张奠宙谈数学文化

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原文地址：张奠宙谈数学文化作者：枫叶
张奠宙简介: 浙江奉化人。1933年出生。1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班。1986年任教授。 1999年， 当选为国际欧亚科学院的院士成员。
　　谢谢主持人, 谢谢各位光临。今天我想要谈的题目是数学文化。数学文化不大有人听见，这个词儿好像数学跟文化连不起来，数学是干巴巴的， 属于比较枯燥的，文化又是那么丰富生动， 这两者可能联系不起来。但是我觉得这非常重要。我想我们先看看这样的一个图像，这个图像叫曼德伯罗伊特图，它是用一个2次的复数的叠代出来的一个图形。 我们这里可以看到 像一个葫芦形的东西，外面有些须须，可是我们如果一旦进去的话， 从任何一个地方进去，你看它的形象，它的局部和整体非常相像， 我们再往里面看， 任何一个进去，它又出来一个当中的黑点， 旁边有几个弯弯的须须，在任何一个地方进去又是这样的，随便你哪里进去都可以。这个是不是有点像克隆？就是我们很小的一个地方它和整体都很相像。 数学家原来不知道这个东西，是曼德伯罗伊特用这个方程，用计算机来做了之后， 就慢慢地发现了原来自相似性。自己跟自己相似，每一个细胞跟他整个人相似，这种现象在数学里面是经常见到的。 我们一棵柏树， 也是有这种自相似性的，所以我说像这样的图形，它已经把数学跟艺术都连在一起了。数学就不再是几条公式，它跟我们人类的生活， 跟信息时代，我们的一些欣赏习惯等等都可以有密切的联系。我想这样的数学恐怕不是我们在中小学课堂里面学习的那一种数学，这是信息时代的数学，是我们将来在信息时代经常会碰到的，我们在书的各个封面上面看到的许多分形图像，就是这样的一种数学的产物。数学可以产生这么漂亮的东西，我想是我目前所想不到的，这就是我的一个开场。给大家看一看， 我想可以理解一下新的数学是怎么一回事。

　　那关于数学文化， 我想首先想到的是数学是理性文明的火车头。我想我们人类的文明，大概有四个高峰。 在古希腊时代，数学仍然是古希腊文明的一个火车头。 大家都知道 《几何原本》， 它的影响是如此之大，一直影响到今天，它是印刷数量、版本仅次于《圣经》的读物。后来第二个高峰就是在近代文明， 就是文艺复兴到17世纪到18世纪。 牛顿发明了微积分，连同他的力学把整个科学带到了新的境界，那就是黄金时代。 那时候的工程技术、资本主义工业生产、 工业革命、法国大革命都是在这样的基础上面开展起来的。 第三个现代文明， 我们假定说爱因斯坦的相对论为基础，那么在19世纪我们就为他准备了。从高斯、 黎曼准备了很多数学工作，黎曼几何就是相对论的数学基础。 所以没有数学的发展， 相对论就找不到一个可以表达的数学工具。那么到了20世纪下半叶信息时代文明，信息时代就是冯·诺依曼创造了计算机的方案。今天我们广泛使用的改变了人类社会形态生活方式的计算机，它的方案是一位数学家设计出来的，他就是冯·诺依曼。所以我说数学和社会的发展同步，数学和人类的文化共生。因此数学不仅仅是一些干巴巴的条文， 它是密切和人类文化联系在一起的。

　　我希望我们大家来了解数学，有三个层面：一个层面就是公式定理， 像勾股定理、 求根公式等等。第二个层面就是思想，就是我们公理化思想， 数形结合、 函数思想等等。 这样一些思想层面的解析几何，解析几何的方法诸如此类坐标方法。还有一个层次就是文化价值。数学有好的数学，有价值的数学， 有意义的数学， 这是一种看法。什么叫做好， 什么叫做有价值， 怎么叫做有意义， 如何来判断，这就要靠文化的层面来看。你要看到时代的发展，看到人类社会的需要，看到我们现在的文明， 看到人们的趋向趣味，这样来解决你这个数学是不是有价值。 如果把数学看成仅仅是逻辑，仅仅是形式，仅仅是思想的体操，那么我们就是很少注意文化的层面，那么先进的数学文化就会推动数学发展，落后的数学文化就会拖拉数学的进步。

