数学与人类文明(三)

管季超.

蔡天新：数学与人类文明(三)  中世纪的中国
一、引子
1、先秦时代
正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不同的文明在遥远的东方，也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。学者们通常认为，在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔，远古时代任何迁徙的可能性都不存在。在公元前2700年到前2300年间，出现了传说中的五帝,之后，相继出现了一系列的王朝。虽说由于刻录文字的竹板不如泥版书和纸草书耐久，但由于中国人勤于记录，仍有相当多的资料流传下来。
与巴比伦和埃及一样，远古时代的中国就有数与形的萌芽。虽说殷商甲骨文的破译仍在进行，但已发现有完整的10进制，至迟在春秋战国时代，又出现了严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式，分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待。关于形，司马迁在《史记》（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载，“（夏禹治水）左规矩，右准绳”，“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来确定垂线的器械，或许这算得上是几何学的早期应用。
更为难得的是，与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个时代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家，那是盛产哲学家的年代。其中，“墨家”的代表作《墨经》讨论了形式逻辑的某些法则，并在此基础上提出一系列数学概念的抽象定义，甚至涉及到“无穷”。而以善辩著称的名家，对无穷概念则有着更进一步的认识，道家的经典著作《庄子》记载了名家的代表人物惠施的命题“至大无外，谓之大一。至小无内，谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙，“小一”相当于赫拉克利特的原子。
惠施（约公元前370-前310）是哲学家，宋国（今河南）人，当时的声望仅次于孔子和墨子。他曾任魏相15年，主张联合齐楚抗秦，政绩卓著。惠施与以写作《梦蝶》、《逍遥游》闻名的同代哲学家庄周既是朋友，又是论敌，两人关于鱼乐之辩是很著名的辩论。他死后，庄周叹息再无可言之人。惠施涉及数学概念的精彩言论尚有
矩不方，规不可以为圆；
飞鸟之影未尝动也；

管季超.

镞矢之疾，而有不行、不止之时；
一尺之棰，日取其半，万世不竭；等等，可以看出，这与早他一个世纪的希腊人芝诺所发明的悖论有异曲同工之妙。惠施的后继者公孙龙以“白马非马”之说闻名，虽然在逻辑学上分开了“一般”和“个别”，却未免有诡辩之嫌了。
可惜的是，名、墨两家在先秦诸子中属于例外，其他包括更有社会影响力的儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，只注重治国经世、社会伦理和修心养身之道，这与古希腊学派的唯理主义有很大的差异。始皇帝统一中国以后，结束了百家争鸣的局面，甚至搞了一场臭名昭著的焚书。到汉武帝时（公元前140年）则独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，均失去进一步发展的机会。不过，由于社会稳定，加上对外开放，经济出现了空前的繁荣，带动数学在实用和算法方向发展，也取得了较大的成就。
2、《周髀算经》
公元前47年，亚历山大图书馆在尤利西斯·凯撒统率的罗马军队攻城时被部分烧毁，他是为了帮助他的情人克娄巴特拉夺取政权。后者是托勒密13世的次女，先后与她的两个弟弟托勒玫13世和14世，以及她和凯撒的儿子托勒密15世共同执政。此时中国正处于第一个数学高峰的上升阶段，即西汉后期。一般认为，中国最重要的古典数学名著《九章算术》就是在那个年代（公元前1世纪）成书的，而最古老的数学著作《周髀算经》的成书应该在此以前。
值得一提的是，对中国古代科学技术史很有研究的英国科学史家李约瑟虽然认同《九章算术》代表了比《周髀算经》更为先进的数学水准，但他却认为，我们对后者所能给出的确切的成书年代比起前者来还要晚两个世纪。显而易见，这是数学史家和考古学家的一大遗憾。李约瑟在其巨著《中国科学技术史》里叹息道，“这是一个比较复杂的问题……书中有部分结果是如此古老，不由得相信它们的年代可以追溯到战国时期。”
《周髀算经》不仅成书的年代无法考证，连作者也不详，这与《几何原本》的命运有别。这部著作中最让人感兴趣的数学结果有两个。一个当然是勾股定理了，即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前，但是没有欧几里得在《几何原本》之第一卷命题47中所提供的证明。有意思的是，该定理是以记载西周初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的。

管季超.

