“形变质通”：让看似枯燥的数学变灵动

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“形变质通”：让看似枯燥的数学变灵动

张菁，天津市河西区马场道小学科研主任兼数学教师，天津市特级教师，“天津市未来教育家奠基工程”二期学员。她曾出版教学专著《形变质通：数学基础教育感悟》和《形变质通，灵动的数学》，先后独立承担国家级、省市级重点资助课题与规划课题，并获得国家级优秀成果一项、省市级优秀成果两项。图为张菁在课堂上。

■张菁

在十几年的小学数学教学实践中，我逐渐感受到，蕴含在丰富的数字和符号下面的基本规律和思想方法对于学生的数学素养以及综合素质培养有重要意义。基于数学“形变质通”特性进行教学，可以让学生轻松地学习数学，掌握数学中的思想、方法和思维方式，进而领悟其中所蕴含的哲理，在形成良好数学素养的同时，也能获得人生的启迪。

“形变质通”是什么

“形变”是指形式、形态、样式、模式、格式、外形等的变化，“质通”是指本质上的相互通达和普遍联系，强调的是蕴含在不同显性知识下的相同思维方法和不同阶段知识中的相同知识结构以及学生对同一数学知识个性化理解的相通之处。“形变质通”就是指在表现形式上富于变化但在基本思想上却相互通达并存在着的必然和普遍联系。

“形变质通”是数学的基本特性之一。虽然数学知识的表达形式随着内涵的不断丰富和发展也日益多样，但数学知识间的内在联系、基本规律和所隐含的思想方法却是相通的。比如：同一数学知识和数学思想在不同的分支领域可以有不同的表现形式，相同的数字符号下所蕴含的数学思想也可以有多种解读方式，我把数学这种形式上具有丰富变化性但在本质上具有高度相通性的基本特性称为“形变质通”。

“形变质通”体现在数学的各个方面：从数学定律、性质的归纳及应用，到蕴含在各不同阶段数学知识中的“公理”；从一道题的具体解法，到蕴含在不同题目中相同的解题思路；从数学知识的生长点到“数”与“形”的结合，等等。小学数学作为数学学科的基础课程，其中各种数与形的结合、类比、化归、集合、消元等数学思想都是“形变质通”的具体体现。只有孩子了解了多种形式的数学知识中的基本联系和变化规律，并能在解决实际问题中运用这些思想和规律，才能说明他们们真正学会了数学。

“形变质通”是学生学好数学的一种认知策略。数学教师在教学中充分利用“形变质通”策略，可以从不同年级段的数学知识的角度去思考同一道数学题目的解答方法，而不是将数学“禁锢”在某一年级段的数学知识中。尤其是在指导学困生的学习时，将他们难以理解的知识进行适当的“变形”处理，以他们能够理解和接受的方式呈现出来，与他们的思维水平和已有的知识结构相融，学生就可以实现在最近发展区内对已有知识的巩固和对新知识的同化，从而促进自己整体知识水平和认知能力的提高。

“形变质通”是一种辩证的思维方式。让学生理解数学“形变质通”的特性,并利用形变质通的思维方式和学习策略去学习数学,不但可以激发他们的学习兴趣,增强他们学好数学的信心,而且能够切实提高学生的数学素养和能力。更为重要的是，学生可以把从数学中学到的思维方式和能力运用到生活中去，用一种变通的思想更好地认识社会和人生。

利用“形变质通”化繁难为简

数学来源于生活，服务于生活，所以在学数学时会遇到很多应用题。有些应用题从表述上看起来内容和关系都很繁琐复杂，但应用的数学原理却是最基本最简单的。所以我在数学教学中总是注意利用多种策略和方法，引导学生从解决问题的“本质”出发，跳出繁复的形式，品味繁杂的关系中所隐含的基本数学原理，从而培养学生透过现象看本质的意识和思维方式。

