数学与人类文明(二)

管季超.

亚里士多德在数学领域里最重要的贡献是将数学推理规范化和系统化，其中最基本的原理是矛盾律——一个命题不能既是真的又是假的，和排它律——一个命题要么是真的，要么是假的，两者必居其一，这两条早已成为数学证明的核心。在哲学领域，亚里士多德最大的贡献在于创立了形式逻辑学，尤其是俗称三段论的逻辑体系，这是他百科全书式的众多建树中的一个支柱。形式逻辑被后人奉为推理演绎的圭臬，在当时，则为欧几里德几何学奠定了方法论的基础，后者是希腊数学黄金时代的标志性成就。
三、亚历山大学派
1、《几何原本》
比起我们前面讲到的人物来，欧几里得出生要晚许多，但却没有留下任何生活细节或线索。我们甚至不知道他到底出生在哪个洲，欧洲、非洲还是亚洲？至于他的生卒年我们更是无从知晓。我们只知道，他曾在雅典的柏拉图学园学习，后来（大约在公元前300年前后）受聘来到埃及的亚历山大大学数学系任教，并留下一部《几何原本》的数学著作。由于这部书作为教科书被广泛地使用了两千多年，加上几何学和数学对人类智慧的重要性，他被认为是所有纯粹的数学家中对世界历史的进程最有影响力的一位。
现在我必须要介绍一下亚历山大这座城市。在伯罗奔尼撒战争以后，希腊处于政治上的分裂时期，北方的马其顿人乘虚而入，不久便攻陷了雅典。等到年轻的亚历山大继承了王位，在为希腊的文明所折服的同时，他开始实施征服世界的野心，在他的军队取得节节胜利的同时，也选择良好的位置建造一座座新的城市。当亚历山大占领埃及之后，便在地中海边的一个地方（开罗*西北方向两百多公里处）建起一座以他自己名字命名的城池，那是在公元前332年。他不仅请来最好的建筑师，还亲自监督规划、施工和移民。
9年以后，亚历山大远征印度回来，在巴比伦暴病身亡，年仅32岁。之后，他的庞大帝国一分为三，但仍然联合在希腊文化的旗帜下。等到托勒玫统治埃及，他便把亚历山大定为首都。为了吸引有学问的人到这座城市来，他下令建立了著名的亚力山大大学，其规模和建制堪与现代大学相比。该大学的中心是大图书馆，据说藏有60多万卷纸草书。那以后，亚历山大便成为希腊民族精神和文化的首都，持续了将近一千年。直到19和20世纪，希腊最负盛名的现代诗人卡瓦菲仍选择在亚历山大度过大半生。

管季超.

（*虽说开罗的历史只有1300多年，但它的近郊已经毁坏的孟菲斯五千年前就曾是座大都市，尼罗河在此分成两个支流注入地中海，其中一条就叫罗塞塔。）
2、阿基米德
欧几里得来到亚历山大大学以后，使得该校数学系名声大震（他可能是系主任），引来各方青年才俊，其中最著名的要数阿基米德（Archimedes，公元前287-前212）。由于有多位罗马历史学家描述记载，阿基米德的生卒年较其他数学家更为可靠。他出生在西西里岛东南的叙拉古（又译锡拉库萨），与国王、王子或亲戚或朋友，其父是天文学家。早年阿基米德在埃及跟随欧几里得的弟子学习，回到故乡以后仍然和那里的人们保持密切的通信联系（他的学术成果多半通过这些信件得以发表和保存），因此可以算是亚历山大学派的成员。
阿基米德的著述甚丰，且多为论文手稿而非大部头著作的形式，这也可谓是数学史上的第一人。这些论著的内容涉及数学、力学及天文学，流传至今的几何学方面的有《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论球和圆柱》、《论劈锥曲面和旋转椭球》、《论平面图形的平衡或重心》，力学方面的有《论浮体》、《处理力学问题的方法》，还有一部给小王子写的科普著作《沙粒的计算》（长大后他善待了阿基米德）。此外，他还有一部仅存拉丁文的著作《引理集》和一部用诗歌语言写的《牛群问题》，标题是给亚历山大数学家埃拉托色尼的信。
在几何学方面，阿基米德最善长探求面积和体积及其相关的问题，这方面他胜过欧几里德一筹。例如，他把穷竭法用于计算出圆的周长，他从圆内接正多边形着手，随着边数的逐渐增加，计算到96边时得到了圆周率的近似值22/7，这个值准确到小数点后两位，即3.14，那是公元前人类所获得的圆周率最好的结果。用类似的方法他还证明了，球的表面积等于大圆的四倍，这样一来，球表面积的计算公式也有了。
可是，穷竭法只能严格证明已知的命题，却不能用来发现新的结果，为此阿基米德发明了一种平衡法，其中蕴涵着极限的思想并借助了力学上的杠杆原理，同时它是近代积分学里微元法的雏形。例如，球的体积公式（r为圆半径）
V =（4/3）лr^3
就是阿基米德用这个方法首先推算出来的，接着他用穷竭法给出了证明。这种发现和求证的双重方法无疑是阿基米德的独创，用这个方法他还得到，抛物线上的弓形面积与其相应的三角形面积之比为4 : 3，等等。

