教有“根”的数学

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教有“根”的数学

刘劲苓

内容提要：在实际的教学中，恰到好处的运用数学史，会加深学生对知识体系的

理解，明白数学“从实践中来，又用到实践中去”的道理。形成思维的螺旋上升。

因此，将数学史知识灵活运用，认真思考知识的来龙去脉，既教知识又教方法是

我追求的目标，在教学中力求追本溯源，教学生有根的数学。

主题词：数学史  资源  利用

数学家陈省身说过：“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”。新的数学课程标准中指出：在小学数学教学中要适当地介绍有关数学背景知识，介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类的生活需要，体会数学在人类发展历史中的作用。为此，近几年的各类小学数学教材也都通过“你知道吗”等形式对数学史知识有所体现，这无疑为数学史进入小学数学课堂起到了很好的推动作用。将数学史知识适当渗透到小学数学课堂中，在当今已达成共识。

一、研究背景 我对数学史产生兴趣源于13年前所上的一节课。1995年，学校派我到外地上一节四年级的展示课，由于各地使用的教材不一样，时间又很紧，一时选不出合适的内容，我就选了一节在数学思维训练课上经常给孩子们讲的“一笔画”。展示课上，我介绍了“七桥问题”，介绍了欧拉。竟然收到了意想不到的效果，不仅学生听课积极性被调动起来，参与热情十分高涨，课堂气氛非常活跃，就连一个跟妈妈来旁听的一年级孩子（当时正值暑假）也参与进来，他为了回答问题，从礼堂的最后一排跑到台上，他的举动感染了在场的所有教师，大家给他以热烈的掌声。同时，这掌声也鼓励了我，这次展示课的成功，坚定了我要把数学史知识渗透进课堂教学中去的想法。

那时的数学课本不象现在，数学史故事是很少见到的，我只能给学生讲我所知道的。每当我绘声绘色地讲起数学史故事的时候，学生们总是静静地倾听，还不时地提出各种问题，甚至同学之间还产生争论，每次都有令我激动的情景出现，我和学生一样都期盼着下一次讲故事的机会。但毕竟我所知道的数学史知识是有限的，于是我开始留心收集并整理，有了一些积累以后，我发现我经常会不经意地在备课时联系数学史，我的教学开始与数学史分不开了，我的课逐渐有了自己独特的味道。

13年来，我坚持收集、整理适合小学数学教学的数学史知识，并积极大胆地尝试，不断完善，受到学生欢迎。尤其是2003年到了实验二小以后，将数学史研究融入学校先进的教学理念中后，使得这个研究的成果得到了认可和升华。同时在学校领导和同事们的指导和帮助下，我对数学史研究开始走入正轨。

2006年底，在李烈校长的大力支持和鼓励下，我开始整理相关数学史资料，融入自己的教学感悟之后，编著了《小学数学中的数学史》一书，现已交付出版社，不久将正式出版发行。

可以说纯粹的数学史与小学数学教学相离甚远，甚至有人认为小学数学教学内容加入数学史，无非是几个符号的由来、一些数学家的故事等等，而教材由于篇幅所限又不可能收入更多、更详的数学史知识，所以小学数学教学与数学史结合方面的研究资料并不多。

而在实际的教学中，教无定法。恰到好处的运用数学史，会加深学生对知识体系的理解，明白数学“从实践中来，又用到实践中去”的道理。形成思维的螺旋上升。因此，

将数学史知识灵活运用，认真思考知识的来龙去脉，既教知识又教方法是我追求的目标，在教学中力求追本溯源，教学生有根的数学。

二、具体做法

（一）教学准备研究数学史

备课是上好课的基础，了解相关的数学史知识是我备课的重要环节。当然，这种了解不仅限于一节课相关的内容，平时的阅读积累也十分重要。在具体运用史料时，我比较注意两点：

1．把握史料渗透的方法

例如，刚刚上过的“数”这节课。这是六年级总复习课的第一课时，教学目标中的知识目标是对小学阶段学过的数进行整理。小学六年级的总复习阶段既是对小学知识的整理与复习，又是为升入初中继续学习数学做准备。有着承上启下的作用。作为教师既要教知识又要教方法。

我们知道数的扩充是数学发展的必然结果。毕达哥拉斯说：“数统治着宇宙。”这足以看出数的地位。从“摆放石子”到“结绳记事”，从自然数到整数再到有理数等等，直到现在，数学家们认为数的概念还会不断发展。数的范围被扩充了，人们的计算更方便了。北师大版教材在此处也及时地给出了下面的两段文字：

数的扩充（一）

在早期，人们为了表示人数、猎物的多少，产生了数的需求，慢慢地自然数产生了；

随着活动范围的扩大，人们又提出许多新的数学问题，比如。“半个苹果”就不能用自然数表示其数量，必须创造新数。人们又引入了分数……现实生活中有不足、亏欠，又产生了负数。