提供启发性的关键问题。很多时候，学生之所以觉得某些问题比较难以理解和解决，是因为他们没有发现这些问题中的关键点，这时就需要教师通过启发性问题给学生提供“脚手架”，让他们透过繁杂的关系找到问题的关键。比如，对于下面这个问题：“小明每分钟走55米，小刚每分钟走65米，小狗每分钟跑300米。现小明和小狗在Ａ地，小刚在距Ａ地960米的Ｂ地，三者同时从所在地出发，两人相向而行，小狗则在两人之间不停地往返跑，直至两人相遇。问相遇时小狗跑的路程。”学生们站在小狗跑的路线思考此题，就会陷入解决问题的僵局，因为小狗在往返跑的过程中，每次跑的距离都不相等，并且也不知道往返跑的次数。但我们跳出小狗跑的路线，从问题的本质出发，问题的解决就变得简单了。为此，我提出了启发性问题：“两人几分钟相遇？”学生们很快地求出了两人的相遇时间。我接着提问：“小狗跑的时间是多少？”“8分钟，我会了！”同学们恍然大悟。因为知道了时间，题中也有小狗跑的速度，求路程也就不难了。

数形互变。“数形结合”是数学的重要思想之一，同一数学知识或数学问题，既可从“数”中表达，也可从“形”中表达。“数”是某些“形”的注解，“形”是某些“数”的可视性工具。因此，在数学教学中，利用数与形之间存在的必然联系进行数形互变，从“数”、“形”不同的角度对同一数学知识以学生能够理解的形式呈现数学知识和原理，就可以起到化繁难为简易的作用。有时从“形”上呈现的数学难题，当我们在“数”上理解，我们就能化繁难为简易，反之亦然。

把生疏的知识变为熟悉的知识

小学生的思维方式、知识结构、认知方式、身心发展水平都处于特定阶段，他们所能接受的数学知识也需要以适合他们特点和知识水平的方式呈现，否则就会事倍功半，甚至劳而无功，更有甚者让学生对数学产生恐惧。因而只有把生疏的知识转化为学生熟悉的知识，才能让学生学起来更轻松有效。

借助学生已有知识和学习经验。教师在数学教学中要成为学生学习的助手，要抓住数学知识之间、数学知识与其他事物之间,尤其是与学生已有学习经验的相通之处，引导他们将不易直接理解和解决的数学知识和问题与其他已经熟悉的知识建立起联系。比如，在教《时、分、秒》一课时，我出了这样一题：“笑笑看一场电影，电影开始时间是18∶55分，电影结束时间是21∶05分，请问这场电影放映的时间是多长？”这道题计算经历的时间，可以有多种方法。这对于擅长计算而不擅长灵活解决问题的学困生来说是困难的。于是我就引导他们利用已经熟悉掌握的列竖式作减法的方式，用后面时间减去前面的时间，提醒学生此处因为是时间，需要借1（小时）相当于60（分钟）的道理，将新知纳入他们已有的知识结构中。

利用语言转换。我在指导学生学习时，如果学生由于年龄或知识基础的原因不能理解某些学术性的数学语言，我就换一种说法或表达形式，使其变成符合学生认知水平的形式，然后再呈现出来，这样，一方面让学生了解了数学术语的表达方式，也能让他们理解真实的意义。语言转换可以有多重方式。首先，要善于把数学知识与生活中的事物相联系，将数学语言与生活语言相互转换。比如，我们可以把集合比作容器。其次，引领学生将数学应用题的生活化语言转化为数学的数量关系符号语言，培养学生抽象和概括思维的能力。再次，注重不同语言的相通表意训练，加强数学知识间的沟通。教师可运用多种语言将知识的多层含义表达出来，如“一式多意”、“一题多述”等，加深学生对数学知识的透彻理解，加强数学知识之间的沟通，使学生的知识融会贯通。

