构建信息技术支持下的中学数学课程

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构建信息技术支持下的中学数学课程



人民教育出版社中学数学室　李海东

　　摘要：信息时代，数学教育面临着前所未有的机遇和挑战。本文首先结合信息技术的特点，阐述了数学教学方式发生的变化。在此背景下，探讨了数学教学内容也应随之发生变化，数学课程应当尽可能地使用计算器和计算机，应当调整、精简的一些传统的数学内容和应当增加的一些现代的数学内容。最后，基于信息技术在数学教学中的应用，探讨了信息技术与数学课程的整合问题，提出了编制多媒体、立体化、网络化教材的模式：
　　关键词：计算机，网络，信息技术，数学教学，数学课程，教材。
　　世纪之交，计算机、互联网、手持技术等信息技术飞速发展，社会各方面面临着前所未有的机遇和挑战，数学教育也是如此。在数学教育改革日益受到关注的今天，如何充分利用信息技术的优势，构建信息技术支持下的中学数学课程，是数学教育改革迫切需要回答的问题。笔者将结合信息技术对数学教学方式的影响，对此做一些初步的探讨。
　　一、信息技术支持下的数学教学方式
　　自从1958年IBM的研究中心利用计算机进行小学二进制的数学教学开始，计算机辅助教学已经逐步发展起来。特别是近十几年来，随着计算机的发展，出现了许多高质量的数学软件（如一些数学软件包mathcad、mathematica、maple，《几何画板》，《Z+Z智能教育平台》等）。许多教师也在逐步地应用计算机和图形计算器（如内置了计算机代数和交互式平面几何的TI—92）辅助他们的数学教学。另外，人们可以利用网络获取更多的信息，可以实现同步的远距离学习。所有这些，对于我们的传统教育方式都产生了很大的冲击。利用信息技术，可以做许多传统教育方式难以办到的事情。
　　1．用计算机进行课堂演示
　　在这种模式下，传统教学过程中教师通过黑板、教具模型、投影片等媒体展示的各种信息，可由计算机加工成文字、图形、影像等资料，并进行一些必要的处理（如动画），将这些资料组合起来。课堂教学时，可以将计算机与大屏幕投影电视连接起来，也可以在网络计算机教室中进行。
　　例如，对于等腰三角形“三线合一”的教学，传统教学因较难展现其发现过程，从而造成学生对其不好理解。利用计算机，可以在屏幕上作出任意三角形ABC及其内角A的平分线、BC边的垂直平分线和中线，之后用鼠标在屏幕上随意拖动点A，利用软件功能，此时三角形ABC和“三线”在保持依存关系的前提下随之发生变化。在移动的过程中，学生会直观地发现存在这样的点D，使得角平分线、垂直平分线和中线三线重合。再如，对于圆周率的概念的教学，利用教学软件，可以将圆周展开，同时跟踪测量圆周长和圆直径，引导学生发现圆周长与圆直径的比是一个定值。由于实验中圆可以随意变化，学生很容易接受π的存在。
　　利用这种模式进行课堂教学，可以使抽象的数学知识以直观的形式出现，能更好地帮助学生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成。计算机的动态变化可以将形与数有机结合起来，把运动和变化展现在学生面前，使学生由形象的认识提高为抽象的概括，这对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果。但是也应注意，计算机的演示只能是帮助学生思考，而不能代替学生思考，教师应当恰当地给予提示，结合计算机的演示帮助学生完成思考过程，形成对概念的理解。
　　2．利用计算机进行自主的探究式学习
　　在信息技术环境发展的背景下，以学生为中心进行合作学习，以问题共同解决、培养能力为中心并且强调终身学习的思想将深入人心。问题是数学发展的动力，现代数学教育更是强调要进行“问题解决”，在解决问题过程中锻炼思维、提高应用能力。而传统的数学教育由于多方面的限制，片面强调了数学重视演绎推理的一面，忽视了数学作为经验科学的一面。现在，学生自主探究的教学模式可以得到信息技术的有力支持，已经有许多学生利用计算机软件和图形计算器自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”。
