给学生发现的支点

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给学生发现的支点

               ――《比例的意义和性质》教学案例

石首市实验小学   王仁平

石首市教研室　　易　虹

教学内容：
人教版小学数学课标教材六年级下册第32-35页《比例的意义和性质》
教学背景：
数学课堂中，知识的获得真的能由教师直接或间接告诉向学生感悟发现转变吗？学生真的能由“操作工”转变为发现者吗？如果答案是肯定的，教师能够也应该为学生的发现提供怎样的帮助呢？郎建胜老师关于《比例的意义和性质》注的教学实践，可以给这些问题一个满意的答案。
过程描述：
—、学习比例的意义及外项与内项的含义。（过程略）
    二、探究比例的性质。
1、师：通过刚才的学习我们知道了什么叫比例，请大家任意写一个比例。
（学生各自写出比例后，教师把部分同学写的有代表性的比例板书到黑板上：
50:10 =5:1　　　　18:9=4:2　　　　0.6:0.5=6:5 　　　　1/8:1/4=1/6:1/3）
2、师：(指着18:9=4:2)仍旧用这四个数，能不能组成其他的比例，你一共能组成几个这样的比例？指出每个比例的内项与外项分别是什么。
（学生独立写出比例后，老师要求在小组里交流自己的比例，并讨论以下的问题：
（1）说出每个比例的内项和外项；
（2）能不能根据内项与外项的不同把这些比例分成两类；
（3）从中你发现了什么？
小组内交流后进行全班交流。）
3、师：哪个小组先来把你们的研究成果展示给大家看？
生：我们组一共写了8个比例，分成两类：
18:9=4:2         9:18=2:4
18:4=9;2         4:18=2:9
2:9=4:18         9:2=18:4
2;4=9:18         4;2=18;9
左边的四个比例的外项是2和18，内项是4和9，右边的四个比例的内项是2和8，外项是4和9。
师：从中你们有什么发现吗？
生：我们发现两组比例的内项和外项刚好相反。
师：谁听懂他说的意思了？能解释一下吗？
生：他的意思：第一组比例的内项是4和9，外项是2和18；第二组刚好反过来，内项是2和18，外项是4和9。
师：也就是说2和18配成一对，要么都当内项，要么都当外项，而4和9也是一对。其他组有什么不同的意见或补充意见吗？
生：我补充一点，是最大的数与最小的数配成一对，中间两个数配成一对。
生：2和18相乘等于36，4乘以9也是36。
4、师：老师也写了一个比例，不过我把这个比例的两个内项隐藏起来，请你猜一猜老师写的比例可能是怎样的。（师板书比例12: □=□:2。）
生：我猜你写的是12：6=4：2。
师：你认为两个里分别填6和4。（师在两个□下分别填上1和24）
生：我猜是12：12=2：2。（师在两个□下分别填上12和2）
……
生：填进去的两个数的积是24就可以了。
师：你能不能解释一下你的想法？
生：这个比例的外项相乘是24，内项相乘也要是24。
师：你认为内项的积与外项的积是要相等的。大家同意他的想法吗？（大部分同学表示同意）
师：根据这个想法，你认为两个内项还可以是什么数？
生：我认为还可以是1/2和48。
生：还可以是1/3和72。
师：大家算一算这样的填法对不对？（学生进行计算，得出比例是成立的。）
5、师：这是大家的猜想，有了猜想还必须进行验证。请把刚才自己写的比例都拿出来算一算，看内项的积与外项的积是不是相同？（学生进行验证，纷纷表示内项的积与外项的积相同。）
师：请另外再写出一些比例，看这个规律是否还成立？（学生进行验证发现规律成立。）
师：有一位同学也写了一些比例，他认为他写的比例的内项积与外项积是不相等的，大家看看到底是怎么回事？（师板书：1/3：1/9=3：9。）
师：请看，（边说边板书）这位同学说：外项的积1/3×9=3，而内项的积1/9×3=1/3，这究竟是怎么回事呢？
（学生沉思，面露迷茫之色，过了一会儿，一位学生叫起来：这个比例不成立！在他的启发下，更多的同学发现了这一点，老师就请他来说说他的发现。）
生：1/3：1/9=3，而3：9=1/3，这个比例是不成立的。（学生们恍然大悟）
师：噢，原来这个根本就不是比例！通过同学们的共同努力，我们发现了一个重要的规律，谁能用自己的话说说我们发现的这个规律？
生：比例的内项的积等于外项的积。
师：大家都同意吗？（生齐：同意。师指着一个比例的内项和另一个比例的外项）大家的意见是说它们应该是相等的？谁能把意思表达得更准确些？
