孙晓天数学新课程散论

教师之友网 · 发表于 2012-8-13 19:35:56

孙晓天数学新课程散论

孙晓天

　　《标准》正在贯彻实施，依据《标准》编写的实验教材正在实验区展开实验，进一步的实验将在更广阔的范围里进行。《标准》明确了数学课程改革的目标，实验教材指出了实现这些目标的可能途径，教学则是教师在《标准》理论指导下，通过合理地运用教材，引导学生实现《标准》提出的目标的过程。在这个意义下，数学教学实践对贯彻《标准》，实现课程改革的目标至关重要。下面结合具体例子，就几个需要关注的内容作一些深度分析，谈一些看法。
　　直线、射线与空间观念
　　线段、直线和射线是小学数学课程的基本内容。如果对传统几何课程作纵向考察，小学阶段学习线段、直线和射线的原因，更多的是出于为以后继续学习平面图形及其性质做准备。线段对应着后来的直线型，直线对应着后来的平行线，射线对应着后来的角。这些对应都是在平面上发展的，虽然与空间想像力有关，但并没有充分反映《标准》所刻画的空间观念。而且各种版本教材在具体处理直线、平行线和射线的内容时，普遍存在着牵强和生硬的问题。如书本上根本画不出那种向两端无限延长的直线和平行线，在学生的生活里也很难找到它们的原形；教材中的射线通常与作角联系在一起，但学生们常常在课堂上提出“书上的角不都是用线段作的吗”这样的问题。的确，线段又何尝不能做角呢？凡此种种，我们有必要研究学生在小学阶段学习线段、直线和射线的原因，如果只是为以后继续学习平面图形及其性质做准备，直线和射线的教育价值就会大打折扣。
　　作为最基本的几何图形，线段、直线和射线应当是伴随着学生一起长大的几何课程的起点。在学生的直接经验里早就有了直和曲的概念。虽然学生们在现实生活里找不到课本上讲的那种向两端无限延长的直线，而向一端延长的射线，每天都伴随着他们。学生们的目光——视线，来自灯光和阳光的光线，就都是射线，视线和光线是学生们熟悉的生活的一部分。在学生们的生活里，他们早就知道如何在捉迷藏的时候躲过同伴的搜索，他们早就知道阴影的形成是由于光线照射不到。个人经验已经使他们领悟到视线和光线是“直”的，自己的目光存在于眼睛和被视物体之间等等。正因为如此，他们的目光里才那样充满向往，甚至憧憬用自己的目光洞穿遥远的苍穹。所以对学生来说，把目光形容为一种射线，应当不难接受。况且，我们还能举出学生们可以接受的、别的关于射线的例子吗？数学课程要给学生提供机会，使他们意识到几乎每时每刻都在运用属于自己的射线——视线，理解视线在二维空间和三维空间中的作用。
　　认识到视线——射线的作用，那些在传统几何课程中难觅踪迹的投影、视图、直观推理等与培养空间观念息息相关的内容，就可以逐渐浮现出来了。这些内容的基础是投影，而投影的基础是射线（视线、光线）。作为空间与图形领域不可或缺的重要题材，以往总觉得投影、视图、直观推理是非常艰深的数学概念，是离中小学生很远的数学内容。如果把这些抽象的概念和学生的视线、影子这些熟悉的现象联系在一起，学生就会明白，这些东西就在我们身边。
　　空间与人类的生存紧密相关，了解、探索和把握空间能使学生更好地生存、活动和成长。从射线再到投影，是一个能够由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化的过程。
　　这是一个包括观察、想像、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的对客观事物的认识过程。这是建立在对周围环境直接感知基础上的对空间与平面相互关系的理解和把握，是学生对生活中的空间与数学课本上的空间之间密切关系的领悟。这不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程。把上述表现进一步向前延伸，尝试着把那些感知到的，在直观的水平上有所把握的，基于直观的表象、联想和特征的东西表示出来，学生对空间的把握，就会从感知不断发展上升为一种能力。
　　在这个意义上，明确直线、射线、视图、投影与空间之间的关系，对于认识空间，发展学生的空间观念，培养学生初步的创新精神和实践能力是十分重要的。这就是研究直线、射线的教育价值的真正含义。
　　实践活动与数学应用
　　传统的数学课程与学生熟悉的现实生活距离较远，对数学应用的处理总是留有人为编造的痕迹。而且几何、代数都是遵循各自的学科体系，以直线式的结构发展的，它们相互之间的联系不多，即使有一些联系也比较牵强，综合运用就更谈不上了。这在一定程度上造成了我们的学生强于基础、弱于应用，强于答卷、弱于动手，强于考试、弱于创造的局面。这些问题的出现与课程结构有关，所以也应当通过调整课程结构来解决。
　　《标准》的具体做法是在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一领域。这个领域的存在，沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，使得几何、代数和统计的内容有可能以交织在一起的形式出现，使发展学生综合应用知识的能力成为必须学习的内容。这对于改变学生的学习方式，让学生在学习的过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，帮助学生全面地认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥作用等方面具有重要意义。