　　例如，几何画板提供了一个十分理想的让学生积极探索问题的“做数学”的环境，学生完全可以利用它来做“数学实验”，这样就能使学生在问题解决过程中获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。1995年夏季，两个美国初中二年级学生DavidGoldeheim和DanLitchfiled应用几何画板发现了又一种任意等分线段的方法；'98全国计算机辅助中学数学教学课例展评、交流、研讨活动中，北京师大附中的一个课例“求圆内接三角形面积的最大值”，就是在计算机网络教室里，让学生利用几何画板，自己在动态变化中观察静态图形的变化规律，对图形进行定量的研究，通过交流、讨论，最终得到问题的解答，其中有一个解法是教师在备课时也未想到的。
　　在这种探究式学习的模式下，教师在教室里的角色更像学生的辅导者或帮助者。他们设置环境，帮助学生提出问题并进行探索，激发学生解答问题，并为学生提供他们需要使用的工具与资源，以便学生能够建构知识。在这种探究指导中，教师的主要任务是如何引导学生，如何问学生一些探索性的问题，如何使学生与有关的资源联系起来，如何提供给他们存储、操纵与分析信息的工具。
　　3．利用计算机进行知识复习和学习评价
　　在课后，可以利用一些辅导软件来复习和巩固某些已经学会的知识和技能。提高学生完成任务的速度和准确性。这种课件教学内容的组织多按章节划分知识点模块，同时提供文字、图形、动画和视频图像，文、图并茂。学习者可以自己决定进度，针对自身情况逐步深入地复习已经学过的知识内容。另外，利用计算机信息容量大的特点，可以做成一些智能题库（如人民教育出版社的智能训练系统），学生可以用它做题、复习知识。计算机还能同时测试答题者对于某些知识点的掌握程度，从而智能地调节题型、题量，并在线调出相关知识点的理论讲解，复习教学内容。教师也可以利用智能题库随意生成程度不同、内容不同的电子试卷，还可以记录学生一个时期（一学期或一学年）的测试情况，列出统计图，发现问题，并有针对性地进行指导。
　　4．利用网络进行合作学习
　　近十年来，Internet飞速发展，随着上网人员和组织的增加，Internet所能提供的信息也在迅速增长。如今的Internet，是一个拥有信息最丰富、交流信息最为快捷的媒介。每天，千百万人正在通过Internet学习、交流，从某种意义上说，Internet可以称为世界上最大的学校。学生可以在世界范围服务器主页上浏览，可以利用E-mail双向异步交流，可以通过聊天室双向同步通话，可以通过BBS进行双向同步讨论，可以使用同步多媒体环境的虚拟教室。这样，可以让远方的专家、教师替代计算机有针对性地来帮助，让学生集体通过交互讨论、合作解决复杂问题。所以有了网络，合作式的学习（学习小组）就大大发展了，这会给个别化教学提供另一种解决方式，使学习效果大大增强。
　　二、数学教学内容的改革
　　计算机科学知识与数学学科知识之间可以说是相辅相成、共同发展。几十年来与计算机同步发展的计算数学包括数值计算、符号演算、计算机图形学等已有巨大进展；这些进展反过来又促进了计算机技术的发展。随着信息技术对教学方式的影响不断加深，以及在社会上的广泛应用，数学教育对人的数学素养的要求，已经从单纯能进行纸笔运算，转换到能有效地、恰当地使用技术，能数学化地深入思考问题、简化概括过程和解决问题，以及能在几何与代数、代数与统计、真实问题情景与相关数学模型之间建立联系。新技术也为教师安排了更多的时间让学生去思考和理解更本质的问题，学会提出问题和抽象概括，这为帮助学生更深入地思考数学，应用数学提供了可能。由此学校的数学教育势必要更重视培养学生对数学思想、方法及其应用的认识，重视现实问题的解决。
　　在信息技术的作用下，学生应当学习什么样的数学？对此，数学家HenryPollack早在1980年就预测到信息技术必将使得──
　　·某些数学变得不太重要（如许多用笔的算术和符号操作技巧）；
