“数学教师的素养”对话录

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“数学教师的素养”对话录

对话者：史宁中、孔凡哲

——摘自《人民教育》2008年第21期

精彩观点

●只有将自己从事的日常工作变成自己的兴趣所在，才能创造出精彩和奇迹。

●素质教育70%的工作是在学科内，30%的工作是在学科外，而不是像以往所理解的“素质教育主要表现在音乐、美术等课外活动之中。

●过程的教育不仅仅是指，在授课时要讲解或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是知识的呈现方式，而是注重学生探究的过程、思考的过程、反思的过程。

●素质教育不仅要重视知识，也要重视智慧。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验。

●演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。真理的发现主要靠归纳推理。

●事实上，整个义务教育阶段和高中阶段的数学本质上都是在研究关系。



中小学教师的基本素养

首先，热爱教育事业

其次，必须具有明确的教育理念

其一，树立人的全面发展观是素质教育的重要理念

素质教育70%的工作是在学科内，30%的工作是在学科外，而不是像以往所理解的“素质教育主要表现在音乐、美术等课外活动之中。

其二，培养学生的创新精神和实践能力是素质教育的重点。

事实上，成为创新性人才至少应具备三个条件，即创新意识、创新能力（核心在基础教育）与创新机遇。其中创新意识的培养，其根本阶段在基础教育。

传统的教育重视知识的传授和技能的训练。知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。因而，传统的教育本质上是结果的教育、知识的积累。而素质教育不仅要重视知识，也要重视智慧。智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程中，表现在思考的过程中。因而，素质教育必须是过程的教育、经验的积累。

其中，过程的教育不仅仅是指，在授课时要讲解或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是知识的呈现方式，而是注重学生探究的过程、思考的过程、反思的过程。

我们必须清楚，世界上有很多东西是不可传授的，只能靠亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而是依赖知识的应用、依赖经验——你只能在实际操作中磨练。

因此，组织学生的学习活动是必要的、不可缺少的。

对于思维训练（基本思想的教育），正如爱因斯坦指出的，“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出的因果关系（在文艺复兴时期）。”爱因斯坦所说的前者就是指演绎能力，后者则是指归纳能力。对此，杨振宁在《我的生平》中指出，“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。”

就我国中小学教育教学的实际而言，还缺少什么？——根据情况“预测结果”的能力以及根据结果“探究成因”的能力。这就需要一种“从特殊到一般的推理”，即从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般的结论，也就是归纳推理。

从思维训练的角度考虑，过去的教育过分强调演绎，缺少归纳能力的培养，对培养人才是不利的。但这种培养是困难的，是基于经验的。

发展中小学教育，就需要根据时代的需要，将基础知识、基本技能发展为基本知识、基本技能、基本活动经验，也需要将分析问题、解决问题的能力，发展为发现问题、提出问题并加以分析、解决的能力，发展为归纳能力、演绎能力并举。如果学生接受这样贯穿始终的教育，那么就能够逐渐增强创新意识、提高创造能力。

最后，要想成为好教师，还要学会反思，学会研究。



关于数学教师素养的若干认识误区

误区之一：技巧=技能，熟能生巧，于是进行大量的简单重复、反复训练。

误区之二：形式化=推理（追求格式）。

误区之三：逻辑是发现真理的主要方法。

我们应该怎样分析这些误区呢？

首先，技巧、技能是两个不同的概念，虽然技巧是技能的熟练化，但是技巧≠技能。有关心理学实验表明，适度的技能训练可以实现熟练化，但是，过度的技能训练容易导致“熟能生厌”、“熟能生惰”，而不是“熟能生巧”。同时，目前充斥于中小学数学教学中的大量技巧性内容，其实更多是一些解题术，而不是具有普适性意义的内容，进行大量的、简单重复式的技巧训练，必然导致“高分低能”，对学生在数学上的可持续发展产生严重的不良影响。