　　与实际问题有关的数学，一般是以不同学科相互交织的形态呈现的。收集数据要用到调查统计，处理数据要用到数、式、方程、函数或图形、表格，解决问题要用到推理、证明或计算，对得出的结果要通过实践检验，要做预测、推断等等。解决实际问题是一个将不同学科的方法综合运用的过程，很少有只做计算、只进行推理或只画出一个表格就可以解决的实际问题。这种综合运用的体验，能使学生实实在在地体会到数学的本原。
　　实践与综合应用的基本特点是，它是一种具有现实性、问题性、实践性、综合性和探索性的学习活动。结合学生的生活经验和知识背景，从现实生活中发现、选择和确定问题，引导学生以自主探索与合作交流的方式理解数学，认识数学，发展解决问题的策略，体会数学与现实生活的联系，这就是在数学课程体系中设置实践与综合应用领域的意义。
　　下面通过一个实践活动的例子，看一看什么样的题材和形式，能体现上面提到的实践与综合运用的意义：
　　树的重要性体现在树可以通过光合作用释放氧气。一棵树释放氧气量的多少取决于这棵树全部树叶的面积。
　　围绕树、树叶和氧气的实践活动可以这样设计和组织：
　　●在你家或学校周围找一棵阔叶树。
　　●估算这棵树有多少片树叶。
　　●按照这棵树树叶的一般大小（不是太大和太小的）搜集5片树叶（注意搜集树叶时不能伤害到树）。
　　1．想办法计算这几片树叶的面积，并由此算出这棵树每片树叶的平均面积.
　　2．算算这棵树上树叶的总面积。
　　3．在有阳光时，大约25平方米的树叶能在一天里释放足够一个人呼吸所需的氧气。你选的这棵树在有阳光时，一天里释放的氧气能满足多少人呼吸的需要？
　　4．假设森林中一棵树要占地20平方米，如果每棵树的树叶面积和你计算的那棵树一样，估算一下在有阳光的日子里，要为你们全班同学提供足够的氧气需要多大一片森林？为全校同学呢？
　　5．想办法了解一下你所在的城市的森林面积。如果有可能的话与5年之前的森林面积做一下比较，算算增加或减少的百分比。
　　6．完成上面的事情之后，你现在会想些什么？我们的生活离不开木材，所以要砍伐一些树；我们的呼吸又离不开树，所以要保护森林。我们应该怎么办呢？根据你获得的数据和已经取得的结果，说说你的看法。
　　回答“这棵树有多少片树叶”这样的问题，至少学生不能只呆在教室里，要亲自选材、观察、统计、实验、测算、估算，低学段可能要借助面积和比率，高学段可能会用到方程……计算器也有用武之地。总之，可以选择的解决问题的策略相当广泛，无论哪一种策略都和学生已有的知识体验有关。虽然这样的问题富有挑战性，但不仅不会把学生难倒，反而对他们相当有吸引力。把树叶的数量以及光合作用后产生的氧气量结合在一起，又把数学的实践活动引向绿色环保的主题，成为环境教育和素质教育的好题材。
　　我们希望多一些这样的实践活动。目前，数学教学实践中的实践活动比较常见的是与购物、交通、环境有关的题材。对于孩子来说，这类实践活动的可行性和安全性值得商量。在考虑和设计实践活动的时候，我们的视野应当再宽一些。
　　平均数、中位数、众数与统计观念
　　义务教育阶级的统计与概率，重点是让学生形成初步的数据处理意识和统计观念。由于统计与概率是《标准》的新增部分，所以这部分内容看上去“新”概念、术语、公式、法则比较多，会使人觉得有点“难”。需要特别强调的是，这一领域学习的重点不是概念，不要求表述的统一性、规范性，应淡化术语，抓住实质，重在理解和应用，即能够在具有现实背景的问题情境中，准确地理解和使用统计与概率的一些基本的概念、手段和思想方法。
　　以平均数、中位数和众数为例，这三个统计量都是反映数据集中程度的统计量，如众数的实际意义是出现频率最多的数，中位数的意义是居于分布中间的数。这些术语虽然听起来有些生疏，其实它们的内涵与学生的现实生活贴得很紧。求出数据的平均数、中位数、众数并不难，重要的是使学生理解这三个统计量的意义，并能够对计算结果的实际意义作出解释。能根据具体问题选择适当的统计量以抓住数据的不同特征，逐步形成对统计量的选择能力。总之，使学生认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。这些才是我们的目的。
　　下面的例子(引自香港教育署2002“学与教资源”)，是工会和资方关于薪水问题的一场讨论，孰是孰非尽由数据说话。
　　背景：某公司的员工工会领袖与公司的主席陈先生商讨加薪问题。
　　工会领袖：工人们需要多些金钱去应付正在上升的生活成本，并且在工会内没有一个人的月薪多于17 500元。
　　陈先生：成本真的上涨了。公司也要付出更多的金钱购买原料，因此公司的利润亦减少了。除此之外，公司员工的平均月薪金为19 000元，在目前来说公司不能再付出更高的工资。
　　当天晚上，工会召开了一个紧急会议。一位普通文员说：“我们每月薪金只有7 500元，在公司里人数最多的工人每月薪金也只有12 000元，我们期望薪金至少能增加到这一水平。”
　　工会领袖于是决定仔细分析薪金的资料。他在出纳处取得下表：