　　·某些数学变得更加重要（如离散数学、数据分析、参数表示和非线性数学）；
　　·某些新的数学（如分形几何）更加引人注目。
　　1．应当调整、精简的传统教学内容
　　传统的数学教学中，有大量繁杂的运算，教学时需要花费很多时间、精力来进行训练。目前，由于计算机代数的日臻成熟，图形计算器和许多软件包都能完成数学里各种各样的运算，mathpert还能在每一步给出提示，引导学生给出解答。这样，技术使得有关数学技能、技巧方面的内容越来越不重要，代数应较少包含技能特性，而更多地包含应用和表示的特性。也就是说，代数虽然重要，但我们将很少注重代数技巧，而更重视代数作为交流语言的价值。这样，教师和学生可以从繁重枯燥的重复性活动中解放出来，把繁重的运算交给计算机。因此，教材中应当适当删减、调整一些教学内容。例如，查表计算可以取消，代数式的四则运算、因式分解和解方程（组）、三角函数的运算和证明等均可大大简化。当然，并不是完全取消学生练习，而是要突出基本训练，掌握基本思想、基本方法。
　　数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形本身就是一个有机的整体。而在传统的几何教学中，欧氏几何占有很大的比重，学生需要用很长的时间学习欧氏几何，学习逻辑论证。我们可能都有这种体会，就是证明有些定理就像解四则运算难题一样，是非常复杂和困难的。固然，这能很好地培养逻辑思维能力，但是，学生需要培养的思维能力也不仅仅是逻辑思维能力，逻辑论证方法也仅仅是解决问题的一类方法。因此，在中学数学中应当适当降低逻辑论证的要求，尽早地引入解析几何的思想，减少多边形和圆的教学内容，而应当更加注意有序数组、图形表示和网络、函数图象和关系、坐标与变换、分形几何等。例如，我们可以在垂直线的概念上介绍坐标系，可以用方程来讲直线的平行、垂直等。目前，在高中新的试验教材中引入空间向量去解决立体几何的问题，就是一个很好的尝试。
　　2．应当增加的教学内容
　　现在学校的学生，将来必将走向一个更加信息化的社会，因此目前不仅要用现代技术来改进数学教育，而且应适当增加一些教学内容，为学生将来进入技术社会做好准备。
　　在应用数学解决实际问题时，一般要经过这样的过程：收集信息和数据，处理数据，抽象出数学问题，解决数学问题，得到实际问题的解决。在我们分析处理数据的过程中，需要用到许多离散数学的知识（如统计、线性方程组、矩阵、图论、组合数学等），因此，应当将这些知识的基础部分引入中学数学内容，提高学生分析、处理数据的能力。
　　再如，由于难于理解、难于表示，目前新的高中大纲（试验修订本）删去了原来解析几何中参数方程的大部分内容。而“参数作图”是大多数图形计算器和计算机软件的基本功能，利用信息技术，能够使得参数的意义非常直观明了，并且能动态地展示方程的曲线的形成过程，学生很容易理解。因此，此部分内容可考虑适当拣回。

　　再有，在一些传统的题材上可研究一些新的问题。例如，对于连接四边形各边中点所得的四边形的形状问题的探索，利用技术，这个问题可以很容易得到解决，并且能扩展出许多新的变化（图1），而且学生也容易理解。因此，有的教学内容（如图形变换等）可以作适当扩展，增大学生知识面，提高他们探索问题的能力。
　　三、编写整合了信息技术的立体化教材
　　数学课程应当尽可能地使用计算器和计算机，这应当作为制定新数学课程的原则。目前许多发达国家都已这样去做。全美数学教师协会（NCTM）早在1980年就建议：在所有年级中，都应充分发挥计算机的作用，并注重将计算机与数学课程结合为一体。在其2000年的《学校数学的原则和标准》中更是新增了一条技术原则，强调计算器和计算机的应用。我国新出版的《义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》和高中数学教学大纲（试验修订版）》以及《义务教育数学课程标准（实验稿）》中，也提倡广泛使用投影、录像、计算器、计算机、网络等现代教育技术手段。因此，如何将传统内容进行现代处理，将信息技术与数学课程整合为一体，构建信息技术支持下的多媒体、多介质的立体化教材，是当前教材改革的一个重要问题。
