张东林：数学史：从辉格史到思想史

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张东林：数学史：从辉格史到思想史

来源：《学灯》第28期

作者：张东林

“认识你自己”，这是柏拉图赋予数学教育的重要任务之一，数学是修习伦理学和政治学的必要前奏，一个人只有经过数学上升到理念世界，才能充分认识自己，从而成为一个在城邦政治生活中发挥应有积极作用的公民。中世纪大学也继承了数学作为人文教育的传统。现代数学教育却遗弃了这种“认识自身”的任务，数学史应该义不容辞地把它接过来，这是数学史家不可回避的使命。

数学史：从辉格史到思想史

张东林

摘要：以代数解释为代表的辉格编史学一度在数学史研究中占据主导地位，这种编史学导致了数学史的盲目和贫乏。上世纪七十年代以来，许多数学史家努力开辟不同于辉格史的研究进路，然而迄今为止仍未能清除数学史中的辉格倾向。为揭示这一困难的根源，我们回顾了克莱因对数学史本身的起源的追溯，从中看到，数学史中辉格倾向的根源恰恰在于近代数学本身。因此，数学史要想摆脱辉格倾向，必须首先成为一种能够揭示自身根源的研究，即一门思想史。包括柯瓦雷的科学思想史在内的许多思想资源都可帮助数学史实现这一转变。
关键词：数学史，编史学，辉格史，思想史

