡献；要在内心深处承认自己的数学根底不够不是一个可以炫耀的资本，而是一个严重的缺憾，是一个拦路的障碍，不仅自己要努力学好数学，而且要鼓励、推动下一代学好数学、用好数学，凡此等等，无疑还需要作很多细致深入的工作，也还需要假以时日。

鉴于对数学是一种先进的文化这一点，现在认识到的人还不多，在我们国家也似乎一直没有引起足够的重视，有必要多作一些说明。其实，只需看下面几个例子，就足以看到：数学在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。

(1)记数与进位。
数学开始于数数。原始人大约只能区分1与多，碰到3就觉得多了，三人为“众”大概就是这样来的。后来有了十进制(在巴比伦是六十进制，在古代法国是二十进制，但基本点是相同的)，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0这十个数字，再加上逢十进一，就可以表示世界上任何一个数字。这是现在的人们从小就知道的事实，似乎是天经地义的。然而，这却是数学给人类文明带来的一个不可磨灭的巨大贡献。没有了它，稍微大一些的数字就会使人晕头转向，更谈不上庞大的天文数字或是极其微小的数字了，现今金融行业或科学试验中种种复杂或高精度的数学运算根本不可能进行，我们还能有如此高度发达的文明社会吗?


(2)零。在人们的常识中，似乎O与l，2，3，4，5，6，7，8，9一样是同时出现并处于同等地位的，但是零的出现与使用，却要晚得多，它的作用也颇为特殊。中国是最早提出零这个概念的国家，在运算中出现零的地方，留下一个空格来表示，这就不至于引起混淆，而用“0”这一个符号来表示零，则是印度人的贡献。这是东方文明的一个划时代的成果。在欧洲，一直到文艺复兴初期，还不知道、不承认这一点，并将“O”作为异教的符号而一律加排斥和打击。因此，直到那个时期，欧洲人很少能顺利地进行乘除法，更不用说开方运算了。我们常说祖冲对圆周率精确计算到小数点后第七位，领先于欧洲近千年。其实，祖冲之计算圆周率的方法本质上还是公元前2世纪多阿基米德提出的割圆术，在方法上并不比欧洲人领先。说祖冲之的结果领先欧洲近千年，本质上应该是中国人比欧洲早近千年使用了零这个符号，从而更早掌握了乘除法及开方的艺术。零的出现和使用，无疑是数学对人类文明的一个石破天惊的巨大贡献。

(3)欧几里得几何。人们生活着的世界究竟是什么样子的?究竟具有怎样的空间形式?这是人类在认识世界与改造世界时所不可回避的大问题。公元前3世纪古希腊的欧几里得集当时几何知识的大成所著的“几何原本”，是后来称为欧几里得几何的经典，一直沿用至今，其中不少内容已经成为人们的常识，并且为人类的基本生活及生产活动提供了可靠的依据。没有它，不可能有古代的金字塔和万里长城，也不可能有现代的摩天大楼和三峡工程。几何学这一历史悠久的数学分支，深刻影响着人类文明的进程，至今仍在发挥着不可替代的重要作用。


(4)对数。将任何一个正数用某一个给定正数的指数幂来表示，这个指数幂就称为这个正数以此给定正数为底的对数。这一个看起来是“概念的游戏”，可以将任何两个正数的乘除运算化为相应指数幂(对数)的加减运算，实现了由乘除到加减这一个惊人的转换，使人们从大量繁复的乘除运算中解放了出来，无疑是对生产力的一次巨大解放和推动。和其他的数学发现不一样，对数的发明事先似乎并无任何征兆，仿佛一下子突然降临到人间，然而，它是以计算实践的迫切需要为强烈背景的。正如对数的创始者纳皮尔(J．Napier)所说：“要实际应用数学，我看最大的障碍就是处理数字的相乘、相除，或且求取二次或三次方根……因此我开始思考，有没有什么方法可以去除这些障碍”。正因为这样，对数这一发明一开始就得到普遍的欢迎和广泛的应用，又一次显示了数学文化的威力。

(5)解析几何与微积分。解析几何与微积分作为现代数学登上历史舞台的突出标志，是人类文明的重要瑰宝。正如恩格斯所说，有了它们，“才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程，即运动。”它们的发明，是受到产业革命需要的强烈推动的，尽管当时理论上还很不成熟，甚至有相当大的混乱(特别对微积分是如此)，但由于所得的结果总是对的，仍然得到普遍的采用并迅速得以推广，至于其严格理论基础的建立则是后来的事了。这说明数学一旦显示了了它在人类认识世界和改造世界中的巨大的作用，就必然会作为一种数学文化显示出巨大的生命力，推动着人类的进步，改写着人类的历史。