管季超.

与欧几里得相比，阿基米得可以说是应用数学家，这方面有许多故事。古罗马的建筑学家维特鲁威有一部10卷本的《建筑学》，其主要理想是在神庙和公共建筑中保存古典的传统。这部书的第9卷记述了一则传诵千古的轶事，随着叙拉古国王的政治威望日益高涨，他为自己定做了一顶金皇冠。完工之后，却有人揭发说里面掺入了银子。国王只得邀请阿基米德来鉴定，一日他正苦闷着，在浴盆地泡澡，忽然觉得身体轻盈起来，原来是水溢出了盆面。阿基米德恍然大悟，发现固体的体积可放入水中得以测量，由此可以判断其比重和质地。
更有意义的是，经过反复实验和思考以后，阿基米德还发现了流体力学的基本原理（又称浮体定律）：物体在流体中减轻的重量，等于排去的流体的重量。又据希腊最后一位大几何学家帕波斯记载，阿基米德曾宣称，“给我一个支点，我可以移动地球！”据说为了让人相信这点，他曾设计一组滑轮，使得国王亲手移动了一艘三桅大帆船。国王佩服得五体投地，当即宣布，“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信。”即便在今天，通过巴拿马运河或苏伊士运河的巨轮，依然依靠有轨的滑轮车推动。
其实，阿基米德之所以发出那样的豪言壮语，是因为他发明并掌握了杠杆原理。不仅如此，他还用他的智慧和力学知识保卫故乡，最后为国捐躯。事情是这样的，叙拉古的近邻迦太基*由于商业和殖民利益上的冲突，在公元前3世纪和2世纪与罗马人发生了三次战争，史称布匿战争，布匿（Punic）是由腓尼（Poeni）转化而来。其中第二次战争把与迦太基人结盟的叙拉古人也卷了进来。公元前214年，罗马军队包围了叙拉古。
叙拉古人先是用阿基米德发明的起重机之类的家伙把靠近岸边或城墙的船只抓起来，再狠狠地摔下去。又用强大的机械把巨石抛出去，形同暴雨，打得敌人仓皇逃窜。还有一种夸张的说法，阿基米德用巨大的火镜反射阳光焚烧敌船，不过另一种说话更加可信，即将燃烧的火球抛向敌船使之着火。最后，罗马人改用长期围困的策略，叙拉古终于因粮尽弹绝而陷落，正在沙盘上画图的阿基米德也被一名莽撞的罗马士兵用长矛刺死。阿基米德之死标志着希腊数学和灿烂文化走向衰败的开始，从此以后，罗马人开始了野蛮和愚昧的统治。
（*古代国名，由腓尼基人建立，以今北非突尼斯为中心，鼎盛时期领土东起西西里，西达摩洛哥和西班牙。）

管季超.