在综合运用中提高能力

小学生在初学数学时，总是从一个个看似毫无关联的知识点学起。孤立知识不但容易遗忘，而且容易混淆。为此，我在教学过程中经常有意识地把学生学过的具体数学知识进行多种角度的变通整合，使之建立联系，形成以基本原理和思维方法为核心的知识网络和结构体系，摆脱就知识论知识、就题论题的现象，让学生能够举一反三、触类旁通，从而跳出“题海”，提升综合运用数学的素养和能力。

一题多解和多题一解。一题多解是我在课堂教学中常采用的，引导学生“一题多解”可以让学生学习多角度考虑问题，认识不同知识间的内在联系，为学生提供开放的思维空间，培养他们发散思维的意识和能力。此外，我还关注由一道题引发的多种解法之间的某些必然联系，引导学生品味藏匿于不同解法中的相同的解题思路。多题一解就是用相同的思路解答看似不同的题，认识不同表达形式下相同的问题本质，培养学生概括归纳和综合分析的能力。

跨阶段整合。在数学教学中，我从数学知识的本质出发，在教学设计过程中抓住新旧知识的连接点，通过适宜的设计引导学生将相近、相似的知识进行整合，培养学生思维的灵活性与深刻性。此外，用相同的公理和原理整合不同阶段、不同形式的知识对于学生理解知识间的内在联系也至关重要，比如，从小学的数字算术类推到初中的多项式算术，计数单位相同的数或式才能相加减是计算这些加减运算的公理。这样的整合重组可以将超越学生知识水平和年龄阶段的繁难知识形式转化为本质不变的简易形式，有助于学生把不同阶段知识联系在一起。当教师从最本质的数组成角度对一些加法算式进行变形，很多对学生而言看似很难的问题就会迎刃而解。

天津教育报对“形变质通”的报道

(2012-10-10 19:24:23)

前些日子我接受了《天津教育报》张超的采访。我们一起聊起了我的“形变质通”。我非常希望借这次采访的机会，让更多的老师了解“形变质通”，希望能有机会和更多的老师一起探讨教育的规律。现将报纸的采访文章在此呈现，也是想让更多的朋友了解我的教育理念，让我们互相启发、互相促进，共同为教育尽绵薄之力。因为我们都已是获将是父母，教育和国家的未来息息相关，教育也和我们的家庭息息相关......在此也感谢张超老师，用文字给予了我真实的“画像”，也感谢河西教育局对我长期的培养。

说起张菁，我首先想到的是《诗经》中四言诗《小雅?菁菁者莪》。此诗有赞美培育人才之意，后被世人用来比喻乐育英才。不知道是一种机缘巧合还是冥冥注定，诗中之意正是张菁教育生涯的真实写照。

乌黑亮丽的披肩发，秋水般清澈的明眸，爽朗的笑声，自信的神情，与几年前相比，率真坦诚、乐观开朗的张菁光彩依旧。

前一次采访，张菁给我留下了极为深刻的印象：说起课堂、说起“形变质通”数学教育理念，说起“要做最棒的老师”的人生理想，张菁滔滔不绝，神采奕奕，情真意切，言辞中满是兴奋与激动。

如今的张菁更加成熟、豁达、淡定了。多年来对“形变质通”数学理念的研究让她不再关注教育之术，而走上了教育的悟道之旅。

张菁说：“教育是对学生顺其自然的心育过程，教育要关注学生的精神成长，要为学生提供超越知识的素养，教育需要静、慢、纯。”这让她以更加豁达而平和的心态来享受教育事业的美好与精彩，享受教书育人的幸福与快乐。

张菁痴迷于数学教学，醉心于教育科研在学校是众所周知的。有人开玩笑说，张菁不爱红妆，爱数学。一向素面朝天的张菁知道，教师的魅力源自内心的丰盈和充实，而对“形变质通”数学理念的研究与实践让她的教育生涯变得格外有趣和精彩。在日常教学中，张菁对教育、对人生常有新的感悟。在数学课堂上，她与学生一起快乐成长，品味进步与成功的喜悦，奏出和谐的生命韵律。

