数学与人类文明(三)

管季超.

蔡天新：数学与人类文明(三)  中世纪的中国
一、引子
1、先秦时代
正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不同的文明在遥远的东方，也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。学者们通常认为，在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔，远古时代任何迁徙的可能性都不存在。在公元前2700年到前2300年间，出现了传说中的五帝,之后，相继出现了一系列的王朝。虽说由于刻录文字的竹板不如泥版书和纸草书耐久，但由于中国人勤于记录，仍有相当多的资料流传下来。
与巴比伦和埃及一样，远古时代的中国就有数与形的萌芽。虽说殷商甲骨文的破译仍在进行，但已发现有完整的10进制，至迟在春秋战国时代，又出现了严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式，分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待。关于形，司马迁在《史记》（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载，“（夏禹治水）左规矩，右准绳”，“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来确定垂线的器械，或许这算得上是几何学的早期应用。
更为难得的是，与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个时代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家，那是盛产哲学家的年代。其中，“墨家”的代表作《墨经》讨论了形式逻辑的某些法则，并在此基础上提出一系列数学概念的抽象定义，甚至涉及到“无穷”。而以善辩著称的名家，对无穷概念则有着更进一步的认识，道家的经典著作《庄子》记载了名家的代表人物惠施的命题“至大无外，谓之大一。至小无内，谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙，“小一”相当于赫拉克利特的原子。
惠施（约公元前370-前310）是哲学家，宋国（今河南）人，当时的声望仅次于孔子和墨子。他曾任魏相15年，主张联合齐楚抗秦，政绩卓著。惠施与以写作《梦蝶》、《逍遥游》闻名的同代哲学家庄周既是朋友，又是论敌，两人关于鱼乐之辩是很著名的辩论。他死后，庄周叹息再无可言之人。惠施涉及数学概念的精彩言论尚有
矩不方，规不可以为圆；
飞鸟之影未尝动也；

管季超.

功利主义当然有它的社会根源，学者们总是首先致力于统治阶级要求解决的问题。在中国古代，数学的重要性主要是通过它与历法的关系显现出来，后者因为与信仰有关而成为帝王牢牢掌控的一个特权。赵爽证明勾股定理以后，便用它来求取某些与历法相关的一元二次方程的根；祖冲之之所以偏爱用约率和密率来表示圆周率，目的是为了准确地计算闰年的周期；而秦九韶的大衍术（中国剩余定理）主要用来上元积年的推算，后者可以帮助确定回归年、朔望月等天文常数。
在古代中国，一旦农业连续几年欠收，饥荒导致人口减少，统治者便担心民众造反，尤其是农民揭竿起义。把责任归咎于历法不够准确，影响了农事，无疑是一种很好的借口和逃脱。如此一来，朝廷便会颁布诏书，着令学者们重新制订历法。这样一来，数学家们便忙碌开了，其结果必然是，最杰出的头脑总是围绕着那几个古老的计算问题，他们普遍缺乏开创新天地的勇气和胆量。

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四、结束语
遗憾的是，《四元玉鉴》之后，元朝再无高深的数学著作出现。到了明朝，虽然农、工、商业仍在发展，《几何原本》等西方典籍也传入了中国，却由于理学统治、八股取士、大兴文字狱，禁锢了人们的思想，扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元，数学家看不懂祖先取得的增乘开方法、天元术、四元术。汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本，反而大多失传。直到清朝后期，才出了一个李善兰，他是近代科学的先驱人物和传播者。可惜，由于当时的中国数学已经远远落后于西方，李氏一个人已经无力追赶。
写到这里，我想提一下深受中国文化影响的日本数学，在明末清初中国数学停滞不前状态时，江户（今东京）诞生了数学神童关孝和（1642-1708）。关仅比牛顿大几个月，后来被公认为是日本数学的奠基人。关的养父是一位武士，他自己也曾担任慕府直属的武士和首相府的会计检查官。他改进了朱世杰饿天元术算法，建立起了行列式的数学理论，比莱布尼兹的理论更早也更广泛。在微积分学方面他也有重要发展，只是由于武士的谦逊和各学派之间的保密，我们不知道那些成就属于他个人。他和他的学生组成的“关流”是和算最大的流派，他本人被尊称为日本的“算圣”，
综观包括中世纪在内的古代中国数学史，数学家们大多是在以八股文取得一定的功名之后，才从事自己喜欢的数学研究。他们没有希腊的亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心，只能以文养理或以官养理。这样一来，就难以全身心地投入研究。以数学进步较快的宋朝为例，多数数学家出身低级官吏，他们的注意力主要放在平民百姓和技术人员关心的问题上，因此忽略了理论工作。即使是著述，也大多以注释前人著作的方式进行。
不过，若是把中国古代数学与其他古代民族，如埃及人、巴比伦人、印度人、阿拉伯人的数学，甚至中世纪的欧洲各国进行比较，还是很值得骄傲的。希腊数学就其抽象性和系统性而言，以欧几里得几何为代表，它的水平无疑是很高的，但在代数领域，中国人的成就不见得逊色，甚至可能略胜一筹。中国数学的最大弱点是，缺少一种严格求证的思想，为数学而数学的情形极为罕见（一个突出的例子是规矩和欧几里得作图法的差异），这一点与贪求功名的文人一样，归因于一种功利主义。