周公是文王之子，武王之弟。武王卒后，他又摄政，亲自平定了叛乱，7年之后还政于成年的成王。商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径五”，这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理。书中还记载了周公后人的一段对话，包含了勾股定理的一般形式：
……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。
不难看出，这是从天文测量中总结出来的规律。在中国古文里，勾和股分别指直角三角形中较短和较长的直角边，而髀的意思是大腿或大腿骨，也是测量日高的两处立表。《周髀算经》中另一个重要的数学结论即所谓的日高公式，它在早期天文学和历法编制中被广泛使用。
此外，书中还有分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法，表明平方根已经被应用了。值得一提的是，该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩，这无疑表明已经需要测量术和应用数学了。此外，书中还有几何学产生于计量的个别观点。李约瑟认为，这似乎表明中国人从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不太感兴趣。
值得欣慰的是，公元3世纪，三国时代的东吴数学家赵爽用非常优美的方法证明了勾股定理。他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相补法给出证明的。如图所示，直角三角形两条直角边a和b为边的正方形的合并图形，其面积应该为a^2 + b^2。如果将该合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到原三角形的斜边c为边长的正方形，其面积恰好是c^2，故而有
a^2 + b^2 = c^2。
3、《九章算术》
与《周髀算经》不同的是，《九章算术》虽然作者和成书年份不详，但是基本可以确定，此书是从西周时期贵族子弟必修的六门课程（六艺）之一的“九数”发展而来，并经过西汉时期的两位数学家删补。其中为首的张苍也是著名的政治家，曾为汉文帝的丞相，在位期间亲自制订了律法和度量衡。一般认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶期间经过众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
《九章算术》采用问题集的形式，264个问题分成9章，依次为：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。可以看出，这部书的重点是计算和应用数学，仅有的涉及几何的部分也主要是面积和体积的计算，这与欧几里得的《几何原理》恰好相反。其中的三章栗米、衰分、均输集中讨论了数字的比例问题，这与希腊人用几何线段建立起来的比例论形成了鲜明的对照。“衰分”就是按一定的级差分配，“均输”则是为了解决粮食运输负担的平均分配。

管季超.

书中最有学术价值的算术问题应该是所谓的“盈不足术”。为求方程f(x) = 0 的根。先假设一个答数为x_1，f(x_1) = y_1，再假设另一个答数为x_2， f(x_2) = y_2，求出
x =(x_1y_2 + x_2y_1) / (y_1+y_2) = (x_2 f(x_1) - x_1 f(x_2)) / (f(x_1) - f(x_2))，
如果f(x)是一次函数，则这个解答是精确的；而对于非线形函数，这个解答只是一个近似值。因此，在今天看来，盈不足术相当于一种线形插值法。
在13世纪意大利数学家斐波那契所著《算经》中有一章讲“契丹算法”，指的就是“盈不足术”，因为欧洲人和阿拉伯人古时候称中国为契丹。可以想见，“盈不足术”是借着丝绸之路，经过中亚流传到阿拉伯国家的，再通过他们的著作传至西方的。值得一提的是，1983年，在湖北张家界一座汉初古墓里出土了一部竹简《算数书》，已经谈到“盈不足术”了，而这本书的成书年代被认为比《九章算术》要早两个世纪。
在代数领域，《九章算术》的记载就更有意义了。“方程”一章里，已经有了线性联立方程组的解法，例如
x + 2y + 3z = 26
2x + 3y + z = 34
3x + 2y + z =39
但《九章算术》没有表示未知数的符号，而是把未知数的系数和常数排列成一个如下的矩阵（方程）图表，
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39
再通过相当于消元法的“遍乘直除”法，把此“方程”前三行转化成只有反对角线上有非零元，即
0 0 4
0 4 0
4 0 0
11 17 37
从而求得解答。考虑到消元法在西方被称为“高斯消元法”，难怪“方程术”被称为中国数学史上的一颗明珠。
除了“方程术”以外，《九章算术》中提到的另外两个贡献也非常值得称道。一是正负术，即正负数的加减运算法则；二是开方术，甚至有“若开之不尽者，为不可开”的语录。前者说明中国人很早就使用了负数，相比之下，印度人在7世纪才开始，而西方对负数的认识则更晚。后者表明中国人已经知道无理数的存在，可是由于是在“方程术”中遇到的，因此并没有认真对待，这是与重视演绎思维的希腊人不同之处，后者一般不轻易放过一个值得追究的机会。
在《九章算术》对几何问题的处理上，可以看出我们祖先的不足，例如“方田”里的圆面积计算公式表明，对圆周率的估算是3，这与巴比伦人的结果相当。而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3，误差就更大了。不过，书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式，基本上是正确的。《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数化，正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是，书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何。

管季超.