　　我们看看， 举个例子看看我们这个在1906年我们京师大学堂，用的数学教课书是这样的东西。那个时候不能用x y z， 那是外国货， 我们不能用的，用天 地 人 也就能用a b c d， 也只能用甲乙丙丁， 阿拉伯数学不能用，用一二三四； 加法不能用用一竖一横； 减法不能用，用一横一竖这样的数。 我们当时的爷爷辈，他们就得念这样的书。 什么文化决定的？ 当时说“中学为体 西学为用”，清朝末年，认为中学是老祖宗家法，那个东西是不能改的， 外国来的东西只能用一用， 因此我们就不跟国际接轨，自己搞出了这么一套符号。

　　那我们再看看与时俱进的文化，刚才主持人提到陈景润， 确实陈景润搞哥德巴赫猜想，他的1+2的结果坚韧不拔，独军奋战， 勇攀高峰，是我们在科学春天里面出现的科学的英雄人物。 他代表着那个时代的精神，经过“文革”的动乱，我们需要这样的精神去攀登高峰。可是在90年代我们又出来另外一种英雄， 那就是王选。今年他得了中国国家的最高科学奖， 他是1958年北京大学数学系毕业的，他用数学的成果搞了数据压缩，结果就完成了汉字的激光照排，告别了铅与火的革命，他当然是计算机的科学家， 但他最重要的工作恰恰是来自他的数据压缩。 作为一个数学应用，王选是我们当今做得最好的。大家想想看，这是不是两种不同的文化。当初陈景润时代代表了一种文化， 王选时代又是一种文化， 这就是计算机时代的数据时代，给我们信息时代的数学的印象。

　　我们再看一看近十几年来， 西方发展了大量的数学， 比如说控制论是维纳发明的，他原始的思想是人怎么到地上去捡一支铅笔，慢慢地人越来越接近铅笔，接近多少马上反应在脑子里面，这就是反馈信息。 仙农研究信息论，信息传输， 信息讲话， 语言， 这里面怎么会有数学呢？可是仙农就是从这里面创立了数学信息论。纳什研究的博奕平衡，刚才说过了，关于双赢的策略-小波分析， 美国现在在数字电视里面领先， 靠的是什么靠的是他的小波数字压缩技术，否则那么大一堆数据，你怎么传输， 传来传去， 传不过去了，压缩了以后才能传过去，跟王选做汉字的信息压缩是同样的。 金融数学有期权公式， 曼德伯罗伊特的分形艺术，我刚才已经给大家看过。最近非线性数学有句名言，说巴西的蝴蝶震动一下，纽约就要下大雨。 那意思是说我们这个世界是很多情形是不稳定的， 哪个地方稍微动一动，那边就引起轩然大波。这样的一种情形是非线性数学所特有的。这些里面显示了我们在最近这半个世纪以来数学的一种总的趋向，所以我就想到，我们应该实现数学文化和人类文明的整合， 要搞清楚数学的文化背景，搞清楚数学成就的文化价值，把数学的结果它的文化品位发掘出来，用文化的视野来看数学，用数学的眼光来看文化， 发展现代数学， 弘扬世界的文化。

   
     数学文化如果我们把它打扮起来，数学就是一位光彩照人的科学女王。但是如果你仅仅把数学等于逻辑，等于枯燥的几条公式，那么这个美女就变成X光下面的骷髅， 就是X光的照片。 我们现在更多的看到的是X光照片，看不到数学科学女王的光彩照人的美容，我们只是看到她的骨骼。下面我就想就这些问题，我们分别来探索一下。

　　不同的国家有不同的数学文化， 不同的时代也有不同的数学时尚， 就像我们穿衣服一样有时尚。中国数学的传统的数学影子，揭示数学文化底蕴和文化品位，最后就是介绍我们自己的文化，来争取成为21世纪的数学大国。 我想分别谈一谈。

