话说“无限”

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话说“无限”

张奠宙

（上海华东师范大学数学系。200062）

无限， 是一个普通名词， 又是一个数学名词。 人们可以心想无限，口说无限，各门学科也会提到无限， 但只有数学， 才正面研究无限，运用无限， 给无限以明确的界说。关于无限的数学， 是人类智慧的结晶。中学数学课堂能够谈论无限，应该是数学教学品位的一种体现。 这篇文字，对于“提高数学考试成绩”也许没有什么帮助。 但是，如果能够细细反思已经学习过的数学，欣赏无限之美， 也许别有一番感受。 数学， 毕竟不是仅仅会做题而已。

（一） 无限意识
任何人都有“无限”的意识。凡是自己不能把握的数量， 即“数不清”的东西， 就说它有无限多。例如说“空气是无限的”，“水是无限量的”等等， 其实它们都是有限的。另一种表述的“无限”则是一种愿望， 例如说“夕阳无限好， 只是近黄昏”。夕阳之好， 是没有方法限制的， 所以说“无限好”。
在文学中，无限是一种意境。大连理工大学的徐利治先生讲极限， 就要学生体验“孤帆远影碧空尽”的动态过程。“无边落木萧萧下”， 自然是一种心境的抒发。 最能直接反映古人无限的诗句， 则是初唐诗人陈子昂的诗：
“前不见古人， 后不见来者；
念天地之悠悠， 独怆然而涕下。”
诗人描写了时间两端“茫茫均不见”的感受， 并对天地间张开的悠悠宇宙寄以无限的遐想。
自然科学里，也要涉及无限。 例如， “物质可以无限分割：分子、原子、粒子……， 可以无穷尽地分割下去。” 化合物的种类， 生物的进化， 都是无限的过程。 不过， 这里涉及的无限， 不过是一种信念， 类似于哲学上关于“宇宙是无限”的学说。 然而， 现代宇宙物理学的研究表明，宇宙有一个起点， 时间也有一个起点。 他们面对的是有限的宇宙。

（二）自然数是无限的 -- 潜无限
惟独数学， 从一开始就正面进攻无限： 自然数是无限的。1，2，…N，…永远数不尽。现在流行说我有“N个”东西，意思是很多。至于究竟是多少， 并没有限制， 实际上隐含着无限。
从小学开始， 就接触以无限为特征的数学概念。 首先是无限循环小数， 1/3 = 0.3333……； 无限不循环小数 ：圆周率 π = 3.1415926……， 数位一个接一个永远不会完结。 接着是平行（小学里要计算平行四边形的面积）。 那么什么是平行呢？教科书上写着：“两条直线，如果无限延长永远不相交， 称为彼此平行。” 何谓“无限延长”？无限，是做不到的，也无法检验的。 它只能是依靠人的直觉想象而完成的数学思维活动。 奇怪的是，这种事涉“无限”平行概念，学生接受起来却并没不困难。您听说过因为不懂“无限延长”而数学不及格的学生吗？
这种继续不断、没完没了的过程， 数学上称之为“潜在的无限”， 它永远是现在进行时，每一步都是有限的， 却永远不会结束。人脑具有很强的思维的能动性，人人都能够凭直觉把握这种“潜无限”。 老师不必讲， 自己就能体会到。中国古代有“一尺之棰， 日取其半， 万世不竭”的说法， 刘徽用内接多边形采用“割圆术”求圆面积， 都是利用潜无限阐述规律性认识的著名事例。不过， 最辉煌的成就在古希腊。
第一个向无限进军的勇士是欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 公元前4世纪）。人们只知道欧几里得（Euclid， 约公元前330-275）的伟大， 实际上， 更加伟大而深刻的是欧多克斯。当毕达哥拉斯学派发现了涉及无限的无理数之后，发生了所谓的第一次数学危机。 这是因为数学的许多基础性定理（加法交换率、矩形面积等于长乘宽， 平行线切割定理等）起初只对整数有效，顶多可以扩充到有理数。 那么对新发现的无理数是否还成立呢？ 这是涉及数学大厦基础是否可靠的大问题。 欧多克斯采用“穷竭法”进行论证， 最后说：“可以”， 危机随之结束。这是非常了不起成就。 不过， 现在的数学教科书， 在有关过渡到无理数情形时， 都是“一带而过”，教师也不介绍。 反正学生接受了，不问究竟， 也就过去了。