3、其他数学家
正当罗马人攻陷叙拉古之时，亚历山大学派的另一位代表人物阿波罗尼奥斯也快完成了一生的主要工作。他出生在小亚细亚，约比阿基米德年轻25岁，早年也在亚历山大大学学习数学，后来回到故乡，晚年又复返亚历山大，并卒于该城。阿波罗尼奥斯最主要的贡献是写出了一部《圆锥曲线论》，今天我们熟知的椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola）和抛物线*（parabola）便首次出现在这部书里。
阿波罗尼奥斯的圆锥是这样定义的，给定一个圆和该圆所在平面外面的一点，过该点和圆上的任意一点可连成一条直线（母线），让这根直线移动即得到所要的圆锥。然后，用一个平面去截圆锥，如果这个截平面不与底圆相交，所得的交线就是一个椭圆。如果相交但不与任何一条母线平行，所得的交线就是一条双曲线。如果相交且与其中一条母线平行，所得的交线就是一条抛物线。此外，他还研究了圆锥曲线的直径、切线、中心、渐进线、焦点，等等。
阿波罗尼奥斯用纯几何的方法得到了将近两千年以后解析几何的一些主要结果，不禁令人赞叹。可是说，他的《圆锥曲线论》达到了希腊演绎几何的最高成就，因此他和欧几里得、阿基米德被后人合称为亚历山大前期的三大数学家，他们共同造就了希腊数学的“黄金时代”。在这以后，随着罗马帝国的扩张，雅典及其他许多城市的学术研究迅速枯萎了，可是由于希腊文明的惯性影响，尤其是罗马人对稍远的亚历山大里亚自由思想的宽松态度，那里仍产生了一批数学家和了不起的学术成果。
亚历山大后期的数学家在几何学方面贡献不大，最值得一提的是海伦公式（数学家海伦而非美女海伦），即设三角形边长依次为a、b、c，s = (a+b+c)/2，则其面积Δ为，
Δ= 根号 s(s-a)(s-b)(s-c)
后来人们才知道，这个公式是阿基米德发现的，但却没有收入他现存的书里。相比之下，三角学的建立更值得称道，这方面的工作收在一部天文学著作《天文学大成》里，作者是一位与国王托勒玫同名的数学家、地理学家和天文学家，此书因为提出“地心说”而在整个中世纪成为西方天文学的经典。当然，他出世时托勒玫王朝已经落幕。几何学中所谓的“托勒玫定理”是这样陈述的：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对边长乘积之和。
不过，亚历山大后期希腊数学的一个重要特点是，突破了前期围绕着几何学的传统，而使算术和代数成为独立的学科。希腊人所谓的“算术”（Arithmetic）即今天的数论（number theory），不过这个词仍沿用至今，波兰的《数论学报》即取名Acta Arithmetic。《几何原本》之后，数论领域的代表著作当数丢番图的《算术》，其全译本书通过阿拉伯文转译的。书中以讨论不定方程的求解著称，此类方程又称丢番图方程，是指整系数的代数方程的整数解，一般来说，未知数的个数要多与方程的个数。

管季超.

（*这三个名词的中文译名是由清代数学家李善兰率先使用的（1859），那一年〈物种起源〉正式出版。）
这本书中最有名的问题是第2卷问题8，丢番图这样表述：将一个已知的平方数表为两个平方数之和。17世纪的法国数学家费尔马在阅读此书的拉丁文译本时添加了一个注释，引出了后来举世瞩目的“费尔马大定理”。同样有趣的是丢番图的生平，一般认为他生活在公元250年前后。在6世纪元年前后收集的一本《希腊诗选》，其中有一首恰好是丢番图的墓志铭，
坟墓里边安葬着丢番图，
多么让人惊讶，
他所经历的道路忠实地记录如下：
上帝给予的童年占六分之一，
又过了十二分之一，两郏长须，
再过七分之一，点燃起婚礼的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及父亲的一半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用整数的研究去弥补，
又过了四年，他也走完了人生的旅途。
这相当于解方程
x/6 + x/12 + x/7 +5 +x/2 +4 = x
答案是：x = 84。由此人们便知他活了84岁。到了帕波斯生活的年代，中国数学家刘徽已在世。和丢番图一样，帕波斯也有一本传世著作《数学汇编》，此书被视为希腊数学的安魂曲。其中最突出的结论是：在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大，这个问题已涉及极值问题。书中还给出了解决倍立方体问题的四种尝试，其中第一种尝试是由公元前三世纪的埃拉托色尼给出的，此人是个大学问家，有“柏拉图第二”的美誉，但他无疑更多才多艺，同时还是一位诗人、哲学家、历史学家、天文学家和五项全能运动员。
数论中有所谓埃拉托色尼筛法，提供了制造素数表的最初方法，有关偶数哥德巴赫猜想的研究主要依赖于这种方法及其变种。他还是第一个较为精确地计算出地球周长的人，而他在亚历山大大学的同事阿基米德所得结果却相去甚远。埃拉托色尼最有实用价值的工作是，他率先划分出地球的五个气候带，这种划分沿用至今；他在分析比较了大西洋和印度洋的潮涨潮落之后，断定它们是相通的，也就是说，可以从海上绕过非洲，这为15世纪末葡萄牙人达·伽马从水陆到达印度提供了理论依据。
四、结束语
从以上论述中我们不难发现，希腊数学有两个显著的特点，一是抽象化和演绎精神，二是它与哲学的关系非常密切。如果说埃及人和巴比伦人所积累的数学知识就像空中楼阁，或由沙子砌成的房屋，一触即溃。那么希腊人建造就是一座座坚不可摧的、永远的宫殿。如同音乐爱好者将音乐视为结构、音程和旋律的组合一样，希腊人也将美看作是秩序、一致、完整和明晰。柏拉图说了，“无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善并使之完美无缺。”