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经过了长达20多年的游学之后，朱世杰终于在扬州安定下来，在那里刊印了前面提到的两部数学著作。《算学启蒙》从简单的四则运算入手，一直讲到当时数学的重要成就——开高次方和天元术，包括了已有数学的方方面面，形成了一个完备的体系，是一部很好的数学启蒙教材。可能受南宋日用和商用数学的影响，以及杨辉著作的启发，朱世杰在书的最前面给出了包括乘法九九歌诀、除法九归歌诀等口诀，以利于更多的人阅读。
据史载，明世宗也曾学习《算学启蒙》，并与大臣商讨过，可是到了明末这部书却在中国失传。好在它出版不久便流传至朝鲜和日本，并被多次注释，对日本的和算尤有影响，直到清朝道光年间（1839），才在它的诞生地扬州依据朝鲜的一个版本重新刻印。与《算学启蒙》的通俗性相比，《四元玉鉴》则是朱世杰多年研究成果的结晶，其中最重要的成果是，把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上，这就是所谓的“四元术”。
朱世杰的“四元术”是这样的，令常数项居中，然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”。也就是说，他用天、地、人、物来表示四个未知数，即今天的x、y、z、w。例如，方程 x + 2y +3 z + 4w + 5xy + 6zw = A 可以表示成下列图表
4 6
2 A 3
5 1
朱世杰不仅给出了这种图表的四则运算法则，还发明了消元法，可以依次消元，最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解。在欧洲，直到18世纪，才由西尔维斯特、凯莱等人用近代方法（譬如矩阵）对消元法进行了较为全面的研究。除了四元术以外，朱世杰还对高阶等差级数求和做了深入探讨，在沈括、杨辉工作的基础上，给出了一系列更为复杂的三角垛的计算公式，并在牛顿（1676）之前给出了插值法（招插术）的计算公式。
比利时出生的美国人乔治·萨顿（1884-1955）被公认为是科学史这门学科的奠基人，并享有“科学史之父”的美名，“萨顿奖章”是科学史界的最高荣誉，而第一个获奖人就是他自己（1955年，李约瑟也曾在1968年获此奖），萨顿精通包括汉语、阿拉伯语在内的14种文字，是中国语言学家赵元任留学哈佛时的导师。就是这样一个萨顿，他评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，并称赞《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。

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公元1232年，蒙古人侵入中原，已经40岁的李冶换好平民服装，踏上漫长而艰苦的流亡之路。两年后金朝灭亡，可是他并没有逃往南宋，而是留在蒙古人统治下的北方（元朝），一来南宋和金素来为敌，二来忽必烈（元世祖）礼遇金朝的有识之士（曾三度召见他）。这是李冶一生的转折点，将近半个世纪的学术生涯开始了（他比丢番图还多活三年）。他返回河北老家，买下一块地产，开始收徒讲学，从事数学研究和教育活动。或许李冶觉得，数学可以让他远离政治。
李冶一生著述甚多，最让他得意的是《测圆海镜》（1248），此书奠定了中国古代数学中天元术的基础。天元术是一种用数学符号列方程的方法，在《九章算术》中是用文字叙述的方式建立二次方程的，尚没有未知数的概念。到了唐代，已有人列出三次方程，却是用几何方法推导，需要高度的技巧，不易于推广。此后，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，方程次数不能高过三次。直到北宋，贾宪等人才找到了高次方程正根问题的基本解法。
可是，随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种更一般的、能建立任意次方程的方法，天元术便应运而生了。李冶意识到，只有摆脱几何的思维模式，建立一整套不依赖于具体问题的普遍程序，才能实现上述目的。为此，他首先“立天元一为某某”，这相当于“设x为某某”，“天元一”表示未知数。在这里，未知数有了纯代数意义，二次方不必代表面积，三次方也不必代表体积，常数项也可正可负。至此，困扰中国数学家一千多年的任意n次代数方程的表达便变得非常容易了。
不仅如此，李冶还引进记号○来代替空位，这样一来，传统的10进制便有了完整的数码。由于在南方，比《测圆海镜》早一年问世的《数书九章》也采用了同一记号，因此〇号在中国迅速得以普及。除了〇号以外，李冶还发明了负号（在数字上方加划一斜线）和一套相当简便的小数记法，这两种记号比欧洲人分别早了2个世纪和4个世纪，也使得中国的代数学“半符号化”，因为尚缺少等号等运算符号。既然有如此先进的思维，李冶必然是个有哲学头脑的人，他认为数虽奥妙无穷，却是可以认识的。
李冶去世那年，正好南宋也被元灭亡了。此前，南北方之间包括数学在内的交流是非常少的。朱世杰在“宋元四大家”中出生得最晚，因而幸运地得以博采南北两地数学之精华。由于朱世杰一生未入仕途，我们对他的家世和生卒年一无所知，现有的资料是从友人为他的两部著作《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）所作的序言里获得的。与李冶一样，朱世杰也出生在北京附近，但那时元已灭金，北京（燕京）已成为重要的政治和文化中心。