工作类别	员工数目	月薪(元)	是否工会会员
主席	1	150 000	不是
副主席	2	90 000	不是
董事	3	60 000	不是
分行经理	3	45 000	不是
主任	3	30 000	不是
工长	6	17 500	是
出纳文员	3	14 000	是
秘书	6	12 500	是
工人	30	12 000	是
售货员	15	8 000	是
普通文员	6	7 500	是
总数	78	1482 000
算术平均数＝1 482 000÷78＝19 000元

　　对此，工会领袖认为：陈先生的话听起来虽然是对的，但平均薪金被一些高级行政人员的薪金拉高了。因此平均薪金并不是大部分员工薪金的真实写照。所以普通文员的要求亦是合理的。每位工人的薪金是12 000元，这是最多的人（30人）的薪金——“众数”，即使如此，仍有21位工会会员的薪金少于12 000元。
　　最后，工会领袖考虑了薪金的中位数。将所有雇员的薪金按从低到高排列，位于中间的薪金介于第39和第40个雇员之间。由于他们的薪金都是12 000元，因此薪金的中位数也是12 000元。
　　根据上面的背景，讨论以下问题：
　　1．在这里，应使用：（1）算术平均数；（2）中位数；（3）众数。
　　2．假如把21位最低薪金者的工资提升到12 000元，找出新的：（1）算术平均数；（2）中位数；（3）众数。
　　3．假如21位最低薪金者都获得加薪，而且加薪幅度一样。
　　（1）哪个量保持不变？
　　（2）哪个量改变了？为什么？
　　(3)如果只增加一两个文员的薪金。
　　（a）哪个量肯定要改变？
　　（b）哪个量受到的影响最小？
　　（c）对中位数有什么影响？
　　4．如果只增加主席的薪金而使公司的平均薪金增加了1 000元，主席的新薪金是多少？
　　5．如果公司解雇一个工长和两个工人，平均薪金将增加？减少？还是不变？为什么？
　　管理层自然倾向于使用平均数，工会方面将倾向于中位数，而低薪者则倾向于众数。对这个问题的讨论，肯定会引起学生的兴趣。对于学生是支持工会还是支持老板的观点，是没有惟一答案的，可以基于不同角色的工作性质及其观点，让学生在讨论中有意倾向于某一方面展开讨论。当然任何一种看法都要提出理由。在学生中间一定蕴涵着丰富的、有创意的、合理的观点，要鼓励学生从不同角度、不同层面进行思考。
　　平均数、中位数、众数的相对优缺点