在“第五届中国教育学会优秀教育科研成果”评选中，张菁的教学专著《形变质通：数学基础教育感悟》从1840项参评成果中脱颖而出，成为11个获得一等奖的成果之一，这让张菁与何东昌、李吉林、裴娣娜等教育专家一起接受了教育部的表彰。而今年，张菁又成为了天津市特级教师。近日，她的第二本教学专著《形变质通：灵动的数学》也即将出版。

在很多人看来，张菁已列入名师的行列。但张菁却说：“她不做名师，要做明师，做学生人生的一盏明灯，遵循教育之道，把学生引向成才之路。”

在张菁的数学课堂上，我感受到的不仅是她高超的教学智慧，还有那超越数学知识本身的人文情怀。

“周长相等的圆、正方形、长方形，哪种图形的面积最大？” 这是学生数学作业中的一道题。从数学知识角度看，这道题的解答可以通过圆、正方形、长方形的周长公式、面积公式之间的关系推导得出等周长的圆、正方形、长方形，圆的面积最大。

在讲这一知识时，张菁关注的不仅是教给学生推导的方法，还有数学知识背后的人文情怀。

“刚才同学们通过长方形、正方形、圆形的各自周长公式、面积公式，推导出圆形面积最大，其实从它们的性格特点上，也可以知道圆的面积大。同学们想知道圆的性格吗？”

张菁的一席话，引起了学生们的兴趣。

“圆还有性格？”学生们好奇地小声说。

“老师为同学们准备了周长一样的长方形、正方形、圆形。”张菁一边说一边将长方形、正方形、圆形的纸发给每个小组。

“下面请同学们以小组为单位，通过画对角线、画半径的方法找出这三个图形的中心。”张菁话音刚落，学生们就按照要求操作起来。

“请同学们观察各图形的中心到他们各自周长任意一点的距离，看一看圆形与其它两种图形有什么不同？”张菁一边展示学生画的图，一边问道。

“圆心到圆上任意一点的距离相等。”“长方形的中心到它周长上任意一点的距离不相等，有长有短。”“正方形也是。”学生们七嘴八舌地说着。

“如果我们将各图形周长上的每个点都看成是各图形中心点的朋友，你们能够知道圆面积最大的奥秘了吗？”张菁进一步引导说。

“圆和每个朋友都是一样好。”“长方形、正方形对他们朋友有薄有厚。”学生们说着自己的理解。

“同学们说得很好。其实圆告诉我们一个道理：一个人真心对待认识他的每位朋友，与朋友融洽相处，不厚此薄彼，他的道路才能走得最宽阔！那么圆的性格是怎样的呢？”说着，张菁在黑板上地写下“圆融”两个大大的字！

听了张老师的话，学生若有所悟地点点头。

“文要有理作保证，才能求真；理要有文作保障，才能求善。数学课除了教给学生知识和学习方法外，更重要的是传递给学生人文思想和情怀，浸润学生的心灵，让学生学会求真、向善。”课后，张菁对笔者说，“今天我讲的‘圆融’的道理可能很多学生还不能完全理解，但我相信在他们未来的人生道路上他们必将从中受益。”

“‘形变质通’看数学，会使学生感受到数学的灵动，它可以帮助他们解答一道道数学问题；‘形变质通’看人生，会使学生感受到心灵的丰盈，它可以为他们日后解答一道道人生问题而奠基。”张菁说，“‘形变质通’是一种思维方式，是一种人生态度，是一种包容万物的胸怀。”

对“形变质通”的研究让张菁以更加宽阔地胸怀来看待教育，也让她从完善生命的角度去完成教书育人的崇高使命。“当我们具有宽容的胸襟，我们又怎能不‘不拘一格降人才’呢？”张菁说。