其次，形式化≠推理，但是，逻辑=演绎。

推理既包括演绎推理，也包括合情推理。逻辑包括形式逻辑与数理逻辑，而形式逻辑过程通常意义下的演绎推理的主体。

演绎推理来源于亚里士多德。他在《工具论》中提出了演绎逻辑的基础作用。演绎推理是一种前提与结论之间必然联系的推理。具体地说，是一种基于公理、按照规则进行的推理，因而是一种由一般到特殊的推理。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。其基本形式是三段论。

数学的形式化就是指数学“符号化+抽象公理化”。希尔伯特在《几何基础》中构建了一个形式化的几何公理体系，在这个公理体系中，我们能够体会到“形式化”的含义：不管我们讨论的对象的实质是什么，只要从已经定义了的、用符号表示的对象出发，依据所确定的几组公理以及认定的逻辑法则推导出的结论就一定是正确的，这便是理想中的、脱离了经验的数学。

其实，形式化是数学发展所必须的，形式是数学的重要特征之一，但是，过度的形式化，对于中小学数学有害而无益，即使在数学科学内部，一个命题正确与否的最终判断，并不完全是形式化公理体系内部的事情，仍然需要借助客观世界。

真理的发现与确认，与演绎推理和归纳推理（即人们一般所谈的合情推理）在数学发展上分别起到不同的作用，其中，演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。真理的发现主要靠归纳推理。……因此，我们不能说这两种推理哪种更重要，而必须强调这两种能力的有机结合。用演绎推理虽然不能发现真理，但用演绎真理能够发现错误，可以启发人们从另外的角度去思考问题，这对于发现真理也是有益处的。



如何增强自己的数学专业功底？

需要集中抓好三件事：

一是理解数学抽象、推理、模型等核心数学思想，把握数学的主要思维特征。

二是正确理解中小学数学中的“关系”，从整体上把握中小学数学课程内容。

三是有针对性地深入研究不同学段中核心数学内容的学科本质，切实将数学专业功底与研究中小学数学课程的核心内容融合在一起，而不是片面地（按照大学学习的方式）学习大学数学、现代数学的内容（虽然这也非常重要。）



   如何理解数学抽象呢？

   恩格斯在《反杜林论》中所阐述的：纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系，也就是说，以非现实的材料为对象的。

   对数学抽象的本质，可达成这样的共识：真正的知识是来源于感性的经验，通过直观和抽象而得到的，并且，这种抽象是不能独立于人的思维而存在的。

数学抽象具有鲜明的层次性，就抽象的深度而言，数学抽象大体分为三个层次：

   第一层次：把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达。我们称其为“简约阶段”。

   第二层次：去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表达包括简约了的事物在内的一类事物，我们称其为“符号阶段”。如，从两个苹果、两匹马等等价类，抽象出这类集合的共同特征，就是2。

   第三层次：通过假设和推理建立法则、模式或模型，并能够在一般的意义上，结实具体事物，我们称其为 “普适阶段”。

   数学在本质上研究抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。这种抽象了的东西，就是数学研究所必须的定义的最基本的概念。数学概念是人们在数量和图形方面对事物本质进行抽象的结果。那些抽象了的东西在现实世界中是不存在的，抽象了的东西只是表现在每一个具体事物之中。当然，必须依赖于具体的人，必须依赖于具体人的抽象能力。康德认为，人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。人与生俱来的，与子代经验无关的直观的物质基础确实是存在的，但是，没有后天的经验，这种直观不能得到充分表达。不仅如此，直观并不是一成不变的，随着经验的积累，其功能可能逐渐加强。数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确立依赖于数学抽象，依赖于数学推理。



