聂艳军：咀嚼十个概念与命题

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聂艳军：咀嚼十个概念与命题

“我先前总认为数学教师都是在教同样的学科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在‘数学’这同一个名词下所教的事实上是两个不同的学科。”

                                  ———英国著名数学教育家斯根普

1.数学教育

数学教育包括数学的“数学方面”和“教育方面”，前者是指数学教育应当正确地体现数学的本质，后者则是指数学教育应当充分体现整体性的教育目标。显然，这两者事实上可以说是分别表明了数学教育相对于一般教育的特殊性和共同性。无论是片面地强调数学教育的“数学方面”还是“教育方面”，都将会导致数学改革的失败。成功进行数学教育改革的关键是应当努力实现这两者的辨证平衡。

2.数学抽象

各种数学活动，无论是数学研究还是数学教学或数学学习，都是在抽象的水平上进行的，数学抽象是数学活动最基本的一种形式。正如前苏联著名数学家亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》中指出：“甚至对数学只有肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象性，……。抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”数学抽象事实上就是由特殊上升到了一般，因此，相对于真实事物或现象的直接研究而言，数学的研究具有更为普遍的意义：它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。例如，我们只能见到某一个人、某一棵树、某一房间，而绝不会见到作为数学研究对象的真正的“1”，因为后者并非经验世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物。这就是数学抽象活动的一个重要特征，即其主要是一种建构的活动。超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式（“去情境化”）是帮助学生学会数学抽象的关键。

3.数学模式论

正因为数学的研究对象具有超越特殊对象的普遍意义，它们就都是一种模式。从这样的角度去分析，数学就可以被说成“模式的科学”。数学模式论主要内容包括：数学对象所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特性，即在数学的抽象中我们仅仅保留了事物或现象的量性特征，而完全舍弃去它们的质地内容；数学并不是对于具体事物或现象的直接研究，而是以抽象的模式作为直接的研究对象；由于数学对象的形式建构在一定程度上意味着与真实的分离，因此，这也为数学的自由创造提供了现实的可能性。

下面是一个具体例证：

尽管学生的生活经验，包括经由学校以外的生活实践所形成的各种数学知识和技能具有直接性的特点，但我们也应看到，这些直观形象和经验是与各个具体的情境直接相联系的，相应的数学知识和技能往往就不具有可迁移性，从而表现出了明显的局限性。因此，如果教学始终停留于所说的“经验”水平，也就是始终未能借助数学抽象帮助学生较好地实现由具体问题向相应的“数学模式”的过度，那么我们显然就不能认为这些学生已经较好地掌握了相关的数学知识。由此，在充分调动学生的生活经验的同时，我们又应努力帮助他们实现由“生活经验”到“书本数学”的过渡。这种过渡即是一种抽象活动（去情境化，去个人化，去时间化）。具有相同数学结构的不同情境的比较可以看成帮助学生实现由“生活经验”到“书本数学”过渡的一个有效手段，即对若干具有相同不变因素的情境的比较，将会导致关于相应概念（即不变因素）的抽象。所说的过渡事实上也包括了由特殊到一般的过渡，即用具有更多普遍性的知识和更为有效的方法取代原先仅仅适用于某些特定情境的素朴知识和方法。例如，在算术的教学中我们也就不能停留于“1个苹果加1个苹果等于2个苹果”、“1棵树加1棵树等于2棵树”这样的层面，而必须上升到“1+1=2”这一普遍模式。

4.数学活动论

“数学活动论”认为，数学教学不应把注意力唯一地集中于数学活动的最终产物，而应更加关注活动本身。例如，数学活动往往以某个有待于解决的问题作为实际出发点。从这样的角度分析，应把“问题”看成“数学（活动）”的一个重要组成部分；其次，为了解决问题，我们又必须采取一定的表述工具和研究方法，这也就涉及到了“数学活动”的另外两个要素：“语言”和“方法”；再则，由于每位数学教师都必须处于一定的数学传统之中，所说的传统往往借助于相应的“观念”得到了明确表现，从而，我们在此应把“观念”看成“数学（活动）”又一重要组成部分。综上，从动态的角度分析，数学不应被看成不可怀疑的真理的简单积累，而主要地应被看成人类的一种创造性活动，它是由“问题”、“方法”、“语言”和“理论”等多种成分所组成的多元复合体。

这种动态数学观具有重要的教育涵义。首先，与具体知识内容相比，教学中不仅应当培养学生解决问题的能力，而且也应十分注意培养学生的“问题意识”；其次，与具体知识内容相比，我们应更加注重学生思维能力的培养，即以数学思想的分析带动数学知识的教学，从而真正做到“教活”、“教懂”、“教深”；第三，对于“语言”的强调则直接涉及到对“数学”自身的理解；第四，我们应当看到观念的重要性，学生形成的不正确观念对新的数学学习活动将会产生严重的消极影响，而新的数学学习活动的失败反过来则又进一步强化了原先的错误观念……这样不断反复，直到学生最终完全丧失数学学习的兴趣和信心。

