追问“鸡兔同笼”问题的教学价值

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注：陈洪杰老师的这篇文章发表在《小学数学教师》2009年第11期，分“缘起”、“理论篇”和“实战篇”，本文摘自陈洪杰老师的博客，是陈老师最初的想法。

追问“鸡兔同笼”问题的教学价值

《小学数学教师》编辑部  陈洪杰

10月23、24日在北京参加小数年会，期间听了三堂课，其中之一是北京第二实验小学施银燕老师的“尝试的学问”（针对四年级学生）。这堂课以“鸡兔同笼”为教学素材，执教者把课定位在：
以鸡兔同笼问题为载体，教学最原始，而又最能广泛迁移的尝试。
从教学现场的短信互动平台看，当时就有教师质疑执教者的这一目标定位。24日在成远饭店吃晚饭时，山东的一位教研员也主动过来与我交流这堂课的定位问题，可见，对于施老师的这个教学定位有异议者不止一位。当然，之所以有教师提出不同的意见，恐怕还和施老师的课只成功了一半有关（前半堂课比较精彩），以结果论英雄，难免有教师怀疑起最初的定位来。对这堂课定位的质疑，恰恰说明这堂课的定位是独特的，施老师的探索是有意义的，但同时也说明，对如何挖掘“鸡兔同笼”问题的教学价值，大家是有不同想法的。本文就试着阐述一下“鸡兔同笼”问题的教学价值，以及定位于“列表法”时的目标设定与教学落实，并试着说一说施老师这样定位合理的地方以及可以改进的地方。
鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，出自《孙子算经》。原文为：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
对于这个问题，从解题的角度而言，可以有一系列的方法：画图法、列表法、假设法、方程法。这个问题也蕴含着丰富的数学思想方法：化归的思想、枚举的思想、数形结合的思想、假设的思想、方程的思想、建模的思想。[1][1]数学思想方法和具体的解题方法有一定的对应关系，比如，枚举的思想与列表法，数形结合的思想和画图法，方程的思想和方程法。教学实践中，面对鸡兔同笼问题如此多元的诠释可能，教师的不同定位就带来了不同的教学设计——这一点是大家都能理解的。
然而，仅仅看到鸡兔同笼的多种解法及其蕴含的数学思想，还只是从数学的角度而不是从教育的角度来看问题。从教育的角度来看，定位于不同的解题方法不是随意的，而应该将解法的难度与学生的可接受水平结合起来考虑，因此可以有这样的逻辑序列：一年级可以选择画图法（数形结合的思想），二三年级可以选择列表法（枚举与假设的思想[2][2]），四年级可以选择假设法（假设的思想），五年级用方程法（方程的思想）。有必要指出，这个方法定位的序列是大致的，不同的年级代表着学生不同的认知接受水平，但不能代表学生原有经验积累的差异，前者是定出这个序列的基础，后者则意味着在同一个年级、同一个课堂，不同的学生会表现出不同的思维层次，采用不同的方法。
当我们试着整理出鸡兔同笼问题在不同年级教学中大致的方法定位后，就可以明白为什么很多人把鸡兔同笼问题看成是一个类同“智力测量量表”的测量指标，因为这个问题有多种解法，妇孺通吃，老少皆宜。（我的同事刘祖希就说“鸡兔同笼是看一个孩子能否参加奥赛的一个分界点”，而《中小学数学（小学版）》的主编方运加老师也提供了类似的回忆。）同时，面对这个大致的教学定位的序列，我们会面对一个追问：到了五年级学了方程，学生马上能够解决这个问题，那么之前的那些“低级”的方法其价值何在？施老师也面对过同样的困惑，她在课前询问了自己曾经辅导的参加数学竞赛的学生，这些如今在北大、清华、人大等名校就读的高材生告诉施老师，他们当时“几乎不约而同地选择了列方程来解”。我想，许多老师质疑施老师教学定位的又一原因就是，有更好的方法好教，为什么要回归“原始”的呢？——这个问题也是促使我写这篇小文章的原因之一。
