蔡宏圣：捕捉数学史中的教育基因

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蔡宏圣：捕捉数学史中的教育基因
                        ----以“用字母表示数”的教学为例
    当我们认同并积极饯行“数学是文化”理念的时候，课堂中引入数学史也就成了必然。

    这是节“用字母表示数”的新授课。在课的最后，老师用多媒体出示了“你知道吗”：人们认识用字母表示数的过程是很漫长的。早在3800年前，古埃及人用“堆”表示特定的数。公元4世纪前后，古希腊学者丢番图开始用希腊字母表示数和一些运算，成为用字母表示数的先驱。这之后又经历了1200年，16世纪的法国数学家韦达才有意识地、有系统地用字母表示数，因此，他被尊称为现代代数学之父。环视课堂，孩子们眼神空洞、茫然，显然这段文字没有触动他们的情和知。

    就像课例中所描述得那样，现在的研究课和示范课，老师们往往特意在原先常规的教学设计中，加一点数学史的知识，介绍一些数学概念产生的背景材料，如果有可能，还特别津津乐道于我们的祖先比其他民族早了多少年提出了这个数学知识，借以给课增加些文化色彩。公开课听多了，发现这样做已似乎成了模式，而且多数情况下，孩子们实际上并不理解数学史所表示的意义。这不免令人深思：现在的数学课堂是不是都必须戴上一顶数学史的帽子？数学史是不是只能以这样的形式走进课堂？在对此现象拷问的基础上，我们重构了“用字母表示数”的教学。

导入

1.通过CCTV 和其完整说法（China central television）的比较，引导学生体会生活中的字母运用和数学中一些单位的字母表示，都是完整说法的缩写，板书：缩写。

2.引导学生思考“2，4，6，8，X，12，14”中，x表示什么样的数？让学生领悟以前的学习中，字母更多地表示特定的未知数。板书：特定  未知数。

体验

屏幕上出示三根小棒搭成的三角形，要求学生写算式表示摆2个、3个、4个三角形需要几根小棒？

师：好，下面我们来个小比赛，从摆10个三角形，也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数，比一比谁写得多！预――备，开始。

学生纷纷动笔疾书，在交流中，学生总结了这些算式的特点。

师：既然这些算式写不完，哪你们能不能用一道算式，把你们已经写的和还没有写的算式都包括进来吗？

生1：n×3。

生2：x×3。

生3：a×3。

师：看来大家意见都比较一致，就是用字母表示。那行，老师就和刚才那位同学一样写成“（a×3）”（课件出示）。不过都用字母表示数了，为什么不把这里的“3”也用字母表示呢？

生：三角形都有3根小棒是不可能改变的。

师：很好！可见，用字母表示数不是简单地用字母替代数，而是把一直变化的量用字母表示，而不变的量照写。

师：孩子们，刚才我们写的这些算式（手指着屏幕上“（2×3）”、“（3×3）”等算式），每一条算式都表示摆三角形的一种情况，那现在的“（a×3）”呢？

生1：各种各样的情况。

生2：所有的情况。

师：也就是说，这里的字母表面上看只是一个字母，但它是个有魔力的字母，它可以代表是----

生：（齐声）无数个数。

反思

师：孩子们，我们又用字母表示数了，回想一下刚才我们所经历的过程，你觉得它还是这些意思吗？（手指板书“缩写   未知数   特定”）

生：不是。

师：哪有了什么发展？
学生稍稍思考后，举起了小手。

生：特定。

师：哪现在是什么意思了？

生1：不是特定的，不定了。

生2：自由了。

生3：是变化的。

生4：现在表示许多个数了。

师：对，差不多的意思。（在“特定”后面板书：→变化）哪在这里，真的就可以随心

所欲地变，没有一点范围吗？

   学生凝神思考。

   师：这里的a表示三角形的个数，比如说摆1.2个三角形，可以吗？

   生：不可以。

   师：老师举的例子给你有什么启示？

   生：说明a不能是小数、分数。

   师：对，只能是什么数？

   生：自然数。

   师：哪还只能表示未知数吗（手指板书“未知数”）？

   生：不是，是已知数了。（在“未知数”后面板书：→已知数）

   师：既然是已知数，哪为什么还要用----字----母----表示呢？

   思考片刻后，五六个学生举起了手。

   生1：因为这个数的范围很大，我们不确定它到底是多少。

   生2：因为它有无数个。

   生3：因为它太多了，一个个地说，说不完。

   师：正因为这样的数太多了，所以我们用一个字母把它们都----（学生异口同声地）概括进来。而且我们约定，用26个字母中的前几个字母表示已知数，最后几个字母，例如x、y、z表示未知数。