生：在一个比例里，两个外项的积与两个内项的积相等的。
师：这个规律叫做比例的基本性质。
6、师：前面我们用4个数可以组成8 个不同的比例，并且从中发现了比例的基本性质。下面请同学们用4、6、8、9这四个数组成一些比例。
   （学生尝试写比例，发现不能组成比例。）
师：这四个数为什么不能组成比例呢？
生：不管怎么组合，写出来的比都不相等的。
师：可是这究竟是为什么呢？
生：两个两个乘起来的积不相等！
师：谁听懂他说的意思了？能解释以下吗？
生：他的意思是说最大的数与最小的数相乘4×9=36，中间两个数相乘6×8=48，它们不相等，所以不能写成比例。
师：它们不相等，为什么就不能写成比例呢？
生：比例的两个内项的积都等于两个外项的积。
师：大家的意思是说，如果这四个数能组成比例，那么两个作内项的数相乘与两个作外项的数相乘的积应该是相等的，这四个数两两相乘的积都不相等，所以不能组成比例。
三、应用：用比例的性质解比例。（略）
我的思考：  
我认为这节课的成功在于：比例的基本性质不是在教师指令下——“把内项和外项分别相乘有什么发现”——进行的“伪发现”，而是触及学生心智的在有所感悟、有所猜想积淀下的有感而发。教师为学生的发现提供了如下支点：
一、营造了猜想的“思维场”
　　猜想是发现的前提，没有猜想何以谈发现。要发现比例的性质，就要先让学生产生 “比例的内外项分别相乘积相等”的猜想。如何引导学生产生这个猜想，教材直接呈现了比例2.4:1.6=60:40的内外项分别相乘的算式。如果按这个思路教学，无疑于将结论直接告诉学生。怎么办呢？我们应该在科学分析学生学习起点和“可能发展区”的基础上寻找办法。在比例意义的学习中，关注的是两个比的比值大小关系，而比例的性质关注的是比例中内外项对应积的大小关系，比例的意义与性质之间关注点的差异较大，不具有迁移性。帮助学生实现关注点的转移，不仅是猜想产生的关键点，也是学生猜想产生的难点。对于这个难点的突破，郎老师分两步营造了猜想的“思维场”：第一步，用2、4、9、18四个数写出8个不同的比例，引导学生理性思考变化中不变的因素，把关注点转移到比例中“最大的数与最小的数配成一对，中间两个数配成一对”，成对的作为比例的内项和外项；第二步，猜比例12: □=□:2的两个内项可能是多少，学生在猜出6和4、3和8、1和24等之后很快就会发现“只要两个数（即内项）的积是24就可以了”。
二、激活了思维的优势灶
心理学研究表明，当人的思想高度集中在某一点上，在大脑皮层就会形成一个优势灶。优势灶一旦受到刺激，就很容易产生相联系的反映，从而解决问题。用什么样的方式和素材激活学生思维的优势灶呢？郎老师在学生感受到写比例要“最大的数与最小的数配成一对，中间两个数配成一对”，却不知道其中隐含的不变关系的“愤悱”状态时，抛出问题12: □=□:2的两个内项可能是多少，学生很快说出可以是6和4、3和8、1和24等。可以看出，郎老师对观察的材料是有选择的：在前面《因数和倍数》的学习中，24出现的频率是很高的，如找24的约数，把24分解质因数等，因此24是学生非常熟悉的。“用24作为两外项的积猜内项”就很容易激起知识间建立“链接”，学生由此产生顿悟：是不是“只要两个数（即内项）的积是24就可以了”？ 这样，猜想就顺理成章的产生了。
三、运用了发现的方法——不完全归纳法
　　有猜想不一定会有正确的发现，因为猜想只是基于特例的一种感悟，不具有普遍性和一般性。要把这种感悟变成数学事实必须予以验证。演绎法和归纳法是两种证明的基本方法。相对而言，归纳法比演绎法更接近小学生的思维特点，更容易被学生接受。但用归纳法证明需要穷举所有的例子，显然是不可能的，因此在验证猜想是否正确时一般采用的是不完全归纳法。郎老师为我们展示了用不完全归纳法发现比例的性质的过程：第一，在特例中提出猜想；第二，以自己写的比例为例检验猜想正确与否；这一阶段又分为两个层次——正例（所写的比例，不管各项是整数、小数，还是分数，两内项的积等于两外项的积）和反例（如果不相等的话，是因为这个比例不成立）；第三，学生用4、6、8、9这四个数怎么也不能组成比例，发现两组数的积不相等就不能组成比例，逆向证明比例性质的正确性。经历这一验证过程，猜想就由一种感悟变成了数学事实的发现。
著名科学家阿基米德说过：给我一个支点,我可以撬起整个地球。借用这句话可以这样说：给学生发现的支点，就给了学生一双发现的慧眼，学生就会创造发现的奇迹！
　　　　　　　　　　　
注:本教学案例见《小学数学教师》2005年第9期第28-35页《猜想的过程应是发现的过程》  作者:浙江金华师范附小 郎建胜