二、从割圆术到孙子定理
1、刘徽的割圆术
公元391年，在亚历山大城，由于基督教会内部的矛盾，以及该城教会与罗马教廷之间的冲突，一群基督教徒疯狂地烧毁了克娄巴特拉女王早先下令从大图书馆里抢救出来的那些宝藏，托勒密王朝膜拜的另一处藏有大量希腊手稿的西拉比斯神庙也未逃厄运。那一年，中国的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分裂，隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝时代。在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起，于是有了我们今日仍津津乐道的“魏晋风度”和“竹林七贤”。
（*张衡（78-139），以制造出世界上第一台测地震的仪器——地动仪闻名，同时曾采用730/232（≈3.1466）为圆周率（如属实，当在刘徽之前），可惜其数学著作已经失传；此外，他还是著名的文学家和画家。）
所谓“魏晋风度”乃魏晋之际名士风度之谓也，亦称魏晋风流。名士们崇尚自然、超然物外，率真任性而风流自赏。他们言词高妙，不务世事，喜好饮酒，以隐逸为乐。尊《周易》、《老子》和《庄子》为“三玄”，以至于清谈或玄谈成为崇尚虚无空谈名理的一种风气，魏末晋初，以诗人阮籍、嵇康为首的“竹林七贤”便是其中的突出代表。作为士大夫意识形态的一种人格表现，“魏晋风度”成为风靡一时的审美理想。
在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现，实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明。上一节我们提到的赵爽（三国东吴人）便是其中的先驱人物，成就更大的是刘徽，他和赵爽的生卒年均无法考证，我们只知道他也生活在公元3世纪，并于263年（魏国和吴国均未灭亡）撰写了《九章算术注》。因此，难以断定两人哪个在先，反正他们是取得重要成就的中国数学家中最早留名的。
刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例。刘徽也注意到了这种方法的缺陷，即与平面的情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补。为了绕过这一障碍，一些数学家们不约而同的借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样。刘徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。

管季超.

确切地说，刘徽是在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱，所交的部分刚好把立方体的内切球包含在内且与之相切，他称之为“牟合方盖”。刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为л/4，这里他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式，以至于无法计算出“牟合方盖”体积，也就难以获得球体积公式。不过，他所用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功铺平了道路。
除了对《九章算术》逐一注释以外，此书的第10章是刘徽自己的一篇论文，后来又单独刊行，称为《海岛算经》。书中发展了古代天文学中的“重差术”，成为测量学的典籍。当然，刘徽最有价值的工作是注方田（第1章）中所引进的割圆术，用以计算圆的周长、面积和圆周率。其要旨是用圆内接正多边形去逼近圆，他从正六边形出发，将边数逐次增加两倍，并计算出每次所得的正多边形的周长和面积。他写到，
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
刘徽注意到，利用勾股定理，正2n边形的边长可由正n边形的边长导出。这样一来，计算才比较方便，到第5次时，就得到正 边形的边长，由此得到的圆周率为
л≈157/50 = 3.14
这与阿基米德公元前240年所得到的结果和方法基本上是一致的，只不过后者利用了圆的外切和内接正多边形，因此只算了 边就得到同样的值。在注文中（尚未证实是否刘徽所为，但应算到正 边形的边长）得出了
л≈3927/1250 = 3.1416.
鉴于刘徽在数学领域所取得的卓越成就，公元1109年，宋徽宗封其为淄乡男。由于同时被封的其他人均是以其故乡命名，由此可以推断，刘徽是山东人，因为含淄字的县级地名只有淄博和临淄，而按照《汉书》的记载，淄乡只有邻近淄博的邹平县有。作为儒学发祥地的齐鲁之邦，经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚，这使得刘徽受到良好的文化熏陶，并置身于辩难之风。从刘徽的文字里也可以看出他谙熟诸子百家言论，深得思想解放之先风,因而得以开创上述算术之演绎。
2、祖氏父子
在刘徽注释《九章算术》的第三年，中国（继秦朝以后）获得了第二次统一，魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等6条基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。

管季超.