一、早期数学史中的辉格编史学
当代的数学史研究兴起于19世纪末20世纪初，在那之后相当长的一段时间里，一种明显的辉格编史学在数学史学科中占据着主导地位。数学史家习惯于从当下的数学概念出发去分析古代数学文本，认为这些文本的全部价值在于它们包含了一些数学思想，能够被纳入现代数学的逻辑结构。原始文本的表达方式被认为是“笨拙”和“累赘”的，掩盖了其中“真正的”数学内容，因此数学史家的任务就是从原始文本中把这些内容打捞出来，将原始的表述弃之不顾，采用更适合于表达数学概念的现代数学语言来重新表述它们，使之更加清晰和容易理解。在这种编史观念之下，一位古代数学家的贡献无非就是阐述了前人未知的“有意义的”数学概念和命题，或发明了“更好的”表述形式，从而成为某种现代数学理论或方法的先驱。整个数学史被描写成数学知识的累积式发展，即数学概念和命题的不断积累，以及表述形式的逐渐优化，呈现为一个向着当下的数学体系不断进步的历程。凡是不符合这一发展方向的数学工作，都被视为倒退、停滞或误入歧途，数学史家有义务为这类异常提供一个解释，指出有哪些可能的因素阻止了古代数学家作出应有的发现或发明，数学中的史诗英雄们又是依靠什么新武器冲破了这些障碍，引导数学走向凯旋。按照这样的历史图景，当代数学处在进步阶梯的顶端，对数学的内容、结构、方法和语言拥有最为深刻和高屋建瓴的理解，因此，一位精通当代数学的数学家天然地就是撰写数学史的最佳人选。显而易见，由这一编史纲领产生的数学史只能是一部胜利者为胜利者书写的历史，一部典型的辉格史。
这种编史纲领的一项典型成果就是在希腊数学史研究中采取所谓的“代数解释”，即把欧几里得《原本》中的诸多内容和许多其它的希腊几何学命题解读为隐蔽的代数定理，声称这些内容“本质上”与今天的符号代数并无差异，只不过表述形式不同，是用几何语言表达的，可称为一种“几何式的代数”（geometric algebra）。这种解释方式可追溯到希腊数学史领域的开拓者法国科学史家塔纳里（Paul Tannery）和丹麦数学家措伊滕（Hieronymus Zeuthen）19世纪末的工作，后来被希思（Thomas Heath）和诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）等具有重大影响力的历史学家继承，从而成为一种标准解释，在很长时间里都没有受到挑战，直到上世纪六七十年代仍然处于主流地位[Unguru 1975, pp. 69–74; Saito 1986, pp. 25–26; Grattan-Guinness 1996, p. 356]。按照这种解释，希腊数学之所以给代数穿上几何的外衣，是因为希腊人的数系不完整，只包括了正整数和正有理数。当毕达哥拉斯派发现某些线段的比无法表达为整数的比时，希腊数学就遭遇了逻辑基础缺失的危机。为了确保逻辑严密性，希腊数学家不得不将代数重新建立在几何的基础之上，用几何定理的形式阐述代数问题的解。在这种几何式的代数中，几何量代表现代的正实数，量的合并分割代表了加减法，以两条线段为边的矩形或平行四边形代表线段的乘积，在一条给定线段上贴附一个给定大小的矩形或平行四边形则代表除法，正方形代表其边的平方，正方体代表立方，于是许多几何定理可以被翻译为代数命题，用现代的符号“更清晰地”表达出来。例如，欧几里得《原本》第二卷的全部14条关于矩形和正方形的定理都被翻译成类似 (a + b) a + (a + b) b = (a + b)² 这样的代数恒等式或方程，这种翻译被认为反映了欧几里得“真正的”想法，理由是这些定理从几何角度来看过于明显，没有什么几何意义，只能解读为代数命题。第五卷和第七卷阐述的比例理论也被翻译为代数语言，两个数或量的比被翻译成a / b，四个数或量成比例被翻译成等式a / b = c / d，比的复合（compounding）被理解为分数的乘法运算。第十卷关于不可公度量的讨论被视为无理数理论的一个繁琐、不完整的替代品。此外还有许多作图命题被视为用几何手段解代数方程。根据这样的解读，几何直观就成了希腊数学发展的障碍，因为几何无法超越三维，所以几何式的代数无法有效地处理三次以上的代数方程，只能求助于比例论，不但繁复累赘，而且只能处理极少数情形，这一障碍的突破有赖于数系的扩大，将无理数纳入数的集合之后才能用数表示几何量，使量的代数重新成为数的代数。