（三）0.99999… = 1吗？
欧多克斯处理无理数的深邃思想已经成为今天的“数学思维平台”， 站在巨人建造的平台上， 大胆地往前走就是了。 但是， 在中小学数学教学中，却被一个很平常的问题困扰着。这就是0.99999… = 1吗？大学生中的意见有二：
意见A： 0.99999… 永远小于1， 只不过极限等于 1罢了。
意见B： 0.99999… = 1 。 极限是可以达到的。不能停留在潜无限的认识上。
这两种意见， 都认为无限循环小数0.99999… 的极限是 1。区别在于极限过程能否完结，变量最后是否达到极限值。
意见A 认为， 循环小数是潜无限过程，在循环过程中永远小于1， 没有错。 一尺之棰， 日取其半， 的确是“万世不竭”的。 但是， 写出表示式0.99999… 的意思就是极限为1， 说它小于1 则不妥了。
意见B则认为，极限必须达到。既然0.99999…=1 表示左边数列的极限是1， 那就意味着n必须达到无穷大， 无限循环小数一定达到1。在数系中，无限循环小数0.99999… 是1的另一种表示， 二者是同一个数， 怎么能不相等呢？其实，极限是从来不管达到达不到的。教科书中的极限定义，提到 x à x0 时，只考虑空心邻域， 即 x ≠ x0 ，不考虑达到与否的问题。
那么， 从0.99999…的极限是1， 又怎样转化到0.99999… 就是1本身呢？数学家想了一个办法， 把所有的无限循环数列， 以及有限小数a 构成的常数数列{ a,a,a,….}作为一个集合看待。如果其中的两个数列 {a n}, { b n}, 满足条件 a n - b nà 0， 则说二者属于同一个等价类， 每一个等价类当作一个对象（有理数）看待。 于是{0.9,0.99, 0.999, … }和 {1,1,1,…} 就可以看作同一个数了。
这就是说，0.99999…=1 ，和极限达到与否是不相干的事。

（四） 函数之难，在于具有“实无限”背景
数学所研究的另一种无限是“实无限”， 即实实在在的无限。几何学中的曲线， 由无限多个点组成。 说到全体“自然数”，“所有真分数”， 区间[a,b]中所有实数等等， 我们面对的是一个真实的“无限集”。因此， 即便是在初等数学里， 实无限已经是研究的对象， 只不过没有挑明罢了。
许多数学上的困难， 其实是由实无限所引起的。尽管函数的定义域可以是有限集（恰如一张表格）。 但是数学上主要研究无限集上的函数。 数列是全体自然数集上的函数。 一般地，一个函数 y = f(x), 其定义域M= {x 〡a≤x≤b}是一个无限集合。f(x) 实际上由无限多组的对应关系（x,f(x)）所构成。这是实实在在的“无限”对象。 处理这样的“实无限”内容，自然很不容易。
比如，对于函数的单调性，画出图象解释函数的单调性很容易明白。但用文字写的定义（对定义域中任意的x1 ≤x2, 都有 f(x1) ≤f(x2 )，学生往往觉得难以把握， 不知道为什么要这样罗嗦。实际上，落笔一画就是无限多个“点”啊！单调性学习上的困难来自“无限”的背景。 正是因为有无限多对（x， f(x)）， 我们无法按照增加（减少）的方向一个个地排列起来（有限情形可以做到）， 所以才不得不在表述上使用“任意的”这样的逻辑量词。
许多教师和学生都没有觉察到“函数单调性和无限有关[1]。联想到表述极限的“ε-δ定义”， 也正是“对任意的ε，总存在δ”这样的语言，难住了许多学生。难， 正是难在无限背景。函数单调性教学上强调“无限”背景，也许是十分必要的。

五． 牛顿运用无限小发明了微积分
牛顿和莱比尼兹发明微积分， 是人类研究无限的伟大胜利。 数学家不是被动地对无理数这样的无限背景进行解释，而是主动出击开始正面处理“无限过程”， 终于通过对“无限”的研究得到大自然数量变化的规律。微积分的创立和发展，为17、18世纪的科学创新提供了锐利的工具。人类的理性思维达到了一个新高度。
牛顿求函数导数的方法似乎不可思议。 例如函数 x2 的导数是 2x， 其证明过程如下。 设 h 是一个无穷小量， 于是
[(x +h)2 – x2 ] / h = (2xh +.h2)/h
= 2x +h (因为无穷小量不等于零， 所以可以约去)
= 2x （因为无穷小量可以任意小， 所以可以略去）
这简直是无穷小魔术。无穷小量 h, “招之即来，挥之即去”， 以致贝克莱大主教嘲讽地称之为“逝去的鬼魂”。 尤其是最后把h 抹去的做法， 简直是暴力镇压。
这一切， 都是“无限”惹的祸。
从19世纪中叶开始， 经过哥西、魏尔斯特劳斯等数学家的努力， 形成了描述无限过程的“ε-δ定义”。以 当n à ∞ 时， an à a0 为例，定义为“对任意的ε > 0, 总存在 正数N， 使得当n>N时，有 ∣an - a0∣< ε。 这样的叙述， 每一句话都是有限的，只有加减乘除，大于小于的字眼，似乎仅限于算术。由于使用类似“算术”的话语来描述无限过程，历史上称之为“极限的算术化定义”。
这当然是一个重大的成就。不过，19世纪以来的数学并非必须靠ε-δ语言才能发展。 无穷小魔术依然具有强大的生命力。诸如麦克斯韦的电磁学方程，傅立叶的热传导方程，拉普拉斯方程，“纳维-斯托克斯（Navier-Stokes Equation）流体力学方程， 乃至20世纪的爱因斯坦方程， 杨振宁-米尔斯方程的出现，都是依赖微积分的伟大思想， 在科学征程中一往无前。细细品味一下，大的数学成就并非直接得益于数学分析的严密化。

