最伟大的数学教育家——柏拉图

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最伟大的数学教育家——柏拉图                                                   周焕山 柏拉图(plato，公元前427～前347)出生于雅典的显贵世家。青年时代追随苏格拉底。公元前399年 ，因苏格拉底被处死，柏拉图离开雅典去麦加拉、埃及、意大利南部和西西里岛等地，结交了毕达哥拉斯学派晚期的代表人物阿尔希塔斯(Archytas)及其他成员。 柏拉图从他们那里学习了毕达哥拉斯学派的数学成就和思想方法。公元前387年，柏拉图在雅典创办了名垂千古的学园。此后40年，柏拉图热诚地投入教学工作和哲学著述 ，成为希腊历史上第一位有大量著作传世的哲学家。

在现代世界，几乎所有的中小学都把数学课作为必修课，几乎所有的著名大学都以办成研究型大学为荣。而在当代纯数学领域，大多数理论著作和教科书都是按照公理体系编撰的。当大家对这一切习以为常的时候,你有没有想过：是谁首先提出数学应规定为必修课？是那位大学校长最先尝试建设研究型大学？又是谁最早提出公理演绎法的初始构想？这三个问题的答案竟是同一个人,那就是生活在2350年前的一位哲人——柏拉图。 作为哲学家，柏拉图无疑是人类思想史上的一位巨人。然而，他的哲学思想无论在古代还是现代都曾引起巨大的争议，直到今天争议仍在继续。但是在教育界,对于他在数学教育上的贡献自古至今绝少争议。可以说,他是当之无愧的最伟大的数学教育家。 下面主要围绕上述三个问题，粗浅地谈谈柏拉图的贡献。 一、力挺数学，主张以法律规定数学为必修课 柏拉图在其中期代表作《理想国》一书中力挺数学,反复强调数学的重要性，并主张在理想的国家里,应当以法律形式规定全体居民必须学习数学。柏拉图著作的表现形式通常为苏格拉底和他的朋友或学生间的“对话”。经后世学者的研究，柏拉图的早期著作所表现的基本是苏格拉底的观点，而他的中、晚期著作所表现的则主要是柏拉图本人的观点。特别是《理想国》一书中关于数学教育的观点完全是柏拉图本人的观点(苏格拉底并不重视数学)。柏拉图首先强调数学能提升智能，增进才能。他借苏格拉底之口说：“那些天性擅长算术的人，往往也敏于学习其他一切学科；而那些反映迟缓的人，如果受了算术的训练，他们的反映也会有所改善，变得快些的，即使不谈别的方面的受益。” 接着说：“算术这门学问看来有资格被用法律规定下来。”接着谈到几何的功用，他举例说,在行军打仗中，“指挥官有没有学过几何学是大不一样的。”又说：“它对学习一切其他功课还有一定的好处,学过几何的人和没有学过几何的人在学习别的学科时是大不相同的。”他于是说：“应该严格规定贵城邦的全体居民务必学习几何。”接着又说：“让我们定下来吧：几何学作为青年必学的第二门功课。”虽然毕达哥拉斯学派早就强调数学的重要性,但是只主张学派的高级成员精研数学 ，并未要求普及数学。至于在希腊之外的其他地区，当时的数学水平尚处于萌芽状态。因此,柏拉图无疑是历史上主张把数学定为必修课的第一人。 二、身体力行，把学园办成以数学为主课的研究型大学 柏拉图学园自公元前387年创办后,就成为人才荟萃之地。它在好多方面有些像现代的私立大学，其办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人才，直至造就一位“哲学王”。由于柏拉图认为研究哲学之前必须首先学好数学 ，因此确立了以数学为主课的方针。在《理想国》第7卷中系统论述了他的教育方针。他主张对20岁到30岁的学生进行长达10年的、以数学为中心的数学教育。课程包括算术、平面几何、立体几何、天文学和谐音学。按照毕达哥拉斯的传统说法 ，天文学是研究运动的数，谐音学是研究数的协调,因此将这两门课也归入数学。待30岁后，挑选优秀分子研习5年哲学，35岁后方可出任公职。由于《理想国》中的理想带有乌托邦的色彩 ，所以，学园中的实际运作究竟在多大程度上贯彻了上述方针，这也难说，但以数学为主课，这一点无疑得到坚持。据说在学园大门口刻写着“不懂几何者不得入内”的铭文 ，这也从另一个侧面说明学园对数学的重视程度。 柏拉图热心于教学方法的改进。他说,不应只向人们简单地灌输一堆知识，而应当让他们学会透过表面现象看到事物的深处。看到永恒的实在。为了启迪思维,他善于通过问答式对话 ，引导学生的思路向深处发展。他还鼓励学生提出一些问题让大家进行讨论，倡导教师和学生开展创造性研究，把探索未知领域作为一项重要任务。 例如，他谈到立体几何“没有得到发展的原因有二：第一，没有一个城邦重视它，再加上它本身难度大，因此人们不愿意研究它；第二，研习者须有人指导 ，否则不能成功”。可见立体几何这门课正是柏拉图指导师生努力研究的一门学科。天文学和谐音学也是这样。由此可以推知，学园的教学方式不同于现代一般大学的教学方式。特别是学生的学习 ，它更注重学生在导师指导下的独立研究。