直到上世纪六七十年代，代数解释才开始遭到全面系统的批判，但事实上足以否定代数解释的思想资源早就存在。哲学家、思想史家克莱因（Jacob Klein）在1934–36年发表的《希腊数学思想与代数的起源》（Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra）‍[1]中已经揭示了代数学的一个根本特征，这一特征与数概念的演变有密切关系。克莱因所讲的数概念的演变不是数系的扩张，而是数在“意向”方面的变化，他追问的是希腊人与现代人在谈论和使用数的时候所采取的意向样式有何差别，这种与众不同的追问方式使他能够揭示出代数学的独特意义。克莱因看到，希腊人的数（arithmos）总是指“被计数之物”，是由确定数目的确定之物组成的东西。在这样的概念下，数不但不包括无理数，也不包括分数，甚至“一”也不是一个数。希腊人始终认为，“一”是数的本原，是构成数的单元，是用于计数的尺度，它本身绝不能被视为一个数。作为单元的“一”反映的是从日常生活世界中诞生的那种对于物的原初把握，即每个物都可以被称为“一个”，不同的物总能被归入同一类，从而能用相同的单元来对它们计数。与此相适应的是像自然史那样的分类式的研究，寻找每一个物所属的恰当类型是希腊人理解整个宇宙的基本方式。现代的数则完全丧失了原初的直接指向确定之物的“第一意向”，仅仅指向与物相分离的概念，成为一种抽空了意义的符号，正因如此，它才能够把一些最初仅由运算规则规定出来的对象（如负数、无理数、虚数等）纳入其中。只有在这种符号性的思想方式之下，一种普遍适用于数和量的代数学才是可能的，符号性的数的诞生和代数学的诞生实际上是一回事，它们都起源于韦达（François Viète）对丢番图（Diophantus of Alexandria）著作的重新阐释，最终由斯台文（Simon Stevin）、笛卡尔（René Descartes）和沃利斯（John Wallis）等人加以完成。
从克莱因的论述中我们可以看到，代数的符号语言不是单纯的“表达工具”，而是现代人的符号性思想方式的实现。希腊人的思想方式则基于对“物”的原初理解，每个物总是作为切身的“这一个”被直接把握，而不是在一个已经作为整体预先被理解的时空框架中定位出它的个体性。这一特点明显地反映在希腊数学的特定用词上，数学定理的陈述总是使用“这一个”和“每一个”，而从不说“某一个”或“任意一个”[希思1998，页179]。希腊几何学研究的是图形而不是几何空间，图形的位置（topos）是指它的摆放方式，而不是在某个背景空间中的定位，希腊人根本没有这种作为背景的空间概念，“欧氏空间”并不是欧几里得的创造[吴国盛2010，页46]。在这种思想方式下，数学家不可能拥有符号性的数或量的概念，不但数是指确定之物，量也是如此，希腊几何学的量始终指的是具有确定形状和边界的图形，而非长度、面积等，量的相等总是指两个特定图形的相等，即能够通过特定的作图将一个图形转化为另一个。希腊数学没有真正意义上的“运算”概念，被代数解释视为加法、减法、除法运算的那些步骤从未被希腊数学家赋予专门的名称。例如欧几里得任意地使用suntithemi（放在一起）和sugkeimai（平放在一起）等十分日常的词汇来表示所谓的“加法”而从未加以定义[Fowler 1987, p. 142]。任何两个量摆放在一起的方式都不一样，依证明的语境不同而表现为不同的几何作图，这层意义是形式化的加法规则无法体现的[Grattan-Guinness 1996, p. 360]。量也没有相乘的概念，两条线段围成的是具有确定位置的矩形。《原本》中唯有数的相乘有定义，但这定义也没有脱离“摆放”的含义，两数相乘的结果被称为一个“面”（卷七定义16），这也是乘法规则无法反映的。《原本》中的比也不能等同于分数，比是两个同类量的关系而非运算，欧几里得从不说两个比“相等”，而只说“相同”、“如同”，在《原本》中，比和比例从不脱离确定的图形，不会在没有具体图形的语境下把两个比复合在一起，抛开图形去考察比的复合的做法直到古代晚期才出现[Saito 1986, p. 58]。代数解释对以上所有这些特征视而不见，为了能够自圆其说，代数解释不得不经常忽略古代数学家的工作的某些方面，在无法忽略时就加以贬低，称之为平庸的、低效的或缺乏清晰性和普遍性的，这样它才能维持自身的一致性。代数解释把现代的符号性思考方式强加于希腊几何学，掩盖了希腊几何学家原本的纯粹几何学的思考方式，以及这种思考方式与对物的原初经验之间的联系，因此无法帮助我们理解希腊的数和量，也无法从根本上揭示现代的符号数学思想的深刻意义。不仅希腊数学史研究如此，对其他时代的考察也是如此，由于将现代数学的某些观念神圣化为永恒的、普适的，导致这些观念落入不能被反思的境地，这注定了辉格式数学史的贫乏。
二、数学史家摆脱辉格编史学的尝试
