数学笑话十则

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数学笑话十则

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1.四舍五入
仔仔兴高采烈地从学校里回来，问妈妈：“爸爸呢？”
妈妈看到仔仔兴奋的样子，奇怪地问：“爸爸在家，你找爸爸做什么？”“我向爸爸要5角钱。”
“为什么？”妈妈问道。
“在考数学以前，爸爸对我说‘如果考了100分，就给我1元钱，考80分给8角。’今天，我数学考了45分。“仔仔回答说。
妈妈吃惊地问：“什么！数学才考45分？”
仔仔得意地说：“是呀，数学上要四舍五入，因此，爸爸必须付5角钱。”
2.乘法分配律
老师发现一个学生在作业本上的姓名是：木（1+2+3）。
老师问："这是谁的作业本？"
一个学生站起来："是我的！"
老师："你叫什么名字？"
学生："木林森！"
老师："那你怎么把名字写成这样呢？"
学生："我用的是乘法分配律！"
3.数字是不会骗人的
“数字是不会骗人的，”老师说：“一座房子，如果一个人要花上十二天盖好，十二个人就只要一天。二百八十八人只要一小时就够了。”
一个学生接着说：“一万七千二百八十人只要一分钟，一百零三万六千八百人只要一秒钟。此外，如果一艘轮船横渡大西洋要六天，六艘轮船只要一天就够了。四杯２５度的水加在一起就变开水了！数字是不会骗人的！”
4、作文成绩
语文作文课上，老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了，一学生发现自己只写了250字，灵机一动，在文章最后一行写了“上述内容×2”。
几天后，作文本发下来了，在成绩的位置上赫然出现“80÷2”。
5. 0的本领

有一次，９轻蔑地对０说：「你的本领，只有０」。
０低着头，恭敬回答说：「我承认。您真使我钦佩，因为，你的本领，是我的一万倍（即０*10000）」。
９愚蠢得意地昂首阔步。不过，却引来其它数字哈哈大笑。
6.十一点半
上午第四节课，A生肚子饿，无心听课，坐在位置上呆呆地想着牛肉，面包。
数学老师发现他走神，便提问他：“1.130小数向右移动一位，将会怎么样？”
A生毫不犹豫地回答：“将会开午饭！”
7.概率
我去参观气象站，看到许多预测天气的最新仪器。
参观完毕，我问站长：“你说有百分之七十五的概率下雨时，是怎样计算出来的？”
站长不必多想便答道：“那就是说，我们这里有四个人，其中三个认为会下雨。”
8.左右分开
老师出了一道题：8÷2=？
随后问大家："8分为两半等于几？"
皮皮回答："等于0！"
老师说："怎么会呢？"
皮皮解释："上下分开！"
丁丁说道："不对，等于耳朵！"
老师："哦？"
丁丁回答："左右分开呗！"
9.去学习
一学生把硬币抛向空中：“正面朝上就去看电视，背面朝上就去打游戏，如果硬币立起来，我就去学习。”
10.关于时间的问题
在一堂数学课上,老师问同学生们:"谁能出一道关于时间的问题?"话音刚落,有一个学生举手站起来问:"老师,什么时候放学?"