这样的例子可以说不胜枚举，但就从这些例子已足以看出：数学过去是、现在是、将来也将是一种先进的文化，它带领着、推动着、影响着人类的文明进程，深刻地改变着世界的面貌，也改变着人类本身的思维能力和认识水平，改变着人类的本身。人类充分享受着数学文化的恩惠，但往往浑然不觉，习以为常，对数学文化重要性缺乏自觉的认识，因而不可能不从消极方面影响到自身的成长及人类社会进一步走向更高级的文明，这是值得认真反思并引起足够重视的。古人说：“天不生件尼，万古长如夜。”如果没有数学，没有数学的进步，
人们可能还生活在中世纪的黑暗中，过着“长如夜”的生活，我们有什么理由不尊重数学文化，不重视数学文比引领和熏陶作用呢?
二、自觉接受数学文化的熏陶，努力增进自身的数学教养


从小学到中学，从中学到大学，从大学到研究生阶段，人们都在学习数学。那么，为什么要学习数学，或静说学习数学的目的究竟何在呢?答案似乎很简单：学习数学，不就是要获得数学知识，要学得一大堆重要的致学概念、定理、公式和结论，懂得各种各样的数学方去和手段吗?这种单纯以学习知识为目的的观点，将教争仅仅看成是知识的传授，是很片面的，也是很有害的。至于现在中小学的数学教育中，将完整的数学知识体系手分割为若干互不联系的支离破碎的知识点，孤立地进行讲授，甚至还按照考试大纲的要求，在教学中决定这些知识点的取舍或轻重，更是误人子弟，流毒非浅，等面下之了。


1．学习数学学科的目的


无论是对中小学还是对大学，无论是对理工科还是对文科，无论是对青少年还是对成人，应该努力达到如下三个方面的要求：

(1)通过学习数学，对数学这个学科有一个基本正确的认识和理解，对数学的重要性，对数学在推进人类社会物质文明与精神文明发展方面的重要作用，对数学是一种先进的文化，包括对数学带来的美感，有一个基本的认同和体会。因而对数学有一种仰慕和敬重，有一种向往和热爱，有一种亲和力。如果觉得数学纸上谈兵，毫无用处，觉得数学高不可攀，难以理解，觉得数学枯燥无味，甚至面目可憎，对其敬而远之，退避三舍，这样的数学教与学，无疑是失败的。

(2)通过学习数学，特别是通过数学严格的训练，能逐步领会到数学的精神实质和思想方法，在潜移默化中积累起一些优良的素质，造就自己的数学教养，不仅变得更加聪明起来，而且对今后一生的发展都会起着重要的积极作用。这一点，特别体现了数学教育本身就是一种素质教育。忽略了这一点，就失去了数学教育的灵魂。

(3)通过学习数学，不仅积累数学的知识和方法，掌握必要的工具和技巧，而且提高了将数学有效地用于解决现实世界中种种实际问题的自觉性和主动性，并具备一定的能力，今后能够和他人合作或想到和他人合作，运用数学思想和工具来解决自己在工作中碰到的一些关键问题。在这方面，要求在一定的程度上熟练掌握关键的数学知识和方法，也要求用数学来解决实际问题的意识和能力，并要求将二者结合起来。

如果达到了上面这三方面的要求，数学的教与学应该说才是真正完满地实现了自己的任务，否则，就是不完全的、有缺憾的，甚至是不成功的。当然对不同的情况，这三方面的要求应有不同的侧重。例如对文科的学生，学习数学的目的应更多放在对数学文化的认同与理
解方面，而对数学知识及方法之掌握要求与熟练程度，不应列为重点。而对理工科的学生，在熟练掌握并灵活运用数学知识与方法方面就应有更高的要求，但对数学文化的理解及数学教养的加强，仍应高度重视。

2．数学素质与数学教养的问题

强调这一点，是和将数学的教学仅仅看成是知识的传授这种观点相对立的，也是体现素质教育精神的。

如果将数学教学仅仅看成是知识的传授(特别是那种照本宣科式的传授)，那么即使包罗了再多的定理和公式，可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用；而掌握可数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。许多在实际工作中成功地应用了数学并取得相当突出成绩的数学系毕业生都有这样的体会：在工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不很多，学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处，有的甚至已经淡忘，但所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。因此，如果就事论事，仅仅将数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素质的提高，就失去了数学课程最本质的特点和要求，失去了开设数学课程的意义。

实际上，通过严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质。这些素质是其他课程的学习和其他方面的实践所无法替代或难以达到的，而且，即使所学的数学知识已经淡忘，这些素质作为一个人的数学教养仍不会消失，将始终发挥积极的作用。初步归纳一下，这些素质有：

(1)使学生树立明确的数量观念，“胸中有数”，会认真注意事物的数量方面及其变化规律。

(2)提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理分明，能有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。

(3)培养学生的抽象思维能力，面对错综复杂的现象，能抓住主要矛盾，突出事物的本质，有效地解决问题。

(4)数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。

(5)数学上追求的是最有用(广泛)的结论、最低的条件(代价)以及最简明的证明，可以使学生形成精益求精的风格。

(6)使学生知道数学概念、方法和理论的产生和发展的渊源和过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。

