浅谈聋生数学发散思维能力的培养

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浅谈聋生数学发散思维能力的培养

发散思维也称求异思维、辐射思维、放射思维、扩散思维，这些名称皆来源于对“Divergent Production”的不同翻译。这种思维是指从同一来源材料出发，要求产生多种可能的答案而不是单一正确答案的思维，是开放式、分散的思维。在数学活动中，它是一种不依常规，寻求变异，从多角度、多层次、全方位去思考问题，寻求答案的优良思维品质。 发散思维具有三个基本特征：第一，思维的流畅性。指灵敏迅捷，能在短时间内表达较多的概念的心智活动的畅通度；第二是思维的变通性。指思维能随机应变，触类旁通，不局限于某一方面，也不受思维定势的消极影响；第三，思维的独创性。指用前所未有的新角度、新观点去认识事物，反映事物，对事物表现出超常的独特见解。 徐利治教授高度肯定发散思维在数学创造活动中的作用，认为“数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。按照现代心理学家的见解，一个人创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比”。由此可见发散思维是创造性思维的核心！ 因此，培养学生的发散思维能力不仅是数学教育的一项重要任务，也是现代创新教育的需要。作为数学教育工作者理应顺应时代发展的潮流，竭力把自己的课堂变成赏识学生、培养思维的场所。 思维是智力活动的核心，语言是思维的工具。然而听力损伤影响聋生语言的正常形成和发展，语言形成和发展的缓慢，又影响到聋生的思维能力，其中特别是抽象思维活动要借助语言才能进行。因此，听力残疾学生思维活动的一个显著特点，就是他们的思维活动带有明显的形象性，思维发展水平比较长地处在具体形象思维阶段，而具体形象思维阶段在人的思维发展整个历程中，属于初期阶段，我国一些心理学工作者的研究也发现，聋生在完成智力测验的试题上存在着比同龄健全学生更多的困难（除语言理解方面的困难外），即思维的深度和广度上都与健全学生有一定的差距。 因此，努力培养和提高聋生的发散思维能力，促进聋生从具体的形象思维阶段向抽象思维的高级阶段发展显得非常迫切和重要。这有利于克服聋生思维刻板与僵化，解题思路狭窄，方法单一的缺陷和题目稍有变化就不知所措的现象。也是一个值得广大同行共同去突破的一个难题。接下来本文将从四个方面谈谈培养聋生数学发散思维能力的一些途径和方法： 一、在教学中，设置未完结问题或称开放性问题的情境，是培养聋生发散思维能力的基本途径 所谓未完结（或称未终极），指的是在一定条件下，问题有几个正确答案或答案未知的问题，即结论是开放的。事实证明，实施未完结问题的教学模式，对于培养聋生的探索精神，大胆提出猜想，对于培养发散思维能力和增加聋生情感体验有极为重要的意义，特别适合聋校学生由形象思维向抽象思维转化的过程。 例如1：甲、乙、丙三人做向某一平面区域投掷小球的游戏，应如何确定胜负标准。 例如2：设△ABC为正三角形，若点B在直线L上，过A作AD⊥L于D，而M是BC的中点，那么∠BDM的大小如何？ 显然，上述两例就结论而言，有多种答案，多种结果，所以均是很好的开放性问题。 再例如：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是已知的三点，说明如何证明A、B、C共线？ 对于本例，可以提出如下方法： （1） 证明：∠ABC=180º（∠BAC=180º或∠CAB=180º） （2） 证明：S△ABC=0 （3） 证明：KAB=KAC（或KAB=KBC） （4） 证明：（x3，y3）是直线AB方程：Y-Y1=KAB（X-X1）的解。 其实教材中的很多知识都可以设置成开放性问题，只要我们在教学中充分理解教材、合理设置开放性问题，抛砖引玉，便能引导我们的聋生从被动到主动、从不自觉到自觉、从少到多，培养出较好的数学发散思维能力和提高数学兴趣。只是长期以来，存在一种错误的认识就是觉得聋生本身条件所限，相对正常人有先天缺陷，只能学习较简单、直观的知识，较少注重思维品质的培养和发展，这导致了聋生的思维更加单一、刻板，学习起来也更加困难，造成一定的恶性循环，给后面的学习带来影响。 二、在教学活动中，培养聋生的联想力和直觉力，善于模拟和类比是提高聋生的发散思维水平的关键 对于数学问题，发散是为了求得最佳的思路，最佳的结果，而这些思路、结果的获得就需要联想和直觉以及模拟和类比才可能获得成功。 例如：证明初中几何中三角形内角平分线性质定理 已知：△ABC中，AD是∠BAC的平分线。   求证： 【分析一】：有比例，从结果的结构易想到平行线有关定理，因此我们可以添加平行线促成比例线段的产生。如下图： 证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，       在△ABC中，因为DA∥CE， 所以      （*）      又CE∥AD，所以∠1=∠3，∠2=∠4， 且AD平分∠BAC，所以∠1=∠2， 于是∠3=∠4。因此AC=AE，代入（*）式 得：  ． 注：平行线的作法还有另外两种方法（如下图），证明从略。 （提示：过D作DE∥AC交AB于E）            （提示：过B作BE∥AC交AD延长线于E） 【分析二】：有比例，于是联想到相似三角形，由于AD是∠BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形，如下图： 证明：过D作DE∥AC交AB于E，DF∥AB                        交AC于F。 易证四边形AEDF是菱形，则                                                       DE=DF，由△BDE∽△DFC， 得，   又    ∴    注：相似三角形的构造有两种方法（如下图），证明从略。     （提示：分别过B，C作BF⊥AD                （提示：不妨设AB＞AC，在AB上截取AF=AC， 的延长线于F，CE⊥AD于E）                  连结FD，过F作FE∥AC交AD延长线于E） 【分析三】：因D是角平分线上的点，易于联想到角平分线性质，即过D向AB、AC作垂线段，再过A作AE⊥BC于E，造相似三角形来证。 证明：如图，过D分别作DF⊥AB于F， DG⊥AC于G，再过A作AE⊥BC于E。 由△ABC∽△DGC，得 同理，   ∵  ∠BAD=∠CAD ∴  DG=DF ∴    即 【分析四】：由于AD是∠A的平分线，且在△ABD与△ADC中，BD、DC边上的高相等，因此联想到用三角形的面积公式来证明。 证明：如图，设△ABC中，BC边上的高为h， 则  S  △ABD= BD·h S△ACD= CD·h 又   过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 则   S△ABD= AB·DE，  S△ACD= AC·DF 于是   ∵∠1=∠2，∴DE=DF 故    在实际教学中，当我把上述方法思路逐步呈现在学生面前时，我看到了学生眼中的惊奇，学生不仅产生了极大兴趣，而且自发地参与到题目的讨论中来；不但通过联想巩固了学生所学知识，而且拓宽了他们的视野，激发了他们的创造欲，还培养了他们灵活思变的品质，效果是很好的。教学中我们首先要让聋生“见多”，然后才能“识广”，才能产生模拟和类比。    三、在教学中，营造发散点是培养聋生数学发散思维能力的重要方式     对于一个具体的实例，营造发散点的主要方法有：题型发散、解法发散、纵横发散、变形发散、变更命题发散、转化发散、迁移发散、构造发散、逆向发散、组合发散、分解发散、综合发散等多种形式。     题型发散是将由发散出发的典型问题，变换其题型，进行发散思维。如把“解方程   2 －  ”变换为判断题“x= 是方程5x－14= 的解。（×）”或选择题、填空题、解答题等。 解法发散是通过一题多解、多题一解的发散思维；如高中代数上册三角函数：化简sin3αsin3α＋cos3αcos3α.就有六种解法： 解法一：原式=sin2α（sin3αsinα）＋cos2α（cos3αcosα）             = sin2α（cos2α－cos4α）＋ cos2α（cos4α+cos2α）                 = cos2α（sin2α＋cos2α）＋ cos4α（cos2α－sin2α）                 = cos2α＋ cos4αcos2α                 = cos2α＋（1＋cos4α）= cos2α·2 cos22α= cos32α 解法二：原式= sin3αsinα· （1－cos2α）＋cos3αcosα· （1＋cos2α）           = （cos3αcosα＋sin3αsinα）＋ cos2α（cos3αcosα－sin3αsinα） = cos2α＋ cos4αcos2α = cos2α＋（1＋cos4α）= cos2α·2 cos22α= cos32α 解法三：原式=sin3αsinαsin2α＋cos3αcos3α =sin3αsinα（1－cos2α）＋cos3αcos3α =sin3αsinα＋cos3αcos3α－sin3αsinαcos2α = sin3αsinα＋cos2α（cos3αcosα－sin3αsinα） = sin3αsinα＋cos2αcos4α =－ （cos4α－cos2α）＋cos2αcos4α = cos2α＋ cos4α（2cos2α－1） = cos2α＋ cos4αcos2α= cos2α（cos4α＋1）= cos32α 解法四：原式= cos3αcosα－sin2α（cos3αcosα－sin3αsinα） = cos3αcosα－sin2αcos4α = （cos4α＋cos2α）－sin2αcos4α = cos2α＋ cos4α（1－2sin2α） = cos2α＋ cos4αcos2α= cos32α 解法五：原式= sin3αsinα（1－cos2α）＋cos3αcosα（1－sin2α） = （cos3αcosα＋sin3αsinα） －sinαcosα（sin3αcosα＋cos3αsinα） =cos2α－sinαcosαsin4α= cos2α－sin22αcos2α = cos2α（1－sin22α）= cos32α 解法六：原式=（sin2αcosα＋cos2αsinα）sin3α ＋（cos2αcosα＋sin2αsinα）cos3α = sin2αsinαcosα（sin2α－cos2α） ＋cos2α（cos4α＋sin4α） = cos2α（cos4α＋sin4α－2 sin2αcos2α） = cos2α（cos2α－sin2α）2= cos2αcos22α= cos32α 纵横发散是通过两个或多个发散点间的联系，以及发散点与其它知识间的联系，借助例题形成发散思维；（限于篇幅，以下不再一一举例。）