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《数书九章》同样也是各类问题集，其中最重要的两项成果是“开方正负术”和“大衍总数术”。“开方正负术”给出了一般高次代数方程，即
a_0 x^n + a_1 x^(n-1) +L+ a_(n-1) x + a_n = 0
的解的完整算法，其系数可正可负。具体做法是先让常数项系数为负，接下来的做法与贾宪-杨辉使用的大体相同，但有所简化。秦九韶共举了21个高次方程的例子，其中次数最高的是10次方程。
“大衍总数术”则明确地给出了孙子定理的严格表述，用现代数学语言来讲就是，设m_1，m_2，……，m_k是两两互素的大于1的正整数，则对任意的整数a_1，a_2，L，a_k，，下列一次同余式组关于模m=m_1m_2Lm_k有且仅有一解
x ≡ a_i (mod m_i) ， 1≦i≦k
秦九韶并给出了求解的过程，为此他需要讨论下列同余式
a x ≡1 (mod m)
他用到了初等数论里的辗转相除法（欧几里得算法），并称此为“大衍求一术”。这个方法是完全正确并十分严密的，至今仍出现在《初等数论》的教科书中。可是由于古代中国没有素数这个概念，且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶没有给出证明。实际上，他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。
在欧洲，18世纪的欧拉和19世纪的高斯分别对一次同余式组进行了细致的研究，重新获得与孙子定理一样的结论，并对模两两互素的情形给予严格的证明。在英国传教士、汉学家伟烈亚力所著的《中国数学科学札记》出版后，欧洲学术界才认识到中国人在这方面的开创性工作，之后秦九韶和“中国剩余定理”的名字也传开了。人们一致认为，“开方正负术”和“大衍总数术”这两项工作均达到了当时的世界先进水平。可是，当秦九韶守孝完毕，复返官场，他又沉湎于追逐功名利禄，没再在数学上做出贡献。
3、李冶和朱世杰
正如杨辉和秦九韶一直生活在南方，南宋的另外两位大数学家李冶和朱世杰则世居北方。李冶（1192-1279）出生在金国统治下的大兴（北京郊外），原名李治，后来发现与唐高宗同名，随减去一点。李冶的父亲是一位为人正直的地方官，同时又是博学多才的学者，他自小受其影响，认为学问比财富更可贵。李冶年轻时便对文史、数学均十分感兴趣，后来考中进士，被赞为“经为通儒，文为名家”。不久蒙古的窝阔台军队侵入，他没有赴陕西上任，改到河南任知事。

管季超.