	算术平均数	中位数	众　数
考虑所有数据	√	×	×
便于使用	√
容易受极值影响	√	×	×
惟一的	√		可多于一个

　　使用统计量必须与相关背景结合在一起，另外还要考虑使用这些统计量的人的出发点。通过经历收集数据、描述数据、分析数据、选择统计量的过程，以及对老板方面的结论进行合理质疑，对上述问题就不难作出合理的决策。而且随着讨论与研究的逐渐深入，选择适当的统计量，抓住数据不同特征的重要意义就会不断地显现出来。这样的学习活动会使学生逐步形成对统计量的选择能力，这是讨论这个问题的重要目的，其中也揭示了义务教育阶段学习统计与概率的一些基本特征。
　　以上就推进数学新课程过程中，在教学方面需要关注的几个个案问题进行了探讨。其实类似的课题还有很多，希望我们一起来发现问题、研究问题和解决问题，共同推动新课程的健康发展。

教师之友网 · 发表于 2012-8-13 19:39:11

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教师之友网 · 发表于 2012-8-13 19:37:45

孙晓天：小学数学要注重长远与长效

从整体上把握小学数学，着眼点很多。要想理出头绪、抓住重点，“放眼长远、注重长效”最重要。
放眼长远是核心
长远是就目标而言。无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将发挥重要作用。小学数学课程虽然与高考、就业一类的目标相距尚远，但却是整个基础教育数学课程最重要的部分。因此，小学数学教育应当具有立足长远、放眼长远的功能。
然而，现实情况不容乐观。应试教育的负面作用挥之不去，以缺少节制的“又对、又快、又准”为标志的评价体系，仍在压抑着学生本应生机勃勃的活力。数学多半只在考试中露峥嵘，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便会就此再见。这样的数学谈何长远？
毫无疑问，数学大有用场。但数学教育有没有长远眼光将取决于：我们是不是为孩子提供了培育兴趣、应用、应变、自信、求实、责任、想象和创造的环境。我们是不是摆脱了题型教育、考试教育的束缚，是不是给过孩子自己足够的空间，让他们能够独立地去想一想、试一试，而不是完全按照老师的理解，或是书本上的某个模式去照抄照搬。这些都关乎学生“终身学习的愿望和能力”。
数学教育是数学的教育，离不开作为科学的数学。不少前辈一再强调，学数学就要坐得住冷板凳，就要经得起枯燥和抽象的考验。这对专业数学工作者毋庸置疑，但将这样的主张贯之于小学则基本是谬误。板着面孔、与枯燥寂寞相伴的数学难以走进孩子的心灵。
注重长效是关键
小学数学的长远目标能否落实，关键是要为长效提供支撑。
有效教学是小学数学教育研究特别热衷的课题。有效教学指教学的结果与预期的教学目标匹配程度高。需要注意的是，“有效”有长、短之分。简单地说，管长远、能一生受用的效果就是长效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依时间考量，长效要长期积累，难于一蹴而就；短效可立竿见影，易在一节课内形成。同时，眼前和长远相互依托，缺一不可。