的确，从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷、简便，但这种简便是数学的价值而不是教育的价值！我们要发掘的是鸡兔同笼问题的教学价值、育人价值，而不是，至少不仅仅是数学价值。因此，即便最后要被方程法一统天下，我们的教师也可以理直气壮地在不同的年级教学鸡兔同笼问题（当然不要局限于鸡和兔，而要选用同类问题做素材）。从这个角度而言，施老师的定位恰恰是认识到鸡兔同笼问题的教学价值。相对而言，许多教师更关注鸡兔同笼问题的知识价值，要把最好的方法教给学生，这种动机无可厚非，但如果我们能区分一个素材的知识价值和教育价值，就更容易理解施老师的苦衷。因此这堂课可以定位在尝试法上，但却需要进一步明确这样定位的教育价值：
1．让学生经历尝试、列举（填表）、调整、发现的过程。（这一点施老师已经指出）
2．进一步培养学生有序思考的习惯。（施老师的课上始终利用表格来教学尝试法，这一点被有的老师诟病，其实表格的价值是为了引导学生有序思考。而有序思考在小学很重要，教师要有一个长段的思维，在之前的教学中应该有所渗透，比如用大括号对图形进行归类，利用表格总结运算定律等，这样，四年级的表格法作为一种数学工具在一个长段中才能找到自己更合理的位置。——这一点不知施老师意识到没有，但在教学上显然没有将之作为一个重点）
3．培养学生对尝试起点的敏感性。（本质上是对数据的敏感性，这一点在估算、计算教学的凑整算法等的教学中都要渗透。这一点施老师意识到了，但教学没有落实到位）
4．渗透假设法的体验。（假设全是鸡或兔，逼近的思想，施老师也意识到了）
5．在学生能有序思考并对尝试起点有一定敏感性的基础上，培养学生对方法的选择意识。
4、5两点是额外的要求，针对部分基础较好的学生，对于教师而言，考虑到4、5两点并在教学设计上留有一定的空间是完全有可能的。
需要补充的是，上述5点教学目标不是为了拔高尝试法的教学要求，相反，这恰恰是为了照顾大部分学生。在以往“鸡兔同笼”的教学中，因为这个问题的含金量高，教师往往舍不得“取法乎下”，又由于这个题目流传太广，而一个班当中总不乏接触过此题的学生和特别聪明的学生，因此，在教学中，教师最中意的、“取法乎上”的那种解决方法也是能出来的。但教师往往忽视的是这个结果是怎么“出来”的，教师最容易产生的教学缺陷是满足于结果的呈现，满足于和好学生一对一的互动。这样的课堂成就的是教师的精彩，是部分学生的精彩，而不是全体学生的发展。而如果把解法的定位稍稍下调，则意味着有更多的学生能经历解决这个问题的过程，得享这一古代趣题的恩泽。上述的5点，尤其是前3点，就是为了教师在把解法的定位降低之后，怎样更好地充实课堂，提供一个指向。如前所述，“这个题目流传太广，而一个班当中总不乏接触过此题的学生和特别聪明的学生”，所以课堂当中会有这样的现象：教师一说鸡兔同笼，事先知道的学生往往很兴奋，会急于告诉大家自己的方法，甚至课一开始就抛出假设法、方程法，接下来这些学生就不一定关注老师的教了，因为这个问题他们已经会了，如果发现自己的解法更简便，他们甚至会排斥老师教的解法，其他的学生看到这些学生的“轻松”“得意”，也会受到影响。因此，一个可行的策略是教师直接教鸡兔同笼的类为题，比如：（1）小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币27枚，共5.1元，两种硬币各有几枚？（2）学校去春游，大船坐6人，小船坐4人，现有10条船坐了52人，大小船各有多s少？等等。（类同结构的“龟鹤”问题不宜出现，“大小和尚吃馒头”问题是鸡兔同笼问题的提升，可备用。）这样，通过第一个类问题的解决让学生经历列表尝试法；通过第二个类问题的解决让学生发现一一列举太麻烦，要根据数据的特点选择列表（尝试）的起点，教师在第二个问题时就要注意总结，引导学生提升策略，然后视教学情况决定是否再引入一个问题（之前的两个问题可以做变式延伸）；最后，可以把鸡兔同笼问题呈现出来，介绍此题来自《孙子算经》，是刚才这些问题的“老祖宗”，并把这个问题作为课后探究题，对已经知道鸡兔同笼的学生，鼓励他们总结这个古代趣题和之前的类问题的联系，渗透建模的思想。