六． 为“无限”而献身的康托
康托（ G Cantor,1845-1918）的名字， 总是和集合论连在一起。有限集合的元素个数是自然数，已经研究透了。康托的贡献是向无限集合进军，研究“实无限”， 构造出超限数系， 即超越有限、专门研究无限的数。 在他手里， 无限大分成等级， 各个等级代表一个无限大的数， 这些超限数还可以进行运算。康托得出的关于无限的结果出乎人们的意料。诸如有理数和整数一样多，无理数比有理数多得多之类， 使人惊愕不止。他证明， 如果一个无限集合的超限数是α 那么它的所有子集构成的集合具有超限数2α，而且2α一定大于α。那么， “一切集合所构成的集合M一定是世界上最大的集合了（设具有超限数A）。可是M 的所有子集所成之集又将比M更大，具有更大的超限数2A，这显然和M最大矛盾， 形成了悖论。
康托尔为此冥思苦想，不得其解，终于患上了抑郁症。更严重的是，康托尔的老师、当时德国数学的掌门人克罗内克是一个有穷论者。 由于他的竭力反对，康托尔在柏林数学界没有立足之地。他只能在德国小城哈雷教书， 并在哈雷大学的精神病诊所里度过了后半生, 直至去世。原苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫说过[2]："康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见、哲学的教条等作了长期不懈的斗争，因此使他成为一门新学科的创造者。这门学科今天已经成为整个数学的基础。"
后来的集合论公理将“一切集合所成的集合”之类的叙述排除在外， 消除了悖论。 他所提出的连续统假设与集合论公理的关系， 恰如平行公理之于绝对几何。这些成果在20世纪中叶曾经轰动一时。 由于离开人们的常识太远，这里不赘。

七． 选择公理的风波
选择公理是否允许使用，曾经是一个争论不休的问题。现在已经不争论了，但矛盾依然存在。选择公理争执的背景， 依然是无限。
最简单的选择公理是说：“如有一列糖果盘Mi ，i=1,2,…, 我们一定能从每一盘Mi 中选取一粒糖αi， 构成一个拼盘 {α1,α2 ,α3 … αi …}” 。
这一公理初看起来，似乎没有什么问题。 但是仔细一想， 却又有些狐疑。 一个集合里的元素应该是完全确定的。 然而，这个拼盘从Mi里选取的是那一粒αi “糖果（元素）”，却没有确定， 这个拼盘不是一个确定的集合。因此许多持直觉主义立场的数学家， 就不承认选择公理。
1923年， 波兰的巴拿赫（S ·Banach, 1892-1945）证明， 使用选择公理可以把一个球分解为和它有相同体积的两个球。这显然违反我们的常识。 于是， 许多数学家倾向于不用选择公理。可是另一方面， 选择公理又非常有用。例如，”有界无限点列中一定可以选出一个收敛的子列”。 这是一个非常简单又十分有用的命题。它的证明就必须使用选择公理。 通常是用两分法，在无限多的一段内任选一点， 无限分下去就行了。这是选择公理的典型提法。 这样基本的命题都不能证明，数学就无法前进。不准用选择公理， 正如“拳击手不准使用拳头一样”。
现在大多数数学家的立场是承认选择公理， 闭眼不看那个“夹着鬼眼”的巴拿赫怪球就是了。 不过， 在号称天衣无缝的数学大厦的基础上， 还是留下了一道裂痕。
八． 尾声
20世纪初年， 形式主义、逻辑主义、直觉主义三个学派， 围绕者“数学基础”， 展开了激烈数学哲学论战。当代理性超人K·哥德尔（G&ouml;del,, 1906-1978）证明了一个不完备定理：“如果一个系统和自然数理论是相容的，那么该系统一定包含一个逻辑命题A， 使得A 和非A都不能证明”。自然数集代表了最小的“无限”。这就是说，一个系统一旦含有无限，那么系统内必然有一个命题， 既不能证明其正确， 也不能证明起错误。人的思维在无限面前不是万能的。哥德尔之后， 数学哲学的论战趋于沉寂，此后研究“无限”的数学家也渐渐地少了起来。超越哥德尔， 太难了。


[1]据张伟平（华东师范大学博士生）关于“函数单调性是否和无限有关”的问卷调查， 超过半数的高三学生说没有关系。 但是， 尽管教材和教师都没有正面谈到单调性的无限背景， 还是有近半数的同学悟出来了。教学上主动说一说， 岂不更好？

[2] 转引自http://zh.wikipedia.org/wiki/