变形发散是通过代数式、方程、不等式、函数等式的改变，达到变繁为简，化难为易的目的。或者适当运用对称、平移、旋转、位似、等积等几何变换，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新位置上，得以相对地集中，从而发现解题的思路，达到巧妙解题目的的发散思维；变更命题发散是通过变更命题的形式，或维持原命题的条例而改变结论，或改变原命题的条件，维持原结论不变，或同时改变条件、结论来进行发散思维训练；转化发散是通过保持原命题的实质而变换其形式来进行发散思维训练；迁移发散是利用数式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式，把一个分科里的公式、定理、原则或方法，巧妙地迁移到另一分科中，达到化繁为简的目的而进行的发散思维；构造发散是恰当地构造出某些元素（如数、式、方程、函数、数轴及几何图形），使问题得以解决的一种发散思维；逆向发散，是由目标至条件的定向思考的一种发散思维；组合发散是拾零为整，通过整体构思，发挥整体功能的发散思维；分解发散是把一个复杂命题分解成一些单纯命题并逐个加以分析和解决的发散思维；综合发散是通过教材各章发散点之间的联系，数学各分科之间的相互联系，数学与其它学科之间的联系来进行发散思维训练。 法国著名的思想家卢梭认为：“教育应当依照儿童自然发展的程序，培养儿童所固有的观察、思维和感受的能力”。由于聋生特殊的认知特点，因而在发散的时候要兼顾形象直观，便于理解接受，不宜过于抽象，遵循循序渐进的原则。 四、加强知识发散思维训练，还要注意以下三点： 1、 加强知识的系统整理与变式教学。 流畅性、变通性是发散思维的品质。学生思维灵敏，思路畅通，就是能在短时间内汇集出与所研究问题有关的概念、定理、公式、方法与技巧，成为呼之欲出，信手拈来之物。这就要求学生具备深厚的基础知识和变通命题形式与研究方法的习惯与能力。 例如，在三角式的变形中，化“1”是一种常用的技巧。当式中明显出现或隐含“1”时，在头脑中应立即浮现起诸多平方关系，倒数关系，倍角关系，特殊三角函数值等所成的“1”。 又如，在平面几何中，证明两角相等时，头脑中应立即浮现出这两角为同位角、等腰三角形两底角，两全等或相似三角形中的对应角，同圆（或等圆）中同弧（或等弧）所对圆周角等。 2、鼓励设问，提倡多解。 爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。在教学中，为充分调动学生的学习积极性，激发学生积极思考，就要积极鼓励学生设问，一个好的解题方法往往是从所提“怪问题”中得到启发的。聋校教师一定要发挥好“学生主体，老师主导”的作用。 3、加强发散思维的练习与考查。 在学生已具备一定发散思维能力的基础，如能加强发散思维能力的练习与考察，这对提高发散思维的品质，增强发散思维的能力无疑是重要的。 例如，如下图，△ABC中，∠A及其外角的平分线交直线BC于E、F，过A作△ABC的外接圆的切线CF于D，此外，不再添加任何线段，由此可推导出哪些结论？并证明之。 思维发散量较小的同学，      仅能得出： （1）AE⊥AF   ，                        （2）∠3=∠B 思维发散量稍大的同学，还可得出： （3）∠DAE=∠DEA   ，   DA=DE （4）∠4=∠F，DA=DF  （5）D为EF的中点 然而思维发散量更大的同学，还可继续发现并能证明： （6）DA2=DC·DB，DE2=DC·DB，DF2=DC·DB （7）EB·FC=EC·FB； （8）   等等。 对于聋生，我们较常用的方法是，引导、提示后，布置一些不同类型、不同层次、基本类似的发散思维训练题让他们自己去动脑、动手，熟悉方法。 聋生相对于健全学生来说，理解、接受起来更加困难，这需要我们的特教教师要有决心、耐心，发扬无私奉献的精神，反复引导，反复强调，才能取得较好的效果。 此外，发散思维的培养还有赖于聋生语言水平的提高和感知经验的丰富。因此，唯有全体特教教师齐心协力共同奋斗，才能克服一个个难题，把我们的聋生培养成高素质的，有创造性的人才。 参考文献 1、 叶立群总编《特殊教育学》，福建教育出版社，1995年6月； 2、 章士藻著《中学数学教育学》，江苏教育出版社，1991年7月； 3、 樊恺，王兴宇等著《中学数学教学导论》，华中理工大学出版社，1999年7月； 4、 李平龙，《在营造发散点中培养学生的发散思维能力》，《中学数学教学参考》，2002年第4期； 5、 宏宇主编《初中数学发散思维辅导》系列，安徽教育出版社，1997年10月； 6、 林六十主编《数学教学论》，中国地质大学出版社，1996年10月； 7、 郑隆 ，毛鄂  著《数学思维与数学方法论概论》，华中理工大学出版社，1999年1月； 8、 张乃达主编《随堂学练考从书·高一代数》，龙门书局，1998年9月。                 本文获湖北省特教论文评比二等奖、武汉市特教论文评比一等奖

[信息来源：武汉市第一聋校] [信息作者：韦仁路 周春兰]