[1][1] 刘德美：《“鸡兔同笼”中的数学思想方法》，《中小学数学（小学版）》2008年第9期。
[1][2] 列表发中可以渗透假设的数学思想方法，下文将详述。

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追问“鸡兔同笼”问题的教学价值

《小学数学教师》编辑部  陈洪杰

【一、再现】

回到施银燕老师的课堂上来。先看一下施老师的教学设计。
一、提出问题
你听说过“鸡兔同笼”问题吗？鸡兔同笼最早出自1500多年前我国数学名著《孙子算经》。书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
这个问题，你能解决吗？
如果学生不会，可以引导进行尝试；
如果有部分学生已会用假设法（即假设全是鸡或全是兔算出总腿数，并与实际腿数比较算出差，而得出兔或鸡的只数），可先让学生说。对这部分学生而言，要他们对已经能解决的问题同样充满热情地用另外方法进行探索有难度，所以先让他们切实体会：结果重要，方法和过程同样重要。
二、独立尝试，全班交流
改变数据（12头，30腿），让学生独立尝试。
教师巡视，搜集典型的、有价值的作品。
预设一般有以下几种：
1.从1鸡11兔（或1兔11鸡）开始，一个不漏逐一检验排除“地毯式搜索”直至找到正确结果为止；
2.跳跃的尝试：从1鸡11兔（或1兔11鸡）开始，跳过几个尝试；或直接折半（从6鸡6兔）开始试；或者经过几轮尝试直接跳到正确的结果的。
让学生进行分析、评价；通过教师的引导，使学生能透过表面现象，关注思考过程的有序，有根据。使“根据尝试结果进行分析，做合理调整或直接发现规律”成为全体学生的共识和自觉行为。
通过刚才的学习，你对尝试有什么认识？
三、再次尝试
1/8，分母分子加上一个相同的数，使它等于1/2。这个相同的数是几？
独立尝试，小组交流后汇报。
四、全课总结
这节课，你有哪些收获？
五、作业
1.解决《孙子算经》中另一名题“有物不知其数”。
2.选作：有兴趣，上网查找关于鸡兔同笼的资料。
这是一个中规中矩的教学预设，结构清晰，意图明显。这样的教学设计要上精彩是需要教师深厚的教学功力的，因为文字背后的东西太多，比如，怎样教才是让学生“切实体会：结果重要，方法和过程同样重要”，再比如，“独立尝试”和“再次尝试”从教学设计看应该是有类同结构的（所以后者笔墨很少），但这两次的教学差别何在？此刻，当我看这个教案并参照自己的听课记录都难以再现施老师的课堂教学过程，所以，此时若能将施老师的授课过程再看一遍就好了。