上世纪六十年代末，克莱因《希腊数学思想与代数的起源》的英译本（1968）和匈牙利数学史家绍博（Árpád Szabó）的《希腊数学的开端》（Anfänge der griechischen Mathematik, 1969）两书的出版，激发了一些数学史家重新审视流行的代数解释，并进而对它所代表的编史纲领提出批评。绍博的研究聚焦于长期受到忽视的“原始表述”，依据文字学和词源学的考察，从欧几里得的一些习惯用词出发，去追溯不可公度量和比例理论可能的起源。在书末的附录中，绍博论述了《原本》第二卷命题5的几何意义，指出代数解释将它理解为代数恒等式 (a − b) (a + b) = a² − b² 的替代表达是毫无根据的[Szabó 1978, pp.332–353]。受这两部著作的启发，温古鲁（Sabetai Unguru）在1975年发表了一篇情绪激昂的檄文，题为“重写希腊数学史的必要性”（On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics），矛头直指代数解释，强调数学的内容跟形式不可分离。文中盛赞绍博和克莱因的工作，并言辞激烈地指控代数解释是一种辉格史，声称导致这种数学史盛行的原因之一在于大部分数学史都是由退休的或丧失了数学创造力的数学家所写的，他们太熟悉数学而不了解历史学，误以为从事历史学不需要专门的训练，因而用数学代替了历史。被温古鲁激怒的数学家范德瓦尔登（B. L. van der Waerden）和韦伊（André Weil）[2]等撰文反击，掀起了一场旷日持久的论战[Saito 1986, pp. 26–28; Grattan-Guinness 1996, p. 359]。与此同时，越来越多的数学史家开始有意识地寻找新的道路，摆脱辉格编史学，以确立自身的历史学家身份。显然，仅仅大声疾呼要强化历史意识，或空洞地呼吁回到历史的本来语境中去，并不足以实现这一目标，新一代的数学史家需要更多其它的思想资源的帮助。
一个很自然的想法是向科学史学习。科学史早期也同样充斥着辉格史，但从上世纪五、六十年代开始，以物理学史为代表的科学史在清除辉格编史学方面取得了显著的成就，到六十年代中后期，科学史家已经能够自信地宣告科学史正在成为一门真正的历史学[霍尔1994，页225]。在这一进程中，库恩（Thomas Kuhn）的科学革命叙事做出了很大贡献，因此它成为数学史家们首先想到的一项思想资源，不少数学史家开始尝试描述某种变革式的发展，以打破辉格史的进步史观。但是一个明显的困难随即出现：科学革命叙事要求承认同一门学科在历史上至少存在过两种互相异质的理论，这样才会有所谓的革命，即研究范式的竞争和更替，而数学史家却感到，似乎很难找到一种类似于燃素说或亚里士多德运动学的数学理论，数学中似乎从来不曾出现新理论取代旧理论的非连续变革，两个数学家的争论似乎总是能确切地分出对错，而不是形成范式的竞争关系。库恩自己就把数学排除在他的论述之外。数学史家意识到，这一困难意味着辉格史学包含的某种预设仍然困扰着他们。
数学史家大多注意到了辉格式数学史的一项基本预设：存在一些永恒不变的数学实体或数学真理，它们不依赖于数学家的思想，不会受到任何“数学之外的”因素的影响而改变，具有超越时代、超越文化的同一性。在这一预设之下，数学史研究根本不存在时代错置的问题，用现代数学语言翻译古代文本是完全合法的；数学只有一种，它是一个囊括一切可能的数学概念和命题的逻辑结构，不同历史时期甚至不同文明中的数学工作都是对这同一个结构的探索，这就使得累积式的进步史观成为可能。发现这一预设并不困难，因为某些坚持传统编史纲领的数学史家几乎是直白地承认了这一点，例如韦伊在为自己的编史学辩护时举例说，虽然今天的数学描述对数概念时用上了半群、同构等新概念，但这种表述“背后的事实”跟17世纪数学家发明对数时所理解到的数学事实是完全相同的[Richards 1995, p. 125]。作为布尔巴基学派的代表人物，韦伊在他的数学史中贯彻了该学派对于数学结构的强调，他们的主张所反映的上述预设常常被贴上“柏拉图主义”或“先验论”的标签。新一代的数学史家虽然努力拒斥韦伊的极端立场，尝试探讨不同时代数学的意义差别，但他们仍然感到数学的有效性似乎确实不依赖于历史——旧的数学并不会像旧的物理学那样死去，毕达哥拉斯派的“有形状的数”、笛卡尔对代数方程的作图之类的数学理论虽然已不再受到数学家的关注，但也不会像燃素说那样被视为谬误，它们看起来仍然正确，只是丧失了研究价值。因此，有的数学史家将旧的数学比喻为荒废的城堡，它们并没有被摧毁，只是不再有人占据而已[Richards 1995, p. 126]。既然发生变化的只是数学家的兴趣焦点，科学革命叙事也就无法给数学史提供更多的帮助，关于数学中是否存在革命的争论无果而终，数学史家大多避免使用“革命”一词，而采用“变革”或“准革命”的说法。
数学史家意识到，“只有一种数学”的观念实际上将数学完全置于人的领域之外，成为历史学无法干预的独立王国，无论是否采取科学革命叙事，都应该设法清除这一观念。科学知识社会学（SSK）的创始人布鲁尔（David Bloor）为了将数学纳入他的“强纲领”，在其代表作《知识和社会意象》（Knowledge and Social Imagery, 1976）中专门讨论了“是否存在另一种数学”，他批评那种永恒完备的数学统一体观念实际上包含了循环论证，一方面主张不存在“真正的”另类数学，另一方面又认为自己有权规定人们应当把什么样的数学视为“真正的”。布鲁尔引用克莱因所揭示的“一不是数”与基于分类的希腊宇宙论之间的必然联系，用以论证每一种数学的意义都依赖于它所处的社会群体共有的背景预设，因此不同的社会背景下可以有不同的数学，“只有一种数学”的主张是通过把毕达哥拉斯派宇宙论之类的内容贬斥为神秘主义和迷信而加以排除才得以维持的。[布鲁尔2001，第169–205页]