    ……   

运用

师：下面一个练习是“编故事”。故事的主角是“a×4”。老师先作个示范。（掂掂学生的数学书）如果a表示一本数学书的重量，那么a×4就是？
    生：（异口同声）4本数学书的重量。

师：而且是4本同样的数学书的重量。很容易吧？下面，哪个同学来编？

学生们用a代表各种数量，说了“a×4”的意思。

师：大家把“a×4”讲得这样地丰富多彩，老师讲个这方面的历史故事。

学生鼓起了掌。

师：在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用文字表达的（课件出示：每个重量×4，每个价钱×4，每班人数×4，其中“重”、“价”、“人”用红色标出）。用文字来表达，显然比较烦琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×4”，取“重”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4” 和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示？

生：j×4和r×4。

师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4混同起来，所以，并没有给数学家研究数学带来更多地简便。到16世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话，不都是一个数和4相乘吗？（课件中“z×4”、“j×4”、“r×4”依次变为“□×4”）所以，韦达就表示成了a×4，这里的a还是特定的意思吗？

生：（异口同声）不是！

师：对，字母“a”已经不表示任何具体的意义，和这里的小方块一样，只是一个符号而已（在“缩写”后面板书：→符号）。自从韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，韦达被称为现代代数学之父。

故事的最后，老师想请大家猜猜，从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，用了多少年？

生1：100年。

生2：很多年。

师：对，是很多年，整整1200年！

学生情不自禁地发出了惊呼。

师：孩子们，一方面我们应该为历史上无数数学家百折不挠、呕心沥血献身于数学的精神而感动，另一方面也为我们自己用了40分钟就跨过了人类认识提升的1200年历史，表现出的巨大的学习潜能而----

生：骄傲！

学生眼睛里闪烁着光芒，声音响亮地喊着。

师：当然，通过今天的学习，有些同学对“用字母表示数”可能还有些模糊，那也不要紧。你想想，在历史上数学家们都用了1200年，你才学了一节课，你急什么呢？！相信自己，通过后面的学习一定能融会贯通的。

……

    同一个教学内容，可以有多种教学设计。无容置疑，每一种新设计都在探求教学的更好方式。但数学教学的首要问题，不在于教学的更好方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么。教学为什么这样安排，而不那么安排，首先是由所教内容的数学本质决定的，虽然它不是惟一的决定因素。

   “用字母表示数”的教学重构，就是在所教内容数学本质的考量中展开的。在与教科书配套的“教师教学用书”中，往往把用字母表示数表述为“是人类认识由具体到抽象的一次飞跃”，除此之外，并没有进一步的解释。战略性的数学概念，是人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它最终形式化的或数学价值的表述，很难深入把握其确切的本质意义。而抽象的结果一旦和抽象活动的整个过程结合起来，它便变得生动和形象起来，其抽象意义就变得不再不可捉摸。换言之，数学史能凸现数学知识的本真意义，这正如著名数学家和数学教育家波利亚所指出的那样，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”。