我们期待着，越来越成熟、大气的张菁在不断学习和研究中创造新的教育成果，期待着张菁的“形变质通”留给学生更多宝贵的人生财富。

“形变质通”：充满智慧和灵动的数学感悟2012年11月15日　 作者：傅海伦　　来源：中国教育报

“形变质通”这种富有智慧和灵动特点的思想方法，是张菁老师经过多年教学实践与探索，在对数学变通性和数学知识间动态生成机理深刻认识的基础上提炼出来的。该思想方法对推动当前基础教育课程与教学改革，特别是对小学数学课堂教学改革具有重要的理论研究价值和实践意义，其主要体现在以下三个方面： 　　“形变质通”是对数学本质的精辟注解。小学数学学科是一门重要的基础学科，对于帮助学生打下的良好数学基础、培养学生的思维能力和全面的科学素养具有十分重要的意义。数学学科非常强调学生灵活变通的思维能力以及运用已有知识分析问题和解决问题的能力。“形变质通”运用于小学数学课堂教学实践之所以取得如此成功，主要在于张菁正确把握了数学学科的变通性、整体性等本质特点和发展规律。数学的变通性不仅仅体现在同一数学知识具有不同的表现形式，还体现在不同的数学知识之间的普遍联系和相互转化。正如张菁自己所说：“数学是一个动态的、充满生机的生命体，尽管它的形式是变化多样的，但富于变化的形式中却蕴含了相通的质。”“形变质通”正是对数学充满智慧和灵动的感悟与体会，也是对数学本质的精辟注解。 　　“形变质通”有助于培养学生的创新意识。教育需要遵循学生成长的规律。“形变质通”不仅仅是一种数学思想，而且是一种先进的教学方法。“形变质通”运用于小学数学课堂教学实践获得成功的关键在于它能根据小学生不同阶段的认知特点，运用学习联想、迁移等心理学原理，揭示学生的认识规律，更符合数学的学习特点，使小学数学教学更加科学化。张菁认为，学生的思维活动不应局限于某一框架之中，而应注重变通和转化，一方面她通过“形变”，引导学生从多方面、多角度思考数学问题，开拓学生的解题思路，以培养学生思维的广阔性，另一方面在“质通”中抓住数学知识和方法的本质联系，将数学知识系统化，以达到对数学的统一的认识，使知识融会贯通。更为重要的是，这种教学方法，可以激发学生对数量本质和图形关系的深刻理解，调动学生以积极的心态巧妙地解决问题，并以创新性的智慧和胆识使数学学习丰富多彩。因此，在数学教学中，“形变质通”不仅可以使学生思维发散，有利于他们变通思维能力的培养，而且有利于他们探索精神和创新意识的培养。这不仅体现了教师高超的数学教学能力，更体现了对学生成长的价值关切。 　　“形变质通”可以成为一种学习与人生的智慧。“形变质通”作为一种教育理念，具有普适意义。张菁领悟到，“形变质通”不仅是一种数学思想、教学方法，它更是附着在显性数学知识之中的隐性认知策略和学科文化。如果从科学和社会学的高度去思考，“形变质通”也可以作为一种学习与人生的智慧，它的运用已超出了数学学科本身。从大的方面说，“形变质通”是一种辩证的哲学思维，是一种理性化的思维范式和认识模式，也是一种精神空间的文化境界，折射出一种普遍联系与相互作用与转化的哲学观和人生观。通过长期的数学教学实践和运用，张菁最初将“形变质通”视为一种深层次的策略性知识，主要关注其对学生智育促进的研究，后来较多地思考“形变质通”对学生精神成长的促进研究，并使学生在人际交往、思维方式、行为规范等方面得到锻炼。正如她自己所说的，站在数学的角度上，“形变质通”可以帮助学生解决数学问题，站在人生角度上，“形变质通”可以帮助学生日后解决人生问题。（作者系山东师范大学数学科学学院教授、博士生导师） 　　《中国教育报》2012年11月15日第7版