但是布鲁尔的SSK进路没有立刻得到数学史家的理解。到上世纪八十年代后期，受SSK研究的影响，科学史已经扬弃内史与外史的划分，而此时在数学史中“内部”与“外部”之间的鸿沟反而越来越深，这也进一步加深了数学史与科学史的隔阂[Richards 1995, p. 124]。有数学史家认为，科学史对内史和外史的超越实际上是对自然和社会这两极的超越，因此数学史也应该找出相应于自然的那一极，于是他们寄希望于某种能够刻画数学实践中的经验性或“准经验性”的数学哲学[Richards 1995, p. 124]，不再去数学知识体系中寻找变革，而是到数学家的实际工作中去寻找。在这一思路下，数学史家考察了特定时代的数学思维模式、研究方法、证明风格，以及使数学界对特定领域保持兴趣或丧失兴趣的因素等，在其中找到了较为明显的变革。数学史家更改了前述的城堡比喻，认为旧的数学城堡不只是被遗弃，而且被拆毁，只不过大部分砖块仍然保留下来，被用在新的建筑中，砖块没有变，但整个建筑的结构以及砌墙的灰浆可能已经发生了根本的变革。[Richards 1995, pp. 129–132]
经过数学史家们几十年的努力，数学史已经从早期那种刻意的辉格式写法中摆脱出来，但是没有被意识到的时代错置仍然十分常见。直到本世纪，仍然有一些数学史家感到有必要提醒同行注意避免某些带有辉格色彩的做法，例如格拉顿－吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）在2004年的一篇文章中提请数学史家注意区分“历史”和“遗产”，他用“观念”（notion）一词笼统地指称数学理论、定义、证明方法、技巧、算法、记号或整个数学等，认为我们可以辨认出一系列数学观念构成的前后相继的序列，“历史”和“遗产”就是对这种序列的不同描述：“历史”是观念发展的细节，“遗产”则是观念对后来的工作的影响，以及观念怎样嵌在后来的语境中。数学处理的是遗产，而数学史应该处理的是历史。在他看来，这两种描述方式经常被混淆。[Grattan-Guinness 2004, pp. 164–165]
可以说，迄今为止数学史仍然未能摆脱辉格倾向。这反映的是一种缺乏彻底反思的自然态度，数学史家默认了一个“数学世界”的存在，这个世界仅仅是一些数学“对象”的集合，诸如数、图形、概念、命题、证明方法、严格性标准等都只被视为某种对象性的东西。在自然态度下，数学史家仅仅考察数学对象的所指，而不会像克莱因那样关注数学家谈论和运用这些对象时的意向样式，因而容易把数学史研究的东西跟数学研究的东西混为一谈；数学实践也被对象化，没有作为包含内在意向结构的活动来考察，因而不足以沟通内史和外史。从前面的回顾中我们可以看到，无论是韦伊的“数学事实”还是两则城堡比喻，或格拉顿－吉尼斯的“数学观念”，都是对象化的谈论方式，没有脱离自然态度。
三、数学史的辉格倾向的根源
我们应该注意到，像代数解释这样的做法并不是数学史这门学科诞生以后才有的，近代早期的数学家们就已经开始这么做了。例如笛卡尔就声称他所阐述的普遍方法或者说“普遍数学”（mathesis universalis）其实是每个人心中都有的，帕普斯（Pappus of Alexandria）和丢番图等古代数学家早就掌握了这种“发现的技艺”，只不过古人刻意将它隐瞒起来，用欧几里得式的综合证明去掩盖发现的过程，笛卡尔认为他自己所做的不过就是在复兴这一失传技艺，作为一门普遍数量科学的代数学正是这一技艺的典范[笛卡尔1991，页15–18]。类似的声明在十六、十七世纪的数学著作中相当常见，二十世纪数学史家不过是继承了先辈们的做法。正如温古鲁所看到的，代数解释预设了“数学是一门普遍科学（scientia universalis），是思想的代数，包含了普遍的推理方式、永恒的结构以及不依赖于时间的理想探究模式，这些东西在有文明的人类的整个历史中都可以辨认出来，它们完全独立于其形式，形式只不过是它们在某个特定的时间点上偶然呈现的样子”[Unguru 1975, p. 74]。这里提到的“普遍科学”正是笛卡尔及其同时代人追寻的“普遍数学”。
这提示我们，为了理解数学史在摆脱辉格倾向方面遭遇的困难，我们不能仅仅依靠一种关于数学知识如何产生的数学哲学，我们更需要的是对数学史本身的起源的追溯，这一追溯必须是双重的，包含数学和历史两方面。这种追根溯源的工作构成了克莱因的“现象学与科学史”一文的核心。在这篇为纪念胡塞尔（Edmund Husserl）而写的文章中，克莱因指出，以“发展”为焦点的现代历史学实际上与现代数理科学有着共同的根源：