(7)可以增强学生拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从困难局面中理出头绪，最终解决问题。

(8)调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，逐步显露出自己的聪明才智。

(9)使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所面对的问题的本质或特点，估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴。

数学知识的传授，如果不满足于填鸭式的灌注，而是更多地针对数学这门学科的特点，采取启发、诱导的方式，就可以使学生在学习知识的过程中，逐步地由不自觉到自觉地将这些方面的素质耳濡目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，变成他们的数学教养，终生受用不尽。
三、关于开展数学文化教学的一些建议

如前所述，数学的教学不能仅仅看成是知识的传授，而应该使学生在学习知识、培养能力和提高素质诸方面笥得到教益，兼顾数学文化和数学教养方面的要求。但是，无论是弘扬数学文化，还是增进数学教养，都应该是也只能是学生在学习数学的过程中实现的，是必须以认真学习数学知识、严格加强数学训练作为载体来完成的。我们不应该将弘扬数学文化作为数学课堂教学以外的东西，想力设法从外面加进来，相反，应该认识到这是数学课程教学的内在要求和有机组成。结合数学的课堂教学，特别是主干数学课程的数学教学，在讲授数学知识的同时，将有关数学的重要发现与发明，摆到当时的历史环境中来分析，并结合现今的发展及应用，揭示它们在数学文化层面上的意义及作用，因势利导，顺水推舟，而达到画龙点睛的效果，使学生在润物细无声之情境中得到深刻的启示。这样，日积月累，潜移默化，就能达到应有的效果。

现在，数学文化的主题已开始引起了大家的注意，一些有关数学文化的教学活动也逐步开展了起来，这无疑是数学教学改革的一个进步，值得进一步提倡。但是，除了对文科类学生的数学课程主要就应该是数学文化课以外，在已有的数学课程之外，单独开设数学文化课程，恐怕只能是在现有数学课程中数学文化内涵薄弱、亟待改革而尚未认真改革的现状之下无可奈何的一种做法，应该说是一种权宜之计，是在承认数学文化重要性的前提下，作为“补丁”外加到原有的数学教学体系中去的。这种做法，只能算是一种初级阶段的表现，要进入高级阶段，一定要使数学文化的思想融化到现有的数学课程中去。只有这样，才能更有效地弘扬数学文化，使学生更自觉地接受数学文化的熏陶，养成良好的数学教养。

正是基于这样一个定位，数学文化课程更要注意贯彻少而精的原则，不能贪大求全，片面追求自成体系，使篇幅愈来愈大、内容愈加愈多、教材愈编愈厚。否则，就要走向烦琐哲学，不仅达不到应有的效果，反而会损坏了数学文化的基本精神，走向自己的反面。为此，一定要扣紧数学文化这一主题，不要将这一类课程变成数学史，变成高级科普，变成趣味数学，或者变成数学哲学之类的东西。虽然，在阐明数学作为一种先进的文化时，不可避免地会涉及一些数学的历史，需要对数学知识作一些必要补充，也可能会辅以若干趣味的成分或观念的阐发，但这不能代替数学文化的内涵，不能冲淡阐明数学的精神实质和思想方法、阐明数学在人类认识世界与改造世界中的关键作用这一主旨。同时，要抓住最有代表性、最有启发性的内容来展开，切忌轻重不分，面面俱到，更不要在一些枝节内容和问题上用数学文化的放大镜拼命挖掘什么“微言大义”，把数学文化的内容变成一个大杂烩。要弘扬数学文化，内容不必多，但要精，只要抓住一些数学在人类认识世界与改造世界中起过或(和)起着关键性、甚至决定性的作用，深刻影响着人类文明进程的内容来充分阐述，学生就一定能举一反三，触类旁通，真正为数学文明所折服，提倡数学文化的目的也就达到了。从这个意义上说，开设若干次有关数学文化的讲座，每次一个主题，或相应地要求学生阅读有关的材料，比摆开阵势系统地讲授一门数学文化的课程，可能更少受到束缚，也会更有效果。这正是我们在高等教育出版社支持下编辑“数学文化小丛书”的目的，也切望大家对这套小丛书大力支持，并踊跃提供书稿。


