数学哲学：从刘徽到三大基础学派

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数学哲学：从刘徽到三大基础学派纪念刘徽注《九章算术》1750周年

记者 谢方2013-06-20
　

　来源：《中国社会科学报》2013年6月19日　　

　　【核心提示】当代数学哲学源于20世纪初的数学基础研究，其诞生主要是为解决数学基础危机，为人们的数学知识提供更坚实的基础。20世纪中叶以来，数学哲学家开始对当代数学实践、数学在科学中的广泛应用，进行哲学解释与反思。

　　今年是公元3世纪我国大数学家刘徽注《九章算术》1750周年。作为具有批判和开创精神的数学家，刘徽的《九章算术注》中不仅包含对前人数学成就的解读，更含有深刻的哲学思想。值此之际，追古溯今，记者采访了科学史、哲学等领域的专家，畅谈刘徽《九章算术注》中蕴含的数学哲学及方法对中国古代数学史的意义，以及当前数学哲学发展的新动态。

　　中国古代卓越的数学成就，已日渐得到世界公认。《中国科学技术史·数学卷》主编、中国科学院自然科学史研究所研究员郭书春认为，在文艺复兴前的世界数学史上，只有欧几里得的《几何原本》可与《九章算术》相媲美，而后者可谓先秦至公元前1世纪中国数学知识的集大成之作。

　　著名科学史学家李约瑟认为，中国古代的数学成就只是经验总结，没有理论。郭书春认为，《九章算术》就是反驳李约瑟这一观点的例证。针对李约瑟的另一观点即认为中国古代数学中没有演绎逻辑，郭书春告诉记者，这是对中国古代数学著作缺乏了解的表现。刘徽在《九章算术注》中不仅使用归纳逻辑，而且使用了严谨的演绎逻辑，甚至三段论。他通过演绎论证即真正的数学证明，把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学，这是不同于希腊数学的一种有理论、有实践的以算法为中心的数学。

　　刘徽等数学家严密的数学推理表明，我国古代存在“为数学而数学”的纯数学研究，而且至少已有1750年的历史。然而，以哲学方法反思数学，并试图为数学知识提供更坚实理论基础的研究，却在20世纪初才自西方开始。

　　当代数学哲学源于20世纪初的数学基础研究，其诞生主要是为解决数学基础危机，为人们的数学知识提供更坚实的基础。20世纪中叶以来，数学哲学家开始对当代数学实践、数学在科学中的广泛应用，进行哲学解释与反思。

　　首都师范大学哲学系教授叶峰告诉记者，以罗素、布劳威尔、希尔伯特为代表的哲学家、数学家分别发展了逻辑主义、直觉主义和形式主义三个数学基础学派，它们主宰了数学哲学发展的主流。

　　“然而，三个数学基础学派的努力并未成功。”山西大学科学技术哲学研究中心教授郭贵春认为。叶峰说，一方面，20世纪早期，数学界对于“集合论公理的认识论基础是什么”这一问题普遍采取回避态度。另一方面，在哲学界，逻辑实证主义者以及蒯因等哲学家强调，哲学家应该充分尊重数学家的实践。受其影响，20世纪中叶以来，主流数学哲学研究开始对数学实践进行哲学反思。

　　三大数学基础学派未能解决“数学危机”以及新问题的出现，导致构建合理的数学哲学研究范式变得迫切。

　　郭贵春认为，纵观近半个多世纪的数学哲学发展，可以看到，西方数学哲学的研究出现了三种不同的研究路径。首先是哲学家的研究占主导地位的分析传统。其次是一些学者强调关注数学实践的“反传统革新”，试图从数学史、实际的数学研究、数学人类学、数学的认知科学、数学社会学、数学的文化和数学的教育等方法中寻求新研究点。第三个研究路径是将当前和历史上的数学实践作为哲学反思的典型案例，纳入到分析传统中的数学实践哲学。

　　对各国古代数学思想及数学思想史进行对比研究，也可以是数学哲学研究未来的切入点之一。中国古代数学与西方古代数学思想差异甚大，郭书春认为，国内对于数学思想史的研究，尽管过去有所涉猎，但总的说来还相当薄弱。所以，开展数学比较史的研究非常有意义。

　　南京大学哲学系教授郑毓信认为，相对于基础主义，现代数学哲学无论是研究问题、研究方法，或是研究的基本立场和主要观念，都已发生很大转变，这必然会对实际的数学活动，包括数学研究和数学教学，产生深远影响。