我们不能忽视这一事实：“历史意识”的发展紧紧跟随着现代科学的发展。关于自然的“新科学”在关于历史的scienza nuova（新科学，维柯）中有其补充。现代历史学既不是事件的编年史，也不是对过去值得纪念的事迹作启迪性、教化性或歌颂性的记述，而是要将人发现为、描述为一种尤其是历史性的存在，他遵从一种“发展”，这种发展超越任何个体生命，甚至超越民族和国家的生命。现代历史学不仅——像古代历史学那样——是对“事实”的诠释和戏剧性展现，而且是对历史“运动”本身的诠释。在这一点上，它是数学物理学的孪生兄弟。它们都是主宰着我们实际生活的支配性力量，设定了我们思想的视域，决定着我们实践的范围。近几十年的历史主义只不过是那个总的历史趋势的一个极端后果。[Klein 1940, p. 149]

克莱因进一步说，这种历史主义已经被界定为心理主义的延伸和放大，反过来，心理主义最初在英国经验论者那里发展起来的时候，也是第一次尝试将新生的数理科学纳入某种“历史的”视野，企图为科学所立足的那些概念撰写一部“自然史”，从而填补日常生活与日益形式化的科学之间的裂隙，这正是科学史的滥觞。这样的科学史充当的是逻辑体系的前言，是对科学的方法论基础和概念基础的阐述，在克莱因看来，这种描述心理之物的发展运动的历史学，正如胡塞尔所批评的那样，无法揭示其自身的起源，因而没有能力理解自身，也就不可能完成填补裂隙的任务。要实现一种“回到根源”的研究，我们需要考察的不是概念在现实时间（客观时间）中的发生，而应转向胡塞尔所说的“内时间性”，在内时间意识的“绝对之流”中考察概念的“意向发生”，克莱因把这种考察称为对“意向历史”（intentional history）[3]的研究。[Klein 1940, pp. 149–150]
正如内时间意识是客观时间得以可能的条件，“意向历史”也是实际的历史得以可能的条件，胡塞尔在《欧洲科学的危机和先验现象学》（Die Krisis der europäischen Wissenschaften un die transzendentale Phänomenologie）以及“几何学的起源”（Vom Ursprung der Geometrie）一文中分析的正是这种“意向历史”。胡塞尔认为，像几何学这样的科学具有“理念的客观性”（ideal objectivity），也就是说，它能够被任何时代、任何文明的人理解，它的可理解性是超时间的，但几何学作为“第一位几何学家”的发明，作为个体心灵的意向产物，必定在实际历史中有其起源，几何学并不是在起源处就拥有理念的客观性，而需要另外获得。据克莱因总结，这种获得被胡塞尔揭示为三个步骤：最初的发明作为内在于心灵的意义构成（significant formation），包含着原初的直接被给予的明见性（evidence），这种明见性首先转变为一种“滞留”的意识，在遗忘中逐渐消褪却并不消失，当它被重新唤起时，就使得原初的意义构成物获得了同一性、可以被不断地复制；第二步是将这种意义构成物嵌入到语言中，使原初的明见性能够通过交谈传达、复制给他人；最后一步是将语言转译为无需交谈也能实现传达的书面文字，使原初的意义构成物“沉积”下来，获得完满的理念客观性。这种沉积同时也是遗忘，语言本身的特性使得原初的明见性在语词的使用者对语词的不断熟悉中被逐渐忘却，成为沉积在语言共同体的共同理解之下的隐含基础，新的意义又将沉积于其上。历史就是这样由原初意义的构成和意义的沉积相互交织而成的。[4] [Klein 1940, pp. 154–156]
胡塞尔力图揭示的是，已经日益远离生活世界的科学世界仍然在生活世界中有其根源，因此可以通过“重新激活”这个被遗忘的根源来解决现代科学丧失生活意义的危机，这正是先验现象学的任务。胡塞尔的分析并不基于任何现实的历史事件，考据的、实证的历史学在他的计划中没有任何地位。但克莱因认为，当胡塞尔断言几何学必定在时间中有一个起源的时候，他实际上提供了意向历史与实际历史的一个必然连接，从这里我们完全可以展开对于实际历史的刻画。上述三个步骤结束的地方正是一门科学的真实历史开始的地方，这一历史必定不只是关于进步和知识积累的历史，它同时也是关于失败的历史，它可以跟意向历史完全对应起来，从而能够实现重新激活原初基础的任务。为了做到这一点，历史学不能把它的问题限定在找出所谓的“事实”及其关联，而应该把主要问题放在揭开意义沉积的全部地层，深入到任何一种科学以及前科学概念的真正开端，发掘出它们的根，最终得以重新激活被掩蔽的原初明见性。在这种理解下，历史学不可能跟哲学分离，历史学的合法形式只有一种，那就是人类思想的历史。[Klein 1940, pp. 154–156]
由以上的概述我们看到，通过追问“历史”本身的起源，克莱因最终提出了一种完全不同于辉格史，也不同于库恩式科学史的编史纲领，这一纲领主张一切历史都是思想史，其核心任务不是去建立“历史事实”衔接成的直线式、阶梯式、螺旋上升式或其它任何形式的因果链条，而是要揭示所有从根本上决定了我们的视域、决定了我们跟世界打交道的方式的那些东西，为此，思想史必须注重对文本和语词的考察，因为它们正是意义沉积之处。在克莱因看来，一门科学史如果不致力于上述任务，那就辜负了它自身的目的，无论它在其余方面显得多么有价值[Klein 1940, p. 161]。《希腊数学思想与代数的起源》正是这种思想史研究的实践，克莱因在笛卡尔的“普遍数学”那里找到了代数学与现代数理科学的共同根源，从而将现代思想的关键特征揭示为符号性的抽象，这种抽象方式使得现代人不再像古希腊人那样按照一种有秩序的分类来理解整个世界，世界不再是事物各依其类的有序安排（taxis），而是变成了一种能够被符号运算把握的抽象结构，被理解为由“事件”构成的“合乎定律”的过程[Klein 1992, p. 185]。只有在这一思想方式下，“几何空间”的概念才成为可能，它诞生于笛卡尔的“广延”概念，最终成为牛顿数学物理学的基石[Klein 1992, p. 211]。但这种思想方式的影响绝不只限于自然领域，克莱因在“现代理性主义”（Modern Rationalism）这篇演讲中指出，“普遍数学”的符号性特征决定了整个现代生活的方向，不但整个自然世界，就连我们的社会和经济也都变成了一种外在于我们自己的、纯粹抽象的主宰性力量，而现代理性主义却把它们默认为对我们自身的真实表达[Klein 1985, pp. 63–64]。前面提到的现代数理科学与现代历史学的共同根源也在于此，克莱因在另一篇演讲“历史学与自由技艺”（History and the Liberal Arts）中明确地说，维柯（Giambattista Vico）的一切民族必然经历的“理想的永恒历史”，正是导源于一种笛卡尔式的“普遍数学”观念，这种历史意识导致现代人把“历史趋势”当成对自身行动的指导，把“历史性”当成自身的本性，这种“历史性”并不意味着传统，反而意味着割断自身与传统的连接[Klein 1985, pp. 134–136]。