这种传统得以延续,以致在西方语言中，“学习”一词（如拉丁语studeo,英语study）就兼有“研究”的涵义。 关于学园的工作方式，还有一种意见认为学园里面进行的主要是研究，所以学园其实是一所科学研究院。例如，H•尤斯纳（Usener）曾于1884年断言学园是已知的第一个科学研究机关。另外 ，从名称来看，学园的原名是阿卡德米亚（音译），来源于学校所在地——一处纪念战斗英雄阿卡德穆的花园。该词的拉丁文Academia,英文Academy，其现代词义均为“科学院”。这从一个侧面表明 ，柏拉图学园究竟是学院（大学），还是科学院，历来是有争议的。中文的传统译名“学园”，虽未尽善，但是回避了上述争议。 综上所述，可以认定学园是一所非同寻常的大学，它是世界上第一所研究型大学。它存在了900多年，对西方文明作出了极大的贡献。一些西方学者对柏拉图学园赞颂有加 ，认为它对世界学术发展的影响要比现今牛津大学、剑桥大学、哈佛大学和耶鲁大学加在一起还大。 三、匠心独运,提出公理演绎法的初始构想 我们在柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探索。他的数学哲学思想是和他的“理念论”分不开的。柏拉图把一类事物的共性同可以感知的具体事物分离开来,使之成为独立的存在 ，称之为理念。他认为理念高于相应的可感知的具体事物，而具体事物只是理念的不完善的摹本。因而只有理念才是认识的起点，才能成为数学研究的对象。 他曾以圆为例进行分析说：“有四种圆： 1．被世人称为圆的某种东西； 2．圆的定义：在任何方向上的边界点到中心的距离都是相等的； 3．画出的一个圆，即旋转圆规所得的圆； 4． 实质性的圆，即圆的理念。” 柏拉图接着评论道：名称是无关紧要的，只是由习惯形成的。我们甚至可称圆为直线，并反过来称直线为圆。定义其实也不具有真正的确定性，它是由名词、动词等词语组成的。圆的图形是画出来或旋转出来的具体的圆。这里难免掺杂着其他的东西 ，它甚至充满着和圆的本质相抵触的成分。例如，数学圆和数学直线仅能相切于一个公共点,但这在画圆时是无法做到的。因此，它们都不是完善的圆，即不是圆的理念，但和圆的理念密切相关。由此可见，柏拉图所说圆的理念，其实就是圆的概念。他所说数学理念，其实就是数学概念。 尽管柏拉图的“理念论”带有唯心主义色彩，但他对数学概念的论述是深刻的，和我们今天所说的是大体一致的。数学名词、定义和相应的图形都是用以描摹数学概念的 ，但都和数学概念本身有所区别。显然,定义要比名词和图形更能刻画数学概念的本质特征，因而柏拉图注意对定义的推敲。由于柏拉图强调概念的独立性和抽象性 ，并将概念和判断明确地区别开来，从而为用概念和命题的系统表现数学理论奠定了基础。 虽然我们无法肯定柏拉图是否对数学的演绎结构提出过具体模式，但是把演绎法作为一种具体的推理方法，确是由他明确提出的。柏拉图在《理想国》第6卷中说“想必你知道 ，研究几何、算术以及这一类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及各学科中诸如此类的东西是已知的，这就是他们的假设。他们设想这些东西是任何人都知道的 ，因而认为无必要就此向他们自己或别人作任何说明。他们就从这些假设出发，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他们的结论。”这段话说明，柏拉图首先提出了要从一些自明的假设出发进行证明的观点。而这个观点正是公理演绎法的初始构想。说它是初始的 ，那是因为它是不完善的。在上述引语里，公理（假设）究竟是概念还是命题并不清楚，“以前后一致的方式向下推”也不能确认为明确的推理要求。虽然它是不完善的 ，但却是一个伟大的开端。柏拉图唤起了古希腊人尤其是数学家的一种强烈信念：一个完备的科学的理论结构，应该是一个演绎陈述系统。继承并完成这项工作的是柏拉图的学生亚里士多德。他创立了形式逻辑和完善的公理方法。后来数学家欧几里得在其名作《几何原本》里建立了第一个数学公理演绎体系。 在柏拉图指导下，学园的数学教育取得了极大的成功。在公元前4世纪的希腊，绝大多数知名数学家都是柏拉图的学生或朋友。他们之间经常进行讨论或交流 ，而学园则成为开展数学交流活动的中心场所。他们以柏拉图为核心形成一个学派，史称柏拉图学派。其中最杰出的数学家有欧多克索斯、泰特托斯和门奈赫莫斯等人。后来的欧几里得（公元前300左右）早年也曾在学园攻读数学。他的《几何原本》中的大部分内容都是来源于柏拉图学派数学家的研究成果。美国数学史家波耶（Boyer，1906--1976）评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果,然而 ，他却是那个时代的数学活动的核心，……他对数学的满腔热忱没有使他成为数学家，但却赢得了‘数学家的造就者’（the maker of mathematicians）的美誉。”