那短效与长效之间的关系是怎样的呢？一方面，没有一次次短效的磨炼和积累，长效难以形成；另一方面，某些需要通过高强度、高密度训练才能记住并掌握的定义、定理、公式、算法，注定在人们心里留存的时间不会太久。白天学过的内容，晚上没带书可能就想不起来。然而，探索、发现这些定义、定理、公式和算法的过程中形成的积淀，运用这些定义、定理、公式和算法解决实际问题的经验和体会倒可能会长远留存。这样的经历多了，积累也就多了，不经意间，往往形成了一些相对稳定的与数学有关的见解，或者说是思路。这些都能长久地驻留在学生心中，并能在一生的学习、生活和职业生涯中派上用场，成为个人发展的重要支撑点。因此，漠视“探索发现那些定义、定理、公式和算法的过程”的数学教学，收获的多半是短效，而得来得快、忘得也快的教学大体上是无效的。
因此，短效虽然易得，但长效更是关键，短效要为长效服务，要以长效为目标。一方面把“过程与方法”、“情感、态度与价值观”实实在在地纳入有效教学的视野。同时，对以密集型、机械性、速率式、硬指标为特征的教学策略要有个清醒的认识。
练就注重长效的“独门功夫”
举“测量”为例。当学生认识了角之后，面对形形色色、五花八门的角，比较大小的问题随之浮出水面，测量成为定量认识角的主题，包括单位和实测两层含义。一是“单位”，也就是大家都认可的度量单位。小学阶段“单位”的重心在理解和具体感受单位的实际意义，像掂一掂500克一袋的盐、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。这些看上去没什么“数学味儿”的举动，都是感受和理解单位时不可或缺的尝试。更重要的是，单位本身是规定的结果。公度的必要性和规定性源自人类通过不同途径，长期摸索之后形成的共识，是人类的共同语言。对学生来说，这里有很大的讨论、活动和探索空间。在教学上下点功夫，能帮助学生认识单位的标准作用和平台作用，懂得个别和一般的关系，知道如何在估计与精确之间作出选择，逐步认识到数学为什么需要抽象，等等，而这些都有助于学生接近和发现数学的本质，都与长效联系在一起。二是“量”，即如何实测的问题。教学的重心应当从学生自己的经验出发，从“真刀真枪”的问题开始，通过鼓励学生使用自创的工具和单位，逐步导向规范的工具和单位，引导学生多角度摸索测量的方法，逐步从不那么正规的测量单位和方法一步步接近直至能够达到科学的测量。测量课应当是用一连串的“为什么”串起来的“发现”课，每个结论的得出都应当伴随着学生自己的发现、归纳与整理。学生不仅要知道如何量，还要知道量的方法从哪里来，知道书本上的测量对象和生活中的测量对象的关系，知道测量的意义。
如果小学阶段仅仅把测量处理成照本宣科的技能教学，只是采取多快好省、照抄照搬、纸上谈兵的方式灌输和训练，就可能浪费了这一题材的教育价值。如果因为测量不是考试中的重头戏而在教学上敷衍了事，结果就更可怕。学生对数学越来越明显地敬而远之，学习数学的目的越来越趋于实际，多半与此有关。
小学阶段的测量，不是单纯的技能培养与训练，而是一块为学生探索与发现准备的沃土。它提供给学生通过自己的眼和手去发现与认识世界的机会，它能自然地沟通过程与结果之间的联系，能把学生探索的目光从书本、教室引向生活、社会，能为学生提供实实在在的动手机会，让他们“真刀真枪”地解决几个真正的问题。不仅是测量，小学数学课程中的许多技能，多半会随着儿童的成长淡淡隐去，而伴随着一连串“为什么”发现的规律、道理和方法倒有可能长久留存，成为伴随学生一生的本领。
放眼长远、注重长效能否在教学中得到体现，关系到新课程推进的质量。当前数学教学中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是该适可而止的，哪些是该着力推进的，这一切都将建基于教师的见识和视野，决定着新课程的主张能否践行.

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