由此可见，数学史在摆脱辉格倾向方面遇到的困难并非偶然，它恰恰反映出近代以来的数学对现代人思想的重新塑造有多么彻底。近代数学至少在双重的意义上设定了数学史家的视域，一方面使他们将数学视为普遍的永恒结构，另一方面使他们将历史视为理性必然的发展运动过程。在这样彻底现代的视域中，数学史家无法反思自身，没有能力分辨出数学观念中沉积的现代性，也看不到沉积在更深处的、与古希腊一脉相承的原初意义，从而把运算、空间之类的概念看成理所当然的，不假思索地用它们去重构古代文献，因而不可避免地陷入辉格史。要摆脱这种双重的约束，数学史必须首先成为克莱因说的那种思想史，只有这样，它才能揭示自身的根源，从而更好地理解自身的任务并超越辉格史。
四、数学史可以是思想史吗？
数学对现代思想的奠基性作用决定了数学史的巨大潜力，假如数学史真正实现为一门思想史，它将能够帮助现代人理解自身在现代生活诸方面遭遇的困境。而如果把它的任务限制为理解数学知识的来龙去脉，那将是一种严重的浪费。遗憾的是，尽管今天的数学史已经尝试过多种研究进路，呈现出较为丰富的面貌，但仍然缺少思想史的向度。克莱因的研究虽然受到赞誉，但并没有被数学史家真正理解，数学史中很难找出另一部像克莱因那样“回到根源”的著作，在此我们仅能举出一例，这项研究不是由数学史家，而是由一位哲学家拉克特曼（David R. Lachterman）做出的。
拉克特曼在《几何学的伦理：现代性的一种谱系》（The Ethics of Geometry: A Genealogy of Modernity, 1989）中考察几何作图在希腊几何学与笛卡尔的几何学中的意义，揭露了一种难以察觉的辉格解释。这种解释也肇始于措伊滕，将希腊几何作图称为“构造”，并理解为几何对象的存在性证明。拉克特曼论证说，这种解释是康德式的现代观念的产物，在整个古典思想中从未有过实存意义上的“存在性”问题，更重要的是，在希腊人那里，几何作图从未被看成一种构造。作为一门知识（episteme）的希腊几何学并不像技艺（techne）那样同制作、制造（poiesis）结盟，而是跟实践智慧（phronesis）相关联，这种关联性体现在教学活动中。几何学作为一种mathesis，即可以学、可以教的东西，只有在教学活动中才能实现自身；几何证明（apodeixis）就其原意而言是一种展示，是教师向学生展示某物，因此必须在教学对话中展开。实践智慧的意思是根据目的明智地选择恰当的手段，几何学的实践智慧就在于为了教学对话能够顺利展开而选择恰当的用词，这在《原本》中有充分体现。欧几里得叙述作图步骤时总是刻意将特定的动词用于特定类型的图形，这表明图形的样子或形式（eidos），即图形的本性，是先于作图的，学生必须在看到作图结果之前已经对这种本性有所熟悉，才有可能学习几何学，几何教学就是教师通过表演作图去唤起这种潜在的理解，将它实现为知识。在这里，几何作图的意义只是展示、现出（apodeixis）图形固有的本性，使之成为可学的东西，而不是在构造出图形的本质或存在[Lachterman 1989, pp. 54–61, pp. 121–122]。教师必须充分熟悉几何学的传统，熟悉过去和同时代几何学家的工作，才能拥有实践智慧，懂得如何恰当地叙述作图。所有这一切在以笛卡尔为代表的近代数学家那里都被颠覆了。在笛卡尔看来，教师、权威、传统、实践智慧都是可疑的，最多只具有辅助作用，最根本的是掌握一套“指导心灵的规则”，凭借自己内心的“自然之光”即可获得全部知识，于是数学变成了一门技艺，数学证明变成了个体心灵的思想运动[笛卡尔1991，页1–14]。相应地，几何作图变成了一种构造，笛卡尔的《几何》就是企图用简单的运动逐次构造出一切几何曲线，从而达到“解决一切几何问题”的目的，他的曲线不再具有可预先熟悉的本性，作为本性的形式（eidos）已被抽象的符号方程取代，方程仅仅是对曲线的生成过程的潜在表达，曲线的个体性最终要依赖于心灵的构造性力量来实现[Lachterman 1989, pp. 197–200]。这种构造性力量，在拉克特曼看来，正是现代性的标志，它最终在康德的工作中彻底展开，心灵构造自身，并通过构造将自身外化，去掌控作为他者的自然，使人成为自身的创造者和为自然立法的主宰[Lachterman 1989, pp. 1–24]。拉克特曼的工作不但展现了数学史作为一门思想史的可能性，也充分显示了数学史所能达到的思想深度。
除了借鉴克莱因和拉克特曼的工作之外，数学史还可以向科学思想史学习。我们不应忘记，库恩一代科学史家深受科学思想史家柯瓦雷（Alexandre Koyré）的影响，正是柯瓦雷的科学思想史工作促使科学史家认识到自己的自然态度，从而转向一种历史的态度[雷东迪2010，页60]。然而数学史却未能同样地受益于科学思想史，一个可能的原因是，科学思想史在八十年代似乎已经不太流行，尤其是在科学史越来越多地引入社会因素的情况下，柯瓦雷的研究进路往往被视为单纯的内史，甚至被批评为带有辉格倾向。但是从根本上说，把柯瓦雷的研究称为内史真的合适吗？假如“内”的意思是指学科的内部，有哪一种物理学的内部史会像柯瓦雷那样不厌其烦地考察神学上的争论呢？假如“内”、“外”的划分是指一切思想的东西都是内在于心灵的，而社会的东西则外在于个人，那又跟心理主义毫无二致了。对照克莱因的“意向历史”，我们会看到，柯瓦雷的研究实际上与克莱因的主张十分相似，这不仅体现在他对文本分析的强调，也体现在他的研究意图上：《伽利略研究》（Études galiléennes）的目的不是确认从冲力物理学到惯性定律的概念演化路线，《从封闭世界到无限宇宙》（From the Closed World to the Infinite Universe）也不是为了建立从库萨的尼古拉到牛顿的观念承继链条，这两部著作都是为了揭示科学革命作为一种思想嬗变的真正意义，将现代科学的思想根源揭示为秩序宇宙（cosmos）的解体和空间的几何化。这里的关键不在于柯瓦雷将历史发展描述为连续还是断裂，而在于他已经跳出了“发展”的概念，致力于克莱因说的“揭示根源”的任务，这已经超越了一般意义上的内史与外史，超越了辉格史。数学史应该继承这一丰富的思想资源。柯瓦雷和其他科学思想史家已经将科学革命的意义揭示为质的量化、空间的几何化，数学史完全可以延续他们的工作，去考察数量、空间等概念在近代早期的起源，揭示其中更深层的意义。
为了从更广泛的意义上理解思想史，我们还可以对克莱因的“意向历史”作一点补充。在他总结的三个步骤中，后两个步骤放在语言和文字上的理由是，它们使原初的明见性成为可以在不同主体间传达的东西。循着这一思路，我们可以不必把问题限定在语言和文字上，一切可以称为媒介的东西，诸如用具、仪器、社会建制、艺术、技术等，也都可以作为传达意义构成物的中介和意义沉积的场所，从而都可以成为意向历史分析的内容。由此我们可以不必将SSK这样的研究看成科学思想史进路的反面，而可以看成是科学思想史的延续和拓展。在这种扩展的视野下，我们将拥有更多的思想资源来帮助数学史成为一门思想史，数学史不但可以跟科学思想史建立良好的互动，还可以跟政治思想史乃至技术史、艺术史衔接，从技术哲学、政治哲学获得启发。依靠这些思想资源，数学史将能够沿着克莱因开辟的道路更进一步地去揭示现代思想的根源，帮助我们更好地认识自己。
“认识你自己”，这是柏拉图赋予数学教育的重要任务之一，数学是修习伦理学和政治学的必要前奏，一个人只有经过数学上升到理念世界，才能充分认识自己，从而成为一个在城邦政治生活中发挥应有积极作用的公民。中世纪大学也继承了数学作为人文教育的传统。现代数学教育却遗弃了这种“认识自身”的任务，数学史应该义不容辞地把它接过来，这是数学史家不可回避的使命。
            