    数学的发展史告诉我们，字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。孩子们的认知发展可能各具特点，但总体上不可能违背人类认识提升的一般规律。因而结合人类认识提升的历史阶段看，用字母表示数意味着孩子认识产生的递进是：字母不仅可以表示未知数，而且还可以表示已知数；字母不仅可以表示特定的意义，而且还可以表示变化的数量；不仅可以在缩写水平上运用字母，而且可以在符号水平上运用字母。再深入地看，学生只有理解用字母表示数，不是因为不知道这个数量是多少，而是因为这个已知的数量在不断的变化中，才能理解字母的符号概括作用。也就是说，这三者就像青铜鼎的三只脚一样，缺一不可。以这样的认识来审视以往“用字母表示数”的教学，可以说学生的认识鲜有真正的理解而言。因为，没有这三点认识的递进作“抓手”，即使再三强调用字母表示数是由具体到抽象的飞跃，学生还是不可能在心理上表征“用字母表示数”的真正意义。再者，以往的教学往往重视学生在缩写水平上运用字母的种种经验，但又将符号概括水平上的运用和音节缩写水平上的运用，混为一谈。而用字母表示数的新意义要进入学生已有的认知结构，字母运用的原有经验是必经的节点。学生的认识要实现飞跃，就必须对字母表示数的新意义和旧经验之间的区别有清楚的认识。鉴于此，教学的整体思路何去何从，似乎不难选择，在课堂上再现人类认识提升的1200多年历史也就顺理成章了。在具体的教学中，我们还有意抠了下面的细节：

    导入中直面学生运用字母的各种经验，加以调适和总结。学生生活经验的“精致化”，为建构理性认识奠定了良好基础。

    着力引导学生经历由具体到抽象的过程，在体验的基础上，引领学生作为一个旁观者反思刚才所经历的抽象过程，提升认识。

    运用中，设计“编故事”的练习，进一步体会“用字母表示数”的概括性。并详述从丢番图到韦达的抽象历程，这样，数学历史不再仅仅是一种事实性的告诉，而是充盈着人类智慧递进的历程，为学生构建数学理解提供了支撑。而且，教学中引起学生对“人类认识提升用了1200年”的有意注意，可谓一举两得，既激发了一部分学生的学习激情，又减少了另一部分学生的学习焦虑。

    同样的教学内容，为什么数学史既可能使教学充盈着创意，也可能与教学貌合神离？

    这种现象固然可以说明，考察数学史，并不能当然地给数学教育带来创新的启示。想想也是，数学史和数学教育有着不同的研究领域，不同的研究价值取向。数学史怎能那么自如地进入课堂呢？但这显然不能成为一些教师在教学实践中，将数学史作为数学文化的一张贴纸生硬地贴在教学某环节中的理由。中国科学院李文林先生提出，“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史。”数学史与数学教育的貌合神离，恐怕主要是因为我们的教师还没有确立“为教育而历史”的意识，而更多地只是关注自己的课堂是否穿上了时尚的“数学文化”的外衣！

    上述分析，也鲜明地阐释了数学史为教育而历史是个再创造的过程。这种创造，根本之处在于考察视角的转变。如果停留于历史的考察，我们只能看到数学发展的史实：是谁在什么时候提出了什么数学知识。对于孩子们的数学学习来说，知道这些事实性的知识是有益的，但对于孩子们的数学理解来说，作用显然是极其有限的。而如果深入到学生数学学习的内部，保持着敏锐的“怎样促进儿童数学学习”的触角，我们就可以通过研读数学史，捕捉到其间隐藏着的丰富的教育基因。例如：通过数学发展史可以提炼出孩子们的认知发展规律，通过数学家的困难可以预见和解释学生的学习困难，根据历史发展的顺序可以作为安排学习层次顺序的参考，利用历史背景知识可以用来激发学生的兴趣，历史上的弯路和挫折可以用来减少学生的学习焦虑，如此等等。

    数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的最高境界是数学思想的感悟和熏陶，从这个意义上，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更厚重和深刻，而不仅仅是数学课堂外在的“时尚衣帽”。中国老一辈数学家余介夫在其著作《数之意义》中主张，“历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效。更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融和调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”

    在更为一般的意义上，数学知识的背景史料、相关的生活常识，形、体的视觉美等东西，都可以作为数学文化的构成因素而进入课堂，但数学文化的核心是在数学产生、发展的历史进程中，逐步沉淀下来的数学思考、数学观念、数学品质等观念层面上的东西。如果我们仅仅运用史料、图案等可视文化因素，那么我们的课堂可能只是一场秀，嘈杂热闹中教育的本真意义何在？文化性是数学的内在特性，我们不应该在数学本质之外去寻找文化的装饰，使得我们的课堂看上去更“文化”一些，而应该努力去把握和呈现数学知识的知性本质、数学思维的冷峻深刻、数学品质的求真至善。唯有此，数学教育才能走向更深入和厚实。