　　基于信息技术在数学教学中的应用，笔者认为这样的立体化教材有三种模式：利用信息技术展示问题发生、发展过程的演示模式，学生利用信息技术进行自主学习的探究模式和以学生使用计算机软件为主的研究性学习的模式。
　　在第一种模式下，在引入概念、陈述定理时，我们可以利用多媒体技术的特点，向学生展示难以用语言或一般教具阐述的事实，帮助学生建立直观表象，理解新知识。例如：对于一些轨迹问题，可以利用几何画板、图形计算器的轨迹功能，制作一些动画，演示轨迹形成过程（这样的例子很多，如圆锥曲线概念的引入、由参数方程给出的二次曲线、圆的摆线、弹道曲线等）；对于平面几何中的许多问题（如全等、相似、轴对称、中心对称等），也可以通过这些软件的变换功能，设计一些动画，来展示变换过程，帮助学生观察性质，理解定理；对于代数中一些函数问题，利用mathematica，maple，mathcad等软件和图形计算器，也可以很容易得出它们的图象。这时，可以在原纸质教材的基础上，配合多媒体课件，供教师课堂或学生课下使用。

　　在高一层次的模式上，信息技术所提供的不仅仅是演示功能，而且是要利用信息技术来做“数学实验”。利用信息技术的测量、绘图、变换、运动等特殊功能，通过观察、比较、分类、类比、归纳、处理数据，发现规律。例如，在指数函数的教学中，可以给出某城市十年期间燃料的消耗量，让学生利用图形计算器，给出这些数据的回归方程，画出方程的图象，并预测若干年后的燃料消耗量。通过图形计算器，学生可以很方便地描点、画图，并根据图形猜测方程为指数函数（图2），还可直接利用其提供的功能直接求消耗量。　　
　　在第三种模式下，我们可以让学生利用计算机软件进行小组合作的研究性学习。例如，结合高中数学教学大纲（试验修订版）中提出的研究性课题（如向量在物理中的应用、函数的图象、圆锥曲线的统一定义、线性规划问题的求解、定积分的应用、极限的探索、事件发生的概率等），可以利用计算机模拟事件的发生过程，设置问题情境，让学生通过操作计算机，小组合作探索，获得问题的解答。
　　另外，利用电子表格（如EXCEL）等可以完成许多数学任务，如建立方程去解决分组问题，进行估算以及检验一个变量的变化对其他变量的影响等。电子表格在帮助学生探讨数量关系方面也是一个有效的工具，教材中可以要求学生研究不同列的值，并总结出其中的数量关系。另外，许多电子表格还有加、减、乘、除、求平方根、求和、求平均数和绘直方图、曲线图、散点图、柱形图等绘图功能，这能很好地帮助学生完成统计里的学习任务。
　　在数学教材中，还可以适当渗透一些编制程序的思想。学生掌握了解决一个问题的基本方法后，可以让学生编制程序利用计算机解决问题，把一个数学问题从一元推广到多元，从一维推广到多维。例如，在学习方程组时，学生可以通过编制程序，来解决一些多元方程组的问题。这样，学生就能把主要的精力放在基本方法的学习上，而不是更多地去关注运算技巧。
　　这时，教材的呈现方式应该有很大的改变，，应该把重点放在指导学生发现问题和探索问题上。在编写新教材时，我们也正在进行这方面的探索。在讲述一个问题、引入一个概念时，不是直接给出，而是设计情景，让学生自己操作计算机或计算器，通过观察和实验发现结论，再验证猜想。
　　目前，计算机辅助教学正在蓬勃开展起来，但我们认为，这一应用才刚刚进入一个指数变化曲线的开始部分，随着CAI的深入开展，信息技术与数学课程的整合将成为一种趋势，这必将引起一场新的革命，并形成一个新的数学教育前景。
　　参考材料
　　[1]《学习的革命》，上海三联书店1997年8月第1版。
　　[2]王鹏远等：《如何用几何画板教数学》，人民教育出版社。
　　[3]吴跃中编译：《计算器在数学教学中的过去、现在和将来》，《中学数学研究》2000年第4期。
　　[4]王长沛：《掌上电脑与后PC时代的数学教学》，数学教育学报第9卷第1期。
　　[5]林建祥编：《CAI的理论与实践──迎接21世纪的挑战》，《全国CBE学会第六次学术会议论文集〉（1993·北京）北京大学出版社。