摘自《中国大学教学》2008-10

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从数学学科走向数学文化

常州市觅渡桥小学
金松武

一直以来，数学局限在自己的学科领域中，以科学的姿态出现在儿童的学习过程中的，它带有严谨性、科学性、系统性。数学教学始终把解决呆板、枯燥、繁难的题目作为核心任务。在这样的定位下，我们时常会碰到这样的尴尬：学生在努力学习数学的同时，逐渐地厌烦、冷漠数学；学生学习数学除了做数学习题以外，数学很难进入学生的生活，不能成为学生生活和精神的一部分。数学似乎就是单一、了无生气的数字、符号和图形。一旦数学解题的任务完成后，数学教育的功能也就消失了，这不能不说是数学的悲哀。
在新课程的背景下，我们一直在反思数学教育的价值。一般来说，数学教育的功能和任务主要体现在两个方面：一是提供给学生一门技术性，工具性的学科，以适应今后生活及工作的需要，二是训练和培养学生的思维能力，提高人们的科学素养。但我们不得不承认，不同岗位、不同层次的人对数学的感悟和应用是千差万别的。但其中有一个共同的东西是可以让每一个人能够终身受益的，那就是数学的文化。
数学文化意义其核心是数学的观念、意识和思维方式。 所谓数学的观念和意识，也就是人们常说的数学的头脑、数学的素养，准确地说是指推理意识、抽象意识、整体意识和化归意识。比如说推理意识，它体现了演绎逻辑的可靠性、严谨性和思维方式的广泛性、深刻性，这有助于学生不盲从、有条理、善思辩，在错综复杂的问题面前不被表面现象所迷惑，而能够透过现象，洞察事物的本质，揭示相互之间的关系，从而更有效地解决问题。
一个人的价值观念决定一个人的思维方式，一个人的思维方式是通过行为方式表现出来的，也就是说，教师的观念只有从数学学科教学中跳出来，走向数学文化，才能根本性转变数学在人们心目中的形象。
“数学文化”的实施应尽可能有机结合现有数学课程各模块的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，反映数学在人类社会进步、人类文化建设中的作用，同时也反映社会发展对数学发展的促进作用。学生通过数学文化的学习，将了解人类社会发展对数学发展的促进作用，认识数学发生发展的必然规律；了解数学对推动人类社会发展的作用，了解数学对于其他各种科学、技术、文化发展的作用；了解人类从数学的角度认识客观世界的过程；发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学体系的系统性和严密性，了解数学真理的相对性。
鉴于以上的认识，我们在建设数学文化的进程中，从四个方面立体式地进行思考。


数学文化建设的五种途径



课堂教学
校本课程
数学专题网站
学生数学社团组织
下面我就这五个方面谈谈想法和做法。
一、数学课堂教学——以数学小课题研究为主要的学习模型
一直以来数学教学基本上是按照教科书的知识点进行教学的，这样安排优势是知识比较系统、知识点分散学生容易掌握，但缺失的地方是知识比较零碎，学生在建构知识链的时候比较困难，更重要的是由于知识点的分散本来伴随着知识学习过程培养出来的能力、情感、态度等都会受到影响。而开展数学小课题的研究，是基于本册教科书的知识安排，打破重组以一个专题的形式呈现出来，这样把一部分知识很好地联结起来，丰富了知识的背景和拓展。专题的展开以探究式学习方式来进行。
比如《绘制我们的校园》，以比例尺知识为核心，开展实践性活动。活动分三个板块：第一板块：确定各建筑物的方位，测量各建筑物的长、宽。在这个活动中涉及到怎样测量的策略问题，学生要在实际操作中进行调整。第二板块：绘制平面图。在绘制的过程中，就遇到了比例尺、图上距离、实际距离的问题，教师适时介入进行教学。学生利用新的知识解决画在图纸上的问题。绘制时，涉及到方位问题、制图问题，学生自己主动寻找美术老师对他们进行指导。第三板块：制作模型。这个板块是在活动的过程中生成出来的。在绘制平面图后，学生想制作立体模型图，陈列到学校的门口。于是数学老师和美术老师同上一节课，数学老师解决数学测量中高的问题，美术老师解决制作立体模型的问题。
在这过程中，不仅体现了学科之间的综合，更有学生本身内部知识的综合运用，以及知识本身涉及不到的东西，比如与人合作、策略调整、人际交往等等。二年级的《我们去春游》综合了活动策划、购买东西、购票策略、活动体验等等，综合了加减乘除的知识；《今天我当家》主要是让学生体验一天时间里的买菜、烧饭、安排活动等，在这过程中对克、千克、秤的知识有了认识；还有《包装的问题》《我爱学校》等等活动，让学生在学习过程中不仅学到了知识，而且还参与到社会、生活中学习与人交往、与人合作、与人分享等人文的东西。学科之间还得到了很好的整合，学习方式也得到了很大的改善。网络学习、合作学习、质疑、调整策略、超越现有的知识寻找更高层次的知识来帮助自己解决问题等等，都在数学小课题研究中得到体现。数学所承载的任务也就更加多元，综合性更强。
二、校本课程——把更丰富的数学资源引进学习的领域
在数学文化建设的过程中，一定要有数学校本课程这一途径。数学校本课程的建设把数学更为丰富地资源引进了学生数学学习的生活中。比如：数学史、数学游戏
由于每节课的时间有限，教师在完成知识教学的任务后，很难再有时间让学生了解数学知识发展的过程。但数学史在数学的过程中，确实非常重要的。数学史首先被看作理解数学的一种途径。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。
一般说来，历史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程，而不仅仅是教科书中那些千锤百炼、天衣无缝，同时也相对地失去了生气与天然的、已经被标本化了的数学。从这个意义上说，历史可以引导我们创造一种探索与研究的课堂气氛，而不是单纯地传授知识。这既可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神，历史上许多著名问题的提出与解决方法还十分有助于他们理解与掌握所学的内容。
数学史可以包括：
1、数学知识的来源和背景。