5.数学文化

“历史已经证明，而且将继续证明，一个没有相当发达的数学文化的国家是注定要衰落的，一个不掌握数学的民族也是注定要衰落的。”什么是数学文化？张齐华有言：数学在其发展过程中，伴随着数学知识的发生、生成、传播而在特定的数学共同体内积蓄下的对人的发展具有重要促进和启迪价值的数学思考方法、数学思想观念及数学精神品格等，这些都属于数学文化。具体而言，数学的文化价值主要表现在：首先，“数学是思维的体操”，由于数学并非对客观事物或现象量性特点的直接研究，而是通过相对独立的“模式”的建构，因而它有重要的思维训练功能，对于创造性思维的发展尤具重要意义。其次，数学学习需要激情，但更需要理智，需要数学地思维，因而其对于人类理性精神的养成与发展具有特别重要的意义。再次，数学看起来似乎与价值判断无关，然而数学依然具有至高无上的“善”，数学学习同样具有独特的“教化”功能：比如探索过程中的执着与坚韧；比如论证过程中的务实与谨严；比如数学规则推导过程中的理智与自律；比如数学创造过程中的开拓与超越，甚至于耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。正是这些，见证着数学更为深沉的文化力量，使数学可以超越知识本身，找寻到更为朴素、更为丰富，也更为动人的内涵。由此,用文化浸润数学课堂，不是给数学添加些文化元素，而应努力彰显出数学的文化意蕴。

6.“数学味”

什么是数学课所特有的“数学味”？拿郑毓信先生的话说，数学课我们所希望学生养成一种新的精神，它并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神：一种新的认识方式-----客观的研究；一种新的追求-----超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么，为什么）；一种不同的美感---数学美（罗素形容为冷而严肃的美，冷峻的美同样可以令人窒息）；一种深层次的快乐----由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感-----超越世俗的平和；一种新的性格----善于独立思考，不怕失败，勇于坚持。由此，数学教学则更加提倡冷静的思考，理性的分析；同样涉及人的本性，是人类固有的好奇心、上进心，一种希望能揭示世界最深刻奥秘的强烈情感。

7.数学学习的本质特性

弗赖登塔尔指出，学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。数学学习不是一个被动接受的过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。他指出，教数学活动不是教数学活动的结果，而是教教学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要。他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。弗赖登塔尔指出“做数学不等于做习题”，做数学“必须通过数学化来教数学、学数学”。他说，与其说让学生学习数学，不如说让学生学习“数学化”……与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习“公理化”；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习“形式化”。

8.关于“理解”的理解

数学教学无疑应当追求“理解学习”。按照建构主义的观点，“理解”主要应当看成一个“意义赋予”的过程，也就是如何把新学习的内容与学生已有的知识和经验联系起来（更为准确地说，就是纳入到学生已有的认知框架中），从而使之获得明确的意义。显然，与先前对“理解”的理解相比，由唯一强调知识的“客观意义”（标准定义），转向更加注重主体内在的思维过程。

作为问题的另一方面，就数学学习而言，在此存在一个如何依据数学概念的“社会意义”去对各个个体经由相对独立的建构活动所获得的“个体意义”进行调整的过程。从而，相对于“意义赋予”而言，数学学习事实上也应被看成一个“文化继承”的过程，即数学学习也是一个对数学对象的客观意义进行“理解”的过程，也就是通过适当的途径将“个体意义”统一到相应的“文化意义”（客观意义）上。这就正如Van Oers所指出的：数学学习就是对由文化历史所传递给我们的数学作出意义赋予的过程。这事实上，“理解”应被同时具有“文化继承”与“意义赋予”双重含义。“文化继承”通过学生的自主建构得以实现，而自主建构将“文化继承”提升到更高水平。

9.“自主学习”与“教师引导”

我们虽然不能否认学生在学习活动中的自主性，但又不能过分夸大学生的自主学习能力，错误地认为各种新知的学习可以通过学生的“自主学习”自然完成。因为学生的学习活动主要是在学校这样一个特定的环境中，并在教师的直接指导下进行的。由此，我们不能把学习看成一种完全孤立的个人行为，应当明确肯定社会共同体（学习共同体）对于学生学习活动的重要影响。即如, 思维的“开放性”不应成为学生满足于现状包括拒绝学习新的更基本更有效方法的理由，如果仅仅是为了尊重学生的独立思考和自主发现，而对学生良莠并存的思维方式视而不见，对影响后继学习的关键核心的基本知识和基本方法放任不管，那么就会失去教师“教”的真正意义，学生也就失去了自我反思、比较、交流、提升的机会。

10．对“错误”的认识

由德莱佛和伊斯利所提出的“替代观念”现已逐步取代“错误观念”，并得到广泛的应用。集中体现如下认识：学生所具有的观念，无论是在学习前就已经形成的“朴素观念”，还是在各种情境，包括在学习过程中发展起来的“非标准观念”，都是他们依据所以具有的知识和经验主动建构的产物，从而就都具有一定的合理性。特别是，这些观念很可能是由于不同的认识方式所造成的，从而就不应当简单地被看成纯粹的“错误观念”，毋宁说，它们构成了与科学家的观念（即所谓的“标准观念”）相“平行”的另一类“替代观念”。

现代学习心理学研究表明，学生在学习中所出现的“系统性（规律性）错误”常常源于不适当的“一般化”，也就是对先前所学到的知识或方法作了不恰当的推广。在教学中，如果教师未能对有关问题作出必要的交代或足够的强调，在学生的头脑中可能出现一定的“空隙”，在遇到困难时，学生往往会用自己所具有的知识和经验去填补所说的“空隙”，即作出不恰当的推广。

从建构主义立场出发，对于学生在学习中所发生的错误也就应当采取更为理解的态度，即不应简单地予以否定，而应努力发现其中的合理成分和积极因素。

对于学生错误的纠正，我们不能期望单纯依靠正面示范和反复练习。这主要应是一个“自我否定”的过程。而“自我否定”是以“自我反省”、特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。提供适当的外部环境，促使学生“自我反省”和“观念冲突”，是教师应当关注的事。