可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了103年（北方则被分割成了16个小国）。此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。
在《隋书》里，记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限，
3.1415926 < л < 3.1415927
精确到小数点后第7位。这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破，后者算到了小数点后17位。遗憾的是，没有人提到他具体的计算方法。一般认为，祖冲之沿用了刘徽的割圆术。这说明了他是个很有毅力的人，事实上，如果按照割圆术的方法，需要连续算到正24576边形，才能得到上述数据。
同一部史书里还记载了祖冲之计算圆周率的另一项重要成果，即约率：22/7，密率：355/113。约率与阿基米德的结果一致，即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位。在现代数论中，如果将л表示成连分数，则其渐进分数为，
3/1，22/7，333/106，355/113，103993/33102，104348/33215，KK
第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同，可称作古率，第二项是约率，第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000的分数里最接近л真值的。
1913年，日本数学史家三上义夫（1875-1950）在其有重大影响的著作《中国和日本的数学之发展》里，主张把 这一圆周率数值称为“祖率”。在欧洲，直到1573年，这个分数才由德国数学家奥托重新得到。遗憾的是，时至今日，我们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的，尚没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用，而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。
所谓“调日法”的基本思想如下：假如a/b，c/d分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n，新得出的分数 （ma+nc）/（mb+nd）有可能更接近真值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的，他同时还是著名的天文学家和文学家。如果在157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择m=1，n=9，或在3/1（古率）和22/7之间选择m=1，n=16，均可获得355/113（密率）。我们可以推测，祖冲之用“调日法”求得密率后，再用割圆术加以验证，如同阿基米德运用平衡法和穷竭法一样。

管季超.

和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算。此项结果在他本人撰写的一篇政论文章《驳议》（收入《宋书》）里提及，并极有可能写进他的代表性著作《缀术》，可惜后者失传了。有趣的是，唐代李淳风却在为《九章算术》所写的一篇注文中称为之“祖暅之开立方术”，祖暅之即祖暅，祖冲之的儿子，在数学上也有许多创造。因此，现代的数学史家一般把球体积计算公式归功为他们祖氏父子共同获得的结果。
按照李淳风的描述，祖氏是这样计算“牟合方盖”的体积的，先取以圆半径r为边长的一个立方体，以一顶点为心，r为半径分纵横两次各截立方体为圆柱体。如此，立方体就被分成四部分：两个圆柱体的共同部分（内棋，即牟合方盖的1/8）和其余的三个部分（外三棋）。他们先算出“外三棋”的体积，这是问题的关键，他们发现，这三个部分在任何一个高度的截面积之和与一个内切的倒方锥相等。而这个倒方锥的体积是立方体的3/1，因此内棋的体积便是立方体的2/3。
最后，利用刘徽关于球体积与牟合方盖体积之比为4/л的结果，就得到阿基米德的球体积计算公式，
V =（4/3）лr^3
正如中国当代数学史家李文林所指出的，“刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学研究中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束，可以说是嘎然而止。”祖冲之的《缀术》在隋唐曾与《九章算术》同列为官方的教科书，国子监的算学馆也规定其为必读书之一，且修业的时间长达4年，并曾流传到朝鲜和日本，可惜在公元10世纪以后却完全失传了。
3、孙子定理
公元639年，阿拉伯人大举入侵埃及，此时罗马人早已退出，埃及在行政上受拜占廷控制，拜占廷军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离，亚历山大学术宝库里仅存的那些残本也被入侵者付之一炬，希腊文明至此落下了帷幕。此后，才有了开罗，埃及人改说阿拉伯语并信奉了伊斯兰教。那会儿，在中国正逢大唐盛世，太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会最繁荣的时代，疆域的领土也不断扩大，首都长安（西安）成为各国商人和名士的聚集地，中国与西域等地的交往十分频繁。
虽说在数学上，唐代并没有产生与其前的魏晋南北朝或其后的宋元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所建树。唐代不仅延袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，设立了“算术博士”*的官衔，还在科举考试中设置了数学科目，通过者授予官衔，可是级别最低，且到晚唐就废止了。事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义的，不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴颇为相似。长达近三百年的唐代在数学方面最有意义的事情莫过于《算经十书》的整理和出版，这是高宗李治下令编撰的。

管季超.