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数学思想和数学方法
知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和，它是人类文化的核心内容。在数学学科中，概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属于知识的范围。这些知识要素也都有其本身的内容。问题是，这丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西?实践和研究都已说明：这就是数学思想和数学方法。它们是知识中奠基性的成分，是人们为获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的(请注意这里的“法则”中还含有“法”字)。它们是人类文化的重要组成部分之一棗数学文化的核心内容即知识中的核心，也就是数学文化的“重中之重”。因此，把思想、方法归属于知识的范围，比起把知识、技能和方法三者并列起来更为科学。
能力是指主体能胜任某项任务的主观条件。在数学学习中，学生的数学能力与他们的知识基础和心理特征有关。技能是指依据一定的规则和程序去完成专门任务(解决特定的问题)的能力。显然，技能和能力都与知识密不可分；但学生在任务(问题)面前如何对知识和运用这些知识的途径进行选择，使得完成任务(解决问题)达到多快好省，则是一项超越知识本身的心理活动。因此，把知识、技能和能力三者并列起来是合理的；但也应看清楚，这三者的顺序是由低到高，在教育、教学的意义下是后者更重于前者。
一、历史的回顾
我国的中学数学教学大纲，对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有一个从低到高的过程。
由中华人民共和国教育部制订、1978年2月第1版的《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中首次指出：“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去，这样，有利于加深理解有关教材，同时也为进一步学习作准备。”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规定。
由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的《全日制中学数学教学大纲》，在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中，把上述大纲的有关文字改成一句话：“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时，维持了这一规定。
由中华人民共和国国家教育委员会制订、1992年6月第1版的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》，在第1页“教学目的”中规定：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这份大纲还第一次把资深的数学工作者们熟知的提法“数学，它的内容、方法和意义”改为数学的“内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分”，并把这段话放入总论的第一段。在第9页上又指出，要“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解‘特殊棗一般棗特殊’、‘未知棗已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法”；在第6页上还指出，“要注意充分发挥练习的作用，加强对解题的正确指导，应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。”
由国家教育委员会基础教育司编订、1996年5月第1版的《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用)》，在第2页“教学目的”中也规定：“高中数学的基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”在界定“思维能力”一词的四个主要层面时，指出第三层面是“会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点”；第四层面是“能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质”。这份大纲维持了数学的“内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”的提法(第1页)；并指出数学规律“包括公理、性质、法则、公式、定理及其联系，数学思想、方法和语言”(第24页)；坚持在对解题进行指导时，应该“对解题的思想方法作必要的概括”(第25页)。这是建国以来对数学思想和数学方法关注最多的一份中学数学教学大纲，充分体现了数学教育工作者对于数学课程发展的一些共识。
二、数学思想方法
(一)思想、科学思想和数学思想
思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，如果一再被证明为正确，就可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。本文所指的思想，都是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。因此，对于学习者来说，思想就成为他们进行思维活动的细胞和基础；思想和下面述及的方法都是他们的思维活动的载体。每门科学都逐渐形成了它自己的思想，而科学法则概括出各门科学共同遵循和运用的一些科学思想。
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数学观点(例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等)和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。
数学思想是一类科学思想，但科学思想未必就单单是数学思想。例如，分类思想是各门科学都要运用的思想(比方语文分为文学、语言和写作，外语分为听、说、读、写和译，物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理学，化学分为无机化学和有机化学，生物学分为植物学、动物学和人类学等；中学生见到的最漂亮的分类应该是在学习哺乳纲动物时所出现的门(亚门)、纲(亚纲)、目(亚目)、属、科、种的分类表，它不是单由数学给予的。只有将分类思想应用于空间形式和数量关系时，才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分”作为标准，那么，当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”)，可以说是运用数学思想；当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各业分为工、农、兵、学、商等)，不应该说是运用数学思想。同样地，当且仅当哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中予以大量运用并且被“数学化”了时，它们也可以称之为数学思想。
(二)数学思想中的基本数学思想
在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，并且也是历史地形成和发展着的。
基本数学思想包括：符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，对立统一的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想(或说无限逼近思想)等。它有两大“基石”棗符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”棗对应思想和公理化与结构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程的思想”衍生于符号与变元表示的思想(函数式或方程式)、集合思想(函数的定义域或方程中字母的取值范围)和对应思想(函数的对应法则或方程中已知数、未知数的值的对应关系)。所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数学”(而不是说“初等数学”)的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。