【二、细节】

施老师的课中有一些很值得玩味的细节。
课始，引入鸡兔同笼后后，教师问：“大家说说关于鸡兔同笼的情况。”
生1：一个笼子有一些鸡一些兔，知道脚和头，问各有多少只鸡多少只兔。
生2：可以用假设法算。
师：课前调查，大家都知道这个问题了——我们为什么还要学？
生3：说不定今天施老师的方法更好。
生4：要活学活用，答案是死的，方法是活的。
生5：如果有多种方法来算，表明你对问题研究的更深。
……
可见，学生已经知道此题，对“为什么还要学？”学生回答得真好：说不定可以获得更好的方法；说不定这堂课上会有方法的运用；说不定会涉及到多种算法。不过，学生对这个问题的定位也是偏重其思维或者说数学方法的价值的。学生这样的预期可以说和教师的预设有差距，也正因此，施老师最后靠语言来“收”是很难让学生切实体会“结果重要，方法和过程同样重要”的——这应该是学生在课堂总结阶段，我们力求让学生获得的体悟，把这个意图过早点出未必妥当。
施老师这样的引入体现了把握学生起点的意识。我在听完学生的回答后，直接的想法是学生的已有基础已经这样高，教尝试法真有难度。
在“独立尝试，全班交流”阶段，教师提出问题（12头，30腿）后，让学生独立列表尝试，之后搜集学生作品通过大屏幕加以展示，进行反馈。在这一阶段，到位的指导不是把所有反馈都呈现，而要先指导，把不典型的、个别明显错的通过巡视指导解决掉，呈现典型的、有思考价值的。不过，由于是听大课，笔者不能在学生周围直接看反馈（我听课一般贴着学生坐），所以不知道展示的资源之外，学生呈现出哪些状态。从搜集展示的资源看，教师的几种预设都出来了，应该说，施老师原先的预设是贴合学生实际的。
呈现的方法1：从1只鸡11只兔开始试。
学生点评：这样试有序，不丢数，但11个兔不可能。
当堂调查显示，用一一列举的学生近一般。
呈现的方法2：折半尝试法。
生1：看成每种都一样，6*2，6*4，一共36条腿，少一个兔子就少两条腿……（师追问：“这样试好在哪里？”）
生2：不用太麻烦，不浪费时间。
生3：从中间开始试就知道数量的增减了。（知道调鸡还是调兔了）
呈现的方法3：跳跃尝试
生4：我从头开始试的（假设全是兔），试了三次，每次都是腿减2。
（该生算到中间即停，尝试的状态呈现出来了）
呈现资源、加以反馈，是这堂课的核心环节。在具体的反馈上，仅仅呈现上述几种解法还不够，全课的转折点就出现在这个环节。
其他细节：
1．教师引出极端量时，学生辨析：“用0不行吧，否则怎么叫‘鸡兔同笼’呢？”
2．教师出了一道巩固尝试法的题目：乐乐4岁，妈妈28岁，再过几年妈妈年龄是乐乐的4倍？什么时候妈妈年龄是乐乐的9倍？
生1：一个一个试。
生2：跳着试。（师追问：漏掉怎么办？生马上回答：再往后缩。）