2、揭示数学思想方法
3、引导数学欣赏
4、介绍名数学家的故事以及他们的成果
许多大数学家在成长过程中遭遇过挫折，不少著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，介绍一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使学生在数学方法上从反面获得全新的体会（这往往能够获得比从正面讲解更好的效果），而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。数学思想形成中的曲折与艰辛以及那些伟大的探索者的失败与成功还可以使学生体会到，数学既不仅仅是训练思维的体操，也不仅仅是科学研究的工具，它有着丰富得多的人文内涵。
结合小学生的特点，可以引进和开辟一系列的数学游戏：推理游戏、七巧板游戏、算二十四点游戏、数棋游戏、智力魔珠。
三、数学专题网站——学生更自由而广阔的数学学习世界
在当今知识外储化的时代，学生的学习时空不应该仅仅局限于学校，而应该随时随地满足学生的学习需求。网络，就满足了学生的这种需求。我们所建设的数学专题网站主要是面向小学的学生（当然教师和中学的学生也能参与），设计时也是从数学文化这一理念下进行的。有7个板块组成：闯关GOGOGO，让每个年级的学生都可以在这里进行数学冲浪，解决问题，获得积分，体验成功和竞争；数学小游戏，让学生在学习数学之余能轻松地玩玩游戏，正如有学生说道：“原来我的爸爸不让我上网，怕我沉迷于不良的网络游戏，现在没有关系了，我可以上觅小的数学网站玩一些数学游戏了。”；数学故事，让学生在一个个精彩的故事中感受数学的好玩；数学小论文，让学生把自己的数学学习心得体会发表在网站上与同学共享；数学人物，让学生在网上能与数学家“亲密接触”；数学思考，教会学生一些解决问题的策略。所有的板块，学生都可以自己上传，经过学生斑主审核就可以发表上去，并也能获得相应的积分。在这个网络社区里，学生学习数学是自由的，快乐的；数学是好玩的，有价值的。数学学习由学生自己来主宰。
四、学生数学社团组织——挥洒学生数学才华的场所
在这个组织中，学生是活动的主人，由学生去策划、组织、实施。比如演讲数学家的故事、制作数学电脑小报、撰写数学小论文、开展数学猜谜活动、进行数学解题能力竞赛活动、演绎数学综艺节目等等。
比如数学小论文可以是自己在学习数学过程中的体会感受；可以数学研究的过程和结果；可以是对自己的数学知识、经验带有感情色彩的回味、反刍；可以是写的数学童话；更可以是用数学解决的实际问题。比如有学生写的《买房中的数学》，就描述了学生在自己家庭的购房过程中，怎样利用数学知识解决如何贷款的问题；《道路中的数学》研究了在怎样改造养护路面，才能使总费用最少？因为那个孩子的父亲是道路建设方面的工程师；《1+1一定等于2吗？》学生从各个角度叙述了对1+1不一定等于二的事例，反思数学思考要突破常规想法。还可以聘请专家对学生的数学小论文进行质疑、点评，促使学生对数学问题更深入的探究。这些数学小论文的产生不仅仅需要学生用数学的眼光去观察世界、用数学的方式去思考问题，还综合了学生语言描述的能力，以及当众讲话的勇气，还可以鼓励学生使用（幻灯片）来演示，体验现代信息技术的作用。
文化的传播和发展需要一个积累、沉淀的过程，数学文化建设犹如喝茶，要慢慢地品尝。让数学教育的价值在每一个人身上能够有更多的沉淀和积累，作为他个人文化底蕴不可缺少的一块基石而伴随他的一生！