数的扩充（二）

从数的运算来看，任何两个正整数相加，结果仍然是正整数。我们说加法运算在正

整数范围内是“通行无阻”的。但是，任何两个正整数相减，结果却不一定是正整数，有了0和负数，减法运算在整数范围内与就没有“障碍”了。同样，一个整数乘一个整数，结果还是整数；但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是有了分数……由此可见，满足运算的需要，是数的扩充的另一个重要原因。

这两段文字简明扼要地将数的扩充讲述的淋漓尽致，如何与教学相结合，我在备课过程中着实下了一番功夫。

根据课前调查，我发现学生对数的认识模糊不清，于是有了辨析数的教学环节，使得学生能进一步了解数的两段文字对小学生来说又过难，所以在教学中，将史料的难点分散，用图片和例子这两种学生喜闻乐见的方法呈现，增加时效性和趣味性。具体实施收到了较好的效果。

2．挖掘史料深层的作用

回想起来，我开始运用史料进行教学的时候，只是表面的介绍或讲解。例如，在“分数的初步认识”中介绍分数书写的演变，或在讲加减法时介绍加号、减号的由来，等等。当然这种表层的运用是可以增加知识的趣味性，调节枯燥的课堂气氛的，是一些史料介绍的必然途径。然而，在研究了大量的史料的基础上，我逐渐发现史料中所蕴涵的深层的东西更应该好好地挖掘，往往表面知识的背后隐藏着知识的本质属性。美国著名数学史家克莱茵所著的《古今数学思想》一书中，有这样的观点：个人学习数学的过程，与人类整体数学的发展史类似；个人学习数学遇到的困难和问题，历史上许多大数学家同样遇到。是的，无论是自己学习，还是在教别人学习的过程中，我们都会有同样深刻的感受。而三维目标中的二维目标——过程与方法，不就是要让学生体验知识的形成过程及其背后深刻的数学思想与数学方法吗？所以，挖掘史料深层的东西是实现二维目标的一个有效途径。例如，一年级《11～20各数的认识》的教学设计中，要渗透位值制，渗透十进制。将十进制的原则直白地告诉他们，显然对于一年级的孩子是不好理解，但是如果换种方法也许就可以达到目的。我是这样处理的：

数学离不开数。你以前学过哪些数？（随着学生的回答，教师同时出示卡片贴在黑板上0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10）

这几个数中，有一个与众不同，你认为是谁？并说说你觉得它什么地方与众不同？（书写）

学生发言后教师小结：与众不同的理由很多，0～9这十个数都是由一个符号表示的，而“10”是由1和0两个符号联合表示的。看来这个“10”在书写上的确与众不同。[把“10”的卡片单独放一边，一会用来写数位。]

这些数中，谁最大？其实比10大的数还有很多，今天我们再来认识其中的几个。（贴：11～20卡片。）

想一想，这个“～”代表哪些数，11～20包括哪些数呢？（随着学生回答，将活动卡片拆开）。那11～20其实指的是这些数。谁能再读一读？接着教师提出一个关键性的问题：

在刚才大家读的过程中，我发现这几个数（指11～19）你们都读十几。比如，13。“3”我看见了，“10”再哪呢？是不是藏起来了？藏在哪呢？

这样的设计不仅仅是尊重学生的认知基础，更重要的是挖掘十进制的本质，真正让学生感受到“数在不同的位置表示的大小不同”的道理，即位值原理。

（二）教学过程巧用数学史

1．抓住史料最佳的处理

可用的史料随处可见。怎样用，很有讲究。用好了是寻根的过程，用不好还有卖弄的嫌疑。

例如，北师大版二上四单元“分一分与除法”的第四课时“分香蕉”一课。“分香蕉”这个活动，主要是引入除法算式表示平均分香蕉的具体操作过程及结果，并使学生知道除法算式中各部分的名称和意义，这就是把直观操作符号化、数学化，使学生初步理解除法意义的过程。

除号的历史很容易找到，有两种用法：①教师告诉孩子，表示平均分可以用除法，这就是除号，接着介绍除号的历史；②“把12根香蕉平均分成几分，你有几种分法？”教师在学生汇报各种分法后提出：快速记录每一种分法。其目的是让学生在具体活动中充分感受简洁表达的必要性，进而再来介绍除号，并说明除号发明者之所以用这样的符号的用意，学生一旦明白除法算式不过是“平均分”具体操作过程的符号表示，体会到这是数学化的过程，也就认识到了除法的意义。我想只有数学的“根”被充分暴露出来，实现教学目标中的二维目标——“过程与方法”才不会是一句空谈。

2．利用史料灵活的呈现

刚才课前给学生讲的是关于数学家的一则有趣的故事，故事的内容很容易理解，但里面却蕴涵着深刻的数学哲理。

同样是这个故事，我在一年级教学“0的认识”一课时，也在开篇讲了，大多数孩子会意的笑了，0的教学就在孩子们的笑声中展开了。

再如，小学阶段有几处极限思想的渗透，如圆面积公式的推导，教师经常采用的是割拼成长方形、平行四边形等图形，再来求面积，但每每总有学生强调“无限接近”不等于“就是”，不承认最后推导出来的就是求圆面积的准确方法，还有关于“0.9999……”与1的关系。