【三、重建】

铺垫题：一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡和兔各可能有几只？请把你的思考写在纸上。
设计意图：1.渗透有序思考；2.为后面的学习作铺垫；3渗透极端情况（鸡或兔是0只）；4.渗透用数学的方法记录思考过程。
预设：
学生记录鸡和兔各可能有几只会采用不同“形态”的方法，比如，将1、7，2、6，3、5……竖着写成直观的两列；用小括号一组组地写；横着列一个两行的表等。教师呈现不同的记录方法，追问：大家比较一下，哪种记录方法更清楚？此时不要聚焦到列表法记录，但如果学生在用他们自己的方法记录有序思考时出现遗漏，比如遗漏一组数据，教师要指导学生一一补上（如果学生都认为列表记录好，聚焦也未尝不可）。同时，有可能会有学生写出“0、8”的情况，教师可以让学生解释，虽然题目是“一个笼子里有鸡和兔共8只”，但教师可以点出：考虑极端的情况是数学里常用的研究方法呢！如果没有出现“0、8”的情况，可以在下一环节渗透，见下文。
【这一环节是让学生体会有序思考需要有序记录，或者说训练学生通过有序记录来表现自己的有序思考。】
一、提出问题
这一部分不要介绍“鸡兔同笼”是中国古代名题之类，顺着前面的积累，教师这样引导：现在增加一个条件，你有办法解决吗？
出示问题：一个笼子里有鸡和兔共8只，它们的脚一共有26只，鸡和兔各有几只？
设计意图：
1.如果之前已经聚焦到列表法，这里是列表法的初步应用，学生自己已经在纸上列的表就是现在解决问题的凭借，不用另起炉灶；2.如果之前没有聚焦到列表法，这里则是其他能有序思考记录方法（竖排、括号等）的应用，学生同样不用另起炉灶；3.让学生获得初步的成功体验：之前的有序记录是有用的；4.让学生初步感受方法选择的需要：有的记录会不适合再写结果，学生会反思记录方法的优劣；5.如果之前没有“0、10”的极端情况出来，此处可以渗透；6.沟通算术方法和列表法之间的联系，沟通算术方法和假设法的联系。
说明：1、2、3皆好理解，4、5、6三点要合起来才能解释。
要解决鸡兔各多少，最终是要计算的，怎样算是解决了此题呢？当学生列出4×5+2×3=26时，问题就解决了（兔5鸡3）。难就难在找到分别乘以4和2，且和为8的这两个数，而得到这两个数（兔5鸡3）是要靠计算的结果来调整的。学生完全可以通过列4×n+2×（8-n）=的式子来求解，但这样尝试，估计学生写几道题就糊涂了。第一次接触鸡兔同笼问题的学生常常无从下手，是因为这个问题不是要计算一次而是要计算多次，不是列一个式就有答案而是要列很多，而且有的算式还是没用的，这种情况对不少学生而言在认知上是一座大山——列表法的好处就在于学生在找答案的过程中能让思考有序而且便于计算数据的记录。这对于基础差的同学尤为重要，而基础好的学生极有可能在算了几格之后，就开始跳着尝试了，因为他们可以通过计算的结果和题目中脚的总数来指导尝试（列举—计算—调整）。因此，学生最原始的解决此题的状态应该是无序的像“4×n+2×（8-n）=”这样的计算——这个状态外显为无从下手或盲目尝试。
由于之前求“鸡兔可能有多少只”时学生已经把所有可能的情况罗列出来，这里教师让学生求“鸡兔各有多少”，学生就很容易想到去计算罗列的各种情况的腿数。此时，第4点就凸显出来，比如，学生竖着写“1、7，2、6，3、5，4、4”再另起一列写“5、3，6、2，7、1”，两列靠得太近就很难把算好的数据写在旁边，用小括号一组一组地记录的，只要不是写得太密，还有变通的余地，比较而言列表法最容易记录结果（加一列或加一行即可）。因为要计算，记录数据，和题目的脚数对比才能解决问题，而记录数据列表法最方便，学生在对比中才对列表的的好处才会有一个切实的体验。——这也是在让学生求“鸡兔可能有多少只”时不要急于聚焦于列表法的原因。
在呈现学生的计算结果之后，如果之前没有出现“0、8”这样的情况，此处教师可以在表上呈现出来，指出这是一种数学方法，同时“0、8”对应的“假设全是兔（鸡）”这样的意义，学生也能理解。——渗透极端的范围，是在四年级教列举法应有的提升之所在，何况这和假设法还联系在一起。
这一环节落实得好，学生对列表法的形成过程就有了一个体验，没有对此过程的体验，学生甚至根本不承认列表法是一种解题策略！（不要说学生，有的老师都不太愿意承认列表法是一种策略，至少不愿意承认这是一种好的策略，原因在于，当我们成人去思考鸡兔同笼的问题时，我们的能力早已绰绰有余。）
二、独立尝试，全班交流
出示问题：一个笼子里有鸡和兔共8只，它们的脚一共有26只，鸡和兔各有几只？
教学落实：
1.指导语：先写一写，写好和同桌说一说。
意图：让学生说，思维可以清晰；同桌互说，彼此监督，同时会接触不同的思路。对于有的学生教师可以指导：想一想有没有其他更好的方法？
2.教学反馈：呈现学生的各种计算方法。
（1）不同的算术方法：让学生说思路；（2）错误算法：学生说，其他学生点评；（3）体现一一列举、折半列举、假设列举的计算方法：让学生说“这样算是怎样想的？”（因为题目数量不大，估计这样的计算方法极少。）