奉诏负责这十部算经编撰的正是前文提到的李淳风，除了精通数学以外，他更以天文学上的成就闻名。 在堪称世界上最早的气象学专著《乙已占》里，他把风力分为8级（加上无分和微分则为10级），直到1805年，一位英国学者才把风力划分为从零到12级。除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》和《缀术》以外，《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》。这三部书的共同特点是，每一部都提出一个非常有价值的问题，并以此传世。
《孙子算经》的作者不详，一般认为是公元4世纪的作品，作者可能是一位姓孙的数学家。该书最为人所知的是一个“物不知数”问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
这相当于求解下列同余方程组
n ≡ 2 （mod 3）
n ≡ 3 （mod 5）
n ≡ 2 （mod 7）
《孙子算经》给出的答案是23，这是符合上述同余方程组的最小正整数。不仅如此，书中还指示了关于上述三个模求解的方法，其中的余数2、3和2可以换成任意数。这是一次同余式组解法（孙子定理）的特殊形式，8世纪唐代僧人一行曾用此法制订历法，但其更一般的方法要到宋代才由数学家秦九韶给出。孙子定理是中国古代数学史上最完美和最值得骄傲的结果，它出现在中外每一本《初等数论》教科书中，西方人称之为中国剩余定理。
（* 在中国古代，“算术博士”并非最早的专精一艺的官衔，西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”。）
《张邱建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人，书中最后一道题堪称亮点，通常也被称为“百鸡问题”，民间则流传着县令考问神童的佳话，书中原文如下
今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
设鸡翁、鸡母和鸡雏的数量分别是x、y、z，此题相当于解下列不定方程组的正整数解
x + y + z = 100
5x + 3y + z/3 = 100
张丘建给出了全部三组解答，即（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。这两个三元一次方程可以化为一个二元一次方程，而让另一个元成为参数。今天我们知道，多元一次方程均可以给出一般解。类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的伊朗人卡西提出。遗憾的是，张建丘没有乘胜追击对这个问题进行总结，他也不如孙子幸运，后者有秦久韶完成后续的研究和证明。

管季超.

《缉古算经》是十部算经中最晚成书的，作者王孝通是初唐人，曾为算学博士，其籍贯身世和生卒年代均不详。这部书也是一系列实用问题集，但对当时的人来说难度很大，主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小以及勾股问题等，大多数需要用双二次方程或高次方程来解决。尤其值得一提的是，书中给出了28个形如
x^3 + p x^2 + qx = c
的正系数方程，并用注来说明各项系数的来历。作者给出了正有理数根，但没有具体的解法。在世界数学史上，这是关于三次方程数值解及其应用的最古老的文献。
三、宋元六大家
1、沈括和贾宪
虽说唐朝的经济和文化繁荣，可是9世纪末以后，不少世袭统治者的半自治政府兴起于边地，官僚的中央政府无力约束。加上税赋加重，黄巢农民起义后，参与镇压的节度使势力大增。到公元907年，中国再次转化为分裂状态，五代开始了。短短的半个世纪时间里，更换了5个朝代，即后梁、后唐、后晋、后汉和后周，首都改设开封或洛阳。战乱的后果造成了经典著作的失传，祖冲之的《缀术》就在其列。而在南方，也有过10个小国，包括以金陵（南京）为都的南唐，它的最后一个皇帝李煜因国破被虏而成为一代词人。
公元960年，军人出身的赵匡胤在河南被部下拥上皇位，建立了宋朝。不流血的政变之后，他又“杯酒释兵权”，让一部分武将退役还乡。重新统一后的中国发生了有利文化和科学事业的变化，散文化的诗歌——宋词在唐代以后又达到一个文学颠峰，商业的繁荣、手工业的兴旺以及由此引发的技术进步（四大发明中的三项——指南针、火药和印刷术是在宋代完成并获得广泛的应用）则为数学的发展注入新的活力。尤其是活字印刷的发明，为传播和保存数学提供了极大的方便，刘徽的《海岛算经》成为（现存）最早付印的数学论著。
虽说李约瑟在《中国科学技术史》里对“孙子定理”的结论一笔带过，并未提高到“定理”的高度，但他却指出，宋代（南宋）出现了一批中国古代史上最伟大的数学家。那是在13世纪前后，正好是欧洲中世纪即将结束的年代，他们是被称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。不过，在谈论这四个人之前，我们还需要提到两个北宋人——沈括和贾宪，其中杭州出生的沈括于1086年完成了一部《梦溪笔谈》，也算中国古代科学史上的一朵奇葩。