虽然北方的威胁仍在，但南宋人的生活却过得有滋有味，在经济、文化上甚至更为繁荣。数学家杨辉和沈括同乡，也是临安（杭州）人，虽然他的生卒年不详，但我们知道他生活在13世纪，并曾在台州、苏州等地做地方官，业余时间研究数学。从1261年到1275年这15年间，杨辉独立完成了5种数学著作，包括前文提到的《祥解九章算法》。他的书写得深入浅出，走到那里都有人请教，因此他、也被认为是一位重要的数学教育家。
在前节提到的贾宪的增乘开方法之后，杨辉接着举了一个实例，说明它是如何用来解四次方程。这是一种高度机械化的方法，可以适用于开任意次方程，与现代西方通用的霍纳方法（1819）基本一致。此外，杨辉还利用垛积法导出了计算正四棱台的体积公式，由于捷算法的需要，他（在中国）率先提出了素数的概念，并找出了200到300之间的全部16个素数。当然，杨辉对素数的研究远远落后于欧几里得，无论是时间上还是完整性上。
不过，我认为杨辉最有趣的数学贡献应该在幻方方面，古人称之为纵横图。谈及幻方（Magic Squares），它最早源于中国，在《易经》这部我国最古老的典籍（至晚公元前11世纪）里就有一幅叫洛书的数字图表，传说是治水的大禹于公元前2200左右在黄河岸边一只神龟背上所见，用阿拉伯数字写就是
4 9 2
3 5 7
8 1 6
在这张表中，各行、各列或对角线上的三个元素相加均为常数。在13世纪以前，中国数学家并没有认真对待它，只把它看成一种数字游戏，甚至笼罩着一层神秘色彩。杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质，他以自己的研究成果证明，这种图形是有规律的。
杨辉利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方。对4阶以上的幻方，他只给出了图形而未留下作法，但他所画的5阶、6阶乃至10阶的幻方全都准确无误，可见他已经掌握了构成规律，他并称10阶幻方为百子图，其各行各列之和为505。在欧洲，这方面的发现和研究要晚许多，第一个幻方出现在公元130年，也是一个3阶图，与《易经》的洛书不同；在德国版画家丢勒的名作《忧郁》（1514）中，也出现了一个4阶幻想，与杨辉举过的一个例子只是互换了行列。
相比杨辉对数学研究的孜孜不倦，秦九韶（1202-1261）的学术生涯比较短暂。他出生在四川，故乡长年处于兵荒马乱之中，后随家人移居京城（临安），几年以后复又回到老家。成年后他再度出川东下，在湖北、安徽等地做地方官，最后定居浙江湖州。据说秦九韶为官贪婪、生活糜烂，在南京做官期间，母亲去世，他离任返回湖州奔丧。正是在湖州守孝的三年时间里，他刻苦研究数学，写出了传世的著作《数书九章》。

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沈括系进士出身，曾参与王安石变革运动，后出使辽国，回来后任翰林学士，政绩卓著。他每次旅行途中，无论公务多么繁忙，都不忘记录下科学与技术上有意义的事情，堪称中国古代最伟大的博物学家。《梦溪笔谈》几乎囊括了所有已知的自然科学和社会科学，例如，发现了夏至日长、冬至日短，在历法上他大胆提出12节气，大月31日，小月30日；在物理学上，他做过凹面镜成像和声音共振实验；在地理学和地质学上，则以流水侵袭作用解释奇异地貌成因，从化石推测水陆变迁，等等。
现在我们来谈谈沈括书里有关数学方面的记载。在几何学方面，为了测量的需要，必须要确定圆弧的长度，为此他发明了一种局部以直代曲的方法，后来成为球面三角学的基础。在代数学方面，为了求出垒成棱台形状的酒桶的数目（这里酒桶每层纵横均有变化），他给出的是求取连续相邻整数平方和的公式，这是中国数学史上第一个求高阶等差级数之和的例子。沈括还认为数学的本质在于简洁，并指出“大凡物有定形，形有真数”，这与毕达哥拉斯的数学思想颇为接近。
相比之下，我们对与沈括同时代的贾宪所知甚少，只知道他写过一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，可惜已经遗失。幸运的是，这部著作里的主要内容两百年后被南宋数学家杨辉摘录进他的《祥解九章算法》（1261）。此书记载了贾宪的高次开方法，这个方法以一张本源图为基础，它实际上是一张二项系数表，即（x+a）^n (0≦n≦6)展开的各项系数,
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
此后，这个三角形就被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，它的出现比法国数学家帕斯卡尔的发现早了6百多年。不仅如此，贾宪还把这个三角形用于开方根的计算，取得了意想不到的效果，被称为“增乘开方法”。
2、杨辉和秦九韶
早在五代时期，在东北和蒙古一带还有一个契丹族建立的辽国，始于唐朝末年。宋朝建立之初，太宗还亲自率兵或派兵攻辽，不久却渐渐转而处于守势。最后，宋朝只好纳贡视好，开创了一个向番邦定期交付财物的先例。当时，受辽国欺压的还有一个善于骑马的女真族，生活在黑龙江流域，他们强盛起来后建立了金国，并出兵灭了辽国。之后，又向南进攻北宋的都城卞京（开封），俘虏了徽宗和钦宗父子。后钦宗之弟高宗被拥为皇帝，迁都杭州（1127），改称临安，史称南宋。

管季超.