管季超.

可以说，希腊人是天生的哲学家，他们热爱理性，爱好精神活动，这就使得他们与其他民族有了重要的区别。从公元前6世纪米利都的泰勒斯到公元前337年柏拉图去世，是数学和哲学的第一个蜜月，数学家和哲学家甚至同为一个人。说起希腊哲学，它的一个显著特点是把整个宇宙作为研究对象，也就是说，哲学是包罗万象的。这与那时候数学的发展处于初级阶段有关系，数学家只能讨论简单的几何学和算术，对运动和变化无能为力（因此才有了芝诺的悖论），哲学家就只好担当起重任。
可是，随着希腊诸城邦被马其顿控制（公元前338年），希腊数学中心从雅典转移到了地中海南面的亚历山大城，数学和哲学的蜜月就结束了。尽管如此，这一曾经有过的奇妙结合还是催生了一部堪称古代世界逻辑演绎最高结晶的书——欧几里得的《几何原本》。这部书的意义不仅在于贡献了一系列美妙的定理，更有价值的是孕育出一种理性的精神。可以说，后世一代代西方人正是从这部著作里学会了怎样进行无懈可击的推理。
由于希腊当时有许多原住民和被文明吸引过来的外来奴隶，他们负责耕种土地、收获庄稼，从事城邦里各项具体的劳动和杂务，使得许多人有闲从事唯理主义的思考和探讨。但终归，这样的生活在物质并非十分富足的情况下不会持久。讲究实效的罗马最后取代了精神至上的希腊，正如很久以后，热衷于物质进步的美国取代了理想主义的欧洲一样。公元415年，人类第一个有记载的女数学家希帕蒂娅在她的故乡亚历山大被一群暴徒残杀，宣告希腊文明难以避免最后衰败的结局。
希帕蒂娅的父亲是最权威的《几何原本》版本的注释者，她本人也是丢番图的《算术》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》的注释者，同时又是亚历山大城新柏拉图主义哲学家的领袖，据说以其美貌、善良和非凡的才智吸引了大批崇拜者。可惜，希帕蒂娅的所有注释本均已遗失，我们甚至不知道她是否写过哲学著作，只留下她的学生写给她的信件，信中向她讨教如何制造星盘和水钟的问题。
在希腊文明全身隐退之后，无论是在罗马统治时期，还是在漫长的中世纪（后面两章我们将会看到，这为几个东方古国再度登上世界历史的舞台提供了契机），数学与哲学都渐行渐远。直到16世纪，“意大利人文主义思想尤其强调了毕达哥拉斯和柏拉图的数学传统，世界的数字结构再次受到重视，从而取代了曾使之黯然失色的亚里士多德传统。”（罗素语）而到了17世纪，随着微积分学的诞生，哲学和数学再次得以靠拢，不过哲学的主要研究目标已缩小成为“人怎样认识世界”了。

管季超.

蔡天新，浙江大学数学系教授、博士生导师。先后主持多项数论、数学史方向的国家自然科学基金和外国文学方向的国家社会科学基金，并为《读书》、《南方周末》等报刊撰写了大量的科学随笔和文化批评。新近承担国家级规划教材《数学与人类文明》的写作和同名通识课程的教学工作，已出版诗集、随笔集、译作集、传记等十多种和数种外版著作。