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数学是一种文化

来源：网络

- 谈到数学，绝大多数人的印象是严格、抽象，或许还有枯燥。但是，笔者好友、《通俗数学名著译丛》的主要策划者、上海教育出版社的叶中豪先生则认为：“数学是一种文化，而文化就是要被继承的东西。” 　　仔细地想一想，事实也确实如此：世界上的语言、文字、宗教、党派都有地域之分，但世上只有一种数学，数学定理又能万世流传。按中豪的说法，数学确实是最具有文化特征的了。 　　可惜的是，99％的数学至今仍掌握在远远不到1％的人的头脑中。于是我们不可避免地遇到一个棘手的问题：数学究竟是精英文化还是大众文化？ 　　看看伟大的数学家庞加莱是怎么说的，庞加莱说： 　　科学家研究自然并不是因为它有用，他研究它是因为他喜爱它，他喜爱它是因为它美。如果它不美，它就不值得被人知道，而如果自然不值得知道，人也就不值得活下去。当然，我这里说的并不是那种激动感官的美---那种品质上和外观上的美；并不是我低估那种美，远远不是如此，但那种美跟科学不相干；我说的是各部分之间和谐有序的更深刻的美，是一个纯洁的心灵所能掌握的美。 　　显然，庞加莱指的“科学”主要是理论科学，包括数学。他似乎也支持科学（包括数学）是一种精英文化。 　　这篇文章当然不可能解决这个问题，《通俗数学名著译丛》也不是对这一问题的回答。但中豪认为，数学过分地远离公众，并不是一件好事；或许学术界允许哈代这样孤独的数学精英存在，但出版界既然承担起传播知识的作用，显然应有别种角度的考虑。事实上，中豪和数学界的史树中、李文林等诸位教授的努力，使得《通俗数学名著译丛》出版并在社会上引起很好反响，这确实是为社会奉献了一套“精英的礼物”。 　　笔者读过这套丛书中的许多本，也和中豪交流过许多次，这套丛书可以告诉读者什么呢？ 　　首先要讲的是对读者的引导问题。数学界近年有一个新名词，叫核心数学。也就是说，衡量一个数学家的水平，主要并不是看他解题水平有多高。数学家的主要工作，就是从一些必要的前提出发，尽可能多地建立结构或关联，这种结构的选择并不具有任意性，因为数学的结构有重要和不重要之分。 　　中豪认为，数学所具有的客观性，是任何智慧生命所不可避免的“命运”。作为一门科学，数学必须强调普遍性；在某种意义上说，只有核心数学（强调重要结构的那部分数学）才是不可避免的。一个数学问题或理论，如果只有一个人或少数几个人研究过，无法继承下去，最终只能成为后人从陈年故纸堆中翻出来的思维调料，这样的数学就算不上是好的数学，也就称不上是核心数学。 　　在一般人心目中，“高级数学”就是哥德巴赫猜想。该丛书中的《数学：新的黄金时代》、《20世纪数学：五大指导理论》、《计算出人意料》，可以告诉读者，在20世纪，什么数学是最重要的。 　　其次，要把数学看作是一种高级趣味，能够帮助人们提高自身的修养。该丛书中有一本《数论妙趣》，把高斯称为“数学之皇后”的数论描写得生动有趣，读来真是一种享受；《数：科学的语言》是一本名著，对于了解数学文化提供了很好的帮助；《无穷之旅》把神秘的“无穷大”描述得淋漓尽致，读了这本书，读者就会明白与现实生活“相去甚远”的无穷大，实际上在文化史上扮演了一个相当重要的角色。即将出版的《制胜之道》，作者是剑桥大学著名数学家康威等人。作为“生命游戏”的创立者、20世纪无可争议的天才，康威采集了几乎有史以来所有的数学游戏，而且这些游戏不是一般的游戏，有很深的数学（比如群论）背景。这样的书极难写，大概只有《GEB---一条永恒的黄金辫带》才能与之媲美；《当代数学：为了人类心智的荣耀》则对现代数学作了相当出色的概括。其作者是世界著名数学家、布尔巴基的笔杆子迪厄多内。这本书书名就取得相当之好，看来迪厄多内与庞加莱的思想有不谋而合之处。 　　有一些人，他的数学成绩很好，工作中也用到了数学，但他们可能仅仅把数学看作一种手段，而不是目的。他们的目的是什么呢？赚更多的钱，享受更好的物质生活，也就是追求世俗权力。但请大家想一想，如果我们视数学为目的，就像迪厄多内所说的棗为了心智的荣耀，那么，考试还会有作弊吗？论文还会有剽窃吗？换言之，如果我们学习任何一门科学，都不是为了名利，而是为了亲身理解科学的实质，那么谁还会采取不正当手段呢？我欣赏“为科学而科学”这种以科学本身为目的的说法，希望这套丛书在弘扬这种观点方面能起一定作用。 　　最后要谈的是，有一个事实很无情地摆在我们面前，中国古代虽然取得了不少数学成就，出现了一些大数学家，可《通俗数学名著译丛》没有一本涉及到中国古代数学。 　　作为一个科技传播工作者，我对此深感痛心。为什么《时间简史》在国际上印了1000万册，在占人口五分之一的中国只印了20万册（而且这还是一本炒作出来的书，别的科普佳作的印数还要小得多）？弄懂了这一点，也就能体会出像中豪那样有强烈社会责任心的编辑策划《通俗数学名著译丛》的良苦用心了。

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有一些人，他的数学成绩很好，工作中也用到了数学，但他们可能仅仅把数学看作一种手段，而不是目的。他们的目的是什么？赚更多的钱，享受更好的物质生活，也就是追求世俗权力。但请大家想一想，如果我们视数学为目的，就像迪厄多内所说的棗为了心智的荣耀，那么，考试还会有作弊吗？论文还会有剽窃吗？换言之，如果我们学习任何一门科，都不是为了名利，而是为了亲身理解科学的实质，那么谁还会采取不正当手段呢？我欣赏“为科学而科学”这种以科学身为目的的说法，希望这套丛书在弘扬这种观点方面能起一定作用。
    最要谈的是，有一个事实很无情地在我们面前，中国古代虽然取得了不少数学成就，出现了一些大数学家，可《通俗数学名著译丛》没有一本涉及到中国古代数学。
    作为一个科技传播工作者，我对此深感痛心。为什么《时间简史》在国际上印了1000万册，在占人口五分之一的中国只印了20万册（而且这还一本炒作出来的书，别的科普佳作的印数还要小得多）？弄懂了这一点，也就能体会出像中豪那样有强烈社会责任心的编辑策划《通俗数学名著译丛》的良苦用心了。