德国数学家希尔伯特讲过一个既有趣又意味深长的故事，恰恰为我们解决这个难题提供了强有力的方法，学生对有限与无限的理解会更加深刻。这段资料既可以在四年级学生学习循环小数时讲，又可以在学习圆面积公式之前讲。

希尔伯特说，自己开了一家旅馆，他的旅馆里有无限多个房间，正整数有多少个，这个旅馆就有多少房间。由于经营有方，天天客满。有一天旅馆中已经住满了人（每个房间只能住一人），但是这时匆匆忙忙地跑来了一位客人，他说：“希尔伯特先生，全城旅馆都已经客满，我只好住到您这儿了”。怎么办呢？这时，希尔伯特聪明的女儿解决了这个问题。她让原来在1号房间的客人住2号房间，2号房间的住3号房间，依次下去，也就是说，原来住第n号房间的客人改住到第n+1号房间。请问，原来的客人，哪一位没有房间住？也许你会说，最后一个房间的客人没有房间住。可是，正整数是没有最后一个的。于是她就把腾出的第1号房间给新来的客人住。就这样，用同样的方法陆续的安排了许多零散的旅客。

希尔伯特借这个故事引出了数学上“无限”的概念。这一概念对于数学学科的重要性，可以这样形容：如果没有它，我们就很难想像数学将如何存在。只要会数数的人都知道，每一个正整数都有唯一的一个后继者，直至无限。所以，每个房间号后面都会有一个房间号相随，直至无限。

实践证明，选择合适的时机将史料灵活呈现，会帮助我们教师及时呈现数学的“根”。

有些史料的运用是随机生成的。例如，在一年级“进位加法”的教学中，有学生提出：为什么“满十进一”？多好的问题！当时我确实在备课时没有预设到学生能提出这样的问题，可以说，我小瞧了孩子！但我随机讲了古人数数的方法，告诉他们十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有十个手指这样一个解剖学事实的结果。如果人类天生有十二个手指，今天我们就会“满十二进一”了。学生听了哈哈大笑，在笑声中逐步有了找“根”的萌芽。

（三）教学延伸了解数学史

“精彩2分钟”是我校课堂文化的亮点，是学生展示课外学习成果的主阵地。学生利用数学课前的“精彩2分钟”介绍他们所了解的简单的数学史知识和数学故事，让每一位学生都能体尝“一个苹果”换回“一筐苹果”的滋味。但是这种寻“根”的学习方法，是需要逐步培养的。在一年级，我专门设立了“精彩数学我来讲” 活动，并且教师身先示范作为其中一员也来参与，“以参与求体验”成为我们师生共同发展的阶梯。

例如，在一年级教学“找规律”一课时，在课的结尾，我引用了数学史中著名的“斐波那切数列”，即“兔子数列”。通过介绍“斐波那切数列”和“斐波那切螺旋”在大自然中的体现，让学生感受数学的价值，同时渗透数学文化，培养学生发现和欣赏数学美的意识，并让学生在课后继续寻找生活中的规律，继续感受数学的魅力。

三、注意把握的问题

一是要坚持为教学中心内容服务。我始终明确，坚持讲数学史知识是为了帮助学生更好的理解数学知识，不能为了讲史而讲史。要处理好史与教材的关系，手段与目的的关系，不能仅仅因为爱听就讲，不能舍本逐末。

二是要精选数学史知识。小学数学教学中涉及到许许多多数学史知识，全讲显然不现实，也没有必要。这就涉及到精选、选精的问题。如何选择数学史知识点，概括地说是典型的，易接受的，感兴趣的，应用性强的。

三是要揭示问题实质所在。要使学生更好地了解数学知识，就应该让他们知道这些知识的发展变化的脉络和过程。

四是要确保传授知识的准确性。我感到，既然是搬进课堂的内容，就是重要的。不能因为数学史知识是辅助教学内容，就凭印象说，甚至信口开河。我坚持做到拿不准的，一定要查阅资料，一定要搞准，要对学生的一生负责。具体的年代、人名等细节地方都要搞准。

四、一点感悟

整个研究过程对我而言，也是自我锻炼和提高的过程。回想这些年来，如果没有坚持这么做，没有资料的积累和思考，也不会形成著作并出版，自己的教学研究能力不可能提高得这么快。在课堂教学中仅仅是增加了一点点内容，乍看起来很小的一件事，但我感到，可以把这件事看作是一条渠道，一种方法，一个抓手，可以提高教师的业务能力。由此可以看出，有时教学改革的一小步，可能就是教师业务能力提高的一大步。不管这种改革是自上而下组织的，还是自我慢慢探索的。

以上是我在教学中渗透数学史的一些做法，当然还有待于进一步研究和完善，有不妥之处还恳请各位专家及同仁们给予指正。今后我会继续注意在工作中加强数学史的学习，注意把收集的数学史料恰当地运用到实际工作中去，力争在近两年完成“数学史相关课例集锦”。在教有“根”的数学的同时，实现“自我超越”，实现“职业价值与生命价值的完美统一”。