《缉古算经》是十部算经中最晚成书的，作者王孝通是初唐人，曾为算学博士，其籍贯身世和生卒年代均不详。这部书也是一系列实用问题集，但对当时的人来说难度很大，主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小以及勾股问题等，大多数需要用双二次方程或高次方程来解决。尤其值得一提的是，书中给出了28个形如
x^3 + p x^2 + qx = c
的正系数方程，并用注来说明各项系数的来历。作者给出了正有理数根，但没有具体的解法。在世界数学史上，这是关于三次方程数值解及其应用的最古老的文献。
三、宋元六大家
1、沈括和贾宪
虽说唐朝的经济和文化繁荣，可是9世纪末以后，不少世袭统治者的半自治政府兴起于边地，官僚的中央政府无力约束。加上税赋加重，黄巢农民起义后，参与镇压的节度使势力大增。到公元907年，中国再次转化为分裂状态，五代开始了。短短的半个世纪时间里，更换了5个朝代，即后梁、后唐、后晋、后汉和后周，首都改设开封或洛阳。战乱的后果造成了经典著作的失传，祖冲之的《缀术》就在其列。而在南方，也有过10个小国，包括以金陵（南京）为都的南唐，它的最后一个皇帝李煜因国破被虏而成为一代词人。
公元960年，军人出身的赵匡胤在河南被部下拥上皇位，建立了宋朝。不流血的政变之后，他又“杯酒释兵权”，让一部分武将退役还乡。重新统一后的中国发生了有利文化和科学事业的变化，散文化的诗歌——宋词在唐代以后又达到一个文学颠峰，商业的繁荣、手工业的兴旺以及由此引发的技术进步（四大发明中的三项——指南针、火药和印刷术是在宋代完成并获得广泛的应用）则为数学的发展注入新的活力。尤其是活字印刷的发明，为传播和保存数学提供了极大的方便，刘徽的《海岛算经》成为（现存）最早付印的数学论著。
虽说李约瑟在《中国科学技术史》里对“孙子定理”的结论一笔带过，并未提高到“定理”的高度，但他却指出，宋代（南宋）出现了一批中国古代史上最伟大的数学家。那是在13世纪前后，正好是欧洲中世纪即将结束的年代，他们是被称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。不过，在谈论这四个人之前，我们还需要提到两个北宋人——沈括和贾宪，其中杭州出生的沈括于1086年完成了一部《梦溪笔谈》，也算中国古代科学史上的一朵奇葩。

管季超.

奉诏负责这十部算经编撰的正是前文提到的李淳风，除了精通数学以外，他更以天文学上的成就闻名。 在堪称世界上最早的气象学专著《乙已占》里，他把风力分为8级（加上无分和微分则为10级），直到1805年，一位英国学者才把风力划分为从零到12级。除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》和《缀术》以外，《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》。这三部书的共同特点是，每一部都提出一个非常有价值的问题，并以此传世。
《孙子算经》的作者不详，一般认为是公元4世纪的作品，作者可能是一位姓孙的数学家。该书最为人所知的是一个“物不知数”问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
这相当于求解下列同余方程组
n ≡ 2 （mod 3）
n ≡ 3 （mod 5）
n ≡ 2 （mod 7）
《孙子算经》给出的答案是23，这是符合上述同余方程组的最小正整数。不仅如此，书中还指示了关于上述三个模求解的方法，其中的余数2、3和2可以换成任意数。这是一次同余式组解法（孙子定理）的特殊形式，8世纪唐代僧人一行曾用此法制订历法，但其更一般的方法要到宋代才由数学家秦九韶给出。孙子定理是中国古代数学史上最完美和最值得骄傲的结果，它出现在中外每一本《初等数论》教科书中，西方人称之为中国剩余定理。
（* 在中国古代，“算术博士”并非最早的专精一艺的官衔，西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”。）
《张邱建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人，书中最后一道题堪称亮点，通常也被称为“百鸡问题”，民间则流传着县令考问神童的佳话，书中原文如下
今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
设鸡翁、鸡母和鸡雏的数量分别是x、y、z，此题相当于解下列不定方程组的正整数解
x + y + z = 100
5x + 3y + z/3 = 100
张丘建给出了全部三组解答，即（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。这两个三元一次方程可以化为一个二元一次方程，而让另一个元成为参数。今天我们知道，多元一次方程均可以给出一般解。类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的伊朗人卡西提出。遗憾的是，张建丘没有乘胜追击对这个问题进行总结，他也不如孙子幸运，后者有秦久韶完成后续的研究和证明。