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数学是一种文化     文/葛之     　 来源：易文网

谈到数学，绝大多数人的印象是严格、抽象，或许还有枯燥。但是，笔者好友、《通俗数学名著译丛》的主要策划者、上海教育出版社的叶中豪先生则认为：“数学是一种文化，文化就是要被继承的东西。” 　　仔细地想一想，事实也确实如此：世界上的语言、文字、宗教、党派都有地域之分，但世上只有一种数学，数学定理又能万世流传。按中豪的说法，数学确实是最具有文化特征的了。 　　可惜的是，99％的数学至今仍掌握在远远不到1％的人的头脑中。于是我们不可避免地遇到一个棘手的问题：数学究竟是精英文化还是众文化？ 　　看看伟大的数学家庞加莱是怎么说的，庞加莱说： 　　科学家研究自然并不是因为它有用他研究它是因为他喜爱它，他喜爱它是因为它美。如果它不美，它就不值得被人知道，而如果自然不值得知道，人也就不值得活下去。当然，我这里说的并不是那种激感官的美---那种品质上和外观上的美；并不是我低估那种美，远远不是如此，但那种美跟科学不相干；我说的是各部分之间和谐有序的更深刻的美，是一个纯洁的心灵所能掌握的美。 　　显然，庞加莱指的“科学”主要是理论科学，包括数学。他似乎也支持科学（包括数学）是一种精英文化。 　　这篇章当然不可能解决这个问题，《通俗数学名著译丛》也不是对这一问题的回答。但中豪认为，数学过分地远离公众，并不是件好事；或许学术界允许哈代这样孤独的数学精英存在，但出版界既然承担起传播知识的作用，显然应有别种角度的考虑。事实，中豪和数学界的史树中、李文林等诸位教授的努力，使得《通俗数学名著译丛》出版并在社会上引起很好反响，这确实是为社会奉献了一套“精英的礼物”。     笔者读过这套丛书中的许多本，也和中豪交流过许多次这套丛书可以告诉读者什么呢？ 　　首先要讲的是对读者的引导问题。数学界近年有一个新名词，叫核心数学。也就是说，衡量一个数学家的水平，主要并不是看他解题水平有多高。数学家的主要工作，就是一些必要的前提出发，尽可能多地建立结构或关联，这种结构的选择并不具有任意性，因为数学的结构有重要和不重要分。 　　中豪认为，数学所具有的客观性，是任何智慧生命所不可避免的“命运”。作为一门科学，数学必须强调普遍性；在某种意义上说，只有核心数学（强调重要结构的那部分数学）才是不可避免的。一个数学问题或理论，如果只有一人或少数几个人研究过，无法继承下去，最终只能成为后人从陈年故纸堆中翻出来的思维调料，这样的数学就算不上是好的数学，也就称不上是核心数学。     在一般人心目中，“高级数学”就是哥德巴赫猜想。该丛书中的《数学：新的黄金时代》、《20世纪数学的五大指导理论》、《计算出人意料》，可以告诉读者，在20世纪，什么数学是最重要的。     其次，要把数学看作是一种高级趣味，能够帮助人们提高自身的修养。该丛书中有一本《数论妙趣》，把高斯称为“数学之皇后”的数论描写得生动有趣，读来真是一种享受；《数：科学的语言》是一本名著，对于了解数学文化提供了很好的帮助；《无穷之旅把神秘的“无穷大”描述得淋漓尽致，读了这本书，读者就会明白与现实生活“相去甚远”的无穷大，实际上在文化史上扮演了一个相当重要的角色。即将出版的《稳操胜券》，作者是剑桥大学著名数学家康威等人。作为生命游戏”的创立者、20世纪无可争议的天才，康威采集了几乎有史以来所有的数学游戏，而且这些游戏不是一般的游戏，有很深的数学（比如群论）背景。这样的书极难写，大概只有《GEB──一条永恒的黄金辫带》才能与之媲美；《当代数学──为了人类心智的荣耀》则对现代数学作了相当出色的概括。其作者是世界著名数学家、布尔巴基的笔杆子迪厄多内。这本书书名就取得相当之好，看来迪厄多内与庞加莱的思想有不谋而合处。

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数学文化及其应用

北京大学数学科学院教授　张顺燕

    数学既不严峻，也不遥远，它既和所有的人类活动有关，又对每一个真正感兴趣的人有益。

　　R．C．Buck

　　数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。

　　J．N．Kapur

　　诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。

　　王国维

　　数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。

　　对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门科学的知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。今从以下几个方面来谈这个问题。