　　我们先看一看， 不同的国家有不同的数学文化， 这是什么意思呢？就说两个不同的国家的政治制度学术氛围，决定了它的数学走向。比如说古希腊和中国的传统数学就不一样，古希腊的数学和中国古代数学是两种不同文化下面产生的。古希腊的数学它的背景是什么？ 古希腊是奴隶主之间的民主政治，男性的奴隶主他们之间有民主，奴隶没有民主，他们之间的选举，执政官来决定财政收入， 决定是否战争宣战。 在这样一种民主的，虽然是少部分人的民主的制度下面平等的学术交流。因为你要说服别人，大家要选举，平等的学术交流。 于是它就需要构建一个公理化的数学体系，让大家来思考， 比如说对顶角相等要不要证明。中国的秦汉王朝就不是这样。虽然我们春秋战国时期也非常繁荣，学术非常繁荣，但是它是封建君王的政治， 知识分子比如数学家就向君王进谏说，你照我的办法办， 那么你就能够成功， 你就能够治理国家， 你就能使国家富强，请你君王来接受我的意见去实行。这样就需要什么呢？需要丈量田亩、征税、 管理土方、 要管理各个粮食之间的比例。于是就有我们的《九章算术》。 《九章算术》就是管理国家的官方的文书。 怎么样丈量田亩，要抽税呀；税怎么抽法，苞米玉米和小麦稻米互相之间的折扣怎么样，你如果是从甲地运到乙地， 这个粮食运输价格该怎么定， 这些地方就是《九章算术》的内容。它是方田章，数理章？？？ 这样一些章节都是在讲怎么样管理国家。 大家看看这是不是不同啊，最简单的一个就是这个， 理性思维对顶角相等 A=B，这个在中国人看来这个不要证明， 这个证了它干什么，这个东西一看就明白了。但是古希腊就这样证， 它的几何原本就是这样证的， 就是A+C是一个平角， B+C也是平角，公理3 等量减等量， 大家都把C减掉， 于是A=B。 这么一种证明方法，是在古希腊时代才有， 而我们中国没有。中国的古代算学角这个概念都没有，它认为角不需要，只要垂直就可以了， 不需要有角的概念。我想这些地方都显示出两种不同文化方面，它们确实会产生不同的数学， 所以数学它是和当时的政治制度， 文化，学术氛围密切相关的。

　　其次一个问题， 我就想谈一谈不同时代不同数学的时尚。 数学时尚是一阵一阵的，我刚才前面说过，古希腊时代数学的是比较严密的推理，到牛顿时代就是算， 就是做，有成果就行。 20世纪下半叶， 数学的应用发展起来了，数学应用在我们中国还是比较缺乏，因为我们过去没有发达的工业，提不出来像样的数学物体要应用， 所以我们往往在理论上面，理性方面强调比较多严格证明， 这是很重要的。 但是另外一点 应用我们就比较落后。因为我们没有工业，缺乏强大的工业， 提不出重要的问题出来，所以姜伯驹院士，北京大学姜伯驹院士他就说， 20世纪下半叶，数学最大的进展是应用。 你数学用得好你就赢了。这就是把下半叶计算机出现之后，把数学时尚改变了。 原来仅仅是搞理论严格性，现在强调应用，这是数学的两个轮子， 有的时候这个轮子转得快一点， 有的时候那个轮子转得快一点，把这两个轮子都要，不是说只要一个轮子，那是不行的。