非科学思想当然也是大量存在的。例如，“崇洋媚外”的思想就是一种非科学思想。
中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。
(三)思路、思绪和思考
我们在中学数学教育、教学中，还经常使用着“思路”和“思绪”这两个词语。一般说来，“思路”是指思维活动的线索，可视为以串联、并联或网络形状出现的思想和方法的载体，而“思绪”是指思想的头绪。“思路”和“思绪”实际上是同义词，并且它们都是名词。
那么，另一个词语“思考”又是什么意思呢?“思考”就是进行比较深刻、周到的思维活动。作为动词，它反映了主体把思想、方法、串联、并联或用网络组织起来以解决问题的思维过程。由此可见，“思考”所产生的有效途径就是“思路”或“思绪”；“思路”或“思绪”是“思考”的结果，是思想、方法的某种选择和组织，且明显带有程序性。对思路及其所含思想、方法的选择和组织的水平，反映了学习者能力的差异。
(四)方法和数学方法
所谓方法，是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算和分析，以形成解释、判断和预言的方法。
数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。
数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言，二是提供数量分析及计算的方法，三是提供逻辑推理的工具。现代科学技术特别是电脑的发展，与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成。
宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：　(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。
(2)数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。
(3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。
    (五)方法和招术
    如上所述，方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在选择并实施方法的前期过程中，反映了学习者的能力和技能的高低；而在后期过程中，只反映了学习者的技能的差异。
    所谓“招术”“招”字应正为“着”字，本文仍用传统的“一招一式”的说法。是指解决特殊问题的专用计策或手段，纯属于技能而不属于能力。“招”的教育价值远低于“法”(这里的“法”指“通法”)的价值。“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义，而“招”的“普适”要差得多；实施“招”要以能实施管着它的“法”为前提。
    例如，待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时，用待定系数法根据图象上三个点的坐标求出解析式可看作第一“招”；根据顶点和另一点的坐标求出解析式可看作第二“招”；根据与x轴交点和另一点的坐标求出解析式可看作第三“招”。这三“招”各有奇妙之处。哪一“招”更好使用，要看条件和管着它们的“法”而定。教师授予学生“用待定系数法求二次函数的解析式”，最根本、最要紧的“法旨”就在于让学生明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图象上点的横、纵坐标的对应关系；对于一般的点和特殊的点(例如顶点及与x轴的交点)，解析式可以有什么不同的反映。而这样的“法旨”，恰恰体现了对应思想和数形结合的思想。由此看来，我国古代传说中经常提到的某些师傅对待弟子“给‘招’不给‘法’”的现象，在现代的数学教育、教学中应该尽量避免。
三、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想和方法
(一)中学数学教科书中应该传授的基本数学思想
中学数学教科书担负着向学生传授基本数学思想的责任，在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。　
1.渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了，并贯彻于整个中学阶段；抽样统计思想可从初中三年级开始渗透，极限思想也可从初中三年级的教科书中安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想，要注意根据人类的认识规律，一开始就采取扩大的公理体系。例如，教科书既可以把“同位角相等，两直线平行”和它的逆命题都当作公理，也可以把判定两个三角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。
这种渗透是随年级逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏图或列举法来表示集合，不等式(组)的解集可以用数轴表示或用不等式(组)表示；高中则是列举法、描述法、文氏图三者并举，并同时允许用不等式(组)、区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想，初中只用文字、数轴或平面直角坐标系来讲对应；高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平，则是众所周知的。“渗透”到一定程度，就是“介绍”的前奏了。
    2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍(例如前四种基本数学思想)，有的则是先渗透后介绍(例如后两种基本数学思想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于：“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什么思想，而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充，也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。
    3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用，是中学数学的精髓，也最能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在于：“介绍”只要求学生知道用什么和会用，而“突出”则要求学生在此基础上进而知道选用和善用。作为补充，也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。
(二)中学数学教科书中应该传授的基本数学方法
在传授基本数学方法方面，仍如义务教育初中数学教学大纲所界定的，有“了解”、“理解”、“掌握”和“灵活运用”这四个层次。这四个层次的含义也可以遵照该大纲中的提法(第8页脚注)，新的高中数学教学大纲(供试验用。本文下面所述“高中大纲”均指此大纲)维持了这些提法(第4页脚注)。分别属于这四个层次的基本数学方法的例子有：“了解数学归纳法的原理”(高中大纲第9页)，“了解用坐标法研究几何问题”(高中大纲第10页)；“理解‘消元’、‘降次’的数学方法”(初中大纲第19页)；“掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式(高中大纲第6页)”；“灵活运用一元二次方程的四种解法求方程的根”(初中大纲第17页。四种解法指直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法)。在这方面，大纲的规定是比较明确的。
在大纲、教科书和实际教学中，有时把“思想方法”作为一个词语使用。为什么可以这样做呢?这要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时，我们常说要让学生掌握“消元”的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从“化二元为一元”的角度去分析此问题时，其方法属于“消元法”；而当我们从“代入公式直接求解”的角度去分析此问题时，就出现了“行列式法”(其实也是“代入法”)。根据这样的认识，在不少场合下笼统使用“思想方法”一词是合理的，但作为科学研究，必须把“思想”和“方法”分开予以界定。
有关数学思想和数学方法，尚是一个崭新的研究课题。以上认识涉及很多因素，有待进一步开掘。错漏之处，欢迎批评指正。