3.明确列举的范围
根据学生的反馈，承认在这问题中从1×4+7×2（兔1鸡7）开始算是对的，但教师要点出：如果全是兔则有32条腿，如果全是鸡则有16条腿。此时，教师借机在学生列的表上首尾补充“0、8”和“8、0”——不要呈现用大屏幕呈现画得很漂亮的表格，直接在学生的表上补充，用实物投影仪呈现。如果学生有“0、8”这样的资源就直接利用。
4.小结
语言提炼+板书。
第一层次：“通过一一列举，再把列举的情况计算出来我们就能解决这个问题（板书：列举）。而且我们发现用列表法（或者故意说成“画表格”）不仅可以让我们有序思考，不重复、不遗漏，而且很方便记录计算的数据（板书：列表法/画表格）。”
第二层次：“在列举中我们还发现，要有序排列就要抓住最大和最小的情况（板书：最大、最小）。”
【这一环节让学生感受列表法的形成过程，初步运用列表法解决问题并感受列表是一种解决问题的策略。这一环节要注意让绝大部分的学生参与到解题的过程中去，这样才能落实“教育价值”而不仅仅是“数学价值”。】
三、再次尝试
出示问题：一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的脚一共有94只，鸡和兔各有几只？
设计意图：
1.巩固列表法；2.数目变大，一一列举再一一计算太麻烦，让学生体会到必须跳着列举、跳着计算，靠计算来指导“跳”，这是第一层次；3.第二层次是根据具体题目中脚的数量，通过假设，确定调整的方向，并对跳着列举的起点有敏感性。
“再次尝试”要体现出对“初次尝试”的提升。
教学落实：
1.指导语：先写一写，写好和同桌说一说。
2.教师巡视、指导，在学生独立尝试一定的时间后追问：还要不要一一列举呢？谁有更好的方法，能很快找到答案？
意图：先给学生一定的时间，让学生尝试一一列举、一一计算。此时一一列举的学生肯定有，但列举好之后再一一计算的应该相对教少，部分学生应该能主动跳着去尝试了。学生彼此有差异的尝试结果正是教师的教学资源，教师加以呈现引导学生理解不同方法的思路并辨析优劣。
这里要注意，资源反馈的环节不一定是一个回合就完成的，在学生独立尝试一段时间后，教师呈现的学生的不同方法可以还是比较原始的，而不是教师和教材预设的（我们对学生要有足够的耐心），此时，教师可以再追问：还有更简单、更快捷的列举方法吗？再给学生一点时间，促使学生对自己的方法再反思、再优化——在反馈环节的“返工”正是现在不少课缺少的。
3.呈现学生资源，辨析、讨论怎样列举更好？
以北师大教材的三张表作为学生生成的三种不同资源为例，略述注意点。如前所述，学生在这一阶段会像表一那样列举，但未必会一一计算，因此，像表一这样的资源，一点拨，学生就明白。对表二、表三这样的资源，教师要有一根弦：表二的跳跃式尝试也有可能一下子就找到调整的方向，甚至一下子就找到答案，只是基于大量的此类问题时，这种跳跃的尝试才显现出一种盲目性，从中间尝试的优点才体现出来——这就是我们的经验，而不是说表三一定比表二更有效。如果学生跳着尝试恰巧一下子就找到答案，他未必会认可表三代表的方法更好，他恐怕会觉得自己很聪明，此时教师可以让学生再跳着试试解决其他题看。（PS：许多方法的优劣要从该方法适用的问题以怎样的形态出现的频率较多的角度去理解，比如“同头无除初商9”。）
4.小结：
列举的时候可以通过假设确定范围（板书：假设，确定范围），然后要根据实际情况进行调整（板书：调整）。
（之前的反馈指导语中要注意点出“算出折中的情况（的腿数），我们就知道往哪边调了”，“折中列举法可以大大缩小范围”这样的要点。）
5.快速反应：
不要以为小结结束就完了，此时要趁热打铁，但又不能让学生感到又要面对一个难题，合理的策略是让学生快速地判断从哪里开始尝试，强化对起试点的敏感性。同时，经过前面的两次问题解决，学生也累了，让他们稍微休息。
（1）问题：一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的脚一共有130只，鸡和兔各有几只？——从哪里开始尝试？
（2）问题：一个笼子里有鸡和兔共35只，它们的脚一共有80只，鸡和兔各有几只？——从哪里开始尝试？
四、全课总结
“其实这堂课我们解决的就是古代趣题：‘鸡兔同笼’”——介绍“鸡兔同笼”。
“大家觉得这道题有趣吗？”——学生未必回答“有趣”。
“那你有什么收获？”——要是出现施老师课前学生对“为什么还要学”的回答，那老师就足以自慰了。
五、作业
1.解决鸡兔同笼的类问题。
因为全课核心的教学过程都以鸡兔同笼为素材，所以，第一个类问题不要安排得太难。此外，类问题要安排比较切合用列表法解决的，比如，北师大版练习部分第3题学生就觉得用列表法最方便（李玲玲）。
2.选作：有兴趣，上网查找关于鸡兔同笼的资料。
（教师自己可以准备如波利亚的“金鸡独立”法、张景中院士“鸡翅当腿”法等比较有趣的方法。）