　　第二种数学时尚，就是绝对主义和经验主义。 大家都有种感觉 ，数学大概是绝对正确。 1+1总归等于2，不会有别的事情。 确实在20世纪的上半叶， 绝对主义盛行， 就是因为什么事情都可以错，唯独数学是不会错的。后来歌德尔就说，这个不可能做到， 有些数学是可以错的，数学很多本来就是错的， 就是牛顿的微积分大家都知道， 是不严格的，但是它的东西所反映的内容是对的，微积分的本质是对的，它表达方式上面有各种各样的差错， 所以牛顿的数学不严格。中国古代数学比如说开方，它有的时候它也不严格， 但这都是数学， 它都是很好的数学，有价值的数学，所以整个数学其实是人做的。我们现代就是提倡经验主义的复兴，有许多事情大家在计算数学方面， 很多就是说出来了， 这好像是对的，为什么呢？我一时也说不清楚， 先用了再说， 所以数学也是在可以发生错误，在不断修改自己完善自己当中发展起来的。
    还有一种时尚的问题，就是文化的背景，理性重要还是实用重要？这我就讲一个故事， 就是巴斯卡跟费马他们两个人通信。 1645年通信，就提到一个事情：有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的概率都一样，都是1/2，谁先能够连赢累计达到5盘，就获得这笔赌金。但是一个特别的原因， 突然终止了， 那个时候甲赢了4局，乙赢了3局， 问这笔赌金应该如何分配？这个问题是北大的史书中教授在8月份中央电视台上面也跟大家一起演讲过，他就把这个题目出给在场的观众，观众当中就说，这个应该4/7和3/7，因为一共赛了7局， 你赢了4局拿4/7， 我赢了3局拿3/7， 这样是不是合理呢？巴斯卡和费马讨论，说是不行， 不能这样做。他说我们再试一局， 再试一局， 假定试一局是甲赢了，甲就应该拿到全部的赌金，甲赢的概率只有1/2， 所以应该是1/2×1 拿到整个一笔赌金。那么如果说乙赢了呢？乙赢了就是乙应该拿1/2， 因为是什么因为甲是4局，乙也是4局， 大家平分。
　　所以乙如果赢了， 乙拿1/2， 甲拿1/2。 好， 那么根据这个概率， 所以如果甲赢1/2×1 拿1/2，然后再拿1/2当中的1/2，一共加起来是3/4，这就是它的最初的概率论的产生。中国打麻将很厉害的对不对，打了那么多麻将有没有产生概率论？没有。 为什么？就是因为我们是在这种实用当中， 功利性的， 所以赢了就完了，不深究， 不细究，缺乏这种非常细致入微的思考。这种数学思考非常重要，一个数学的发展全靠这种功夫。
　　我前面说过的， 信息论、 控制论， 这种东西看起来不是数学的问题，你去研究它干什么？纳什研究是几个人在那里竞争，这里面有数学吗？觉得没有数学， 但是它确实有数学。 这就是理性和实用之间的关系。 仙农当时研究信息量，说信息量这个东西，就是烽火台吧，燃起烽火台， 敌人来了； 没燃烽火台，就是报平安。0和1两种， 那么我们用二为底的对数取1个信息量，但是如果在纣王宠妲己的时代，那个烽火随便燃，这个概率就不准了，你这个信息量就不对了， 这个敌人来的概率就不对了，这个当然是我们代仙农的想法。 仙农他自己的想法怎么样呢， 概率对信息量有密切的关系，比如说信息量大小 “狗咬人”不是新闻，因为狗咬人没有什么稀奇。 “人咬狗”这个新闻信息量就大了， 是不是？ 今天太阳升起， 那没什么稀奇，这个信息量不大， 你告诉我不告诉我都一样。今天日蚀了，哦，今天这是大事情， 那么我们的信息量就很大， 说事件的概率P越大，传送这个事情的信息量就越小，概率大了就没有意义了像这样的思考。我们中国传统的数学里面缺乏这样的思考，他就会去面对这样一些社会的需要去想一想，我这个信息量的大小，和一个事情发生的概率有联系，这就是他的天才之处。 我觉得我们中国缺乏这样的文化， 虽然我们也有烽火台，我们也传送信息，但是用什么人或者是数学文化当中有这样的精神，去思考这样一些很本质的问题，我们缺乏。
　　不同的数学时尚还表现在数学的问题上面，问题提醒，比如说：陈景润搞的哥德巴赫猜想，那是在18世纪的提出来的问题。那个时候提出来就是数论的发生问题， 但是在20世纪在信息时代，我们提出的问题就不一样了。 比如像货郎担问题，一个货郎要跑那么多村庄，要每一个村庄都要跑遍，那么有几条路线可以走，那多得不知道有多少， 哪条路线能够跑遍所有的村庄最短？这个问题非常困难，现代的计算机要算好几年也未见得算得出来，这个事情是不可解答的，究竟应该怎么样才能把这个问题解决呢？我们找到一种算法，在多项式时间里面把它算出来， 这就是现代是我们当今数学的第一号的困难问题，也就是常说的P=NP问题，也就是不是可以找到一个多项式的算法，它的规模是N的多少次方，而不是多少数的N次方。 用多项式算法，能够把货郎担问题算出来， 有没有这样的算法，这是世界上头号的数学大问题。这个问题只有今天我们能够提出来，感到需要，因为计算机发达了，需要去用算法来解决我们现在没有解决的问题。