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中学数学思想方法概述
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    方法是一个元概念，它和点、线、面、体、运动、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。例如，可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。这里的“方式”、“手段”、“途径”，与“方法”大体上是“同义词”，并非是严格的逻辑定义。

　　人们对“方法”的含义，从未有很大的争论。一般认为，方法是相对于某一目的而言的，方法是人的一种活动，人在活动中为达到某一目的，可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行。

　　人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为“数学活动”。数学方法，顾名思义，就是人们从事数学活动时所用的方法。数学方法论则是对古今数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。

　　现在再来谈一谈数学思想和数学方法之间的关系。数学思想，尚不成为一种专有名词，人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。一般地说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性。同一个数学成果，当用它去解决这个别问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想。例如“极限”，用它去求导数、求积分时，人们就说极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了，为了将这两重意思合在一起说，于是也有“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的提法。M.克莱因（M.Klein）的巨著《古今数学思想》，其实说的都是“古今数学方法”，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师们的思想贡献、文化价值，因而才称之为数学思想。

　　总之，欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。因此，人们常常对这些两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。

　　 现在我们对数学思想方法作进一步的阐述。

　　数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。

　　数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。

　　 在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢？

　　《大纲》在初中代数的教学要求中指出：“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解‘特殊一般特殊’、‘未知已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法。”又指出要“使学生了解已知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量等辩证关系，以及反映在函数概念中的运动变化观点。了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点。

    《大纲》在初中几何的教学要求中指出要“逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的思维能力。”“……几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化，对学生进行辩证唯物主义的教育。”

　　我们认为数学思想方法，从接受的难易程度的角度可分为三个层次：

　　一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；

　　二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；

　　三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。

　　数学思想方法还可以按其它方式进行分类。例如，胡炯涛在《数学教学论》中认为：最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学数学的内容均循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”，“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指：渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面的内容：符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。

　　又如，任子朝在《改进高考命题推理素质教育》一文中认为数学思想方法包括：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想；逻辑学中的方法：分析法、综合法、反证法、归纳法；具体数学方法：配方法、换元法、待定系数法、同一法等。第二节　中学数学思想方法概述

　　方法是一个元概念，它和点、线、面、体、运动、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。例如，可把“方法”说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。这里的“方式”、“手段”、“途径”，与“方法”大体上是“同义词”，并非是严格的逻辑定义。

　　人们对“方法”的含义，从未有很大的争论。一般认为，方法是相对于某一目的而言的，方法是人的一种活动，人在活动中为达到某一目的，可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行。

　　人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为“数学活动”。数学方法，顾名思义，就是人们从事数学活动时所用的方法。数学方法论则是对古今数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述。

　　现在再来谈一谈数学思想和数学方法之间的关系。数学思想，尚不成为一种专有名词，人们常用数学思想来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。一般地说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性。同一个数学成果，当用它去解决这个别问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想。例如“极限”，用它去求导数、求积分时，人们就说极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了，为了将这两重意思合在一起说，于是也有“极限思想方法”、“数学思想方法”之类的提法。M.克莱因（M.Kle in）的巨著《古今数学思想》，其实说的都是“古今数学方法”，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师们的思想贡献、文化价值，因而才称之为数学思想。

　　总之，欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。因此，人们常常对这些两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。

　　现在我们对数学思想方法作进一步的阐述。

　　数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。

　　数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。

　　 在初中数学教材中蕴含着哪些数学思想方法呢？

　　《大纲》在初中代数的教学要求中指出：“使学生掌握消元、降次、配方、换元等常用的数学方法，解决某些数学问题，理解‘特殊一般特殊’、‘未知已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方法。”又指出要“使学生了解已知与未知、特殊与一般、正与负、等与不等、常量与变量等辩证关系，以及反映在函数概念中的运动变化观点。了解反映在数与式的运算和求方程解的过程中的矛盾转化的观点。

　　《大纲》在初中几何的教学要求中指出要“逐步培养学生观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括的能力，逐步使学生掌握简单的推理方法，从而提高学生的思维能力。”“……几何概念、性质之间的联系和图形的运动、变化，对学生进行辩证唯物主义的教育。”

　　我们认为数学思想方法，从接受的难易程度的角度可分为三个层次：

　　一是基本具体的数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；

　　二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；

　　三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思维及化归与转化的思想。

　　数学思想方法还可以按其它方式进行分类。例如，胡炯涛在《数学教学论》中认为：最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学数学的内容均循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想”，“集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指：渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面的内容：符号思想、映射思维、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。

　　又如，任子朝在《改进高考命题推理素质教育》一文中认为数学思想方法包括：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想；逻辑学中的方法：分析法、综合法、反证法、归纳法；具体数学方法：配方法、换元法、待定系数法、同一法等。