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| 2007年台湾数学能力竞赛决赛 | |
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| | | | 1.
试求使为整数的正整数解
2.
为一整系数多项式, a、 b为两相异整数, , ,…, , , ,…, ,若 、 ,且 , ,试证:当 时, 3.
锐角 , 上有一点 D, 上有一点 E, 上有一点 F,试证:存在唯一一组解,使 , , 4.
给定 与其外接圆,令 P为劣弧 上之一点,异于 B、 C,连 交 于 Q,试求 的最小值。( ) 5.
有一正整数列1,2,3,…,2 n-1、2 n,现从中挑出 n个数,从大到小排列依次为 a1, a2,…, an,另 n个数从小到大排列依次为 b1, b2,…, bn,求 之所有可能的值 6.
a、 b、 c为正实数,试证明: 参考答案:
1.
引理: ,只要 不为有理数即可 设为一有理数,但皆不为有理数。
因
则 唯一有理数,矛盾。
故,令,,
为正整数,则或2或3
故共有8组解
2.
设 , 亦为整系数多项式
故 或 …(1)
又
故 或 …(2)
欲使(1)(2)同时成立,唯有,故
3.
作三高之垂足,显然成立。 设三垂足分别为D 0,E 0,F 0,若有一D异于D 0合条件,欲使,则,于是,同理
于是,若D在D 0左侧,则E,F也在左侧
与相交,故不平行
,不符合要求。
若在右侧亦然,故D 0,E 0,F 0为唯一。
4.
设 , A、 B、 P、 C四点共圆 由正弦定理,,
5.
令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数,1、2、3、…、n为小数。 设中必也有n-k个小数,则中必有n-k个大数,k个小数,
其中
令a1,a2,…,ak,bk+1,b k+2,…,bn为大数,
b1,b2,…,bk,ak+1,a k+2,…,an为小数。
6.
令
当 时,不等式恒成立,
故,
同理 ,
则
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