[1] 这是英译本采用的标题，最初在Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik上发表时的标题是“Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra”（希腊计算术与代数的起源）。
[2] 作为数学家，范德瓦尔登对20世纪抽象代数领域的发展有无可比拟的贡献，他在数学史和科学史方面的著作有《科学的觉醒》（Ontwakende wetenschap, 1950）、《古代文明中的几何与代数》（Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, 1983）、《代数史》（A History of Algebra, 1985）等。韦伊是布尔巴基小组的创始人之一，他在数论和代数几何领域都做了奠基性的工作，在数学史方面写过一些关于数论历史的著作。
[3] 尽管克莱因反复提及“胡塞尔的‘意向历史’”，但实际上胡塞尔并没有用过“意向历史”一词，这个词应该是克莱因的发明，它可能源于胡塞尔曾用过的“沉淀的历史”这个提法[Hopkins 2011, p. 25, n. 21]。
[4] 可对照“几何学的起源”中的相关段落[胡塞尔2001，页430–439]。
参考文献
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希思1998. 《阿基米德全集》. 朱恩宽等译. 西安：陕西科学技术出版社.

History of Mathematics: From Whig History

to Intellectual History

Zhang Donglin

Abstract: Whig historiography, represented by the algebraic reading of Greek mathematics, had been dominating the history of mathematics for a long time. It led to the blindness and poverty of the history of mathematics. Since 1970s, various efforts have been made to create new approaches different from Whig history, yet the history of mathematics nowadays is still colored with Whiggish tendency. To find out the root of this failure, we appeal to Jacob Klein’s revelation of the true beginning of the history of mathematics itself, which shows that it is in the early modern mathematics itself that the root of the Whiggish tendency in the history of mathematics consists. To avoid Whiggish tendency, the history of mathematics has to become a research with the ability to rediscover its own root, that is, an intellectual history. A number of intellectual resources, including Alexandre Koyré’s intellectual history of science, can be very helpful for this transformation.
Key words: history of mathematics, historiography, Whig history, intellectual history.