   如何理解数学中的关系？

   事实上，整个义务教育阶段和高中阶段的数学本质上都是在研究关系。具体来说，是在研究数量关系、图形关系和随机关系等三类关系，而其它相关内容并不代表数学的本质。



   如何理解数量关系？

   小学数学最为基础的内容是研究数及其运算，这就要接触到数字，而数字的本质在于多与少，而后，多与少在数学上就变成大与小，之后，逐渐产生了自然数。

   产生自然数有两个最了不起的成果：一个书从一类事物的共同属性中抽象出“数”。自然数中第二个最重要的成果就是“位数”，这是数字中非常了不起的一件事情。个位、十位、百位、千位，你想想，大小关系有了的话，数是无穷无尽的，你只能用无穷无尽的数表示出来。事实上不用，10个字母就能把所有的数表示出来。

   自然数产生之后，就有了自然数系，为了加法的封闭运算就产生了整数；然后，为了除法的封闭运算就产生了有理数；为了根号的运算产生了无理数，这样就产生了算术公理体系。一般来说，加法交换律、加法结合律，有0元素、有单位1，还有逆元素（如2和1/2在乘法中互为逆元素）。满足这六条，运算一旦封闭之后，就构成一个算术体系。

正是由于大小而产生了序（如大小顺序）的关系，序的关系很重要。有些时候数学本身并不重要，只需要知道序的关系就可以了——它就能提供一定的信息。



   如何理解图形关系呢？

   义务教育阶段（尤其是小学阶段）图形的核心问题在于讨论图形的直觉和直观，而图形关系的核心在于分类。分类问题中最好处理的是在两个集合不相交时，如果两个集合的交集是非空的，就不那么好分类了，两个集合如果存在包含关系，就更不好分了。

我认为，在小学数学中，分类问题是非常重要的，直到大学数学还在研究分类问题，如曲面分类等等，而拓扑学主要就研究分类问题。



   对于小学图形问题，大家普遍关心小学生数学学习方式变革，怎么看这个问题？

   基于小学生的年龄特征和身心发展规律，小学图形关系的学习必须是直观几何式的，而空间观念、几何直觉的培养至关重要。

   学生逻辑思维的训练和培养要在七年级以后才能正式开始，此时的逻辑也是基于直观意义的、物理背景的和非形式化的逻辑。

   例如，对于平移、旋转来说，无论是小学阶段还是初中阶段，都不能从严格的几何变式定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而是直观地理解平移和旋转使图形产生了运动，在不同的运动中，图形的对应点之间遵循着一定的变化规律。了解图形的变换，对于学生认识丰富多彩的现实世界，形成初步的空间观念，以及对图形美的感受与欣赏，都是十分重要的。通过画简单的图形和运用平移、对称与旋转设计有趣的图案，有利于学生对图形之间的关系有一些初步的了解，有利于丰富学生的空间观念。在认识图形的基础上，小学阶段必须加强对图形变换（平行、对称和旋转等）的初步认识，使学生更全面地感知和体验周围的事物，认识和理解图形，逐步形成空间观念，发展逻辑思维能力和合情推理能力。

当前，尤其值得关注的是，图形变换的课程内容载体的现实化、情景化和事例的代表性，同时，也要注意揭示其中所蕴含的数学含义，注意挖掘平移、旋转、轴对称、方位等的深刻内涵，以及彼此之间的关联，并在课程教学内容中加以恰当体现，这是深化义务教育几何课程内容改革的重要工作，也是数学课程标准修改所关注的重要问题。



   如何看待统计关系？

   一般人认为，统计是这样的——它假定了一个模型：做一个实验只有两种结果，成功或失败，用0表示成功，用1表示失败，成功的概率是P，失败的概率是1-P。

其实，这个模型表示的是概率，统计在这里什么也没有。要说统计，你必须调查研究，必须得到数据。对于上面的模型，你可以进行调查，在N次实验中，成功了M次，那么成功的频率是M/N，结果表明，随着数据的丰富和积累（如N逐渐变大），M/N≈P，于是，可以用频率估计概率。

   所以，统计是建立在数据基础上的，理解统计必须让学生亲身经历数据收集、整理和决策的过程。



   统计与概率、函数有什么区别？

函数关系表达的是一种确定关系，概率关系表达的是不确定关系中的理想状态（即应然关系），而统计关系表达的是不确定关系中的实然状态。