数学问题解决及其教学

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数学问题解决及其教学



洛阳师范学院数学系　刘元宗

20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流。由于它的研究与开发不仅关系到如何提高学生的科学文化素质、思想品德素质和教学质量问题，而且也与中小学数学教学内容、课程设置、教材教法、教学模式等各项改革密切相关，是一个领域广阔的研究阵地，所以受到国内外许多研究机构、专家、学者及广大教师的普遍关注。对于什么是问题解决，也有一些不同的观点和看法。1988年发表的美国《21世纪的数学基础》认为，问题解决是把前面学到的知识用到新的和不熟悉的情境中的过程，而学习数学的主要目的在于问题解决。最近20年来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决能力作为数学教学的主要目的之一。英国1982年的Cockcroft 报告认为问题解决是那种把数学用之于各种情况的能力，并针对当时英国教育界的情况，呼吁教师要把“问题解决”的活动形式看作教或学的类型，看作课程论的重要组成部分而不应当将其看成课程附加的东西。不论是教学过程，还是教学目的，也不论是教学方法，还是教学内容，作为国际数学教育的核心和数学教育改革的一种新趋势，数学问题解决已成为当前数学教育研究的重要课题。
一、数学问题
对于什么是数学问题，虽然目前尚无统一看法，但大体说来，它有以下特点：一是非常规性；二是重视情境应用，给出一种情境，一种实际需求，以克服一种现实困难为标志；三是探究性。[1]从历史角度来看，正是问题的提出、探究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意义上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决的历史。
（一）数学问题的形成、来源及其在数学历史进程中的重要作用
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”
由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。
数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。
纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。
（二）数学问题的类型及其数学教育价值
由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。
1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[2](1)
2.探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。
3.开放性问题。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。例如，在△ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin B ，等等。[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。
二、数学问题的设计原则
如前所述，问题解决中的“问题”主要是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。“问题”常常给出联系实际的情境，主体必须要将它数学化，并且必须探究解决问题的策略（数学方法）。数学问题的设计是数学问题解决教学的基础。要使问题解决教学取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力；具有多种不同的解法或有多种可能的解答，即开放性；能推广或扩充到各种情形。[3]数学问题除了应具备以上特点，在设计时还要遵循以下原则。
1.可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。例如，在初中阶段，学生学习了圆的有关性质以后，可以设计一道关于找圆心的问题。给学生一张上面画有一个圆的纸，提出问题：我们怎样确定这个圆的圆心？学生通过实际操作，可以用许多不同的方法获得答案。其中用到的数学知识有“半圆上的圆周角是直角”的定理，“弦的垂直平分线通过圆心”的性质，等等。[2](185)在小学高年级，甚至在中学阶段，可以将“六角星”问题，即“如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这些数填在六角星中各条线段的交点上，使每条线上四个数字之和都等于26”提供给学生进行探究。“六角星”问题是一个寓教于乐、数形结合的典型的开放性问题，并可进行不同的条件变化，得到许许多多不同的解。[4]
2.渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。如当学生观察下面这些等式：1·2·3·4+1=？，2·3·4·5+1=？，3·4·5·6+1=？，4·5·6·7+1=？时可以发现，它们分别等于5，11，19，29的平方。这时可以提出问题：“从这些等式中你能发现什么规律？”当学生通过探索发现并提出一种归纳猜想时，可以进一步提出证明猜想的问题。然后，再进一步让学生观察类似的问题：1·3·5·7+16=？，3·5·7·9+16=？，5·7·9·11+16=？，7·9·11·13+16=？……能不能提出类似的猜想？进而，从等差数列的角度，能否再提出几个类似的问题？最后，能否把上面这些问题的共同规律找出来？这样，根据由浅入深、由易到难、循序渐进的原则，依次提出问题，逐步展开问题的探究，不仅可以把学生的探究活动步步引向深入，而且还可以培养学生学习数学的兴趣。
3.应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。义务教育阶段的数学课程，特别强调学生用数学的意识的培养。“应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”[2](5)例如，在学生已经掌握三角形中边角关系及平面上周角的有关知识后，可给出这样的问题：“有若干个城市，它们之间的距离彼此互不相等。如果从每个城市都起飞一架飞机到离该城市最近的城市降落。证明：每个城市降落的飞机都不超过五架。”这个问题可以通过构造平面几何模型，应用简单的几何知识得到解决。[5]
三、数学问题解决及其教学
如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。
1.分析问题背景，寻找数学联系。通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。分析问题的步骤非常重要，万事开头难，只要攻破了这一关，学生就会信心倍增，就会以更高的热情投入到后面问题的探讨中去。在学生自主分析的同时，教师可在关键处给以必要的指导和点拨，以控制教学的进度，提高课堂教学效率。
2.建立数学模型。在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。
3.求解数学问题。根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。
4.检验。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。
5.交流和评价。在学生进行研讨、解决问题的过程中，教师要通过巡回观察及时了解和掌握学生的学习进度，对于有困难的学生及时给予必要的指导，也可以作为学生的伙伴和助手，参加到学生的探究活动中去。在多数学生完成任务以后，可组织学生进行交流，然后对各种模型进行评价。学生通过交流、评价，进一步完善各自的模型，同时也达到互相学习、取长补短、共同提高的目的。
6.推广。如果问题得到了解决，看它是否可以进行推广。如果解决过的问题是一个具体问题，就可引导学生通过归纳、类比和猜测，得到普遍的结论，然后再证明这个结论。例如，在学生学习过二次函数求最大（小）值及等差数列的有关知识后，可设计这样一个实际问题：一幢33层的大楼有一部电梯停在第1层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯不满意度是1，往上走一层楼梯不满意度是3。现在32人打算下到第1层且他们分别住在第2层至第33层的每一层。如果你是一名电梯管理员，请你确定将电梯停在哪一层可以使这32人的不满意度达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼。）
在解决此问题的基础上，可推到一般情形n层楼时。
数学问题解决教学是通过创设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。由于问题解决教学是近年来受到广泛重视的一种教学模式，它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。[6]所以，问题解决教学是通过高水平的思维来进行学习，来建构知识的。
传统的教学模式比较重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多。学生机械地模拟一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。在中小学数学课程中体现问题解决的思想，在课堂教学中采用问题解决的教学模式，为克服上述问题开辟了一条有效的途径。应当看到，在解决来自实际和数学内部的数学问题中，问题解决的过程和方法是基本相同的。不仅如此，这种过程和方法与解决一般的、其他学科中问题的过程和方法有很多共同之处。在数学问题解决中学习的过程和方法可以迁移到其他学科的问题解决过程中。因而通过数学问题解决，可以较快地教给学生一般的问题解决的过程和思想方法，从而提高学生的综合素质和能力。
在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导和点拨。因此，在一些典型的数学问题解决教学中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。
参考文献：
[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集［M］.上海：华东师范大学出版社 ，1996.
[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.
[3]奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001.
[4]于琛.数学问题的解决［M］.长春：东北师范大学出版社，2000.
[5]钱珮玲，邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社，1999.
[6]奥苏贝尔，等.教育心理学──认知观点［M］.佘星南，等，译.北京：人民教育出版社，1994.


2006-03-02  转自《数学教育学报 》