中学数学思想方法概述
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方法是一个元概念,它和点、线、面、体、运动、集合等概念一样,不能逻辑地定义,只能概略地描述。例如,可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。这里的“方式”、“手段”、“途径”,与“方法”大体上是“同义词”,并非是严格的逻辑定义。 人们对“方法”的含义,从未有很大的争论。一般认为,方法是相对于某一目的而言的,方法是人的一种活动,人在活动中为达到某一目的,可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行。 人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为“数学活动”。数学方法,顾名思义,就是人们从事数学活动时所用的方法。数学方法论则是对古今数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。 现在再来谈一谈数学思想和数学方法之间的关系。数学思想,尚不成为一种专有名词,人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说,将思想换成方法同样适用。一般地说,数学思想是人们对数学内容的本质认识,是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括,属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段,具有“行为规则”的意义和一定的可操作性。同一个数学成果,当用它去解决这个别问题时,就称之为方法;当论及它在数学体系中的价值和意义时,就称之为方法;当论及它在数学体系中的价值和意义时,就称之为思想。例如“极限”,用它去求导数、求积分时,人们就说极限方法。当我们讨论它的价值,即将变化过程趋势用数值加以表示,使无限向有限转化时,人们就讲“极限思想”了,为了将这两重意思合在一起说,于是也有“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的提法。M.克莱因(M.Klein)的巨著《古今数学思想》,其实说的都是“古今数学方法”,只不过从数学史角度看,人们更加注重那些数学大师们的思想贡献、文化价值,因而才称之为数学思想。 总之,欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。因此,人们常常对这些两者不加区分,而统称为数学思想方法,这样会显得更为方便。 现在我们对数学思想方法作进一步的阐述。 数学思想方法是在数学科学的发展中形成的,它伴随着数学知识体系的建立而确立,它是数学知识体系的灵魂。 数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法,它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分,含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点,它的内容是随数学内容的发展而发展的,不是一成不变的。 在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢? 《大纲》在初中代数的教学要求中指出:“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法,解决某些数学问题,理解‘特殊一般特殊’、‘未知已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法。”又指出要“使学生了解已知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量等辩证关系,以及反映在函数概念中的运动变化观点。了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点。
《大纲》在初中几何的教学要求中指出要“逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力,逐步使学生掌握简单的推理方法,从而提高学生的思维能力。”“……几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化,对学生进行辩证唯物主义的教育。” 我们认为数学思想方法,从接受的难易程度的角度可分为三个层次: 一是基本具体的数学方法,如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等; 二是科学的逻辑方法,如观察、归纳、类比、抽象概括等方法,以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法; 三是数学思想,如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。 数学思想方法还可以按其它方式进行分类。例如,胡炯涛在《数学教学论》中认为:最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点,整个中学数学的内容均循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”,“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指:渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面的内容:符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。 又如,任子朝在《改进高考命题推理素质教育》一文中认为数学思想方法包括:数形结合的思想,分类讨论的思想,函数与方程的思想,化归与转化的思想;逻辑学中的方法:分析法、综合法、反证法、归纳法;具体数学方法:配方法、换元法、待定系数法、同一法等。第二节 中学数学思想方法概述 方法是一个元概念,它和点、线、面、体、运动、集合等概念一样,不能逻辑地定义,只能概略地描述。例如,可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。这里的“方式”、“手段”、“途径”,与“方法”大体上是“同义词”,并非是严格的逻辑定义。 人们对“方法”的含义,从未有很大的争论。一般认为,方法是相对于某一目的而言的,方法是人的一种活动,人在活动中为达到某一目的,可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行。 人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为“数学活动”。数学方法,顾名思义,就是人们从事数学活动时所用的方法。数学方法论则是对古今数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。 现在再来谈一谈数学思想和数学方法之间的关系。数学思想,尚不成为一种专有名词,人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说,将思想换成方法同样适用。一般地说,数学思想是人们对数学内容的本质认识,是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括,属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段,具有“行为规则”的意义和一定的可操作性。同一个数学成果,当用它去解决这个别问题时,就称之为方法;当论及它在数学体系中的价值和意义时,就称之为方法;当论及它在数学体系中的价值和意义时,就称之为思想。例如“极限”,用它去求导数、求积分时,人们就说极限方法。当我们讨论它的价值,即将变化过程趋势用数值加以表示,使无限向有限转化时,人们就讲“极限思想”了,为了将这两重意思合在一起说,于是也有“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的提法。M.克莱因(M.Kle in)的巨著《古今数学思想》,其实说的都是“古今数学方法”,只不过从数学史角度看,人们更加注重那些数学大师们的思想贡献、文化价值,因而才称之为数学思想。 总之,欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。因此,人们常常对这些两者不加区分,而统称为数学思想方法,这样会显得更为方便。 现在我们对数学思想方法作进一步的阐述。 数学思想方法是在数学科学的发展中形成的,它伴随着数学知识体系的建立而确立,它是数学知识体系的灵魂。 数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法,它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分,含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点,它的内容是随数学内容的发展而发展的,不是一成不变的。 在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢? 《大纲》在初中代数的教学要求中指出:“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法,解决某些数学问题,理解‘特殊一般特殊’、‘未知已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法。”又指出要“使学生了解已知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量等辩证关系,以及反映在函数概念中的运动变化观点。了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点。 《大纲》在初中几何的教学要求中指出要“逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力,逐步使学生掌握简单的推理方法,从而提高学生的思维能力。”“……几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化,对学生进行辩证唯物主义的教育。” 我们认为数学思想方法,从接受的难易程度的角度可分为三个层次: 一是基本具体的数学方法,如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等; 二是科学的逻辑方法,如观察、归纳、类比、抽象概括等方法,以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法; 三是数学思想,如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。 数学思想方法还可以按其它方式进行分类。例如,胡炯涛在《数学教学论》中认为:最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点,整个中学数学的内容均循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”,“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指:渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面的内容:符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。 又如,任子朝在《改进高考命题推理素质教育》一文中认为数学思想方法包括:数形结合的思想,分类讨论的思想,函数与方程的思想,化归与转化的思想;逻辑学中的方法:分析法、综合法、反证法、归纳法;具体数学方法:配方法、换元法、待定系数法、同一法等。 |