一、数学与美

　　中国古代著名哲学家庄子说：“判天地之美，析万物之理。”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天──大宇宙；地，自然界及其中一切动植物──中宇宙；人──最精密、最完善的小宇宙。既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。著名物理学家李政道说得好：“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。”

顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。因而数学教育是审美素质教育的一部分。

数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。讲述数学之美有利于培养鉴赏力。值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。狄拉克后来说：“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。”

为什么把美看得这样重要？因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说，美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道：

　　美就是真，

　　真就是美—这就是

　　你所知道的，

　　和你应该知道的。

　　法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。

　　那么，什么是美呢？美有两条标准：一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。”（海森堡）。这是科学和艺术共同追求的东西。希尔伯特说：“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。”

对美的追求起源于古代。毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，击弦发出的声音听起来是和谐的。正是基于这种认识，毕达哥拉斯学派定出了音律。顺便指出，我国在古代也以同样的方式确定了音律。这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系，是人类历史上一个真正重大的发现。牛顿的万有引力公式，爱因斯坦的质能转换公式，既是美，又是真。

数学的美表现在什么地方呢？表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。

为什么我们这样重视美？并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？因为人们常常忽视它。人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。

二、数学是什么

　　给数学下定义是一个困难的问题。对任何事物下定义都遇到同样的困难。因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。
　　数学是数和形的学问。数学是一棵参天大树。它的根深深地扎在我们的现实世界。它有两个主干，一曰形─几何，一曰数─代数。
　　这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史；
　　这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝；
　　这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；
　　这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。见不到数学整体的宏伟和谐调。
　　我们先看数学大树的两大主干：几何与代数。
　　几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；
　　代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。
　　记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。特别要注意到，这两者相辅相成。没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。庞加莱说：“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。”英国数学家阿蒂亚说：“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。
　　如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。这就产生了微积分。它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。
　　那么，什么是数学呢？19世纪恩格斯给数学下了这样的定义：
　　“数学是关于空间形式和数量关系的科学。”
　　恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。于是人们又考虑数学的新定义
　　数学是关于模式和秩序的科学。我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。通过数学建立模式可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。
　　模式和秩序的科学都是数学吗？物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。
　　物理学的基本元素：基本粒子。
　　生物学的基本元素：细胞。
　　数学呢？数，形，机会，算法与变化。
　　数学的处理对象分成三组：数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。
　　数学提供了有特色的思考方式：
　　抽象化：选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：
　　符号化：把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。
　　公理化：从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。归纳与演绎并用。
　　最优化：考察所有的可能性，从中寻求最优解。
　　建立模型：对现实现象进行分析。从中找出数量关系，并化为数学问题。
　　应用这些思考方式的经验构成数学能力。这是当今信息时代越来越重要的一种智力。它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。

三、数学的内容

　　大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。

　　初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。

　　初等数学基本上是常量的数学。

　　高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：

　　解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。

　　线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。

　　高等代数：研究方程式的求根问题。

　　微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。

　　概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。

　　所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。

　　四、数学的特点

　　数学区分于其它学科的明显特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。

　　从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。

　　数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。

　　数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。

　　五、关于中等教育

　　为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。以下几点应当受到注意：
　　1．将应试教育转为素养教育。要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应考。这对我们民族的长远利益是极关重要的。
　　2．中学数学教育的中心应实现三个转变：从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；从常量数学到变量数学的转变；从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。
　　3．向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准备。
　　4．计算机教育应尽早进行。计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。首先，建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞察力，理解力，以及数学直观。其次，离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。
　　科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教育议事日程上极其重要的问题。数学是科学和技术的基础。数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。

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讲义见附件              

　　附件： 20100614095458454.doc

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“第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪”，顾教授讲道，第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由英国大主教贝克莱(ＢｉｓｈｏｐＢｅｒｋｅｌｙ)提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。

    危机的消解来自给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算及关系精确地表述出来。

    顾教授谈道，第三次数学危机罗素悖论则成就了“数学基础”的曙光——集合论，到19世纪，数学从各方面走向成熟。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。1922年，弗兰克加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。

   “数学的发展有顺利也有曲折。危机也意味着挑战，解决危机就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学史上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。”顾教授说。

   “勾股定理”、“蒲丰投针”、“阿基里斯追乌龟”这些数学典故也被顾教授讲述得绘声绘色，同时还将类比、抽象、归纳等这些数学思想穿插其中，使数学这门严肃的科学立刻生动立体起来，使与会者真正感悟到了数学真谛。

    顾教授最后表示，“这些例子虽然并不是从学校的教材中选来的，但参加报告会的老师们可以由此拓宽思路后，举一反三，从各自教学的材料中找到许多类似的例子，丰富自身的数学文化教学；对于不是教师的听众，也一定能从生活、生产实践中，找到许多类似的例子，由此提高数学素养，透过现象看本质，感悟到数学之美。”